Cambios en amplitud y período de pulsación de Cefeidas clásicas en la Nube Mayor de Magallanes

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1

Cambios en amplitud y per´ıodo de

pulsaci´

on de Cefeidas cl´

asicas en la Nube

Mayor de Magallanes

Sebasti´

an Velasco Moreno

201225610

Dr. Alejandro Garc´ıa

Director

Universidad de los Andes Departamento de F´ısica

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Agradecimientos

Desear´ıa agradecer la culminación de este trabajo y vida académica a mi madre, la cual siempre me brindo su apoyo, paciencia y amor. A su vez, al profesor Alejandro Garc´ıa, director de este proyecto, y al grupo de Astronom´ıa de la Universidad de los Andes, ya que ellos me guiaron, me formaron y animaron a estudiar los astros. Gracias a mis compañeros y demás personas que hicieron este tiempo más agradable.

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3

Resumen

En este trabajo se han analizado cambios de amplitud y de periodo de pulsación de cefeidas clásicas. Se utilizó el catálogo público de OGLE II para obtener datos de luminosidad e intervalos de tiempo para realizar las curvas de luz de más de 700 cefeidas. Para la primera parte, se encontraron 3 cefeidas cuyas curvas de luz siguieren un posible cambio de amplitud en el tiempo. A su vez, se encontraron 30 curvas de luz que indican que dichas cefeidas presentan cambios de periodo en sus oscilaciones. Esto puede aportar a la discusión sobre la linealidad y forma de calibrar la relación Periodo-Luminosidad.

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Abstract

In this work, we have studied changes in amplitude and pulsation period present in classic cepheid in the Large Magellanic clouds. The free catalogue OGLE II was used to obtained records of luminosity and time intervals in which the data was taken to make over 700 light curves. For the first part of this work, we found 3 light curves of cepheids in which it was observed a change in amplitude over time. On the second part, there were found 30 possible candidates of cepheids with changes in their oscillation periods. This may contribute to obtain a better calibration of the Period-Luminosity relation.

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´

_{Indice general}

1. Introducci´on 7

1.1. Trasfondo Hist´orico . . . 7

1.2. Estado del Arte . . . 9

2. Marco Te´orico 13 2.1. Estrellas Variables y Ley de Leavitt . . . 13

2.1.1. Estrellas Pulsantes . . . 13

2.1.2. Ley de Leavitt . . . 14

2.2. Evoluci´on Estelar . . . 15

2.3. Pulsaciones Estelares . . . 16

2.4. Termodin´amica Estelar . . . 18

2.4.1. Motor Termodin´amico de Eddington . . . 18

2.4.2. Efectos de Opacidad . . . 19

2.4.3. Zonas de Ionizaci´on Parcial . . . 19

2.5. El Proyecto OGLE: . . . 20

3. Datos 21 3.1. Preparaci´on de Datos . . . 21

3.2. Distribuci´on de valores Abbe . . . 21

3.3. Fase de Oscilaci´on . . . 23

4. An´alisis de Datos 25 4.1. Cambios en Amplitud . . . 25

4.2. Evoluci´on Estelar para variables cefeidas . . . 26

4.3. Busqueda de Cambios en per´ıodo . . . 27

5. Discusi´on y Conclusiones 29

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Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

1.1. Trasfondo Hist´

orico

El primer astrónomo en descubrir la primera estrella periódica variable conocida fue el pastor luterano David Fabricius. Aprovechando los avances astronómicos a principios del siglo XVII debido al telescopio de Galileo, Fabricius dedicó gran parte de su vida a la observación amateur de los cielos y a la ciencia de los astros. En agosto de 1595, observando las magnitudes de las estrellas en las constelación de Cetus, el monstruo marino, se percató de que la estrella O Ceti hab´ıa cambiado de magnitud. Asumiendo que era otra Nova más, conocidas ya para la época, Fabricius la catalogó como tal. Pero varios meses después, la estrella O Ceti apareció de nuevo en el firmamento alemán. Al ver este sorprendente evento, el pastor nombró la estrella Mira, que significa maravilloso en lat´ın (Carroll, 1996). Pensadores del momento atribuyeron este insólito suceso a manchas en la superficie estelar, las cuales, al rotar la estrella, hac´ıan disminuir su brillo. En la actualidad, es conocido que esta estrella pertenece a un sistema eclipsante. En recientes años, se ha analizado la curva de luz de O Ceti la cual se presenta a continuación en la figura 1.1. Mira es un sistema binario compuesto de una variable gigante roja, Mira A, y una enana blanca, Mira B. La atracción gravitacional de la compañera blanca atrae material del exterior de la gigante roja. Esto genera cambios de luminosidad periódicos debido a la pérdida de masa. Estas estrellas variables se conocen como Variables de Per´ıodos Largos y poseen per´ıodos entre 100 y 700 d´ıas.

Figura 1.1: Curva de Luz de Mira. Per´ıodos de oscilaci´on de 400 d´ıas aproximadamente. Tomada de Price, A. AAVSO. Omicron Ceti.

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El astrónomo inglés John Goodricke fue el descubridor de la primera estrella variable por la que conocer´ıamos el nombre de variables cefeidas (Carroll, 1996). Goodricke era conocido en la comunidad astronómica gracias a sus observaciones del cambio de magnitud de Algol, β Persei, y su explicación de por qué cambiaba de brillo. Este astrónomo sugirió que algún cuerpo oscuro deb´ıa pasar por al frente de la estrella, haciendo que su brillo disminuyese. Al pasar completamente el objeto eclipsante, la estrella retomar´ıa su brillo original. Un año más tarde de estos acontecimientos, en 1784, Goodricke descububrió otra estrella que presentaba cambios de magnitud y se dispuso a estudiarla. Entre el 10 de octubre y el 28 de diciembre de ese año, pudo observar cambios de magnitud de δ Cephei comparándola con sus vecinas ζ Cephei y α Lacerta. Debido al mal clima, suspendió las observaciones y las retomó el 8 de Febrero. Hasta el 26 de junio, observó los cambios de δ Cephei y obtuvo su per´ıodo de oscilación y el cambio exacto presente en la magnitud. Se puede observar su curva de luz en la gráfica 1.2. Observando per´ıodos de 5.3 d´ıas y cambios de magnitud de 3.48 a 4.37, el se percató de que estas estrellas alcanzan su máximo con mayor rapidez que con la que descienden a su m´ınimo. δ Cephei se convertir´ıa en la primera cefeida clásica. Sus observaciones al aire libre le costar´ıan la vida ya que Goodricke obtuvo neumon´ıa. Murió el 20 de abril de 1786.

Figura 1.2: Curva de Luz de delta Cephei. Tomada de Stebbins J., Astrophysics Journal, 27, pp 192.

Para concluir esta pequeña reseña histórica, la astrónoma estadounidense Henrrieta Sawn Leavitt descubrió la relación más importante conocida para variables cefeidas. Trabajando en el Observatorio de Harvard bajo la dirección de Edward Pickering, Leavitt comparaba fotos de una misma parte del cielo, más precisamente las Nubes de Magallanes. Su tarea era detectar cambios en la luminosidad de algunas estrellas. Realizando esta labor varias veces, Leavitt descubrió alrededor de 2400 estrellas con cambios en brillo. Análizando la frecuencia de estas oscilaciones de luminosidad, ella estudió variables con per´ıodos entre 1 y 50 d´ıas y se percató de una importante relación: entre mayor sea el cambio en brillo de la estrella, el per´ıodo de oscilación será mayor. Usando 25 de esas cefeidas encontradas en la Nube Menor de Magallanes, Leavitt realizó un análisis gráfico de cambios en magnitud y per´ıodo obteniendo as´ı la famosa relación Per´ıodo-Luminosidad (PL) también conocida como Ley de Leavitt, LL. En la figura 1.3 se puede observar esta relación. Conociendo el per´ıodo de pulsación de una variable cefeida, es posible conocer sus magnitudes aparentes y absolutas y, de este modo, obtener el módulo de distancia que determina qué tan lejos está dicha estrella. Esta relación es de vital importancia desde entonces para los astrónomos, ya que pueden usarla para medir distancias extra galácticas con más precisión y alcance de lo que se podr´ıa con el método de paralaje trigonométrico.

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1.2. ESTADO DEL ARTE 9 Figura 1.3: Ley de Leavitt o Relaci´on Per´ıodo Luminosidad. Tomada de Leavitt, H. Harvard College Observatory Circular, vol 173, p. 1, 1912

1.2. Estado del Arte

Con el propósito de obtener una relación más acertada y precisa de la Ley de Leavitt, se han ana-lizado diferentes efectos y procesos f´ısicos presentes en las estrellas cefeidas que puedan ayudar a la calibración de esta relación. El primero de ellos es el efecto no lineal de la relación Per´ıodo-Luminosidad. Interesado por la forma de la relación PL, Kukarkin (Fernie, 1969) suguirió un modelo más adecuado de dos l´ıneas con diferentes pendientes que se intersectaban en un per´ıodo de 10 d´ıas. A su vez, Shapley (Fernie, 1969) argumentaba que este desfase se deb´ıa a la absorsión interestelar, la rotación galáctica y a los errores en el cálculo de el movimiento propio de la estrella. Más precisamente encontró un desfase de 1m4, con contribuciones de 0m7 por obviar la absorción interestelar, 0m2 por efectos de la rotación galáctica y la restante contribución a los errores producidos por el movimiento propio (Fernie, 1969). En otro estudio con similares fines, Sandage et al. estudiaron diferentes cefeidas y la relación PL entre LMC, SMC, M31, NGC6822. Aqu´ı, los autores atribu´ıan los cambios en la relación PL a la teor´ıa de la Franja de Inestabilidad predicha para estrellas cefeidas con pulsaciones producidas por la doble ionización del helio (Sandage, 1968). En otro trabajo, del que Sandage fue part´ıcipe, Tammann et al. (2003) analizaron diagramas de colores para cefeidas en las Nubes de Magallanes y en nuestra galaxia, encontrando diferencias entre estos. Concluyeron que las cefeidas galácticas tienen su espectro corrido al rojo, mientras que las encontradas en las nubes presentan un mayor brillo a per´ıodos cortos pero son menos brillantes a per´ıodos largos. Esto suguiere una ruptura en la relación PL y cambios en la temperatura de la estrella. A su vez, concluyeron que diferentes diagramas de color-per´ıodo sugieren relaciones per´ıodo-luminosidad con diferente pendiente (Tammann, 2003). Finalmente, en la última década se han realizado estudios confirmando pero no dando explicación a la no linealidad de la rela-ción PL como los realizados por Kanbur et al. (2007), Ngeow et al. (2012) y Garcia-Varela et al. (2016). En segunda instancia, la relación PL puede también verse afectada por cambios en los per´ıodos de pulsación de la estrella cefeida. Para per´ıodos cortos, la taza a la cual el per´ıodo cambia y los cambios de amplitud en la pulsación pueden determinar la ubicación de la cefeida en la franja de inestabilidad del diagrama Hertzsprung Russell. A su vez, el cambio del per´ıodo podr´ıa brindar información sobre

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el modo de pulsaci´on de la estrella. Aqu´ı, los autores atribuyen estos cambios al paso de la variable cefeida por la franja de inestabilidad. Seguidamente, se suguieren masas caracter´ısticas de estas va-riables (5M < m < 10M) (Turner, 2006; Fadeyev, 2013). A su vez, algunas variables RR Lyræ,

en puntualidad V473 Lyræ, pueden exhibir un porceso anómalo llamado efecto Blazhko. Los autores estudiaron resonancias producidass por procesos no lineales, los cuales ayudar´ıan a confirmar el mode-lo de resonancia que explicar´ıa y modular´ıa mode-los procesos vistos en cefeidas y en V473 Lyræ (Molnar, 2014). Este efecto produce variaciones en per´ıodos y amplitudes de estrellas variables de Población II. Estos cambios se deben a diferentes ciclos en el proceso de convexión que generan una resonancia no lineal entre el modo fundamental y el primer modo de oscilación (Smolec, 2016). Finalmente, Po-leski et al. (2008) utilizaron una muestra de más de 600 cefeidas con diferentes modos de pulsación, para encontrar alrededor de 18 % pulsando en el modo fundamental y otro 41 % pulsando en el pri-mer modo de oscilación. Este estudio también llevó a la conclusión que en el cambio de pulsación se presenta un desfase en la curva de luz que se evidencia en el aumento de dispersión en en la curva de luz. Otro efecto a tener en cuenta al momento de indagar acerca de la relación PL es el efecto de una estrella compañera a la estrella cefeida. Este sistema binario evidencia curvas de luz con varios pun-tos dispersos. Si se le es restada una curva de luz de variable clásica cefeida, se obtiene una gráfica propia para sistemas eclipsantes (Udaslki,1999). Estas caracter´ısticas pueden brindar información so-bre el radio de orbita, las masas de ambas estrellas y la distancia entre ellas (Garc´ıa-Varela et al., 2016). Es todav´ıa hecho de discusión si la metalicidad influye en la pendiente de la LL. En el 2000, Caputo et al. estudiaron las relaciones entre la metalicidad de una cefeida y su relación PL. Con diferentes cefeidas clásicas de la Nube Mayor de Magallanes y cefeidas encontradas en la V´ıa Láctea, enfocaron su estudio en cefeidas que atraviesan la rama de inestabilidad con masas entre (5 − 10)M. Al final de

su análisis, concluyeron que una relación cuadrática era la regresión más apropiada para representar la relación PL en dichas cefeidas, mostrando as´ı una clara dependencia de la metalicidad en la LL. Pero, a comienzos de siglo, Udalski et al. (2001) y Pietrzyński et al. (2004), estudiando cefeidas de IC1613 (Udaslki et al., 2001) y NGC6822 (Pietrzyński et al., 2004), respectivamente, encontraron una regresión lineal en la relación per´ıodo-luminosidad, lo que suger´ıa la no dependencia de la metalicidad en LL. A esta discusión se unieron Giren et al. (2005) y Fouqué et al. (2007). Analizando 13 cefeidas de la Nube Mayor, Giren encontró una relación lineal para la Ley de Leavitt (Gieren, 2005). Esto lo corroborar´ıa Fouqué, que estudiando 59 cefeidas del centro de la galaxia y de la Nube Mayor de Magallanes, no encontró discrepancia significativa entre las pendientes de las relaciones PL (Fouqué, 2007). Ambos, concluyeron que la Ley de Leavitt no era afectada por la metalicidad estelar.

La progresión de Hertzprung es un efecto que influye en la relación PL. Hertzprung encontró una protuberancia en algunas curvas de luz y halló una relación entre esta y el per´ıodo de pulsación. Esta protuberancia se ve´ıa como una segunda onda en la curva de luz en la rama descendente y aparec´ıa en cefeidas con perodos P > 6d (Hertzsprung, 1926). A su vez, Bono confirmó que este evento ocurre en cefeidas que oscilan en modo normal (Bono, 2000). Estas protuberancias en las curvas de luz son producidas por dos posibles eventos: resonancia y el mecanismo Eco. El mecanismo Eco proclama que las protuberancias son producidas por ondas de presión radial al momento de la oscilación. El mecanismo de resonancia propone que existe una resonancia no lineal entre el modo fundamental y el segundo modo de oscilación (Garcia-Varela, 2016).

Se puede pues notar que la Ley de Leavitt no está lo suficientemente calibrada para arrojar un valor exacto de la relación entre el per´ıodo y la luminosidad. Se ha mencionado cómo diferentes aspectos f´ısicos dentro y fuera de la estrella pueden generar cambios de luminosidad y brillo los cuales son de gran importancia estudiarlos para mejorar la precisión de la relación PL. Es as´ı como este trabajo se enfocará en encontrar variables cefeidas con cambios en amplitud y per´ıodo de pulsación. Como se mencionó antes, estos cambios en el ciclo de pulsación pueden brindar información sobre el estado

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1.2. ESTADO DEL ARTE 11 evolutivo de la estrella y su ubicación en la franja de inestabilidad en el diagrama HR. Para concluir, este estudio planea contribuir a la discución sobre la correcta calibración de la Ley de Leavitt.

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Cap´ıtulo 2

Marco Te´

orico

2.1. Estrellas Variables y Ley de Leavitt

2.1.1. Estrellas Pulsantes

Observando estrellas en el firmamento, es posible obtener datos cuantitativos de cambios de mag-nitud en la variable y el per´ıodo en que estos se realizan. A la gráfica de variación de magnitud como función del tiempo se le conoce como Curva de Luz y es la herramienta más importante al estudiar este tipo de estrellas. Dependiendo de la forma de la curva de luz, se clasifican en variables eruptivas, variables rotantes, eclipsantes y estrellas pulsantes.

Las variables eruptivas son estrellas opacas que están expulsando gas. Usualmente hacen parte de un sistema binario cerrado en el cual una de las estrellas está cediendo masa a su compañera. El siguiente tipo son las variables rotantes. Este tipo de estrella no presenta una distribución uniforme de temperatura en su atmósfera. Estos cambios abruptos de temperatura pueden ser observados como manchas estelares creadas por intensos campos magnéticos, como las manchas solares. Al momento en que la estrella gira, las manchas se hacen visibles y su magnitud cambia. Las variables eclipsantes son aquellas que pertenecen a un sistema binario en el cual un compañero pasa en frente de la otra estrella produciendo un cambio de magnitud. Al momento de pasar completamente, la magnitud de la estrella opacada vuelve a la normalidad. Este cambio de magnitud no es intr´ınseco de la composición de la estrella, como antes, sino defectos ajenos a esta. Finalmente, las variables pulsantes son aquellas que poseen cambios en magnitud debido a expansiones y contracciones en las capas exteriores de la estrella. Son gigantes y supergigantes que pasan por una etapa de inestabilidad.

Las variables pulsantes también pueden ser divididas y clasificadas según su per´ıodo, composi-ción, cambios de magnitud, clase espectral, entre otras caracter´ısticas propias de la pulsación de la estrella. Las W Virginis son estrellas de baja metalicidad menos luminosas que estrellas con el mismo per´ıodo. Estas estrellas de población II, identificadas por Walter Baade en 1952(Karttunen, 1987), poseen per´ıodos entre 2 y 45 d´ıas. Las siguientes variables con gran importancia son las estrellas RR Lyrae. Estas estrellas poseen cambios de magnitud y per´ıodo más pequeños, este último entre 1.5 a 24 horas. Debido a sus caracter´ısticas, son de gran importancia al calibrar distancias extragalácticas. Pertenecientes a cúmulos globulares y con clases espectrales entre A-F8, estas variables de población II presentan la misma fase evolutiva, donde el Helio sigue quemándose en su interior. Con per´ıodos más grandes, entre 100 y 700 d´ıas, a las estrellas Mira, en honor a la estrella variable con el mismo nombre, se les conoce como variables de per´ıodos largos. Son estrellas supergigantes que han salido de la franja de inestabilidad con clase espectral M ,S y C, según el diagrama de HR. Presentan cambios de magnitud en el visual, alrededor de ∆m = 6 mag. (Carroll, 1996), lo que hace que sus pulsaciones sean

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visibles a simple vista. Para terminar, están las variables conocidas como cefeidas clásicas, las cuales serán objeto de estudio de este trabajo. Nombradas as´ı por delta Cephei, son estrellas supergigantes de población I con clases espectrales entre F-K.

2.1.2. Ley de Leavitt

La ley de Leavitt fue de gran ayuda para los astrónomos de la época y un progreso para medir distancias. En el momento, sólo se contaba con paralaje y su uso era limitado. Con la Ley de Leavitt se pudo aumentar el alcance de distancias conocidas hasta el Grupo Local, no más de 3Mpc. Calculando el per´ıodo de cefeidas clásicas podemos obtener relaciones de magnitudes aparentes y absolutas, y de esta forma, obtener fácilmente la distancia usando el módulo de distancia. Ejnar Hertzsprung (Carroll Ostlie, 1996) calibró esta relación con información del movimiento solar a través del espacio y diferentes métodos estad´ısticos, obteniendo as´ı la relacion lineal:

M<V >= −2,81 log10(Pd) − 1,43 (2.1)

Figura 2.1: Ley de Leavitt en varios campos. Tomada de Storm et al. (2011)

Mejores observaciones y calibraciones pueden lograrse con observación en longitudes de onda in-frarrojas. All´ı, se corrigen problemas de absorción y dispersión de la luz de la estrella por efectos de polvo estelar.

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2.2. EVOLUCI ´ON ESTELAR 15 Figura 2.2: Ley de Leavitt en varias Bandas. Tomada de Scowcroft et al. (2015)

2.2. Evoluci´

on Estelar

Esta sección estará enfocada en los procesos f´ısicos presentes en las cefeidas y con estos podrán ser entendidos los cambios de magnitud y per´ıodo. Se estará enfocando el estudio a estrellas que ya no queman hidrógeno en su interior para producir helio. Son estrellas luminosas que están evolucionando hacia luminosidades mayores con cambios en el radio y la Tef f.

A medida que la envoltura de gas se contrae, la compresión en el caparazón de H es tanta que la energ´ıa de la estrella aumenta. Con este nuevo aumento de temperatura, la zona de convección sube a la superficie y se genera otro núcleo convectivo en el centro de la estrella. En estos momentos la estrella evoluciona hacia la parte azul del diagrama HR. Esto se debe a que la mayor parte de la energ´ıa viene del caparazón de He que fue expulsado del interior. Este proceso es análogo al de quemar H pero en menor escala de tiempo.

Al devolverse y comenzar a retomar su camino hacia las estrellas rojas del diagrama HR, el núcleo ha aumentado tanto de masa que empieza a contraerse, acompañado del enfriamiento y expansión de la envoltura de gas. A este punto, el He del núcleo se ha acabado ya que ha sido transformado en ox´ıgeno y carbono, generando que la estrella evolucione más rápido. A medida que la temperatura interna aumenta debido a la contracción de la estrella, un caparazón de He se forma alrededor del núcleo de CO. Cuanto más se contrae el núcleo, más lo hace el caparazón, aumentando su energ´ıa y empujando el caparazón que quema H hacia fuera de la estrella, expandiéndolo y enfriándolo. Esto causa un apagón temporal del caparazón de H hasta que este vuelva a caer en la estrella y retomar su energ´ıa para poder encenderse.

Este tr´ansito por la rama horizontal, muestra inestabilidades en la estructura de la estrella las cuales generan anomal´ıas que pueden ser observadas mediante cambios de luminosidad, temperatura, radios estelares y velocidades radiales.

As´ı pues, se observa cómo este proceso al interior de una estrella genera cambios periódicos en la luminosidad, el radio y la temperatura de esta. Entre más masivo el objeto, con mayor rapidez

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quemar´a su combustible, y menor ser´a el per´ıodo de estos cambios. Claramente, el per´ıodo de este pro-ceso es inversamente proporcional a la masa de la estrella. Estos propro-cesos ocurren en tipos espectrales A a F para estrellas entre 1M y 3M, y en G a K para variables supergigantes (Marconi, 1998).

A su vez, estudios sugieren qur la franja de inestabilidad est´a acotada entre 4500 - 7500 K (Kiss, 2007). En la siguiente gr´afica observamos algunas de las locaciones de las variables pulsantes a medida que evolucionan en el diagrama HR.

Figura 2.3: Diagrama HR con localizaci´on de variables pulsantes. Tomado de An Introduction to modern Astrophysics de Carrol & Ostlie

2.3. Pulsaciones Estelares

Las pulsaciones observadas en estrellas variables son producidas por oscilaciones radiales, que no son más que el resultado de ondas de sonido resonando en el interior de la estrella. El per´ıodo de pulsación se define como el tiempo que le tomar´ıa a una onda de sonido cruzar el diámetro de la estrella. La velocidad del sonido dentro de la estrella es dada por:

V s = s

γP

ρ (2.3)

1

donde P es el per´ıodo y ρ es la densidad de la estrella. Con esta informaci´on, el per´ıodo de pulsaci´on es proporcional a :

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2.3. PULSACIONES ESTELARES 17 Π ≈ r 3π 2γρG (2.4) 2

Como el per´ıodo de pulsaci´on es inversamente proporcional a la densidad de la estrella (Kart-tunen,1987), esto explicar´ıa por qu´e el per´ıodo decrece a medida que se desciende por la franja de inestabilidad, de tenues supergigantes a densas enanas blancas.

Estas pulsaciones se pueden presentar en diferentes modos. Como ondas estacionarias, las ondas de gas pueden poseer nodos dentro de la estrella. El modo fundamental es aquel el cual no presenta nodos y el gas se mueve en la misma dirección en cualquier punto de la estrella. Las cefeidas clásicas, W Virginis y algunas variables Mira oscilan en el modo fundamental. El primer armónico se presenta con un nodo donde el gas se mueve en direcciones opuestas en ambos lados del nodo. Este modo de oscilación es propio de las RR Lyrae. En la grafica 2.4 se pueden observar los primeros armónicos y el modo fundamental.

Figura 2.4: Diagrama de los posibles primeros arm´onicos de una estrella. El segundo arm´onico posee dos nodos los cuales actuan como el primero, con gas moviendose opuesto en ambas direcciones. Tomado de An Introduction to modern Astrophysics de Carrol & Ostlie

Fueron de interés para Marconi y Palla, (Marconi, 1998) las relaciones entre modos de pulsación, temperaturas efectivas y masas de las variables estudiadas. Dichos autores modelaron sistemas de pulsación estelar lineales y no lineales usando masas entre 2 − 4M. Ellos encontraron que las variables

con oscilaciones en el modo fundamental est´an entre 2,5−4M. A su vez, estrellas entre 3−4Mpulsan

en el primer arm´onico, mientras que estrellas entre 3,5 − 4M, en el segundo. En adici´on, encontraron

temperaturas efectivas cerca de 7500 K para variables pulsando en el segundo armónico, alrededor de 7200 K para pulsaciones de primeros armónicos y temperaturas de 6500 K para estrellas pulsando en modo fundamental. Estas relaciones de masa, temperatura y modo de oscilación pueden dar pistas de los procesos evolutivos dentro de la estrella.

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Figura 2.5: Diagrama HR con localizaci´on de variables con sus modos de pulsaci´on. Tomada de Marconi et al. (1998).

2.4. Termodin´

amica Estelar

2.4.1. Motor Termodin´

amico de Eddington

El astrof´ısico británico Arthur Eddington propuso estudiar las pulsaciones de estrellas modelando estas como motores termodinámicos. Las capas de la estrella producen trabajo al momento de expan-dirse o contraerse en durante un ciclo. Una capa que realice trabajo positivo,H P dV > 0, fortalece las oscilaciones. Por otro lado, si el trabajo realizado por la capa es negativo,H P dV < 0, las oscilaciones se verán atenuadas. La amplitud de dichas oscilaciones está correlacionada con el trabajo neto de la estrella (la suma de todos los trabajos realizados por cada capa). Si Wnet< 0 la amplitud de la

osci-lación decaerá. Con Wnet> 0, la amplitud aumenta. El equilibrio termodinámico ocurrirá cuando la

suma de Wnet= 0, lo cual cesar´ıa las oscilaciones.

Se puede definir el trabajo de una capa como W = Qin–Qout. Qinentra al sistema durante el punto

de temperatura m´as alto del ciclo, Thot. Qout sale del sistema cuando la temperatura del ciclo es la

menor, Tcold.

Cuando el ciclo pasa por su estado de máxima compresión, las capas de la estrella absorben energ´ıa en forma de calor, Q. Gracias a esto la presión es máxima y las oscilaciones son amplificadas.

Al momento de compresión de la estrella, la temperatura y densidad cerca de su núcleo aumentan. Dicho efecto aumenta la tasa a la cual la energ´ıa termonuclear es generada (Carrol Ostlie (1996)). A este efecto se le denomina mecanismo nuclear . Aunque más energ´ıa es producida en el interior, no es suficiente para mantener e impulsar las oscilaciones. Cambios en la tasa de producción de energ´ıa producen oscilaciones que podr´ıan prevenir la formación de estrellas de más de 90M.

Eddington propuso tratar el ciclo de la estrella como una v´alvula. Cuando una capa de la estrella es comprimida, se vuelve opaca y aten´ua el flujo de energ´ıa hacia el exterior. Debido a esta energ´ıa

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2.4. TERMODIN ÁMICA ESTELAR 19 contenida, la capa es empujada hacia la superficie, la densidad del material estelar disminuye y se libera energ´ıa. La estrella se enfr´ıa y se vuelve transparente lo que permite que la energ´ıa atrapada al inicio del ciclo, escape. La capa desciende hacia el interior de la estrella, donde es comprimida de nuevo y el ciclo se reinicia. Eddington concluyó que la opacidad deber´ıa incrementar con la compresión. Cabe mencionar que al momento de la compresión, la temperatura y la densidad cerca del núcleo aumentan. Debido a la ley de Kramers, la opacidad depende de estas variables como κ ∝ _Tρ3,5, con ρ

siendo la densidad y T la temperatura. Debido a que κ es m´as susceptible a un cambio de temperatura que de densidad, es esperado que la opacidad disminuya en la estrella. As´ı que, oscilaciones moduladas por el modelo de Eddington son an´omalas y se presentan en 1 de 105_{estrellas (Carrol Ostlie (1996)) .}

2.4.2. Efectos de Opacidad

Como se mencion´o anteriormente, el efecto propuesto por Eddington debe presentarse bajo ciertas condiciones especiales puesto que la opacidad tiende a disminuir. Este especial efecto ocurre en algunas zonas de ionizaci´on en la estrella.

Al momento de compresión de la estrella, el trabajo de las capas aumenta. Las capas descienden hacia el centro de la estrella aumentando su energ´ıa. La densidad aumenta considerablemente pero la temperatura no demasiado, debido a que mayor parte de la energ´ıa se emplea en ionizar más part´ıculas en la capa. Con temperaturas bajas y alta densidad, la opacidad aumenta y es posible tener una válvula de Eddington.

Cuando al estrella se expande, la temperatura no desciende demasiado. Esto se debe a la recom-binaci´on de iones con electrones; proceso que produce energ´ıa. Con un cambio de densidad, contrario al de la temperatura, la opacidad disminuye lo que deja fluir la energ´ıa dentro de la capa. Libera la energ´ıa en su interior y vuelve a caer hacia el centro, comprimi´endose y comenzando el ciclo de nuevo. Esto es lo que se conoce como el Mecanismo Kappa.

El calor fluye hacia las áreas de ionización debido a su poco aumento de temperatura. Con esta extra energ´ıa, las zonas de ionización del H y el He son los “pistones” que fomentan las oscilaciones modulando el flujo de energ´ıa entre las capas de las estrella.

2.4.3. Zonas de Ionizaci´

on Parcial

Existen dos zonas de ionizaci´on responsables de las pulsaciones en estrellas como se presenta en las variables cefeidas. La primera se presenta hacia el exterior de la estrella. Con temperaturas en las capas entre (1 − 1,5)x104_{K , se presenta la ionizaci´}_{on de Hidr´}_{ogeno neutro (HI → HII) y la}

primera ionización del Helio (HeI → HeII). Esta zona se denomina la zona de ionización parcial del Hidrógeno. La zona de ionización parcial del Helio, se presenta más profunda en la estrella, donde temperaturas alcanzan los 4x104_{K. Aqu´ı se presenta la segunda ionizaci´}_{on del Helio (HeII → HeIII).}

Existe una relación proporcional entre la temperatura de la estrella y la distancia de las zonas de ionización con respecto al centro. Entre más caliente la estrella, las zonas de ionización se encontraran hacia la superficie de la estrella. Para estrellas calientes (≈ 7500K), las zonas se ubicaran cerca del exterior. En dicho lugar, la densidad en baja, lo que indica que no hay suficiente masa para fomentar las oscilaciones. Estrellas con estas caracter´ısticas hacen parte del borde azul de la franja de inestabi-lidad en el diagrama HR. Para estrellas con T ≈ 6500K, las zonas estarán más hacia el centro. Con mayor densidad, el primer modo fundamental de pulsación se activa. A su vez, para estrellas con T ≈ 5500K, las zonas de ionización estarán mucho más adentro de la estrella. Este aumento de densidad generará el modo fundamental de pulsación. Estrellas más fr´ıas no poseen suficiente energ´ıa como para

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superar el aminoramiento en las oscilaciones. Las oscilaciones de estas estrellas van disminuyendo hasta atenuarse. Estas hacen parte del borde rojo de la franja de inestabilidad.

Debido a la temperatura cambiante, la zona de ionización del Hidrógeno se mueve hacia la superficie cuando la estrella se expande, y hacia el centro cuando se contrae. La zona de ionización del Helio es el primer responsable de fomentar las oscilaciones y de la evolución estelar en la franja de inestabilidad en el diagrama HR.

2.5. El Proyecto OGLE:

El experimento óptico de lentes gravitacionales, OGLE, es un intento por descubrir y analizar ma-teria oscura en el universo por medio del efecto de lentes gravitacionales. Dirigido por el Observatorio Astronómico de la Universidad de Varsovia, uno de sus principales objetivos es centrado en realizar catálogos fotométricos masivos. Centrado en Las Campanas, Chile, sus blancos de observación son principalmente las Nubes de Magallanes y el centro galáctico, debido al número de estrellas que pue-den intervenir como microlentes gravitacionales.

De 1992 a 1995, duró la primera etapa de este experimento: OGLE I. Con un telescopio Swope de 1m y una cámara CCD Ford/Loral 2048X2048, fue el proyecto piloto que intentaba buscar lentes gravitacionales en las Nubes de Magallanes. Entre 1997 y 2000, tomó parte la segunda etapa del proyecto. Para OGLE II, las imgágenes panorámicas fueron posibles con una cámara CCD de un chip se pudieron registrar tomas hasta de 2048x8192. Este proyecto logró 11 campos de observación en la Nube Menor y 21 en la Mayor con un telescopio propio. Para 2001, OGLE III estaba en marcha con una cámara mosaico de 8 chips. Su objetivo era observar eventos de microlentes gravitacionales y descubrir los primeros exoplanetas por este medio. En la actualidad, OGLE IV cuenta con un telescopio de 1.3m y una cámara de 32 chips que, desde el 2010, ha tomado datos enfocándose en incrementar la detección de exoplanetas. As´ı pues, OGLE ha generado el catálogo de estrellas variables más grande del mundo, del cual daremos uso en este trabajo.

(21)

Cap´ıtulo 3

Datos

3.1. Preparaci´

on de Datos

En este trabajo se planean inspeccionar las curvas de luz de variables cefeidas presentes en la muestra de OGLE. Para esto, se hizo uso del catalogo púbico de OGLE II y OGLE IV. Estos catálogos poseen una lista de la magnitudes y el tiempo en que se tomó cada una de ellas, en d´ıas julianos. A su vez, es necesario conocer el per´ıodo de oscilación de la variable. Para esto, se usó el catálogo realizado por Santiago Vargas. Este parámetro será usado para hallar la fase de oscilación y realizar las curvas de luz.

3.2. Distribuci´

on de valores Abbe

Se dará uso al valor Abbe, introducido por John Von Neumann en 1941, para analizar las ca-racter´ısticas que pueda poseer una curva de luz o una serie de tiempo (Mowlavi, 2014). Este valor estad´ıstico cuantifica la suavidad de estos gráficos y brinda una idea de qué tan dispersos pueden estar. Tiene un valor cercano a 1 si hay gran dispersión. Con valores cercanos a 0, se presentan curvas de luz con baja dispersión, con un patrón suave de variabilidad entre medidas sucesivas. El valor Abbe viene dado por:

A = n 2(n − 1) Pi=N −1 i=1 (yi+1− yi) 2 Pi=N i=1 (yi− ¯y)2 (3.1)

donde yi son medidas de magnitud en una serie de tiempo. Tomaremos dos valores Abbe tales que ¯y

será el promedio y la mediana. Este valor aproxima la suavidad de las gráficas comparando la suma de las diferencias cuadradas entre medidas sucesivas con la desviación estándar. En las siguientes gráficas se encuentran distribuciones de valores Abbe para los catálogos de OGLE II y OGLE IV.

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Figura 3.1: Distribuciones de Valores Abbe calculadas con promedios y medianas. Panel de la izquierda muestra la distribución para el catálogo OGLE II. Panel de la derecha muestra la distribución para el catálogo de OGLE IV.

La figura 3.3 muestra dos tipos de distribuciones para los valores Abbe. Para OGLE II se presen-tan dos picos, los cuales se pueden analizar por separado para ver su relación con la dispersión de las curvas de luz. Para OGLE IV, sólo existe un pico. Esto hace ineficiente el análisis propuesto por Mowlavi (Mowlavi, 2014) para observar ruido o suavidad en curvas de luz y series de tiempo. Esto sucede debido a que la muestra de OGLE IV tiene cerca de 10000 datos de estrellas cefeidas en las Nubes de Magallanes lo que hace perder la bimodalidad. OGLE II posee 764 datos de variables que s´ı poseen una clara biomodalidad, ideal para analizar valores de Abbe cercanos y lejanos a 1.

Para seguir con el análisis, se hizo uso de la mediana. Este valor estad´ıstico no se ve afectado en gran cantidad por datos pocos exactos y fuera de lo normal de la muestra, y da una mejor aproximación a lo que ser´ıa el valor t´ıpico del parámetro que analizar.

Figura 3.2: Gr´afica usando la mediana para analizar el valor Abbe. Se estudiar´an las dos distribuciones observadas aqu´ı.

Se dividió la gráfica 3.2 en dos distribuciones diferentes para obtener valores Abbe grandes (cercanos a 1) y pequeños (alejándose de 1), recordando lo propuesto por Mowlavi. Se realizó un análisis de la mediana y desviación estándar para cada distribución. Esto, con el fin de obtener un mejor ajuste para valores Abbe grandes y cortos.

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3.3. FASE DE OSCILACI ´ON 23

Figura 3.3: Distribuciones de Valores Abbe calculadas para cada pico con sus respectivas medias y desviaciones est´andares.

Con el fin de hallar las gráficas con más dispersión, se han analizado las variables cefeidas que tengan valores Abbe ”grande” entre los números arrojados por la media y la desviación. El valor es de 1,1026 ± 0,0771. Este procedimiento ha reducido la muestra de 764 variables cefeidas, a sólo 301 estrellas con valores Abbe entre los rangos mencionados anteriormente, de las cuales se analizaran sus per´ıodos y magnitudes más adelante.

3.3. Fase de Oscilaci´

on

Es necesario obtener la fase de oscilaci´on de las pulsaciones para obtener curvas de luz, ya que estan relacionan graficamente la magnitud con la fase. La fase para una serie de tiempo viene dada por: φ = ti− to P − ti− to P (3.2) con ti un elemento de la serie de tiempo en d´ıas julianos y to el d´ıa juliano de m´ınima magnitud.

La función que esta substrayendo es la función Piso, definida como la parte entera del número en su interior.

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Cap´ıtulo 4

An´

alisis de Datos

4.1. Cambios en Amplitud

Como se ha mencionado anteriormente, el valor Abbe fue calculado para reducir la muestra y hacer m´as efectiva la b´usqueda de variables con ampliudes cambiantes. Se hizo uso de valores Abbe entre el rango (1,0255; 1,1797). Utilizamos datos de variables cefeidas dentro de este rango para realizar las curvas de luz de las 301 posibles candidatas. La figura 4.1 muestra tres curvas de luz de diferentes cefeidas con el valor Abbe anteriormente mensionado.

Figura 4.1: Curvas de Luz de diferentes cefeidas. Curva de luz de la izquierda presenta una linea bien definida y una curvatura suave. La curva del centro y la de la derecha presentan una dispersi´on grande, lo que suguiere cambios de amplitud y per´ıodo.

Como se observa en la anterior figura, inclusive con el estad´ıstico Abbe, algunas curvas de luz presentan poca desviación. As´ı que se ha procedido a analizar los diferentes gráficos de series de tiempo y observar si se presentan cambios de magnitud. Las series de tiempo de las mismas cefeidas se presentan a continuación:

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Figura 4.2: Series de Tiempo para variables cefeidas.

Se procedio a realizar un an´alisis a las series de tiempo y encontrar posibles cambios de magnitud. Visualmente, se compararon los m´aximos y m´ınimos de una serie de tiempo, y como estos cambian a medida que avanzan los d´ıas julianos. Se encontraron tres cefeidas con cambios visibles de magnitud en series de tiempo:

Cefeida 295713 Cefeida 169975 Cefeida 50506

Las curvas de luz y series de timepo de estras estrellas se pueden encontrar en el apéndice. Estas series de tiempo fueron analizadas miticulosamente y se encotraron algunos cambios de magnitud. Para esto se dividio en grupos las series de tiempo y se estudio cada uno en particular. En cada grupo se buscaron los máximos y m´ınimos representativos y se observó su evolución a medida que avanzaban los d´ıas julianos. Para el tiempo de cada grupo, se utilizó la mediana como muestra caracter´ıstica. La tabla a continuación hace un resumen de los cambios de magnitud totales y tiempo en que sucedieron, donde mT es el cambio de magnitud total presente en la estrella y ∆t el tiempo en

que transcurri´o dicho cambio.

ID Cefeida ∆mT ∆t

mag. D´ıas 295713 0.1321 1337.331 169975 0.09 1334.704 50506 0.118 1016.075

Vale recordar que estas variables son del catálogo de OGLE II. Tablas más robustas de cada cambio de magnitud y per´ıodo por grupos en las series de tiempo son encontradas en el apéndice.

4.2. Evoluci´

on Estelar para variables cefeidas

Las variables cefeidas presentan una peculiar evolución dentro de la franja de inestabilidad. Em-piezan su trayecto hacia esta franja cuando salen de la secuencia pricipal. A este momento, la estrella ha perido todo el hidrógeno y empiza a fusionar helio en su interior. Conforme siguen evolucionando por esta rama, dependiendo de sus masas, las variables poseer´ıan diferentes posiciones en el diagra HR. Estrellas con menor tamaño, las cuales poseen menos gas, son acotadas en la parte derecha de la figura 2.3. Variables en esta zona, tendran tipo espectral F-G y temperaturas efectivas de alrededor

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4.3. BUSQUEDA DE CAMBIOS EN PERÍODO 27 de los 7000K. Su evolución hacia el azul es más lenta que sus compañeras gigantes y supergigantes pero es observable un aumento de temperatura efectiva signifivante. Estas estrellas, debido a su masa, presentan el modo fundamental de oscilación. No exsite espacio suficiente en la estrella para que se presenten nodos de pulsación.

Para gigantes y supergigantes, pulsaciónes en primer y segundo armónico estan presentes. Debido a su gran radio, sobreposición de ondas de gas viajando dentro de la estrella es posible, generando as´ı uno o dos nodos de pulsación. Estas varibles empiezan su recorrido en la franja de inestabilidad un poco más en el rojo que sus compañeras más pequeñas debido a su baja temperatura efectiva. A medida que van evolucionando por la franja, sus per´ıodos de pulsación deben aumentar ya que su interior está más actuvo e inestable, y su temperatura aumentrá acercadola más hacia la franja azul. Esto genera una evolución en la rama Horizontal hacia temperaturas efectivas mayores.

Se observó que las variables encontradas con cambios de amplitud de pulsación presentan per´ıodos grandes (300 d´ıas), para variables cefeidas clásicas. Sus pulsaciones disminuyen puesto que ha con-sumido gran parte de su masa y posee material para realizar los destellos de helio, mencionados anteriormente. Esto suguiere que dichas variables estan prontas de salir de la franja de inestabilidad y cesar sus oscilaciones. As´ı pues, parámentros como la temperatura efectiva, la masa de la variable y su per´ıodo de pulsación, entre otros, pueden dar indicio de su posición en el diagrama HR y como se verá la evolución de la estrella.

4.3. Busqueda de Cambios en per´ıodo

Para buscar variables cefeidas con per´ıodos cambiantes, se enfocará la búsqueda a curvas de luz con gran dispersión o ruido. Esto es indicio de posibles cambios en el per´ıodo de oscilación. Analizando una a una las 301 curvas de luz de cefeidas con valores Abbe altos, se dispuso a tener una muestra de posibles varibales que cambien su per´ıodo de oscilación a medida que evolucionan en la franja de inestabilidad. ID ID ID ID ID 172383 172438 177781 187849 187853 189342 195516 118587 11980 124519 130248 134749 136142 137424 295713 146720 145136 156720 156632 157914 169753 169975 337546 50506 52641 59772 64734 94148 99255 177773

La tabla anterior muestra el ID de 30 variables cefeidas de modo fundamental, pertenecientes al catálogo OGLE II. Estas estrellas son candidatas a poseer cambios de per´ıodo de pulsación a medida que avanza su evolución por la franja de inestabilidad. Era objetivo de este trabajo analizar cada grupo de una serie de tiempo y ubicar sus respectivos per´ıodos, para compararlos y observar si se presentan cambios o no. Se utilizar´ıa el programa PERANSO para analizar las series de tiempo y obtener los per´ıodos en ellas. Este trabajo es necesario hacerlo en un futuro.

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Cap´ıtulo 5

Discusi´

on y Conclusiones

En este trabajo se ha realizado un estudio exhaustivo de curvas de luz y series de tiempo. Por medio del valor Abbe, propuesto por Mowlavi (Mowlavi, 2014), se han analizado más de 700 ser´ıes de tiempo para hallar curvas de luz con gran disperisón. La muestra se redujo considerablemente, cerca de la mitad, facilitando as´ı la busqueda de variables pulsantes con cambios de magnitud. Se observó que, aunque el valor Abbe grande suger´ıa alta dispersión, hab´ıan curvas de luz muy suaves y con poco ruido.

Debido a esta ambiguedad del estad´ıstico usado, fue necesario analizar una por una las series de tiempo y observar si se presentaba algun cambio significativo en magnitud. Se estudiaron series de tiempo que tuvieran un notable cambio en los máximos y m´ınimos, y que posean más de 20 datos en el último grupo. Esto último paso, para evitar realizar estudios con pocos datos. De esta manera, se hallaron tres series de tiempo propias de variables que cambien de per´ıodo. Realizando el promedio de los cambios de magnitud totales, se observa que ∆m ≈ 0,1 unidades de magnitud. A su vez, el tiempo que le toma a la variable en disminuir cerca de aproximadamente ≈ 0,1m, esta en el rango de los 1000 d´ıas julianos. Contradictoriamente con lo sugerido en la literatura acerca de per´ıodos de variables cefeidas, las cefeidas estudiadas llegan de pico a pico en aproximadamente ≈ 350J D. per´ıodos mayores a los de una cefeida clásica pero nos suguiere una evolución avanzada en la franja de inestabilidad.

De esta fomra, es preciso mencionar las relaciones entre cambios de amplitud, diferentes per´ıodos y la evolución de la estrella en el diagrama HR. Se encontró que variables oscilando en modo fun-damental son estrellas de menor tamaño, (1 − 3)M , y variables en primer y segundo armónico son gigantes y supergigantes. Es posible dar un aproximado a las temperaturas effectivas de las estrellas conforme al modo de oscilación. Variables en primer y segundo armónico peresentan temperaturas efectivas mayores, del orden de 1000 K, que sus compañeras pulsando en modo fundamental. Como se mecionó anteriormente, estrellas con poca masa poseerán temperaturas efectivas más altas ya que se presentan procesos nucleares y destellos con más frecuencia. Las pulsaciones y temperatura de varia-bles grandes disminuyen porque han quemado más rápido su combustible. Las variables encontradas en ente trabajo, y su análisis de cambios de magnitud en el tiempo a medida que pulsa tambien dan buenos indicios de la evolución estelar. Las tres cefeidas clásicas presentan per´ıodos alrededor de los 300 d´ıas, mayores a los esperados para este tipo de variables. A medida que aumenta el per´ıodo, o la estrella recobra su equilibrio qu´ımico interior y sale de la franja de inestabilidad, o procede a escalar la franja hacia las gigantes rojas. Esto aumenta los per´ıodos de pulsación debido a poco material en una estrella más grande, y a su vez empieza a pulsar en los primeros armónicos.

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Trabajo a Futuro

Es importante mencionar los resultados arrojados por el valor Abbe. Según Mowlavi (2014), Abbe es un buen estad´ıstico para medir la dispersión y ruido de una curva de luz. Como ya se vió en este trabajo, no hay mucha precisión en este valor. Algunas curvas de luz presentaban mucha dispersión, mientras que otras eran suaves y sin ruido. Segun esta experiencia investigativa, se percató de la ne-cesidad de un algoritmo o modelo estad´ıstico con mejor exactitud para calcular dichas desviaciones de gran tamaño. Esto facilitar´ıa y evitar´ıa errores humanos en el futuro al moento de seleccionar curvas de luz para cambios de per´ıodo o de amplitud en una oscilación.

Finalmente, es mandatorio realizar el análisis para los cambios de per´ıodo con el programa PER-NASO. En este trabajo se realizo la separación por grupos de una serie de tiempo, lo cual facilitar´ıa el proceso de buscar cambios de per´ıodo. Esta nueva tarea brindar´ıa información extra de cambios f´ısicos y qu´ımicos dentro de la estrella, como su relación con otros parámetros de la variable como temperatura efectiva, radio o masa de la misma.

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Udalski, A., Wyrzykowski, L., Pietrzy´nski,, G. et al. 2001. AcA . 15, 221

(32)

APENDICE

Figura 5.1: Curvas de Luz y Series de Tiempo para posibles candidatos a cefeidas con cambios de magnitud. Las rectas fueron trazadas con los puntos de mayor y menor magnitud del primer grupo y fueron relacionadas con los puntos reciprocos en el ´ultimo grupo.

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BIBLIOGRAF´IA 33 Tabla de cambios por grupos de de series de tiempo para la cefeida 50506.

G2-G1 G3-G2 G4-G3 ∆mmax [mag] 0.042 -0.041 0.092

∆mmin [mag] -0.012 0.024 -0.037

∆jd [JD] 372.5 358.9 284.7

Tabla de cambios por grupos de de series de tiempo para la cefeida 169975. G2-G1 G3-G2 G4-G3 G5-G4 ∆mmax[mag] -0.016 -0.009 0.001 0.034

∆mmin [mag] -0.002 0.024 -0.033 -0.037

∆jd [JD] 323.2 395.4 340.6 275.6 Tabla de cambios por grupos de de series de tiempo para la cefeida 295713.

G2-G1 G3-G2 G4-G3 G5-G4 ∆mmax[mag] 0.011 0.058 0.004 0.0201

∆mmin [mag] -0.015 0.004 0.001 -0.029

∆jd [d´ıas] 326.3 398.3 336.5 276.1

Los columnas de las tablas representan la diferentecia entre magnitudes m´aximas,∆mmax, y

m´ıni-mas, ∆mmin, de los diferentes grupos en los que se dividi´o la curva de luz de una estrella. ∆jd