Tema 7 (II). FUNCIONES DE UNA VARIABLE. DERIVADAS
Derivada de una función en un punto
La función f(x) es derivable en el punto x = a si existe el límite: h a f h a f lím h ) ( ) ( 0 − + →
Este límite recibe el nombre de f´(a), y existe cuando resulta un número real finito.
Ejemplo:
Dada la función f(x)=−x2+4x, su derivada en el punto x = 3 vale h f h f lím f h ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ´( 0 − + = → . Como f(3+h)=−(3+h)2 +4(3+h)=−h2 −2h+3 y f(3)=3, se tendrá: = − − = − + − − = → → h h h lím h h h lím f h h 2 3 3 2 ) 3 ´( 2 0 2 0 2 ) 2 ( ) 2 ( 0 0 − = − − = − − = → → h lím h h h lím h h . Luego, f´(3)=−2.
Interpretación geométrica de la derivada
La derivada, f´(a), es un número que da el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto P = (a, f(a)).
La ecuación de dicha recta tangente será: ) )( ´( ) (a f a x a f y− = −
Ejemplo: La recta tangente a la función f(x) x2 4x
+ −
= en
el punto de abscisa x = 3, será: y´−f(3)= f´(3)(x−3). Y como f(3)=3 y f´(3)=−2 se obtiene: y−3=−2(x−3) ⇒ y=−2 +x 9
Derivabilidad, continuidad y derivadas laterales.
Para que una función sea derivable en un punto son precisas dos condiciones: 1. Que la función sea continua en dicho punto.
2. Que las derivadas laterales existan y coincidan en ese punto. Derivadas laterales Izquierda: h a f h a f lím a f h ) ( ) ( ) ´( 0 − + = − → − . Derecha: h a f h a f lím a f h ) ( ) ( ) ´( 0 − + = + → + . La derivada, f´(a), existe cuando ´( −) ´( +)
= f a a
f .
Geométricamente significa que la tangente a la curva en el punto (a, f(a)) es la misma tanto si se traza por la izquierda como por la derecha.
Las derivadas laterales no coinciden en los puntos angulosos, en los picos de las funciones. Por tanto, en esos puntos no existe la derivada.
• Esta condición es particularmente importante en las funciones definidas a trozos. Para esas funciones resulta obligado estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.
Continuidad y derivabilidad
La relación entre derivabilidad y continuidad es la siguiente:
“si f(x) es derivable en x = a ⇒ f(x) es continua en x = a”
El recíproco no es cierto. Esto es, f(x) es continua en x = a ⇒ f(x) es derivable en x = a.
Ejemplo: La función ≥ < = 0 0 , ) ( 2 x x x x x
f es continua en x = 0 pero no es derivable.
Función derivada
La función derivada de una función f(x) es una nueva función que asocia a cada número real su derivada. Se denota por f´(x). Su definición es la siguiente:
h x f h x f lím x f h ) ( ) ( ) ´( 0 − + = → .
Notación: La función derivada de f(x) suele denotarse f´(x). Si y = f(x) escribiremos y =´ f´(x). También es frecuente escribir
dx x df x f´( )= ( ) o dx dy y =´ .
Reglas de derivación para las operaciones con funciones 1. Derivada de una constante por una función:
) ( · ) (x k f x F = →
(
F(x)) (
´= k·f(x))
´=k·f´(x)2. Derivada de una suma o diferencia de funciones: ) ( ) ( ) (x f x g x F = + →
(
F(x)) (
´= f(x)+g(x))
´= f´(x)+g´(x)3. Derivada de un producto de funciones:
(
· ))
( ) ( )· ( ))
(x f g x f x g x
F = = →
(
F(x)) (
´= f(x)·g(x))
´= f´(x)g(x)+ f(x)g´(x)4. Derivada de la opuesta de una función:
) ( 1 ) ( 1 ) ( x f x f x F = = →
(
)
2 ´ )) ( ( ) ´( ) ( 1 ´ ) ( x f x f x f x F = − =5. Derivada de un cociente de funciones: ) ( ) ( ) ( x g x f x F = →
(
)
2 ´ )) ( ( ) ´( )· ( ) ( )· ´( ) ( ) ( ´ ) ( x g x g x f x g x f x g x f x F = − =6. Derivada de la función compuesta:
)) ( ( ) (x f g x F = →
(
F(x)) (
´= f(g(x))
´ = f´(g(x))·g´(x) Derivadas sucesivas.(
f´(x))
´= f´´(x)… f´´´(x), f4)(x) o fn)(x). Ejemplo: Si ( ) 8 x x f = , se tiene: ´( ) 8 7 x x f = ; ´´( ) 7·8 6 56 6 x x x f = = . 5 5 336 8 · 7 · 6 ) ´´´(x x x f = = ; f4)(x)=5·6·7·8x4, …, f7)(x)=2·3·4·5·6·7·8x, ! 8 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 ) ( ) 8 x = = f . Para n > 8, fn)(x)=0.Tabla de la derivada de las funciones usuales
En esta tabla: c, n, a y e son números; x designa la variable independiente e y o f representan funciones de x.
TABLA DE FUNCIONES DERIVADAS
Función simple Derivada Función compuesta Derivada
c y = y´=0 x y = y´=1 n x y = , ∀ n ∈ R y´=nxn−1 y =(f(x))n, ∀ n y´=n(f(x))n−1f´(x) x y = x y 2 1 ´= y = f(x) ) ( 2 ) ´( ´ x f x f y = x a y = , a > 0 y´=axlna y =af( x), a > 0 y´= f´(x)·af(x)lna x e y = y =´ ex y =ef( x) y =´ f´(x)·ef(x) x y=loga e x y´= 1loga y=loga f(x) e x f x f y loga ) ( ) ´( ´= x y=ln x y´= 1 y =ln f(x) ) ( ) ´( ´ x f x f y = x
y=sen y´=cosx y =sen f(x) y =´ f´(x)cosf(x)
x
y=cos y´= −sen x y =cosf(x) y´=−f´(x)sen f(x)
x
y=tag y´=1+tag2x y =tag f(x) y´= f´(x)(1+tag2f(x))
x y=arcsen 2 1 1 ´ x y − = y =arcsen f(x) 2 )) ( ( 1 ) ´( ´ x f x f y − = x y=arccos 2 1 1 ´ x y − − = y =arccos f(x) 2 )) ( ( 1 ) ´( ´ x f x f y − − = x y=arctag 2 1 1 ´ x y + = y =arctag f(x) 2 )) ( ( 1 ) ´( ´ x f x f y + = Ejemplos: a) x x x y=2−7 3+ 45 −5 ⇒ x x x x y 2 5 5 · 4 3 · 7 ´ 10 4 2 − − + − = ⇒ x x x y 2 5 20 21 ´=− 2 − 6 − b) y=2−x3+2x +e−0,5x ⇒ y´=(−2x+2)2−x3+2xln2−0,5e−0,5x c) y=ln
(
(2x−1)(x2 −x))
= ln(2x−1)+ln(x2−x) ⇒ 1 1 2 1 2 2 ´ 2 − − + − = x x x y d) 3cos5 tag 2 2 sen x x x y= + − ⇒ y x 15sen 5x (1 tagx )·2x 2 cos 2 1 ´= − − + 2 e) y=arcsen (x2 −1)−arccos(1−x2) ⇒ 0 ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( 1 2 ´ 2 2 2 2 = − − − − − − − = x x x x yMás ejemplos: 1. a) 3 4 ) 3 5 2 ( ) (x = x − x+ F ⇒ F´(x)=4(2x3−5x+3)3·(6x2−5) b) ( ) 3 2 1 + − = x x x F ⇔ ( )
(
3 2 1)
1/2 + − = x x x F ⇒ ⇒(
1)
·(3 2 ) 2 1 ) ´(x x3 x2 1/2 x2 x F = − + − − = 1 2 2 3 2 3 2 + − − x x x x 2. a) y=ln(2x4 −3x) ⇒ x x x y 3 2 3 8 ´ 4 3 − − = b) y=log(3x2−5x+2) ⇒ e x x x y log 2 5 3 5 6 ´ 2 + − − = 3. a) y=10x ⇒ y =´ 10xln10 b) y 3x2−4x = ⇒ y´ (2x 4)·3x2−4xln3 − = c) x x e y= 2 3−3 ⇒ x x e x y´ (6 2 3) 2 3−3 − = d) Si f(x)= xx, aplicando logaritmos: ln f(x)=lnxx =xlnx. Derivando: x x x x f x f 1 · ln ) ( ) ´( + = ⇒ f´(x)= f(x)·(
lnx+1))
⇒ f´(x)=xxlnx+xx 4. a) x sen y= 1 ⇒ x x y´=− 12cos1 b) y sen2x = ⇒ y´=2sen x·cosx. c) 5 sen x2 y = ⇒ 5 cos 2 ´ 2 x x y = . 5. a) y cos2(x3 2x) − = ⇒ ´ 2cos( 3 2 )· ( 3 2 )·(3 2 2) − − − = x x sen x x x yb) y=lncosx ⇒ senx tagx x
y= ·(− )=−
cos 1 ´
c) y= xtag(5x−3) ⇒ y´=tag(5x−3)+x(1+tag2(5x−3))·5
6. a) y=arcsen (x−1) ⇒ 2 2 2 1 ) 1 ( 1 1 ´ x x x y − = − − = b) = 4 arcsen x y ⇒ 2 2 4 1 · 2 1 4 1 4 / 1 ´ x x y − = − = 7. a) y =arccos(x2) ⇒ 4 2 2 1 2 ) ( 1 2 ´ x x x x y − − = − − = b) y=arctag(1+x2) ⇒ 2 2 2 4 2 2 2 ) 1 ( 1 2 ´ x x x x x y + + = + + =
Derivación implícita
Una función está definida implícitamente cuando la variable dependiente no está despejada. Así, la expresión y2 +x−3=0, con x < 3 e y > 0, define a y como función de x de forma implícita. En este caso, puede despejarse fácilmente, pues
0 3 2 = − +x y ⇒ y2 =3−x ⇒ y = 3−x ⇔ f(x)= 3−x
Pares de esta función son (2, 1), (−1, 2) o (−6, 3).
La expresión y5−y3+2y−x2−x=0 también define y como función de x, pero a diferencia del caso anterior, no podemos despejar y.
Pares de esta función son (0, 0) o (1, 1).
En el primer caso, la obtención de la derivada de y es muy fácil:
x x x f y − − = − − = = 3 2 1 ) 1 ( 3 2 1 ) ´( ´
También podríamos calcular la derivada sin necesidad de despejar, pues si y = f(x), la expresión y2 +x−3=0 ⇔
(
f(x))
2 +x−3=0.Si derivamos, miembro a miembro, aplicando la regla de la cadena, se tiene:
(
( ))
´( ) 1 0 2 f x f x + = ⇒ ) ( 2 1 ) ´( x f x f = −Normalmente no sustituimos y por f(x), pudiendo derivar directamente así: 0 3 2 = − +x y ⇒ 2y·y´+1=0 ⇒ y y 2 1 ´ −= Con esto, la derivada en el punto (2, 1) vale
2 1 1 · 2 1 ´=− =− y ; y en el punto (−6, 3), 6 1 3 · 2 1 ´=− =− y
Aplicando el mismo procedimiento a la expresión y5− y3+2y−x2 −x=0, se tiene: 5y4y´−3y2y´+y´−2x−1=0 ⇒ y´(5y4 −3y2+1)−2x−1=0 1 3 5 2 1 ´ 4 2 + − + = y y x y
Luego, el valor de la derivada en el punto (1, 1) será 1 3 3 1 1 · 3 1 · 5 1 · 2 1 ´ 4 2 = = + − + = y
Ejemplo: Si y es una función de x, derivable, que verifica la ecuación 0
18 6
2x2+ xy+ y2 − = , halla y´ por derivación implícita. Comprueba que el punto (1, 2) pertenece a la gráfica de la ecuación y halla y´ en ese punto.
→ Derivando directamente en la expresión 2x2+6xy+ y2 −18=0 se tiene: 0 ` 2 ´ 6 6 4x+ y+ xy+ yy= ⇒ 2y´(3x+ y)=−2(2x+3y) ⇒ y x y x y + + − = 3 3 2 ´
Observa que el sumando 6xy se deriva implícitamente como un producto:
(
6xy)
´=6y+6xy´ El punto (1, 2) es de la curva, pues 2·12 6·1·2 22 18 0= − +
+ .
La derivada en ese punto valdrá:
5 8 2 1 · 3 2 · 3 1 · 2 ) 2 , 1 ´( =− + + − = y .
Idea de diferencial de una función
Como se indicó anteriormente, la ecuación de la recta
tangente a la curva y = f(x), en el punto P = (a, f(a)), viene dada por y− f(a)= f´(a)(x−a).
Esta recta, cuya pendiente es f´(a), es la función lineal que más se aproxima a f(x) en un entorno del punto a.
Ejemplo:
Para hallar la ecuación de la tangente a la curva y= x en el punto de abscisa x = 1, se procede así:
x y= → x y 2 1 ´= ⇒ si x = 1, y(1) = 1, y ´(1) = 1/2 Luego, la tangente es: ( 1)
2 1 1= − − x y → 2 1 2 1 + = x y Idea de diferencial
Se llama diferencial de f(x) en el punto x = a al producto f´(a)·dx. Esto es, dy=df(a)= f´(a)dx. En general, si y = f(x) → dy=df(x)= f´(x)dx
Así, para y= x3+3x2 −5x ⇒ dy=(3x2 −5)dx.
Cuantitativamente, la diferencial da la diferencia de los valores que toma la recta tangente en los puntos a y a + h = a + dx (o en general, puntos: x y x + dx).
Geométricamente, la diferencial es el incremento sobre la recta tangente.
En el triángulo PQR, de la figura: ) ´(a f dx dy Pq RQ tagα = = = ⇒ dy= f´(a)dx
Parece evidente que si dx = h es un valor pequeño, también será pequeño el valor de dy, y más pequeña aún, la diferencia entre el valor sobre la curva f(x) y el valor sobre la recta tangente. (En la figura se indica esa diferencia con el nombre de error.).
Esto permite concluir que, en un entorno del punto a, la función y = f(x) y la recta tangente, ) )( ´( ) (a f a x a f
y= + − , toman valores aproximados:
[
y= f(x)]
≈[
y= f(a)+ f´(a)(x−a)]
Esto es: f(a+h)≈ f(a)+ f´(a)·h, para h pequeño.Ejemplo: En el punto x = 1, la función y = x puede aproximarse por la recta
2 1 2 1 + = x y (Véase el ejemplo anterior). Así, la raíz cuadrada de 1,1,
2 1 1 , 1 · 2 1 1 , 1 ≈ + = 1,05.