Discusión y resolución de sistemas: Sistema compatible indeterminado
Veamos como discutir este sistema 3x3 (3 ecuaciones, 3 incógnitas){
2x5y−3z=153x−2yz =2 11x− y=21Este sistema es compatible indeterminado, pero en realidad todavía no lo sabemos, puesto que es lo que vamos a descubrir discutiéndolo.
Planteamos las matrices A y la ampliada A|b A=
(
3 −22 5 −3111 −1 0
)
A|b=
(
3 −22 5 −3 151 2 11 −1 0 21)
Estudiemos el rango de A. Sabemos que, al menos, es mayor que 2, puesto que hay un menor de orden 2 distinto de 0, concretamente
|
3 −22 5|
=19Pero si tomamos un menor de orden 3, es decir, el determinante de toda la matriz, éste sale 0. Por tanto, r(A)=2. ¡Compúebalo!
Veamos ahora el rango de la matriz ampliada. Ya sabemos que el menor de orden 3 formado por las tres primeras columnas es 0 (pues coincide con la matriz de coeficientes) Debemos buscar ahora los menores de orden 3 que se forman combinando con la cuarta columna, la de términos
independientes. Veamos qué menores son:
Quito la tercera columna y pongo la de términos independientes.
|
3 −22 5 152 11 −1 21|
Quito la segunda columna y pongo la de términos independientes.
|
32 152 −13 11 21 0|
Quito la primera columna y pongo la de términos independientes.
|
152 −2 −15 3 21 −1 0|
Podéis comprobar que todos esos determinantes son 0, lo que nos dice que no puedo encontrar menores de orden 3 distintos de cero en la matriz ampliada, por tanto el rango de A|b vale también 2.
Ahora bien, nos encontramos con que el sistema tiene 3 incógnitas y 2 ecuaciones, por lo que se trata de un sistema compatible indeterminado (tengo menos ecuaciones que incógnitas) por lo que tengo que “quitarme” una de esas incógnitas. Para ello, tomamos un parámetro. Es decir, elegimos una incógnita, la llamamos t, y resolvemos el sistema de ecuaciones restante. Lo hacemos así: Consideramos el sistema inicial
{
2x5y−3z=153x−2yz =2 11x− y=21Nos quitamos de enmedio una ecuación, por ejemplo, la segunda, que tiene todas las incógnitas. Nos queda
{
3 x−2 y + z=211 x− y=21y ahora elegimos una incógnita para pasar de ella, por ejemplo, la y. La pasamos al otro lado, como si fuera un número normal y corriente. Resulta
{
3xz =22y11x=21 yAhora podemos resolver como un sistema normal con dos incógnitas, pero lo vamos a hacer por Cramer, quedando:
Si se expresa de forma matricial: Matriz de coeficientes
(
3 111 0
)
Matriz ampliada(
3 1 2+2 t 11 0 21+t
)
¡¡Recuerda!! Ahora la primera incógnita es x y la segunda z y hemos llamado a y con la letra t. Como determinante de la matriz de coeficientes es
∣
3 111 0
∣
=−11 distinto de cero, aplicamos Cramer x=|
2+2t 1 21+2t 0|
−11 = −(21+t ) −11 z=|
3 2+2t 11 21+2t|
−11 = 41−19 t −11Y la solución queda de la siguiente forma
{
x=21t 11 y=t ;t ∈ℝ z=19t−41 11Es decir, toda la solución está en función de la t, que es lo que hemos tomado como parámetro. Para cualquier valor de t que tomemos, habrá una solución distinta. Así, si hacemos que t sea 1, queda x= (21+1)/11 = 22/11 = 2
t=1 ( o lo que es lo mismo y=1, porque tomamos y como parámetro) z= (19*1 – 41) / 11= -22/11 = -2
Sistemas incompatibles
Su estudio es muy sencillo, basta ver qué sucede con los rangos de las matrices de coeficientes y la ampliada. En el momento en que esos rangos sean distintos, el sistema será incompatible, por lo que, al serlo, no tendrá solución.
Discusión de sistemas de ecuaciones con parámetros.
Discutir un sistema de ecuaciones es determinar, en función de uno o más parámetros, es
comprobar cuando el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución, cuando compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones y cuando es compatible determinado, es decir, tiene una solución. Para ello, nos vamos a basar en el Teorema de Rouché-Frobenius.
Recordemos un poco lo ya visto:
Un sistema de ecuaciones será incompatible cuando el rango de la matriz de coeficientes
sea distinto del rango de la matriz ampliada.
Un sistema de ecuaciones será compatible indeterminado cuando el rango de la matriz de
coeficientes sea igual que el rango de la matriz ampliada y el número de incógnitas sea mayor que dicho rango (Hay más incógnitas que ecuaciones). En tal caso, habrá que tomar uno o más
parámetros. Al número de parámetros que haya que tomar se le llama grados de libertad.
Un sistema de ecuaciones es compatible determinado si el rango de la matriz de
coeficientes coincide con el de la matriz ampliada y con el número de incógnitas.
Veamos un ejemplo de discusión. Sea el sistema:
{
x ycz=6x cyz =0 cx yz=−6En primer lugar, calculamos el determinante de la matriz de coeficientes. Como podemos imaginar, el determinante va a depender de los valores de c.
∣
1 1 c1 c 1 c 1 1∣
=−c33c−2
Ahora, igualamos el determinante a 0 para obtener las soluciones, que son c= -2 y c= 1. ¡Compruébalo!
Por tanto, para c distinto de los valores anteriores, el determinante es distinto de 0, por lo que el rango de la matriz de coeficientes es 3. Como el rango de la matriz ampliada no puede ser mayor que 3, ambos rangos coinciden y el sistema es compatible determinado. Por Cramer, se obtienen las soluciones. Queda para el lector calcularlas.
El determinante anterior es 0 para las raíces del polinomio −c33c−2 , que aplicando
Ruffini son c=1 y c= -2. Estudiamos separadamente cada caso.
Caso A: c=1
Si c=1, sustituyendo tenemos:
{
x y z=6x yz =0 x y z=−6de donde claramente se deduce que el sistema es incompatible, puesto que la suma de las tres incógnitas debería ser, a la vez, 6, 0 y -6. De hecho, el rango de la matriz de coeficientes es 1 y la de la ampliada es 3. ¡Compruébalo!
Caso B: c= -2
Si c=-2, sustituyendo tenemos:
{
x y−2z=6x−2yz=0 −2x yz =−6Sabemos que en este caso el rango de la matriz de coeficientes es 2. Basta tomar el menor
∣
1 11 −2
∣
=−3≠0 para asegurarse.Por otro lado, si tomamos todos los menores de orden 3 de la matriz ampliada obtenemos que su valor es 0, por lo que, puesto que el menor anterior está también contenido en la matriz ampliada, su rango también es 2.
Por tanto, el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la ampliada y es menor al número de incógnitas, por tanto, 3 incógnitas – 2 (rango)=1 parámetro que debemos tomar.
Tomando z como parámetro y eliminando una de las tres ecuaciones, por ejemplo, la tercera, obtenemos el sistema:
{
x y =62tx−2y=−tQue se resuelve igual que el dado en el apartado anterior. Sus soluciones son
