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Resp. forzada: Fuerza constante (i) f (t) = f 0. x(t) x t. Resp. forzada: Fuerza constante (ii) Ecuación de movimiento: Solución propuesta:

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(1)

19 Euro Casanova, 2006 I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

Resp. forzada:

Fuerza constante (i)

p.e.e.

x(t)

m

k

c

f

(t)

= f

0

Solución propuesta:

Ecuación de movimiento:

( )

t

x

h

( )

t

x

p

( )

t

x

=

+

( )

f

k

x

p t

=

0

( )

e

[

A

Cos

( )

t

A

Sen

( )

t

]

x

ht ζωnt

ω

d

ω

d 2 1

+

=

Solución homogénea:

(transitoria)

Solución particular:

(permanente)

( )

( )

( )

m

f

x

x

x

t n t n2 t 0

2

+

=

+

ζω

&

ω

&&

Solución total:

( )

[

( )

( )

]

k

f

t

Sen

A

t

Cos

A

e

x

t nt d d 0 2 1

+

+

=

−ζω

ω

ω

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k f x A 0 0 1 d n k f x v A ω ζω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 0 0 0 2

Cond. iniciales

( )

0 0

x

x

t=

=

( )

0

v

0

x

&

t=

=

20

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 2 4 6 8 10 12 14 Tiem po [s] x( t) /( Fo /k) ζ = 0.5 ζ = 0 ζ = 0.1 ζ = 0.3 ζ = 1 I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

Resp. forzada:

Fuerza constante (ii)

Si las condiciones iniciales son nulas i.e.

( )

( )

( )

⎟⎟

⎜⎜

+

=

t

Sen

t

Cos

e

k

f

x

d d n d t t n

ω

ω

ζω

ω

ζω

1

0

( )

f

k

[

Cos

( )

t

]

x

t

=

0

1

ω

n

0

0 0

= v

=

x

Si ζ = 0

(2)

21 Euro Casanova, 2006 Frecuencia de excitación

Solución propuesta:

Ecuación de movimiento:

( )

t

x

h

( )

t

x

p

( )

t

x

=

+

( )

=

X

Sen

(

t

γ

)

x

p t

=

− 2 1

1

2

r

r

tg

ζ

γ

(

2

)

2

( )

2 0

2

1

r

r

k

f

X

ζ

+

=

( )

e

[

A

Cos

( )

t

A

Sen

( )

t

]

x

ht ζωnt

ω

d

ω

d 2 1

+

=

Solución homogénea:

(transitoria)

Solución particular:

(permanente)

Amplitud

Desfasaje

n

r

=

ω

Relación de frecuencias

( )

( )

( )

Sen

( )

t

m

f

x

x

x

&&

t

+

2

ζω

n

&

t

+

ω

n2 t

=

0

I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

Resp. forzada:

Excitación armónica simple de amplitud

constante (i)

p.e.e.

x(t)

m

k

c

f

(t)

=f

0

Sen(

t)

22

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

Factor de amplificación

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 R elación de frecuencias, r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ k f X 0

(

2

)

2 ( )2 0 1 2 1 r r k f X ζ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

Desfasaje

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 R elación de frecuencias, r

γ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 2 1 1 2 r r tg ζ γ ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

( )

(

)

(

)

( )

+

=

=

2 2 2 2 0

1

2

2

1

r

r

t

Sen

r

r

k

f

t

Sen

X

x

pt

ς

ζ

γ

Resp. forzada:

Excitación armónica simple de amplitud

constante (ii)

I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

(3)

23 Euro Casanova, 2006 0 5 10 15 20 25 30 35 -3 -2 -1 0 1 2 3 Tiem po [s] x( t) [m] x(t) = xh(t)+xp(t)

( )

( )

( )

( )

( )

[

ω

ω

]

(

γ

)

ζω

+

+

=

+

=

t

Sen

X

t

Sen

A

t

Cos

A

e

x

x

x

d d t t p t h t n 2 1

Dependen de las condiciones

iniciales

Resp. forzada:

Excitación armónica simple de amplitud

constante (iii)

I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía p.e.e.

x(t)

m

k

c

f

(t)

=f

0

Sen(

t)

( )

0

x

0

x

t=

=

( )

0

v

0

x

&

t=

=

0 1 x A = d nx X v A ω ζω − Ω + = 0 0 2 24

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006 I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

k

c

x

(t)

(M-m )

θ

(t)

m

p.e.e.

e

( )

( )

( )

e

Sen

( )

t

M

m

x

x

x

&&

t

+

2

ζω

n

&

t

+

ω

n2 t

=

2

x

D

x

U

x

T

x

T

t

Q

x

&

&

+

+

=

2 2 1 2 2 1 ) (

)

(

m m m M

mv

x

m

M

T

T

T

=

+

=

&

+

)

(

2 2 2 1 2 2 1

M

x

me

θ

me

x

θ

Cos

θ

T

=

&

+

&

+

&

&

2 2 1

c

x

D

=

&

2 2 1

(

)

)

(

k

x

s

mgeSen

Mgx

U

=

+

θ

+

δ

0

=

=

Q

θ

Q

x Energía Cinética Energía Potencial Función de Disipación Fuerza Generalizada

)

(

)

(

2 2

θ

θ

θ

θ

Sen

me

Cos

me

kx

x

c

x

M

&&

+

&

+

=

&

&&

t

ctte

=

=

=

=

θ

θ

θ

&

&&

0

;

Si la velocidad de giro es constante:

Resp. forzada:

Excitación armónica simple debida al

desbalance (i)

(4)

25 Euro Casanova, 2006

k

c

x

(t)

(M-m )

θ

(t)

= Ω

t

m

p.e.e.

e

( )

( )

( )

e

Sen

( )

t

M

m

x

x

x

&&

t

+

2

ζω

n

&

t

+

ω

n2 t

=

2

( )

=

X

Sen

(

t

γ

)

x

pt

(

2

)

2

( )

2 2

2

1

r

r

r

M

me

X

ζ

+

=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 R elación de frecuencias, r me MX

(

2

)

2

( )

2 2 2 1 r r r me MX ζ + − = ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

Resp. forzada:

Excitación armónica simple debida al

desbalance (ii)

Factor de amplificación

I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

26

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

k

c

x

(t)

m

z

(t)

y

(t)

( )

t

c

y

( )

t

ky

( )

t

m

z

( )

t

y

m

&&

+

&

+

=

&&

Resp. forzada:

Excitación armónica debida a movimiento

de la base (i)

I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

y

D

y

U

y

T

y

T

t

Q

y

&

&

+

+

⎟⎟

⎜⎜

=

2 2 1

m

x

T

=

&

(

2 2

)

2 1

c

x

z

D

=

& −

&

(

)

2 0 2 1 0

)

(

)

(

s s

l

z

x

k

l

x

mg

U

δ

δ

+

+

=

0

=

=

z x

Q

Q

Energía Cinética Energía Potencial Función de Disipación Fuerza Generalizada

Sistema de 2 gdl: x

(t)

, z

(t)

(

l

0

δ

s

)

Definiendo:

y

( )

t

=

x

( )

t

z

( )

t Desplazamiento relativo

Si:

z

( )

t

=

z

0

Sen

(

t

)

( )

( )

( )

Sen

( )

t

m

Z

m

y

y

y

t

+

n t

+

n t

=

2 0 2

2

ζω

&

ω

&&

(5)

27 Euro Casanova, 2006

k

c

x

(t)

m

z

(t)

= Z

0

Sen(

t)

y

(t)

( )

( )

( )

Sen

( )

t

m

Z

m

y

y

y

t

+

n t

+

n t

=

2 0 2

2

ζω

&

ω

&&

(

2

)

2

( )

2 2 0

2

1

r

r

r

Z

Y

ζ

+

=

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 R elación de frecuencias, r 0 Z Y

(

2

)

2

( )

2 2 0 1 r 2 r r Z Y ζ + − = ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

Resp. forzada:

Excitación armónica debida a movimiento

de la base (ii)

Factor de amplificación

( )

=

Y

Sen

(

t

γ

)

y

pt I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

28

Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas

Euro Casanova, 2006

Resp. forzada:

Excitación armónica debida a movimiento

de la base (iii). Acelerómetro

( )

=

Y

Sen

(

t

γ

)

y

pt I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

k

c

x

(t)

m

y

(t)

( )

2 0 2 0 2 0

⎟⎟

⎜⎜

⎛ Ω

=

Z

r

Z

Z

Y

n

ω

Si:

7

.

0

<

r

7

.

0

ζ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 Relación de frecuencias, r

(

2

)

2 ( )2 2 1 1 r r + ζ − ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

( )

(

)

( )

⎟⎟

⎜⎜

+

=

2 2 2 2 0

2

1

1

r

r

r

Z

Y

ζ

>>

n

ω

Amplitud medida Aceleración de la base

z

(t)

= Z

0

Sen(

t)

(6)

29 Euro Casanova, 2006

( )

t p

( )

t p tr

c

x

kx

f

= &

+

Transmisibilidad

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 R elación de frecuencias, r ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1 0 f ftr

( )

(

2

)

2

( )

2 2 0 1 2 2 1 r r r f ftr ζ ζ + − + =

( )

t

Sen

f

f

(t)

=

0

Transmisibilidad

( )

t

Sen

me

f

(t)

=

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 R elación de frecuencias, r 2 n tr Me f ω

( )

(

2

)

2

( )

2 2 2 2 2 1 2 1 r r r r me f n tr ζ ζ ω − + + = ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1

Resp. forzada:

Excitación armónica simple - fuerza

transmitida a la fundación

I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía

Referencias

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