19 Euro Casanova, 2006 I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía
Resp. forzada:
Fuerza constante (i)
p.e.e.
x(t)
m
k
c
f
(t)= f
0Solución propuesta:
Ecuación de movimiento:
( )
tx
h( )
tx
p( )
tx
=
+
( )
f
k
x
p t=
0( )
e
[
A
Cos
( )
t
A
Sen
( )
t
]
x
ht ζωntω
dω
d 2 1+
=
−Solución homogénea:
(transitoria)
Solución particular:
(permanente)
( )
( )
( )
m
f
x
x
x
t n t n2 t 02
+
=
+
ζω
&
ω
&&
Solución total:
( )
[
( )
( )
]
k
f
t
Sen
A
t
Cos
A
e
x
t nt d d 0 2 1+
+
=
−ζωω
ω
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = k f x A 0 0 1 d n k f x v A ω ζω ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 0 0 0 2Cond. iniciales
( )
0 0x
x
t==
( )
0v
0x
&
t==
20Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Euro Casanova, 2006 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 2 4 6 8 10 12 14 Tiem po [s] x( t) /( Fo /k) ζ = 0.5 ζ = 0 ζ = 0.1 ζ = 0.3 ζ = 1 I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía
Resp. forzada:
Fuerza constante (ii)
Si las condiciones iniciales son nulas i.e.
( )
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
−t
Sen
t
Cos
e
k
f
x
d d n d t t nω
ω
ζω
ω
ζω1
0( )
f
k
[
Cos
( )
t
]
x
t=
01
−
ω
n0
0 0= v
=
x
Si ζ = 0
21 Euro Casanova, 2006 Frecuencia de excitación
Solución propuesta:
Ecuación de movimiento:
( )
tx
h( )
tx
p( )
tx
=
+
( )
=
X
Sen
(
Ω
t
−
γ
)
x
p t⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
− 2 11
2
r
r
tg
ζ
γ
(
2)
2( )
2 02
1
r
r
k
f
X
ζ
+
−
=
( )
e
[
A
Cos
( )
t
A
Sen
( )
t
]
x
ht ζωntω
dω
d 2 1+
=
−Solución homogénea:
(transitoria)
Solución particular:
(permanente)
Amplitud
Desfasaje
nr
=
Ω
ω
Relación de frecuencias( )
( )
( )
Sen
( )
t
m
f
x
x
x
&&
t+
2
ζω
n&
t+
ω
n2 t=
0Ω
I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. BibliografíaResp. forzada:
Excitación armónica simple de amplitud
constante (i)
p.e.e.x(t)
m
k
c
f
(t)=f
0Sen(
Ω
t)
22Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Euro Casanova, 2006
Factor de amplificación
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 R elación de frecuencias, r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ k f X 0(
2)
2 ( )2 0 1 2 1 r r k f X ζ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1Desfasaje
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 R elación de frecuencias, rγ
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − 2 1 1 2 r r tg ζ γ ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1( )
(
)
(
)
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
Ω
+
−
=
−
Ω
=
2 2 2 2 01
2
2
1
r
r
t
Sen
r
r
k
f
t
Sen
X
x
ptς
ζ
γ
Resp. forzada:
Excitación armónica simple de amplitud
constante (ii)
I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía23 Euro Casanova, 2006 0 5 10 15 20 25 30 35 -3 -2 -1 0 1 2 3 Tiem po [s] x( t) [m] x(t) = xh(t)+xp(t)
( )
( )
( )
( )
( )
[
ω
ω
]
(
γ
)
ζω+
+
Ω
−
=
+
=
−t
Sen
X
t
Sen
A
t
Cos
A
e
x
x
x
d d t t p t h t n 2 1Dependen de las condiciones
iniciales
Resp. forzada:
Excitación armónica simple de amplitud
constante (iii)
I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía p.e.e.x(t)
m
k
c
f
(t)=f
0Sen(
Ω
t)
( )
0x
0x
t==
( )
0v
0x
&
t==
0 1 x A = d nx X v A ω ζω − Ω + = 0 0 2 24Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Euro Casanova, 2006 I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía
k
c
x
(t)(M-m )
θ
(t)m
p.e.e.
e
( )
( )
( )
e
Sen
( )
t
M
m
x
x
x
&&
t+
2
ζω
n&
t+
ω
n2 t=
Ω
2Ω
x
D
x
U
x
T
x
T
t
Q
x&
&
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
2 2 1 2 2 1 ) ()
(
m m m Mmv
x
m
M
T
T
T
=
−+
=
−
&
+
)
(
2 2 2 1 2 2 1M
x
me
θ
me
x
θ
Cos
θ
T
=
&
+
&
+
&
&
2 2 1c
x
D
=
&
2 2 1(
)
)
(
k
x
smgeSen
Mgx
U
=
+
θ
+
−
δ
0
=
=
Q
θQ
x Energía Cinética Energía Potencial Función de Disipación Fuerza Generalizada)
(
)
(
2 2θ
θ
θ
θ
Sen
me
Cos
me
kx
x
c
x
M
&&
+
&
+
=
&
−
&&
t
ctte
⇒
=
=
Ω
=
Ω
=
θ
θ
θ
&
&&
0
;
Si la velocidad de giro es constante:Resp. forzada:
Excitación armónica simple debida al
desbalance (i)
25 Euro Casanova, 2006
k
c
x
(t)(M-m )
θ
(t)= Ω
t
m
p.e.e.
Ω
e
( )
( )
( )
e
Sen
( )
t
M
m
x
x
x
&&
t+
2
ζω
n&
t+
ω
n2 t=
Ω
2Ω
( )
=
X
Sen
(
Ω
t
−
γ
)
x
pt(
2)
2( )
2 22
1
r
r
r
M
me
X
ζ
+
−
=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 R elación de frecuencias, r me MX(
2)
2( )
2 2 2 1 r r r me MX ζ + − = ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1Resp. forzada:
Excitación armónica simple debida al
desbalance (ii)
Factor de amplificación
I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía26
Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Euro Casanova, 2006
k
c
x
(t)m
z
(t)y
(t)( )
tc
y
( )
tky
( )
tm
z
( )
ty
m
&&
+
&
+
=
&&
Resp. forzada:
Excitación armónica debida a movimiento
de la base (i)
I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografíay
D
y
U
y
T
y
T
t
Q
y&
&
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
2 2 1m
x
T
=
&
(
2 2)
2 1c
x
z
D
=
& −
&
(
)
2 0 2 1 0)
(
)
(
s sl
z
x
k
l
x
mg
U
δ
δ
−
−
−
+
−
+
=
0
=
=
z xQ
Q
Energía Cinética Energía Potencial Función de Disipación Fuerza GeneralizadaSistema de 2 gdl: x
(t), z
(t)(
l
0−
δ
s)
Definiendo:
y
( )
t=
x
( )
t−
z
( )
t Desplazamiento relativoSi:
z
( )
t=
z
0Sen
(
Ω
t
)
( )
( )
( )
Sen
( )
t
m
Z
m
y
y
y
t+
n t+
n t=
Ω
Ω
2 0 22
ζω
&
ω
&&
27 Euro Casanova, 2006
k
c
x
(t)m
z
(t)= Z
0Sen(
Ω
t)
y
(t)( )
( )
( )
Sen
( )
t
m
Z
m
y
y
y
t+
n t+
n t=
Ω
Ω
2 0 22
ζω
&
ω
&&
(
2)
2( )
2 2 02
1
r
r
r
Z
Y
ζ
+
−
=
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 R elación de frecuencias, r 0 Z Y(
2)
2( )
2 2 0 1 r 2 r r Z Y ζ + − = ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1Resp. forzada:
Excitación armónica debida a movimiento
de la base (ii)
Factor de amplificación
( )
=
Y
Sen
(
Ω
t
−
γ
)
y
pt I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografía28
Universidad Simón Bolívar MC-2415 Vibraciones Mecánicas
Euro Casanova, 2006
Resp. forzada:
Excitación armónica debida a movimiento
de la base (iii). Acelerómetro
( )
=
Y
Sen
(
Ω
t
−
γ
)
y
pt I. Introducción II. Sistema de 1-GDL Descripción Ec. de movimiento Resp. libre Resp. forzada Fuerza constante Armónica simple Amplitud ctte. Desbalance Mov. de la base Fuerza transmitida Excitación periódica Excitación impulsiva Excitación general III. Sistemas de N-GDL IV. Medición / diagnóstico V. Bibliografíak
c
x
(t)m
y
(t)( )
2 0 2 0 2 0⎟⎟
∝
Ω
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ Ω
=
≈
Z
r
Z
Z
Y
nω
Si:
7
.
0
<
r
7
.
0
≈
ζ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0 1 2 3 4 5 6 Relación de frecuencias, r(
2)
2 ( )2 2 1 1 r r + ζ − ζ = 0.001 ζ = 0.1 ζ = 0.2 ζ = 0.3 ζ = 0.5 ζ = 0.7 ζ = 1( )
(
)
( )
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
2 2 2 2 02
1
1
r
r
r
Z
Y
ζ
Ω
>>
nω
Amplitud medida Aceleración de la basez
(t)= Z
0Sen(
Ω
t)
29 Euro Casanova, 2006