Sistema por Unidad – PU
Ejemplos
1. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 zonas, dibuje el diagrama de reactancias en p.u.. Seleccione los valores del generador de la zona 1 como los valores base del sistema.
Los datos son los siguientes:
Generador: 30 MVA, 13.8 kV, 3Ø, X” = 15 %
Motor No. 1: 20 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %
Motor No. 2: 10 MVA, 12.5 kV, 3Ø, X” = 20 %
Transformador T1 (3Ø): 35 MVA, 13.2 Δ / 115 Y kV, X = 10 %
Transformador T2 (3 - 1 Ø): @ 10 MVA, 12.5 / 67 kV, X = 10 %
Línea de Transmisión: 80 Ω /fase Solución:
Empezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. El ejemplo indica que la base son los datos del generador que se encuentra en la zona 1, entonces:
MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 13.8 kV
De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 13.8 kV. Las demás bases de voltaje son
calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones. Zona 2: al no V al no V kV kV prim zona base zona base min min sec 2 1 ó al no V al no V kV
kVbasezona basezona pri
min min
sec 1 2
kV kVbasezona 120.23 2 . 13 115 8 . 13 2 Zona 3: al no V al no V kV kV prim zona base zona base min min sec 2 3 kV kVbasezona 12.958 67 3 5 . 12 23 . 120 3 referido a través de T2
Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en
estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la conexión en delta en ese punto.
Cálculo de las impedancias en p.u.: Generador No.1: 15 . 0 1 g X
(No requiere conversión porque esta zona es la base del sistema) Motor No.1: 1 2 2 2 1 1 base base base base actual M MVA MVA kV kV X X 2795 . 0 20 30 95 . 12 5 . 12 2 . 0 2 1 M X Motor No. 2: 1 2 2 2 1 2 base base base base actual M MVA MVA kV kV X X 5590 . 0 10 30 95 . 12 5 . 12 2 . 0 2 2 M X
En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:
1 2 2 2 1 1 base base base base actual pu T MVA MVA kV kV X X 0784 . 0 35 30 95 . 12 5 . 12 1 . 0 2 2 pu X Transformador T2 1 2 2 2 1 2 base base base base actual pu T MVA MVA kV kV X X 0932 . 0 30 30 95 . 12 5 . 12 1 . 0 2 2 T X Para la línea de Tx: 1 2 2 2 ) ( base base base MVA kV Z 481.82 30 ) 23 . 120 ( 2 2 base Z base pu octual pu Tx X X X 1660 . 0 82 . 481 80 Tx X Diagrama de impedancias:
2. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, tomando en consideración una potencia base de 100 MVA y un voltaje base de 110 kV, transforme el sistema en un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.
Generador 100 MVA 22 kV X=90% Transformador 100 MVA 22:110 kV X=10% Lí nea de transmisión Z = j0.8403 pu @ 120 kV y 50 MVA Carga datos de operación: V=110 kV S=10 MVA fp = 1 T ransformador 100 MVA 120:24 kV X=12.6% Generador 80 MVA 22 kV X=1.48 pu Lí nea de transmisión Z = j60.5 ohms Lí nea de transmisión X = 60.5 ohms Solución
Para realizar la solución de pasar al sistema p. u. se debe de realizar los siguientes pasos: 1. Definir en primera instancia la potencia base y los voltajes base por zona, los cuales
normalmente son definidas por los transformadores.
2. Convertir las impedancias a p. u. Si las bases de los equipos no son las del sistema, la impedancias primero se deben pasar a ohmios (Ω) y evaluar el nuevo valor de la impedancia en p. u.
3. Dibujar el diagrama de impedancias en p. u. Para este caso, se ve claramente tres zonas:
1. La zona del lado del generador 1.
2. La zona de transmisión, donde se encuentran las líneas y cargas. 3. La zona del lado del generador 2.
22:110 kV 120:24 kV
Sbase = 100 MVA Vbase = 110 kV
Cálculo de Voltaje Base
Zona 2: Referencia del sistema S base = 100 MVA
V base = 110 kV
Zona 1: Lado del generador 1 S base = 100 MVA V base = ? al no V al no V kV kV prim zona base zona
base 1 2 sec minmin
kV kVbasezona 22 110 22 110 1
Zona 3: Lado del generador 2 S base = 100 MVA V base = ? al no V al no V kV kV prim zona base zona
base 3 2 sec minmin
kV kVbasezona 22 120 24 110 3
Cálculo de impedancias y reactancias
Zona 1: Lado del generador 1
Estos cálculos no son estrictamente necesarios porque:
• la base del generador corresponde a la base del sistema • la base del transformador corresponde a la base del sistema
Generador sistema base generador sistema base generador base placa pu g Z Z Z Z X X * 1 sistema placa pu g pu MVA kV MVA kV X 0.9 100 ) 22 ( 100 ) 22 ( * 9 . 0 2 2 1 Transformador
sistema base transf sistema base transf base placa pu t Z Z Z Z X X * 1 sistema placa pu t pu MVA kV MVA kV X 0.1 100 ) 22 ( 100 ) 22 ( * 1 . 0 2 2 1
Zona 2: Área de transmisión: líneas y cargas Línea superior sistema base línea sistema base línea base placa pu L L Z Z Z Z Z X j Z * sistema placa pu L L
j
pu
MVA
kV
j
MVA
kV
MVA
kV
Z
X
j
Z
2
100
)
110
(
242
100
)
110
(
50
)
120
(
*
2 2 2
Líneas inferiores sistema base línea L L Z Z X j Z sistema L L j pu MVA kV j X j Z 0.5 100 ) 110 ( 5 . 60 2 Línea de la carga sistema base a c L L Z Z X j Z arg sistema L L pu MVA kV MVA kV X j Z 10 0 100 ) 110 ( 0 10 ) 110 ( 2 2Zona 3: Lado del generador 2 Generador sistema base generador sistema base generador base placa pu g Z Z Z Z X X * 2 sistema placa pu g pu MVA kV MVA kV X 1.85 100 ) 22 ( 80 ) 22 ( * 48 . 1 2 2 2 Transformador sistema base transf sistema base transf base placa pu t Z Z Z Z X X * 2 sistema placa pu t pu MVA kV MVA kV X 0.15 100 ) 22 ( 100 ) 24 ( * 126 . 0 2 2 2
Lo anterior nos da el siguiente diagrama de impedancias en por unidad de una base común:
+ V1= 1 p.u. -zg1=j0.9 z13=j2 p.u. z12=j0.5 p.u. z23=j0.5 p.u. z2=10 p.u. zt2=j0.15 + V3= -j1 p.u. -1 3 2 zg2=j1.85 zt1=j0.1 4 5
3. Para el siguiente sistema de transmisión de 2 barras, tomando en consideración una potencia base de 30 MVA y un voltaje base de 33 kV, transforme el sistema en un diagrama unifilar de impedancias (reactancias) en por unidad.
Los datos del sistema eléctrico se enumeran a continuación:
Generador No. 1: 30 MVA, 10.5 kV, X” = 44%, Xn = 1.5 Ω
Generador No. 2: 15 MVA, 6.6 kV, X” = 41%, Xn = 2.5 Ω
Generador No. 3: 25 MVA, 6.6 kV, X” = 32%, Xn = 2.5 Ω
Transformador T1 (3Ø): 15 MVA, 33/11 kV, X = 21%
Transformador T2 (3 - 1 Ø): 5 MVA, 20/6.8 kV, X = 0.24%
Línea de Transmisión: 20.5 Ω /fase
Carga A: 15 MW. 11 kV, factor de potencia de 0.9 en atraso
Carga B: 40 MW, 6.6 kV, factor de potencia de 0.85 en atraso.
En el caso del transformador T2 se trata de un banco de tres unidades monofásicas
conectadas como se muestra en el diagrama; por supuesto en este caso, la potencia nominal corresponde a cada unidad y la relación de transformación igualmente. Las reactancias denotadas por Xn , son las reactancias de aterrizado de los generadores. En ocasiones estos
valores están especificados, al igual que las reactancias propias de la máquina, en forma normalizada, ya sea en % ó en pu., en cuyo caso debemos entender que las bases de su normalización son los datos nominales del equipo. En el presente ejemplo, se definen en Ω. Solución:
Para el análisis de este caso se divide el sistema en tres zonas como se indica en la siguiente figura, cada una con la característica de tener el mismo voltaje:
E mpezamos definiendo las bases de voltajes en todo el sistema. Supongamos que se decide usar como bases de sistema: MVAbase = 30 MVA, y kVbase = 33 kV en la zona de
transmisión.
De acuerdo a lo anterior tenemos que kVbase 1 = 33 kV, dado que el voltaje base coincide con
el voltaje nominal. Las demás bases de voltaje son calculadas tomando en cuenta la relación de transformación de los transformadores y sus conexiones.
Para las demás bases se tiene: Zona 1: al no V al no V kV kV prim zona base zona
base 1 2 sec minmin
kV kVbasezona 11 33 11 33 1 referido a través de T1 Zona 3: al no V al no V kV kV prim zona base zona
base 3 2 sec minmin
kV kVbasezona 6.48 3 20 8 . 6 33 3 referido a través de T2
Esta última base merece un comentario: los valores de voltaje indicados en la razón de transformación se deben a que T2 es un banco de unidades monofásicas, conectado en
estrella-delta y en los datos que se dieron anteriormente, la relación de transformación se refiere a la relación de transformación de cada unidad, así como la potencia, es la potencia de cada unidad, o sea monofásica. Además, tomando en cuenta la conexión de las unidades del banco, tenemos que para el lado de alto voltaje se requiere el factor de 3 , debido a la conexión en delta en ese punto.
Una vez calculadas las bases de voltajes en todas las zonas, las bases restantes, o sea de corrientes e impedancias, se calcularán únicamente si se requieren. En el presente ejemplo, únicamente incluiremos en la normalización del parámetro de la línea de transmisión, la impedancia base de la zona correspondiente (zona 2).
Con esto la siguiente tarea consiste en cambiar de base los parámetros de las componentes del sistema eléctrico, cuyos valores estén especificados en forma normalizada, lo cual es lo más comúnmente encontrado en los datos de placas de los equipos. En los datos proporcionados previamente, se especifican los datos de generadores y transformadores normalizados, sobre las bases de valores nominales de las variables eléctricas de estos equipos. Como no coinciden en general con las bases del sistema que seleccionamos, deberemos cambiarlos de base y referirlos por tanto, a las bases de sistema. Lo anterior se muestra a continuación. Generador No.1: sistema base generador sistema base generador base placa pu g Z Z Z Z X X * 1 pu MVA kV MVA kV X placa pu g 0.40 30 ) 11 ( 30 ) 5 . 10 ( * 44 . 0 2 2 1
Mientras que la reactancia de aterrizamiento es: sistema base n n Z X X 1 1 pu j MVA kV j Xn 0.37 30 ) 11 ( 5 . 1 2 1 Generador No.2: sistema base generador sistema base generador base placa pu g Z Z Z Z X X * 2 pu MVA kV MVA kV X placa pu g 0.85 30 ) 48 . 6 ( 15 ) 6 . 6 ( * 41 . 0 2 2 2
Mientras que la reactancia de neutro es: sistema base n n Z X X 2 2
pu j MVA kV j Xn 1.79 30 ) 48 . 6 ( 5 . 2 2 2 Generador No.3: sistema base generador sistema base generador base placa pu g Z Z Z Z X X * 3 pu MVA kV MVA kV X placa pu g 0.40 30 ) 48 . 6 ( 25 ) 6 . 6 ( * 32 . 0 2 2 3
Mientras que la reactancia de aterrizamiento es: sistema base n n Z X X 3 3 sistema n j pu MVA kV j X 1.79 30 ) 48 . 6 ( 5 . 2 2 3
En el caso de los transformadores, el cambio de base será como sigue:
Transformador T1 sistema base transf sistema base transf base placa pu t
Z
Z
Z
Z
X
X
*
1 pu MVA kV MVA kV X placa pu t 0.42 30 ) 11 ( 15 ) 11 ( * 21 . 0 2 2 1 Transformador T2 sistema base transf sistema base transf base placa pu t Z Z Z Z X X * 2pu MVA kV MVA kV X placa pu t 0.53 30 ) 33 ( 15 ) 3 20 ( * 24 . 0 2 2 2
Es importante indicar que en la relación de transformación podemos usar indistintamente la relación de cualquier lado del transformador, dado que 6.48
8 . 6 33 3 20
En el caso de la línea de transmisión, el valor del parámetro está en ohmios, por lo que en lugar de cambio de base, efectuamos su normalización directamente
sistema base a c LT Z Z X arg pu MVA kV XLT 0.56 30 ) 33 ( 5 . 20 2
4. Para el siguiente sistema de transmisión de 3 barras, sin cargas, las reactancias de las dos secciones de líneas de transmisión se muestran en el siguiente diagrama. Los transformadores y generadores tienen los siguientes valores nominales:
Generador No. 1: 20 MVA, 13.8 kV, Xd” = 0.20 por unidad
Generador No. 2: 30 MVA, 18 kV, Xd” = 0.20 por unidad
Generador No. 3: 30 MVA, 20 kV, Xd” = 0.20 por unidad
Transformador T1 (3Ø): 25 MVA, 220 Y/13.8 Δ kV, X = 21%
Transformador T2 (3 - 1 Ø): 10 MVA, 127/18 kV, X = 10 %
Transformador T3 (3Ø): 35 MVA, 220 Y/22 Y kV, X = 21%
Dibuje el diagrama de impedancias con todas las reactancias señaladas en por unidad y con las letras para indicar los puntos que corresponde al diagrama unifilar. Seleccione una base de 50 MVA y 13.8 kV en el circuito del generador 1.
Solución
Cálculo de Voltaje Base
Zona del generador 1: S base = 50 MVA V base = 13.8 kV
Zona de la línea de transmisión de B a C y de C a E S base = 50 MVA V base = ? al no V al no V kV kV prim zona base zona
base 1 2 sec minmin
ó
al
no
V
al
no
V
kV
kV
basezona basezona primmin
min
sec 1 2 kV kVbasezona 220 8 . 13 220 8 . 13 2 Zona del generador 2 S base = 50 MVA V base = ? al no V al no V kV kV prim zona base zona
base 3 2 sec minmin
al no V al no V kV kV prim línea zona base generador zona base min min sec ) ( 2 ) 2 ( 3 kV
kVbasezona generador 18
127 3 18 220 ) 2 ( 3
Zona del generador 3 S base = 50 MVA V base = ? al no V al no V kV kV prim zona base zona base min min sec 2 3 al no V al no V kV kV prim línea zona base generador zona base min min sec ) ( 2 ) 3 ( 3
kV
kVbasezona generador 22
220 22 220 ) 3 ( 3
Cálculo de impedancias y reactancias
Lado del generador 1
Para calcular la impedancia del generador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del generador, la cual es de 20 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, 13.8 kV. ) ( 1 ) ( 2 2 2 1 1 generador del base sistem a del base base base pu g MVA MVA kV kV X X unidad por Xg 0.50 20 50 2 . 0 1
Lado del generador 2
En el caso del generador 2, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del generador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2.
) ( 1 ) ( 2 2 2 1 2 generador del base sistem a del base base base pu g MVA MVA kV kV X X generador del base sistem a del base pu g MVA MVA X X 2 unidad por Xg 0.33 30 50 2 . 0 2
Lado del generador 3
En el caso del generador 3, la base del sistema, 50 MVA no es la misma que la potencia del generador 3, el cual es de 30 MVA y en este caso los voltajes son diferentes porque el voltaje del generador 3 es de 20 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del generador 3 fue de 22 kV. ) ( 1 ) ( 2 2 2 1 3 generador del base sistem a del base base base pu g MVA MVA kV kV X X unidad por X Xg pu 0.275 30 50 22 20 2 3
Para el transformador T1
Para calcular la impedancia del transformador 1, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador, la cual es de 25 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, 13.8 kV. ) ( 1 ) ( 2 2 2 1 1 generador del base sistem a del base base base pu T MVA MVA kV kV X X unidad por XT 0.20 25 50 01 . 0 1
Lado del transformador T2
En el caso del transformador 2, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador 2, el cual es de 30 MVA, pero en el caso del voltaje base si es igual, porque se había calculado anteriormente y se encontró que es 18 kV, mismo voltaje del generador 2. ) ( 1 ) ( 2 2 2 1 2 generador del base sistem a del base base base pu g MVA MVA kV kV X X generador del base sistem a del base pu g MVA MVA X X 2 unidad por Xg 0.167 30 50 01 . 0 2
Lado del transformador T3
En el caso del transformador 3, la base del sistema 50 MVA no es la misma que la potencia del transformador 3, el cual es de 35 MVA y en este caso los voltajes son iguales porque el voltaje del transformador 3 es de 22 kV y el voltaje calculado anteriormente para la zona del transformador 3 fue de 22 kV.
) ( 1 ) ( 2 2 2 1 3 generador del base sistem a del base base base pu g MVA MVA kV kV X X unidad por Xg 0.143 35 50 2 22 20 01 . 0 2 3 Líneas de transmisión base base base MVA kV Z 2 ) (
968 50 ) 220 ( 2 base Z
Para la línea de Tx de j 80 Ω se tiene:
sistem a base línea L L Z Z X j Z unidad por ZL 0.0826 968 80
Para la línea de Tx de j 100 Ω se tiene:
sistem a base línea L L Z Z X j Z unidad por ZL 0.1033 968 100