Análisis y Síntesis de Mecanismos

I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o N a c i o n a l

U n i d a d P r o f e s i o n a l I n t e r d i s c i p l i n a r i a e n I n g e n i e r í a y T e c n o l o g í a s A v a n z a d a s

Análisis y Síntesis de

Mecanismos

Índice

1. CONCEPTOS BÁSICOS Y CLASIFICACIÓN DE MECANISMOS

4

1.1.

A

PLICACIÓN DE LOS MECANISMOS A TRAVÉS DE LA HISTORIA

.

4

1.2.

C

ONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES SOBRE MECANISMOS Y MÁQUINAS

.

4

1.3.

E

SLABONES

,

PARES CINEMÁTICOS

,

SU CLASIFICACIÓN

,

ARREGLO Y CONFIGURACIÓN

.

5

1.4.

G

RADOS DE LIBERTAD

,

CRITERIO DE

K

UTZBACH

.

6

1.5.

T

IPOS DE MOVIMIENTO EN UN MECANISMO

.

7

2. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS 2D.

9

2.1.

F

UNDAMENTOS MATEMÁTICOS

.

9

2.2.

R

OTACIONES DE UN CUERPO RÍGIDO

.

18

2.3.

C

INEMÁTICA DE MECANISMOS

20

M

ÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN

25

2.4.

A

NÁLISIS DE

P

OSICIÓN

.

27

2.4.1.

M

ÉTODO

G

RÁFICO

27

2.4.2.

M

ÉTODO

A

NALÍTICO

27

2.4.3.

M

ÉTODO MATRICIAL

29

2.5.

A

NÁLISIS DE

V

ELOCIDAD

.

29

2.5.1.

M

ÉTODO

G

RÁFICO

.

29

2.5.2.

M

ÉTODO

A

NALÍTICO

30

2.5.3.

M

ÉTODO DE

Á

LGEBRA

C

OMPLEJA

31

2.5.4.

M

ÉTODO

M

ATRICIAL

33

2.6.

M

ECANISMO DE BIELA CORREDERA

.

35

2.6.1.

M

ÉTODO

G

RÁFICO

35

2.6.2.

M

ÉTODO

A

NALÍTICO

.

35

2.6.3.

M

ÉTODO

Á

LGEBRA COMPLEJA

.

36

2.6.4.

M

ÉTODO

M

ATRICIAL

.

38

2.7.

M

ECANISMO DE

4

BARRAS

.

39

2.7.1.

M

ÉTODO

M

ATRICIAL

.

39

2.7.2.

M

ÉTODO DE

Á

LGEBRA

C

OMPLEJA

.

40

2.8.

A

CELERACIÓN

43

2.8.1.

M

ÉTODO

G

RÁFICO

43

2.8.2.

M

ÉTODO

A

NALÍTICO

44

2.8.4.

M

ÉTODO

A

NALÍTICO PARA UN MECANISMO DE BIELA CORREDERA

.

47

2.9.

A

NÁLISIS DEL MECANISMO DE COLISA INVERTIDA

.

49

2.9.1.

M

ÉTODO

A

LGEBRA

C

OMPLEJA

49

2.9.2.

M

ÉTODO GRAFICO

.

52

2.9.3.

M

ÉTODO

M

ATRICIAL

.

55

2.9.4.

M

ÉTODO

M

ATRICIAL

.

58

2.10.

A

NÁLISIS DEL MECANISMO DE COLISA

.

61

2.10.2.

M

ÉTODO ANALÍTICO

.

62

2.10.3.

M

ÉTODO DE

Á

LGEBRA COMPLEJA

.

63

2.11.

A

NÁLISIS DEL MECANISMO DE CUATRO BARRAS

.

64

2.11.1.

M

ÉTODO GRÁFICO

64

2.11.2.

M

ÉTODO

A

NALÍTICO

66

2.11.3.

M

ÉTODO DE

Á

LGEBRA COMPLEJA

.

67

3. PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL

69

3.1.

T

RABAJO VIRTUAL

72

3.2.

MODELO

DINAMICO

78

3.2.1.

T

EOREMA DE

S

TEINER

80

3.3.

MODELO

DINÁMICO

(C

OLISA

)

84

3.4.

C

ÁLCULO DE

R

EACCIONES EN

P

ARES

C

INEMÁTICOS

.

88

3.4.1.

D.C.L

89

3.4.2.

V

ECTORES DE

P

OSICIÓN

.

89

SIMULACIÓN DE MATLAB Y WM2D CON RESORTE Y AMORTIGUADOR GRAVEDAD Y

Análisis y Síntesis de Mecanismos

El análisis y la síntesis en el estudio de un mecanismo son dos aspectos completamente distintos, la síntesis es el proceso de idear un patrón o método para lograr un propósito dado. Mientras que el análisis es un conjunto de técnicas que permiten que el diseño de una máquina o mecanismo, ya existente o propuesto, sea examinado en forma crítica con el fin de determinar si es adecuado para el trabajo que desempeñará.

Es preciso tener siempre en mente que aunque la mayor parte de los esfuerzos realizados se dediquen al análisis, la meta real es la síntesis, es decir, el diseño de una máquina o un sistema. El análisis es una simple herramienta y, sin embargo, es tal vital que se usará inevitablemente como uno de los pasos en el proceso de diseño.

1. Conceptos básicos y Clasificación de Mecanismos

Con los continuos avances realizados en el diseño de instrumentos, controles automáticos y equipo automatizado, el estudio de los mecanismos toma un nuevo significado. Al aplicar la teoría de los mecanismos y las máquinas, se comprende las relaciones entre la geometría y los movimientos de las piezas de la máquina o un mecanismo, y las fuerzas que general tales movimientos.

A continuación se proporcionan los conceptos básicos de mecanismos y máquinas para presentar un cuadro completo de los componentes que se van a estudiar.

1.1. Aplicación de los mecanismos a través de la historia.

Las maquinas y los mecanismos han sido ideados por el hombre desde el principio de la historia. Los antiguos egipcios inventaron las maquinas necesarias para efectuar la construcción de las pirámides y monumentos. Aunque la rueda y la polea (rueda en un eje) no fueron conocidos por los egipcios del Antiguo Reino, hicieron uso de la palanca, el plano inclinado (o cuña), y probablemente, del rodillo de tronco. El origen de la rueda y el eje no se conoce con precisión. Su primera aparición parece haber sido en Mesopotamia, por los años 3000 a 4000 a.C.

La ingeniería mecánica tuvo sus inicios en el diseño de máquinas, a medida que las invenciones de la revolución industrial requerían soluciones más complicadas y refinadas para problemas de control de movimientos. James Watt (1736-1819) probablemente merece el titulo de primer cinemático, por su síntesis de un eslabonamiento mecánico de línea recta para guiar los pistones de muy larga carrera en las entonces nuevas máquinas (o motores) de vapor.

Watt fue ciertamente el primero en reconocer el valor de los movimientos del elemento acoplador en el eslabonamiento de cuatro barras. Oliver Evans (1755-1819) un inventor estadounidense, también diseñó un eslabonamiento de línea recta para un motor de vapor.

Euler también surgió la separación del problema de análisis dinámico en lo “geométrico” y lo “mecánico” con el fin de simplificar la determinación de la dinámica de un sistema. Este es el origen de la división actual de la dinámica, en cinemática y cinética, como se describió entes.

1.2. Conceptos y definiciones fundamentales sobre mecanismos y máquinas.

Los términos mecanismo y máquina se emplearán a menudo en el estudio de los mecanismos, por lo que los definiremos a continuación.

Una máquina es una combinación de cuerpos resistentes de tal manera que, por medio de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encauzar para realizar un trabajo acompañado de movimientos determinados.

Un mecanismo es una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo, y cuyo propósito es transformar el movimiento.

Cabe mencionar que una estructura, también es una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones, pero su propósito no es efectuar un trabajo ni transformar el movimiento. La estructura carece de movilidad interna, no tiene movimientos relativos entre sus miembros (mientras que una máquina y un mecanismo los tienen). Por lo anterior podemos decir que una máquina o un mecanismo tiene como propósito aprovechar estos movimientos internos relativos para transmitir potencia o transformar el movimiento.

1.3. Eslabones, pares cinemáticos, su clasificación, arreglo y configuración.

Los pares cinemáticos o juntas, son las forma geométricas mediante las cueles se unen dos miembros de un mecanismo de manera que el movimiento relativo entre ambos sea consistente. Dicho de otra forma son las conexiones o articulaciones entre eslabones.

Si la unión o articulación mediante la cual se conectan dos miembros tiene un contacto superficial tal como una unión de perno, la conexión se llama par inferior. Si la conexión ocurre en un punto o a lo largo de una línea tal como en un rodamiento de bolas o entre dos dientes de engranes en contacto, se le conoce como par superior. Un par que sólo permite rotación relativa es un par de giro o revoluta; uno que solamente permite el deslizamiento es un par deslizante. Un par de giro puede ser inferior o superior, dependiendo de que se emplee un perno o buje o un rodamiento de bolas para la conexión. Un par deslizante es un par inferior como entre un pistón y la pared del cilindro.

Figura 1 Arreglo de eslabones para la conexión de 2 (a), 3 (b) y 4 (c) elementos.

Un eslabón es un cuerpo rígido que tiene dos o más pares, por medio de los cuales se puede conectar a otros elementos y que tiene movimiento relativo entre ellos. Un eslabón puede servir de soporte, de guía de otros eslabones, para transmitir movimiento y/o fuerza, o bien funcionar de las tres formas.

 Eslabón rígido o cinemático. Es el que transmite fuerza por compresión o por tensión indistintamente.

 Eslabón flexible. Es el que transmite fuerza por tensión únicamente (cadena o banda) o bien compresión únicamente (fluido).

Cuando se conectan varios eslabones por medio de pares, el sistema resultante es una cadena cinemática.

 Cadena trabada. Cuando estos eslabones se conectan de forma tal que no exista movimiento se le llama cadena trabada.

 Cadena cerrada. Cuando todos y cada uno de los miembros se uno a otros dos. Los elementos forman un circuito cerrad, el primero y el último están unidos (aunque no siempre en el mismo punto).

 Cadena restringida. Es aquella en la que independientemente del número de ciclos de movimientos efectuados, el movimiento relativo entre sus eslabones es siempre el mismo. Cuando se fija un eslabón en este tipo de cadena, se tiene un mecanismo.

 Cadena abierta. Cuando hay algún miembro no unido a otros dos. Un elemento esta fijo a una base o sistema de referencia y el último está en el extremo.

 Cadena no restringida o cadena libre. Es aquella en la que se tiene posiciones variadas para los eslabones de un instante a otro varía, no tienen un patrón de movimiento fijo.

Figura 2 (a) Cadena abierta. (b) Cadena cerrada

1.4. Grados de libertad, criterio de Kutzbach.

La movilidad o grados de libertad, es el número de parámetros de entrada (casi siempre variables del par) que se deben controlar independientemente, con el fin de llevar al dispositivo a una posición en particular.

Cuando las restricciones de todas las articulaciones se restan del total de grados de libertad de los eslabones no conectados, se encuentra la movilidad resultante del mecanismo conectado.

( ) ̇ ̇ Donde:

es el número total de eslabones (incluyendo el fijo). son los pares cinemáticos de un grado de libertad. son los pares cinemáticos de dos grados de libertad.

La ecuación anterior se conoce como criterio de Kutzbach para la movilidad de un mecanismo plano.

Ejemplo 1.4.1

De acuerdo a la Figura 3 encontrar los grados de libertad del mecanismo utilizando el criterio de Kutzbach:

Figura 3 Mecanismo ejemplo 1.4.1

Se tiene:

(número de eslabones) (número de juntas)

Sustituyendo en la ecuación:

( ) ( )

En este caso el mecanismo no tiene grados de libertad. Por lo cual se considera un eslabonamiento sobre restringido, de acuerdo a la siguiente relación.

: el dispositivo es un mecanismo con m grados de libertad. : el dispositivo es una estructura estáticamente determinada. : el dispositivo es una estructura estáticamente indeterminada.

1.5. Tipos de movimiento en un mecanismo.

En el estudio de los mecanismos es necesario definir los distintos tipos de movimientos producidos por estos mecanismos.

Movimiento plano.

Traslación.

Cuando un cuerpo rígido se mueve en tal forma que la posición de cada línea recta del cuerpo es paralela a todas sus otras posiciones, el cuerpo tiene movimiento de traslación.

 Traslación rectilínea. Todos los puntos del cuerpo se mueven en trayectoria de líneas rectas paralelas (eslabón 4 de la Figura 4).

 Traslación curvilínea. Las trayectorias de los puntos son curvas idénticas paralelas a un plano fijo.

Figura 4 Mecanismo de biela corredera.

Figura 5 Mecanismo de unión de las ruedas de una locomotora.

Rotación.

Si cada punto de un cuerpo rígido que tiene movimiento plano permanece a una distancia constante de un eje fijo que está perpendicular al plano del movimiento, el cuerpo tiene movimiento de rotación. Si el cuerpo se mueve en vaivén en un ángulo dado, se dice que oscila.

Muchos cuerpos tiene un movimiento que es una combinación de rotación y translación.

Movimiento helicoidal.

Cuando un cuerpo rígido se mueve de manera que cada punto del mismo tiene movimiento de rotación alrededor de un eje fijo y al mismo tiempo tiene una traslación paralela al eje, se dice que el cuerpo tiene movimiento helicoidal. Por ejemplo, una tuerca cuando se atornilla en un perno. Movimiento esférico.

Cuando un cuerpo rígido se mueve de tal manera que cada punto del cuerpo tiene movimiento alrededor de un punto fijo en tanto que permanece a una distinta constante del mismo, el cuerpo tiene movimiento esférico.

Movimiento espacial.

Si el cuerpo tiene movimiento de rotación alrededor de tres ejes no paralelos y de traslación en tres direcciones independientes, se dice que tiene un movimiento espacial general.

CLASE #3(27/ENERO/2012)

2. Análisis cinemático de mecanismos 2D.

2.1. Fundamentos matemáticos.

Iniciaremos nuestro estudio con los conceptos básicos del algebra lineal para deducir una transformación lineal ortogonal, cuya matriz asociada tiene determinante positivo.

Esta transformación representa una rotación de un cuerpo rígido, y está definida como:

( )

Donde mapea todo el espacio vectorial de V al espacio V’1_{. Esta transformación la usaremos} para modelar los mecanismos de cadena cinemática abierta y cerrada.

Grupo.

Sea V un conjunto de al menos dos elementos, y sea una operación binaria. Se dice que la pareja ( ) es un grupo, donde es llamada operación aditiva (suma).

Un grupo debe cumplir las siguientes propiedades:

i) ⨁ PROPIEDAD DE CERRADURA

ii)

( ⨁ ) ⨁ ⨁( ) PROPIEDAD ASOCIATIVA

iii) PROPIEDAD DE ELEMENTO NULO

iv) ⨁ PROPIEDAD ELEMENTO INVERSO

v) PROPIEDAD DE CONMUTATIVIDAD La pareja ( ) tendrá estructura de grupo conmutativo (Abeliano).

1_{Siendo Sir William Hamilton (1843) quien inició esta teoría, posteriormente Euler con su} parámetro de rotación.

CLASE #4(30/ENERO/2012)

Ejemplo 2.1.1

Sea *( ) + y llamadas operación aditiva, definida como: Recordando que ( ) en un par ordenado.

*( )⨁( ) ( ) Demuestre que tiene estructura de grupo ( ).

1. Por simple inspección se cumple la propiedad de cerradura.

*( ) ( )+ ( ) ( ) *( ) ( )+ 2. Desarrollando la parte izquierda de la igualdad:

*( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )⨁( ) ( )⨁*( )⨁( )+

Por lo anterior, Se cumple la propiedad asociativa.

3. ( ) ⨁ ( ) Si definimos ( ) *( ) ( )+ ( ) ( ) ( )

Conocemos el elemento nulo aditivo de la suma dentro de ( )

Se cumple la propiedad del elemento nulo aditivo

4. *( ) + ( ) Si definimos ( ) ( )⨁( ) ( ) ( ) ( )

Conocemos el elemento inverso aditivo de la suma dentro de . Se cumple lo mismo para .

( )

5. ( )⨁( )

( ) Por asociatividad de la suma:

( ) ( )⨁( )

Se cumplieron las cinco propiedades, por lo tanto la pareja ( ) es un grupo aditivo Abeliano.

Ejemplo 2.1.2

Sea *( ) + y llamada operación multiplicación, definida como: ( ) ( ) ( )

 Demuestre que tiene estructura de grupo multiplicativo ( ).  Demuestre que la pareja ( ) es un grupo multiplicativo Abeliano.

1. Por simple inspección se cumple la propiedad de cerradura.

* ( ) ( ) + ( ) ( ) * ( ) ( )+ 2. Desarrollando el lado izquierdo de la igualdad de la ecuación.

*( ) ( )+ ( ) ( ) *( ) ( )+ *( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) Desarrollando el lado izquierdo de la ecuación. Metemos el par ordenado z dentro de los paréntesis.

*( ) ( ) ( ) ( ) + ( )

Desarrollando el lado derecho de la ecuación, Extrayendo el par.

( ) *( ) ( )+ ( ) *( )+ ( ) Obtenemos el mismo resultado en ambos lados de la ecuación.

Se cumple la propiedad asociativa.

3. *( ) ( )+ ( ) Nos habla de la existencia del nulo multiplicativo.

Significa que ambos pares permanecen a V, si yo opero este valor por un par de la misma forma tiene que dar el mismo valor.

( ) ( ) Este sistema de ecuaciones es no lineal donde las incógnitas a encontrar son y el sistema es compatible con una única solución. Resolviendo por el método de sustitución:

De la ecuación (1) Sustituimos en (2). 4 5 ( ) ( )

Se cumple la propiedad del elemento nulo multiplicativo.

Existe un par ordenado ( ) que pertenece al espacio V tal que al ser multiplicado por el nulo multiplicativo debe ser el mismo par ordenado.

Comprobamos la existencia del nulo multiplicativo ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) Aplicando la definición de producto

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. *( ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sustituimos en ecuación (1) 4 5 Despejando ( )

En la ecuación (2) sustituimos (3) y nos queda la siguiente expresión para

4

5

4

5

4

5

El nulo aditivo de V no cumple con la propiedad del inverso aditivo. Si fuéramos rigurosos ( ) no es un grupo. Se dice que es un grupo solo por la excepción del nulo aditivo (campo de los reales).

Se cumple la propiedad del elemento inverso aditivo.

Comprobamos tomando ( ) . / ( ) Desarrollamos el lado izquierdo.

4 5 ( ) . / (1) . / (2)

Por simple observación se ve que el único para ordenado (0,0) que inverso multiplicativo.

5. Propiedad de conmutatividad

( ) ( ) ( ) ( ) Desarrollamos ambos lados de la ecuación. ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Se cumple la propiedad conmutativa

De este ejercicio se concluye que: la pareja (V,*) es un grupo multiplicativo excepto por la existencia del inverso aditivo y el nulo multiplicativo.

CLASE #5(1/FEBRERO/2012)

Espacio vectorial.

Sea la terna (V, ) abstracta, se dice que tiene estructura de campo, si cumple con las siguientes propiedades:

I) Sea el par ordenado (V, ), un grupo aditivo abeliano.

II) Sea ( ), un grupo multiplicativo conmutativo (excepto por la existencia del inverso multiplicativo del nulo aditivo).

III) Se cumpla la propiedad de distributividad de la operación * bajo la operación (aditiva).

se cumple que ( )

Ejemplo 2.1.3

( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ( ) ( ) Recordando: *( ) + ( ) ,( )- ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) {( ) ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) {( )⨁ ( ) } ( )

( ) forman un campo que le llamaremos el campo de los números complejos . Es un campo parcialmente incompleto por la ausencia del elemento nulo aditivo.

Quaterniones: ( )

Donde representa la cantidad de rotación (giro). Y representan la cantidad de giro.

Espacio Vectorial

Es un conjunto de al menos dos elementos y sea ⨁ una operación binaria, se dice que la pareja ( ⨁) es un espacio vectorial sobre el campo ( ⨁) si existe:

Llamada multiplicación escalar y se cumplen las siguientes propiedades: I) , y , existe un único .

II) , siendo ̃ el elemento nulo multiplicativo de k y - ̃ el inverso aditivo de ̃, se cumple que ( ̃) , donde es el elemnto nulo de .

III) y , se cumple que ( ) , propiedad distributiva de la operación , bajo la operación aditiva .

IV) y , se cumple que: ( ⨁ ) , propiedad distributiva de la operación , bajo la operación aditiva ⨁.

V) y , se cumple que: ( ) ( ), propiedad asociativa. VI) , se cumple: ̃

Si un espacio vectorial trabaja sobre el campo de los reales entonces se dice que es un espacio vectorial real. Por que el campo es el que define la naturaleza del número y las operaciones. Para modelar mecanismos necesitamos trabajar en .

Los espacios vectoriales descansan sobre un campo siempre y cuando exista una operación multiplicación escalar que elije escalares con pares ordenados.

Ejercicio 2.1.4

Siendo (( ) el campo de los números reales con las operaciones (+) suma y ( ) multiplicación usuales y sea definida como:

( ) ( ) {( ) }

( ) ( ) ( )

Esto tiene que ver con la combinación lineal de los elementos del campo. Se construye un campo sobre las operaciones usuales, contamos con una multiplicación escalar que hace que nuestra vector se haga mas grande o mas pequeño, con una operación que nos permite sumar, y con la operación multiplicación podemos se puede construir una transformación lineal para rotar a los vectores

Comprobar si ( ) es un espacio vectorial.

i) Cerradura

( ) ( ) ( )

ii) Siendo el nulo multiplicativo de k y el inverso aditivo de 1 Se cumple que: ( ) donde es el nulo aditivo de .

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( )

iii) Propiedad de distributivita de la operación multiplicación escalar bajo la operación aditiva ⨁ . ( ⨁ ) ⨁ (( )⨁( )) ( ) ⨁ ( ) ( ) ( ) ⨁ ( ) ( ) ( ) ⨁ ( ) ( )⨁( ) ( ) ⨁ ( ) ( ) ⨁ ( ) ( ) ⨁ ( ) iv) ( ) ⨁ ( ) ( ) ( )⨁ ( ) .( ) ( ) / ( )⨁ ( ) ( )⨁( ) ( )⨁ ( )

( )⨁ ( ) ( )⨁ ( ) v) Asociatividad ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) vi) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )) ( ) ( ) ( )

Como se cumplieron las 6 propiedades, comprobamos que ( ) es un espacio vectorial.

Sub-espacio vectorial.

Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio bajo las operaciones de suma y multiplicación por estar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub-espacio de V.

Se puede decir que el sub-espacio H hereda las operaciones del espacio vectorial padre V.

Figura 7 Representación vectorial de un vector.

Además r es un vector que pertenece a V el cual representa a un eslabón. La pareja ( ) le llamaremos espacio vectorial real.

CLASE #6(3/FEBRERO/2012) Transformación lineal

Sea ( ) y ( ) , dos espacios vectoriales sobre el mismo campo ( ⨁) , se dice que la transformación:

Es lineal, si:

I) ( ⨁ ) , (Principio de Superposición) II) ( ) (Homogeidad)

Definamos a ( ) * + al conjunto de todas las tranformaciones lineales de

Sea también ( ) se dice que el núcleo de T denotado por: * ⨁+

El núcleo de T esta dotado por elementos de u que pertenecen a tal que cuando se le aplica una transformación al elemento u mapea como resultado al elemento nulo.

Y se dice que el rango de T es:

* +

Como macatrónicos debemos de trabajar en la zona lineal

Ejemplos

Base.

Es un conjunto de V que al combinarse generan todos los valores posibles.

Tarea 2

Realizar una práctica en donde se explique grupos a espacios vectoriales en

Mathematica 8.0. Tienen que tener sus propiedades. Se debe de entregar en

Word, con las fórmulas y aparte su código hecho en Mathematica 8.0.

2.2. Rotaciones de un cuerpo rígido.

Rotación.

Sea *( ) +, se propone la transformación lineal con las operaciones de suma y multiplicación usuales.

Además esta definida como:

( ) ( )

Una rotación de cuerpo rígido es una transformación lineal, ortogonal y de determinante positivo (+1).

( ) Definida como:

( )

* +

Donde ( ) , está fijo y es llamado parámetro de rotación. El cual contiene la información de rotación, la cantidad de giro y el eje de giro.

r es un vector que pertenece a .

Cuando el determinante es negativo se presenta una reflexión.

Figura 9 Reflexión de un vector.

La norma es arbitraria siempre y cuando ‖ ‖ Cuando la norma es unitaria hablamos de los parámetros de Euler lo cual nos conviene.

Figura 10

Recordemos que la base de esta definida como:

{ }

*( )( )+

Los elementos de B, son linealmente independientes.

Observando que la dimensión de V=2 debido a que es el número de elementos de la base. La operación

( ) ( ) ( ) La norma de p denotada como:

‖ ‖ 〈 〉

〈 〉 Es una función producto punto (producto interno)

Y , es un vector que apunta coordenadas ( ) r’ r

La función es llamada función producto punto o “interno”.

Ejemplo 2.2.1.

r ∑

Demostrar que ( ) es una rotación a) Lineal

i) ( ⨁ ) ( ) ( )

Desarrollando el lado izquierdo para llegar al lado derecho.

Donde aplicando la definición de transformación y la propiedad distributiva de la operación * bajo la operación (propiedad de campo).

Figura 11 Rotación del vector r.

( ⨁ ) * ( ⨁ )+ * ⨁ + * + * + ( )⨁ ( ) ii) ( ) ( ) ( ) * ( )+ * + ( ) b) Ortogonal ( ) ( ) c) , ( )-

*AGREGAR PRIMER PROGRAMA MATEMATICA

tarea

realizar una practica comprobando las propiedades de grupo hasta espacio \

vectorial. Usando Teoría y Mathematica.

CLASE #7(8/FEBRERO/2012)

2.3. Cinemática de mecanismos

Tendremos la oportunidad de comprobar y comparar resultados constantemente. los vectores y las graficas proporcionan una compresión visual que frecuentemente se oculta al usar métodos numéricos. la situación por métodos gráficos elimina largas soluciones trigonométricas y simplifica grandemente el calculo.

Los cálculos deberán ser usados donde quiera que sean simples y en todos los cálculos son de las soluciones graficas no ofrezcan ventaja. Así todos los problemas llevaran consigo algún trabajo analítico. Uno podría no esforzarse para evitar cálculos, pero más bien deben confinarse hábilmente los dos métodos en provecho del rendimiento y exactitud. El método mas cortó el más simple es normalmente el más exacto.

Para calcular la posición, velocidad y aceleración lineal y angulares en un sistema articulado es necesario determinar el modelo cinemático, que describe la cinemática del mismo.

Antes recordamos nuestro marco teórico.

Sea *( ) + y sea *( ) ( )+ , una base de V de , -

Sea la operación definida como: ( ) ( ) ( ) y la transformación (Rotacional).

( )

La transformación ( ) ( ) _{‖ ‖}0 1 , ( )- (7) Donde ( ) Además; es la operación multiplicación

( ) ( ) ( ) Y la normal:

|| || ∑

Puede tomar cualquier valor arbitrario en este caso: || || (parámetros de Euler)

Gráficamente el vector nace de rotar(aplicar la trasformación)del vector . Y está expresado en componentes cartesianas.

( )

Para encontrar podemos relacionar la función producto interno.

‖ ‖‖ ‖ ( ) ‖ ‖‖ ( )‖ ( ) ‖ ‖ ( ) ( ) ‖ ‖ ( ) ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖

Signo: (+)Rotación, (-)Reflexión.

Metodología de estudio

Para encontrar el modelo cinemático de cualquier mecanismo plantearemos una metodología de estudio basada en 3 pasos.

1) Definición del problema, definición de las bases (sistema de coordenadas) *( )( )+

2) Observar que las bases locales (móviles) son una rotación de la base global (fijo) , -

3) Ecuación de lazo (vectores) relación de solución para el problema definido.

Ejemplo 2.3.1

Encontrar el modelo cinemático del mecanismo: Datos:

.

El modelo cinemático relaciona la posición con los ángulos (parametros de rotación ( ) )

Cinemática Directa

Dados los datos encontrar el vector de posición . Ecuaciones lineales.

Se definen las bases (sistema de coordenadas)de cada eslabón.

{ } Base global fija (inercial) = * + *( ) ( )+

‖ ‖ Cinemática del mecanismo

La base móvil para el eslabón 2 y 3.

{ } Eslabón 2

{ } Eslabón 3

Observar que cada eslabón debe tener asociado un sistema de coordenadas (base).

Figura 13 Base orto normal de un sistema de coordenadas en 2D.

Figura 12 Mecanismo del Ejemplo 2.3.1

Simplificando la notación:

{ } _{{ }} Por la propiedad de ortogonalidad de ( ).

Rotación

Las bases móviles son una rotación de la base global fija.

{ } . { } /

‖ ‖ 2 { } 3

Para cada rotación se necesita un parámetro.

( ) * + ( ) ( ) ( ) { } . { } / ‖ ‖ 2 { } 3 _{( ) ( ) ( ) ( )} ( ) Para los eslabones:

{ }

{ _}

Construccion de vectores

Para la posición de respecto a la base fija se construye la ecuación de lazo:

(1) Es una representación matemática de las restricciones físicas del momento de los eslabones del mecanismo.

⨁

,( ) ( )-⨁ ,( ) ( ) ( )- ( ) ( )

Figura 15 Vector que va de la base fija a la

Separando en componentes ( ) ( ) Siendo y incognitas. + ( ) + ( )

Cinemática inversa

Dados los datos , encontrar el vector de posición . Ecuaciones no lineales.

Plantear un sistema de ecuaciones que determine el ángulo que debe de rotar el eslabón para alcanzar una nueva posición.

Definimos:

( ) ( )

Construir bases con parámetros virtuales:

( ) ( ) ( ) ( ) Caso 1 _{( )} Caso 2 _{( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Vector de posición ( ) ,( ) ( ) ( )-⨁ ,( ) ( ) ( ) ( )- ( ) , ( ) ( )- Ecuación cinemática…… (2)

Figura 16 Representación del movimiento del mecanismo, de un punto A al B.

( ) , ( ) ( )- || ||

|| ||

Sistema de ecuaciones no lineal del tipo polinomial. Un método de solución es el de Newton-Rhapson.

CLASE #8(10/FEBRERO/2012)

Métodos numéricos de solución

Es un método numérico iterativo, que sirve para encontrar una raíz de un a función no lineal. Este método inicia con valores iniciales estimados y consistentes con el sistema de ecuaciones.

En esencia consiste en representar con una recta tangente que pasa por un punto de la ecuación lineal. Esta recta corta al eje de las X dando un valor aproximado de la solución real.

Ejemplo 2.3.2

Se desea conocer la ecuación de una recta que intercepte con la función.

( ̅ ̅ ) ̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅

Valor inicial (se propone un valor inicial del cual partiremos ha realizar las iteraciones) Supongamos que: ̅

̅ ̅ _{( )}( ) , no es solución

Evaluamos para comprobar que no es solución

̅ ̅ ̅̅̅

̅

( )( )

Podemos observar que podríamos repetir la operación n veces y no llegaría a cero, por lo tanto para efecto de nuestro estudio usaremos dos criterios de paro:

1º CRITERIO DE PARO

Determinar un cierto numero de ceros para el cual consideremos que la aproximación es correcta. ( )

2º CRITERIO DE PARO

El tiempo de ejecución de un programa es fundamental en el optimo desempeño de la tarea que deseamos realizar, es por eso que se debe considerar el tiempo disponible para saber cuantas veces nuestro programa será capaz de iterar.

Para encontrar una solución a nuestro problema de cinemática inversa haremos uso de éste método.

Vamos a representar las ecuaciones con un vector

, - y buscamos la solución

( ) donde , - es el vector de incognitas Para encontrar el valor (raíz) de

̅ Donde:

̅ Punto estimado o valor estimado.

Factor de corrección: es el error, la diferencia entre el punto estimado y la solución real. Taylor (Serie truncada de Taylor)- La serie de Taylor linealiza sistemas, expresa un sistema no lineal de manera lineal.

( ) ( ) |̅ |̅ |̅ |̅ Lo escribiremos de manera matricial

[ ( ) ( ) ( ) ( )] _[ ( ̅) ( ̅) ( ̅) ( ̅)] [ ] [ ]

( ̅) Despejamos [ ] ( ̅)

Sustituyendo en ̅ nos queda de la siguiente manera ̅ [ ] ( ̅) ̅ ̅ CLASE #9(13/FEBRERO/2012)

2.4. Análisis de Posición.

Al analizar el movimiento, el problema inicial y más fundamental que se encuentra es definir y manejar los conceptos de posición y desplazamiento. Puesto que se puede considerar que el movimiento es una serie de desplazamientos en el tiempo siguiendo posiciones sucesivas, es importante comprender con exactitud el siguiente significado del termino posición; en otras palabras, es necesario establecer reglas o convenciones para que la definición sea precisa.

La posición de un punto, es el vector que va del origen de un sistema de coordenadas de referencia especificado al punto.

Recordando que la posición de los elementos de un mecanismo se encuentra a través de la ecuación de restricción (Ecuación de Lazo). Hemos analizado el mecanismo mostrado en la Figura 12 usando el método de algebra compleja.

2.4.1. Método Gráfico

Este método consiste en trazar a escala todas las longitudes y ángulos del mecanismo, después se pueden medir en forma directa las medidas correspondientes del dibujo realizado.

2.4.2. Método Analítico

Este método se basa en el uso de números de Euler (1843), y su representación en coordenadas cartesianas.

La posición de un punto p en el plano ( ) se puede representar a través de la siguiente rotación:

Caso práctico

Análisis de posición Método Gráfico

Donde es el vector de posición.

Podemos rescribir lo anterior como:

( ) Analizando la posición del mecanismo siguiente

⁄ ( ) ( ₎

Donde ‖ ‖, es la magnitud de r en su representación _{( )} Definiendo el modelo cinemático del mecanismo. Utilizando la ecuación de lazo

⁄ Donde _y ( ) ( ) ( ) ( ) “Cinemática inversa” ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Caso práctico Análisis de posición Método Analítico

2.4.3. Método matricial

Cinemática Directa.

Componentes de vectores.

( ) ( ) Donde las incógnitas de las ecuaciones anteriores son: y Cinemática Inversa

( ) ( ) ( ) ( ) Donde las incógnitas son y .

2.5. Análisis de Velocidad.

En la Figura 17 un punto en movimiento se observa primero en la ubicación P, definida por el vector de posición R(t). Después de un breve intervalo de tiempo, , se obseva que su posición ha cambiado a P’, definida por ( ). Por definición:

( ) ( )

La velocidad de un punto es una cantidad vectorial igual a la rapidez de cambio de su posición respecto al tiempo. Al igual que los vectores de posición, el vector velocidad se define para un punto específico; “velocidad” no debe aplicar a una recta, sistema de coordenadas, volumen u otra colección de puntos, puesto que la velocidad en cada punto puede diferir.

2.5.1. Método Gráfico.

Consiste en trazar la configuración geométrica del mecanismo respecto a las longitudes y ángulos de los eslabones este debe de estar a escala de tal forma que pueda construir el polígono de velocidades correspondientes. Después tomo medidas de las variables de interés.

Para éste método se siguen lo siguientes pasos:

 Trazar mecanismo a escala.

 Trazar las velocidades lineales a escala.

 Recabar la información cinemática del mecanismo.

Figura 17 Desplazamiento de una partícula.

Caso práctico

Análisis de posición Método Matricial

 Trazar y encontrar en forma grafica la ecuación de lazo de velocidad.

Nota: El método grafico trabaja con magnitudes no con vectores.

Ejemplo 2.5.1

Calcular la velocidad del punto B ( )(Velocidad lineal) Es la ecuación de lazo de velocidad.

Sabemos que y que

( )

Trazo el vector

( )

Trazo el vector

Tomo las medidas de

Se debe de utilizar y respetar la escala apropiada. Una vez trazado el polígono tomamos medida del vector Vo.

2.5.2. Método Analítico

Partir de la posición

_{( )}

Si se deriva (1) con respecto al tiempo obtenemos lo siguiente ( ) ( ) ̇ ̇ _̇ Figura 18 Polígono de velocidades del

mecanismo.

Caso práctico

Análisis de velocidad Método Gráfico

Aplicando lo anterior Figura 18. ( )( ) ⁄ ( ) ⁄ ( )( ( ) ( )) ⁄ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ ₍ ) CLASE #10(15/FEBRERO/2012)

2.5.3. Método de Álgebra Compleja

Deducción de las ecuaciones de velocidad partiendo de r

( ̅)

‖ ‖ * ̅+ ‖ ‖ ( ) , es un parámetro de rotación

con y

Entonces si deseamos saber su velocidad debemos calcular la derivada de

̇

( ) con ̇ y ̇

Entonces podemos rescribir a ̇ como ̇ ( ̇ ̇ ) entonces

Caso práctico

Análisis de velocidad Método Analítico

̇ ( ̇ ̇) ( ) ̇ Entonces para calcular la velocidad nos queda de la siguiente manera

( ̇ ̅)

‖ ‖ * ̇ ̅+ ‖ ‖ {( ̇ ̇ ̇ )̇ ( )} ‖ ‖ {( ̇ ̇ ̇ ̇)} Vamos a manejar un parámetro de velocidad donde incluiremos los valores de respectiva de cada eslabon.

* ̇+

, - { ̇} * + , - Recordando algunos conceptos:

( ) ( ) Entonces la ecuación de velocidad queda de la siguiente manera

, - { ̇} * + ( ̇ ̇ )

( ) Aplicando la ecuación anterior

_⁄ Ecuacion vectorial de velocidad

* + Parametro de velocidad de barra , - * + * + * + * + ⁄ , - * + * ( )+ ⁄ * ( ( )) ( ( ))+ ( ( )) ( ( )) Parametro de velocidad Caso práctico Análisis de velocidad Método Álgebra Compleja

2.5.4. Método Matricial

Recordemos las ecuaciones de posición de cinemática directa ( ) ( ) teniendo como incógnitas y .

y las de cinemática inversa son las siguientes

( ) ( ) ( ) ( ) con como incognitas.

Entonces obtendremos las ecuaciones de velocidad derivando las ecuaciones de posición de cinemática directa.

̇ ( )( ) ̇ ( )( ) Lo escribimos de manera matricial expresado en

[ ̇_{̇ ] [} ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0 1

El jacobiano es una transformación lineal que mapea velocidades angulares (articulares) a

velocidades lineales, varían con respecto a la posición cada posición tiene un jacobiano diferente y además geométricamente hablando es tangente a la trayectoria que genera el mecanismo.

Donde:

( ) _̇

La cinemática directa de velocidad dados como datos encontrar: ̇ ̇ .

La cinemática inversa de velocidad dados como datos las ̇ ̇ (velocidades lineales); ( ); ( )eencontrar .

de manera simplificada queda de la siguiente manera ̇ ( ) ̅

y para la cinemática inversa de velocidad las ecuaciones quedan de la siguiente manera ̅ ( ) _̇

0 1 , ( ) _{- [} ̇ ̇ ]

( )

)-2.6. Mecanismo de biela corredera.

Donde:

2.6.1. Método Gráfico

2.6.1.1.

Análisis de posición.

Se debe medir las magnitudes de forma directa, y establecer los sentidos de los vectores de posición y velocidad, basándonos en la ecuación vectorial de que se trate:

2.6.1.2.

Análisis de Velocidad.

Se calcula la magnitud de la velocidad del punto A. ( )( ) Considerando que es paralela a eje de las x y que

es perpendicular a , podemos terminar de construir el polígono de velocidades y procedemos a tomar medidas.

2.6.2. Método Analítico.

Figura 19 Biela corredera.

2.6.2.1.

Análisis de Posición.

Planteamos la ecuación de lazo .

| | _{( )( ) √} | | _{( ), ( ) ( )- 3636}

2.6.2.2.

Análisis de Velocidad.

_{( )( )( )} √ ( )( ), ( ) ( )- ( ) ( ) √ ( ) , ( )- ( ) CLASE #10(17/FEBRERO/2012)

2.6.3. Método Álgebra compleja.

2.6.3.1.

Análisis de Posición.

Cinemática Directa

Definimos las bases:

( ) ( ) _{( ) ( )} ( ) _{( )}

Figura 21 Análisis de velocidad, método analítico.

( ) ( ) Cinemática Inversa Sea: ( ) ( ) Definir las bases

( ) _{( )}

| | | |*( ) ( )+ | |* + | | | |*( ) ( )+ | |* + Por la ecuación de lazo.

Formando un sistema de ecuaciones.

| |( ) | |( ) | |( ) | |( )

2.6.3.2.

Análisis de Velocidad.

Cinemática Directa , , * + , - , -Donde: | | ( ) | | ( )

2.6.4. Método Matricial.

2.6.4.1.

Análisis de Posición

( ) ( ) ( ) ( )

2.6.4.2.

Análisis de Velocidad

Derivamos las ecuaciones (1) y (2)

̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ [ ̇ ̇] ̇ 0 1 [ ] 0 1 [ ̇ ̇] ̇ [ ] [ ̇ ̇] ̇ 0 1 [ _] [ ] [ ̇ ̇ ̇ ̇] [ ] [ ] [ ]

CLASE #11(20/FEBRERO/2012)

2.7. Mecanismo de 4 barras.

2.7.1. Método Matricial.

2.7.1.1.

Análisis de Posición.

Construimos la ecuación de lazo. ( )

Siendo las incógnitas .

2.7.1.2.

Análisis de Velocidad.

̇ ̇ [ ] 0 1 [ ] Solución: 0 1 [ ] [ ]

Figura 25 Mecanismo de 4 barras.

Figura 26 Mecanismo de 4 barras. El eslabón 1 paralelo al eje de las x.

[ ] [ ]

( )[

] [ ] , - ( ) Teniendo como datos:

Sustituyendo: ( ) tierra fija. ( ) , ( ) ,

2.7.2. Método de Álgebra Compleja.

2.7.2.1.

Análisis de Posición.

Cinemática Directa.

Por la ecuación de lazo:

( ) Construyendo las bases:

( ) ( ) _{( ) ( ) ( ) ( )} ( ) _{( ) ( )} * +

Se separan los componentes

Figura 27 Mecanismo de cuatro barras. Método de álgebra compleja.

Cinemática Inversa.

Definir las bases:

( ) ( ) ( ) ( ) _{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} * +

Por la ecuación de lazo: ( )

Teniendo como incógnitas:

2.7.2.2.

Análisis de Velocidad.

Cinemática Directa

Ecuación de lazo de la velocidad:

Figura 28 Definición de bases para cinemática directa.

Número dual: * + , - ( ) ( ) ( ) Número dual: * + , - ( ) ( ) ( ) Número dual: * + , - ( ) ( ) ( ) Donde las incógnitas son:

CLASE #12(22/FEBRERO/2012)

2.8. Aceleración

En la Figura se observa primero un punto m vil en la ubicación P en donde tiene una velocidad . Después de un breve intervalo de tiempo , se observa que el punto se ha desplazado siguiendo cierta trayectoria hasta la nueva ubicación P’ y que su velocidad ha cambiado a , que puede diferir de tanto en magnitud como en dirección.

La aceleración promedio del punto P durante el intervalo es . La aceleración instantánea del punto P se define como la rapidez de cambio de su velocidad respecto al tiempo, es decir, el límite de la aceleración promedio para el intervalo de

tiempo infinitesimalmente pequeño.

El vector aceleración se define apropiadamente sólo para un punto; no aplicable a una recta, sistema de coordenadas, volumen o cualquier otra colección de puntos.

2.8.1. Método Gráfico

La relación vectorial de la aceleración parte de la ecuación vectorial de la aceleración:

En componentes cartesianas (coordenadas cartesianas X-Y)

Para el movimiento circular en el método gráfico, sabemos que este

tipo de problemas de composición de velocidad:

Figura 30 Sistema de coordenadas normal y tangencial de la aceleración

Figura 31 Vector de aceleración, referenciado en el

Sin embargo, para el tipo de mecanismo de contacto deslizante, se le agrega un termino denominado aceleración de Coriolis2_.

La aceleración de coriolis es una aceleración que nace del movimiento relativo de los eslabones, es decir una fuerza interna que aparece debido a la interacción interna de los eslabones.

Esta aceleración se representa como:

Donde:

Nota: La velocidad relativa se da entre puntos y la diferencia de velocidad se da entre eslabones. Por lo anterior podemos decir que:

Para mecanismos donde no existe contacto deslizante se utiliza [Newton] Para mecanismos que utilizan o tienen contacto deslizante se utiliza [Coriolis]

2.8.2. Método Analítico

Sea: Entonces: ̇ Donde: ̇

2_{Gaspard Gustove de Coriolis. (1792-1843). Ingeniero} francés.Especializado en ingeniería de obras públicas, cursó también los estudios de física y matemática. Fue profesor en la Escuela Politécnica de París y miembro de la Academia de Ciencias. En sus trabajos sobre el movimiento relativo evidenció la influencia del movimiento rotatorio de la Tierra.

Figura 33 Componentes normal y tangencial en una

trayectoria S.

Figura 32 Componentes radial ( ) y tangencial ( ) de la aceleración en un movimiento

En componentes cartesianas X-Y:

̇( ) ( ) ̇ ̇

Reacomodando en una matriz tenemos:

[ ] 0 1 0 ̇ 1 Matriz de rotación: ( ) _{‖ ‖} 0 1 Despejando: 0 ̇ 1 0 1 [ ]

Ahora derivamos respecto al tiempo: ̇

̈ ( ̈ ) _{( ̇)}

Donde existen dos componentes del “vector” de aceleración

̈ Y además

̇

Figura 34 Componentes de aceleración de Coriolis en una trayectoria S.

Para comprender lo anterior:

( ̈ )( ) ( ̇)( ) Reacomodando:

( ̈ )( ) ( ̇)( )

( ̈ ) ( ̇) ,( ̈ ) ( ̇) - Además del mecanismo no es constante.

CLASE #13(24/FEBRERO/2012)

2.8.3. Método analítico contacto deslizante.

Recordando que un mecanismo con contacto deslizante, la ecuación de aceleración total es:

( ̈ ) _{( ̇)} Observando que ̈ ̇ son medidas en el marco ( ₎

Mientras que son medidas desde (x,y), es decir, inducen la

velocidad en ̈ ̇ en el eslab n “A”

2.8.4. Método Analítico para un mecanismo de biela corredera.

Como caso particular se plantearon las ecuaciones de aceleración sin pérdida de generalidad:

Análisis de Posición. , - Ec. De restricción de cinemática Análisis de Velocidad Si , - , - Vector , - [ ̇] [ ̇ ̇] incógnitas [ ̈] , ̈ ̈- Figura 36 Ejemplo: mecanismo de una barra y

una corredera

, , -[ ̇] ̇ [ ] , - Comprobación: , - [ ] , - [ ̇ ̇] ̇ 0 1 [ ] , - 0 1 [ ̇ ̇] ̇ , - [ ̇] ̇ , -

Construyendo la ecuación de velocidad:

0 1 [ ̇ ̇] ̇ [ ] *Resolviendo Analíticamente De [ ]

Análisis de Aceleración

Caso 1 , , Caso 2 , ( )- Para el caso 2 Calculando la aceleración [ ̈] ̈, - ̇ , - [ ̈] ̈, - ̇ , -

CLASE #18(5/MARZO/2012)

2.9. Análisis del mecanismo de colisa invertida.

Figura 38 Mecanismo de colisa invertida.

2.9.1. Método Algebra Compleja

2.9.1.1.

Análisis de posición.

, - _{, -} Sean las bases

( ) _{( )}

2.9.1.2.

Análisis de velocidad.

* + * +

, , -

2.9.1.3.

Análisis de aceleración.

* + * + , , - Respondiendo: ̇ ̇ ̇ ̇ ̈ ̇ ̈ ̈ ̈ Representando en forma matricial se tiene:

6 _̇̇7 0 1 [ ̇ ̈ ]

Ejemplo 2.9.1.

Plantear la ecuación de aceleración para un mecanismo de contacto deslizante:

Datos:

Donde las incógnitas son: ̇ ̈ Calculamos sistema ( ) * + , -

Posición debe ser consistente (las variables y parámetros están relacionadas) | | | | Donde: * + , - Y además: | | ̇ | | ( ) | | _| | ̇ = ̇ | ,

CLASE #19(6/MARZO/2012) Datos:

2.9.2. Método

grafico.

2.9.2.1.

Análisis de posición.

√ _{( )}

2.9.2.2.

Análisis de velocidad.

Para este tipo de mecanismo se utilizara la siguiente ecuación de lazo:

Hacemos un análisis de lo que conocemos y lo que no (Dirección y magnitud de cada eslabón). Trazamos el vector de velocidad y tomamos medidas.

( )( )

2.9.2.3.

Análisis de aceleración

Para la aceleración aplicamos una metodología igual a la de la velocidad.

Sabemos que la ecuación Vectorial de la Aceleración es:

Incógnitas: ̈ Ecuación de lazo en la que nos

basaremos, ya que conocemos la información de

Para el metodo gráfico necesitamos construir el polígono de aceleraciones, pero primero necesitamos conocer la aceleración total.

Es importante saber, que cuando representamos la aceleración total en dos componentes (normal y tangencial), cada uno define un cambio.

Cambio de dirección de la velocidad (componente normal de la

aceleración).

es el cambio de magnitud de la

Figura 43 Componente radial y tangencial de la Figura 42 Polígono de aceleraciones.

velocidad (componente tangencial de la aceleración.

Por lo tanto:

( )( )

( ) ( )

No podemos determinarla porque es una incognita.

Conocemos la aceleración de Coriolis3 _{ya que esta siempre va a estar en términos de su velocidad} angular. Si ésta varia entonces existe una aceleración de Coriolis. La aceleración de Coriolis no es constante.

Tomando medidas de los vectores obtenidos: Nota: La aceleración de Coriolis tiene un valor máximo (esto ocurre cuando el termino diferencia de velocidades es máximo) y mínimo. Al momento de diseñar un mecanismo tenemos que tomar en cuenta su valor máximo.

3

Gaspard Gustove de Coriolis. (1792-1843).

_{Ingeniero francés. Especializado en ingeniería de} obras públicas, cursó también los estudios de física y matemática. Fue profesor en la Escuela Politécnica de París y miembro de la Academia de Ciencias. En sus trabajos sobre el movimiento relativo evidenció la influencia del movimiento rotatorio de la Tierra.

Figura 44 Polígono de aceleraciones del lazo I, incluyendo los componentes

2.9.3. Método Matricial.

Para este método vamos a analizar dos casos. Caso I (derivar función respecto al tiempo)

, - , ,

Caso II

, ̈- ̈, - ̇ , f compuesta por dos funciones.

, - , - Es importante definir los vectores.

Ecuación de Lazo , - ( ) No podemos resolver Velocidad y Aceleración si antes no resolvemos Posición.

2.9.3.1.

Análisis de velocidad.

Partimos de la siguiente ecuación:

, -[ ̇] ̇ , -

̇ [ ̇ ̇ ] ̈ [ ̈ ̈ ] Construimos el Jacobiano4 , - [ ]

Jacobiano=Restricción Geométrica (trayectorias).

El Jacobiano es una trasformación lineal que varia con respecto a la posición, es decir, no es constante. Relaciona la velocidad física de una partícula que se mueve a través de una trayectoria con la velocidad generalizada y plantea la restricción geométrica del movimiento de una partícula, le quita grados de libertad.

Velocidad Generalizada ̇( ) , - [ ] [ ] [ ] 0 _{1 ,} - [ ̇ ̇ ̇ ̇ ] [ ] 0 ₁

Sacamos el determinante del Jacobiano:

, - Y su inversa: , - _[ ] 0 1

4

_{Karl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851).}

_{Matemático Alemán. Cursó estudios en la Universidad}

de Berlin. Obtuvo su Doctorado en 1825 y ejerció como profesor de matemáticas en la Universidad

de Königsberg (hoy Kaliningrado, Rusia). Estableció con Abel la Teoría de las funciones Elípticas.

Demostró la solución de integrales elípticas mediante la aplicación de las funciones, series

exponenciales introducidas por él mismo. Desarrolló los determinantes funcionales, que más tarde

fueron llamados jacobianos, y las ecuaciones diferenciales. En 1834 probó que si una función

univaluada de una variable es doblemente periódica entonces la razón de los periodos es imaginaria.

Figura 46 Dirección tangencial de la velocidad que

tiene una partícula a lo largo de la trayectoria S.

, - [ ] , - ( ) , - ( )

2.9.3.2.

Análisis de aceleración.

[ ̈ ] ̈ [ ( _{( )] ̇} ) , ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ̈ ] ̈ [ ( ₍ ) _)] , - ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )

CLASE #20(8/MARZO/2012)

2.9.4. Método Matricial.

Caso II Encontrados Coeficientes de velocidad ( ) ̇ ̇ ( ) ( ) ̇ ̇ ( ) Calculamos la velocidad: ̇ ̇ ̇ ̇

2.9.4.1.

Análisis de velocidad.

, ̈- , - , (Ecuación de la aceleración) , - , Podemos reescribir la ecuación de la aceleración como:

, ̈- ̈, - , - Calculamos: ( ) 0 ( )1 variable ( ) [ ( ) ] ( ) Simplificando:

Figura 47 Definición de velocidades y aceleraciones angulares en el mecanismo de Colisa invertida

( ) , - ( ) , ( ) , - ( )- ( ) ( ) , - ( ) ( ) ( ) , - ( ) ( ) ( )

Pasamos a la forma matricial:

[ ̈] ̈ [ ( ₍ ) _)] [

( ) , - ( ) ]

Y de esta forma sacamos la aceleración. Para calcular la aceleración del punto C:

2.9.4.2.

Análisis de posición

| | | | Nota: Recordemos que el método matricial trabaja con componentes. Ecuación de lazo II ( ) | | | | | | | |