PROBLEMAS PROPUESTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.
1. HaHalllalar r la la llonongigittud ud mímíninimma, a, L, L, de de ununa a cocolulummna na cocon n exexttreremmoo articulado, !ue tenga un "rea tran#eral $cm %or &,$ cm ' %ara la articulado, !ue tenga un "rea tran#eral $cm %or &,$ cm ' %ara la cu
cual al e e a%a%lili!u!ue e la la ()()rmrmulula a de de EuEuleler r %a%ara ra cocolulumnmna a elel""titicaca.. Su%)ngae !ue E * +
1-Su%)ngae !ue E * + 1-$$ MPa ' !ue el límite de %ro%orcionalidad MPa ' !ue el límite de %ro%orcionalidad e +,
1-e +, 1-++ MPa. El momento de inercia mínimo de la ecci)n MPa. El momento de inercia mínimo de la ecci)n tran#eral e /
tran#eral e /minmin ** 7,57,5 x x55
3 3 12 12 * &,1+$ cm * &,1+$ cm 0 0.. En conecuencia. En conecuencia.
rr==rr minmin ¿¿
√√
I min I min A A == h h √ √ 1212==√√
78,125 78,125 7,55 7,55 == 5 5 √ √ 1212==11 LuLuegego, o, ututilili2i2anando do la la ececuauacici)n)n33 σσ C C ==
π π 22 E E (( L L r r22)) '
' de%e4de%e4ando ando de de ellaella la relaci)n L5r corre%ondiente al limite de %ro%orcionalidad.
la relaci)n L5r corre%ondiente al limite de %ro%orcionalidad.
66 L Lrr ¿¿ ++ ¿¿ π π 2 2 E E σ σ C C ¿¿ π π 22 x x101055 2,8 2,8 x x101022==70507050 EE ddeecciirr33 7 7 ¿¿ L Lrr = =8484 y y L L==8484 x x1,441,44==121121cmcm
Por lo tanto i eta columna tu#iera 1+1cm o ma de longitud e Por lo tanto i eta columna tu#iera 1+1cm o ma de longitud e %andearía
%andearía el"ticamente, el"ticamente, 'a 'a !ue !ue %ara %ara tale tale dimenione dimenione de de lala co
colulumnmna a la la tetenni)i)n n crcrititicica a en en %a%andndeo eo no no exexcecede de al al lilimimite te dede %ro%orcionalidad del material.
+. 8uatro "ngulo de 1--x1--x1-mm e unen mediante %laca en celoía %ara (ormar una ecci)n com%ueta, como e indica en la (igura. A%licando la e%eci(icacione de la A/S8, con
9P8*+:-MPa, determinar la longitud m"xima !ue %uede tener i ;a de o%ortar una carga de $--<=. >8u"l de?e er la longitud li?re entre "ngulo, de manera !ue u e?elte2 ea, como m"ximo, igual a la tre cuarta %arte de la corre%ondiente a la ecci)n com%ueta@
P*$$- <= 9 %c*+:- MPa L* @
Para el "ngulo3 6de ta?la A*1:+- mm+
r*+-,0mm
l*1&&x1-CmmC x*+,+mm
/*D6/i Aidi+ 'di * F x*1+$F+,+ di* :C,mm /*061,&&x1-C 1:+-x:C,+ * 061:,&Cx1-C A* DAi *0A* 061:+- * &C- mm+
La relaci)n de e?elte2 límite e3
Aumimo3
. a L*Le 6extremo articulado . ? Le5r G 8c
Entonce, a%licando3
Reem%la2ando #alore o?tenido3
L * Le * 1+$,61-1 *G L*1+,&
Para o?tener la e%araci)n li?re entre "ngulo3
e donde3 L * :0,I$6I-,0 * +,m
Jeri(icamo !ue el e(uer2o 9m"x G 9a%licado
I. Un %er(il KIC-x1I0 #a em%leare como columna con una longitud de :m. La columna o%orta una carga axial de +C- <= ' una excentricidad de IC-<=, !ue acta o?re el e4e . eterminar la excentricidad m"xima de carga de IC-<= uando el mNtodo del m"ximo e(uer2o ' la ()rmula lineal de la ecuaci)n3
P
A=110−0,483( L
r )
0. Mediante la (ormula de A/S8 determinar la carga axial de tra?a4o en una columna contituida %or un %er(il KIC- 1++ en la iguiente condicione3
aArticulada en u extremo ' con una longitud de :m ? Extremo %er(ectamente em%otrado ' longitud de 1-m
c Extremo %er(ectamente em%otrado, longitud de 1-m ' u4eta lateralmente en el centro. Ue σ pc * I- MPa
$. etermine la carga crítica de %andeo %ara cada una de la columna uando la ecuaci)n de Euler. E=29 x106 psi
Límite %ro%orcional * I- --- %i. Su%onga extremo im%lemente a%o'ado ' una relaci)n de e?elte2 %ermii?le L5 r
*+--Para una ?arra )lida cuadrada de 1.- %ulg. 1.- %ulg. a L * I %ie ? L * 0 %ie Soluci)n a L * I %ie Pu=π 2 EA ( KL r ) 2 A=l2=1 x1=1¿2 I =b h 3 12 = 1 x13 12 = 1 12¿ 4 KL r = 1 x3 x12 0.29 =124.14<200 F cr=π 2 x29 x106
(
1 x3 x12 0.29)
2=18.4ksi<30ksi→ Rango Elástico
Carga Criticad pandosrá: Pu= F cr x A=18.4 x1=18.4klb! ? L * 0 %ie. Pu=π 2 EA ( KL r ) 2 A=l2=1 x1=1¿2 I =b h 3 12 = 1 x13 12 = 1 12¿ 4
KL r = 1 x4 x12 0.29 =165.52<200 F cr=π 2 x29 x106
(
1 x4 x12 0.29)
2=8.2ksi<30ksi → Rango Elástico
Carga Critica d pandosrá: Pu= F cr x A=8.2 x1=8.2klb!
C. 8alcular la carga critica, el e(uer2o crítico, la carga de tra?a4o ' el e(uer2o de tra?a4o, %ara una columna ti%o m"til, E decir, em%otrada a?a4o ' li?re arri?a %ara la iguiente condicione.
E LP=22 "pa E=19#pa L=4.50m
+- cm
I-cm
8"lculo de la relaci)n de e?elte2 egn lo materiale. $ cr= π 2 E 4
(
L r)
2 L r =√
π 2 E 4$ cr L r =√
π 2(
19 x109 % m2)
4(
22 x106 % m2)
=468"lculo de la relaci)n de e?elte2 egn la geometría. A=30cm x20cm=600cm2 I = 1 12 (30cm) (20cm) 3 =20000cm4 r=
√
20000cm 4 600cm2 =5.77cm L r = 450cm 5.77cm=78>468alculo del E(uer2o crítico ' el E(uer2o de tra?a4o.
8omo e una columna larga o e?elta, el e(uer2o critico de?e calculare con la
ecuaci)n de Euler. $ cr= π 2 E 4
(
L r)
2 $ cr= π 2(
19 x109 % m2)
4(78)2 = 7.7 "paQ Para el e(uer2o de tra?a4o e toma un (actor de eguridad de I. $ u=7.7 "pa
3 =2.5 "pa
Q 8alculo de la carga crítica ' carga del tra?a4o. Pcr=π 2 EI 4 xL2 Pcr= π 2
(
19 x109 % m2)
(
20000 x10 −8 m4)
4 x(4.50m)2 Pcr=462955 % =462.9 K% Tomando el mimo actor de eguridad.Pu=462.9
Laureate International Universities® FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
COLUMNAS
INSTRUCTORES:
- Ing. PINTO BARRANTES, Raul Antonio
PARTICIPANTES:
ESPINOA PONTE, Eri!a
CICLO: "#$% & I
Li'a & Per( 2017
8OLUM=AS
Una columna en ingeniería etructural e un elemento etructural !ue tranmite, a tra#N de com%rei)n, el %eo de la etructura o?re otro elemento etructurale !ue e encuentran de?a4o. Eta %ueden er
dieada %ara reitir la (uer2a laterale del #iento o de lo mo#imiento ímico. La columna on (recuentemente uada %ara o%ortar #iga o arco o?re lo cuale la %arte u%eriore de la %arede o tec;o
decanan. La %rimera columna eran contruida de %iedra, acada de una %ie2a im%le de roca, uualmente rot"ndola o?re un a%arato %arecido a un torno. Otra (ueron creada de mlti%le eccione de roca, %egada con mortero o en eco. La columna moderna on contruida de acero, concreto #ertido o %re(a?ricado, o de ladrillo. Luego %ueden er re#etida en una cu?ierta ar!uitect)nica o de4ada in cu?rir.
En el %reente tra?a4o a?ordaremo la clai(icaci)n ' mNtodo %ara
dimenionar una columna, como #imo en el %"rra(o anterior ete elemento etructural cum%le un rol (undamental en edi(icacione, e %or eo !ue ete modeto tra?a4o #a e#ocado %ara a di(undir alguno conce%to '
metodología de dearrollo de lo mimo.
E%erando !ue ete tra?a4o ea del agrado del lector, aí tam?iNn como %arte de u a%rendi2a4e o re(or2amiento de lo !ue a continuaci)n e #er".
8olumna3
La columna e un elemento ometido %rinci%almente a com%rei)n, %or lo tanto el dieo et" ?aado en la (uer2a interna, con4untamente de?ido a la condicione %ro%ia de la columna, tam?iNn e diean %ara (lexi)n de tal (orma !ue la com?inaci)n aí generada e denomina (lexocom%rei)n.
Segn el uo actual de la columna como elemento de un %)rtico, no
neceariamente e un elemento recto #ertical, ino e el elemento donde la com%rei)n e el %rinci%al (actor !ue determina el com%ortamiento del
elemento. E %or ello !ue el %redimenionado de columna conite en determinar la dimenione !ue ean ca%ace de reitir la com%rei)n !ue e a%lica o?re el elemento aí como una (lexi)n !ue a%arece en el dieo de?ido a di#ero (actore. 8a?e detacar !ue la reitencia de la columna diminu'e de?ido a e(ecto de geometría, lo cuale in(lu'en en el ti%o de (alla. La columna en ete tra?a4o la di#idiremo en3
+.1.1 8olumna Larga3
Se dice una columna larga cuando u longitud e ma'or de 1- #ece la menor dimeni)n tran#eral ' u e?elte2 mec"nica e ma'or igual a 1--. +.1.+ 8olumna /ntermedia3
Se dice una columna larga cuando u longitud e ma'or a 1- #ece la
menor dimeni)n tran#eral ' u e?elte2 mec"nica e encuentre entre I-' 1--.
En alguno cao la columna corta tam?iNn (orman %arte de eta
clai(icaci)n 6e dice columna corta cuando no cum%le !ue u longitud e ma'or a 1- #ece la menor dimeni)n tran#eral.La di(erencia entre lo tre gru%o #ienen determinada %or u com%ortamiento, la columna larga e rom%en %or %andeo o (lexi)n lateral la intermedia, %or una com?inaci)n de a%latamiento ' %andeo, ' la columna corta, %or a%latamiento.
+.+ 8om%ortamientoentro de lo re!uiito (undamentale de una etructura o elemento
etructural et"n3 e!uili?rio, reitencia, (uncionalidad ' eta?ilidad. En una columna e %uede llegar a una condici)n ineta?le ante de alcan2ar la
de(ormaci)n m"xima %ermitida o el e(uer2o m"ximo. El (en)meno de
ineta?ilidad e re(iere al %andeo lateral, el cual e una de(lexi)n !ue ocurre en la columna 6#Nae igura I cuando a%arece incrementa el momento (lector a%licado o?re el elemento, el aumento de la de(lexi)n agranda la magnitud del momento (lector, creciendo aí la cur#atura de la columna ;ata la (alla ete cao e conidera ineta?le. Por ello la reitencia de la columna ometida a com%rei)n tiene do límite, el de reitencia %ara columna corta ' el de eta?ilidad %ara columna larga 6#Nae igura 1. La eta?ilidad e aí el nue#o %ar"metro !ue de(ine adem" de la
+.I 8arga crítica
La de(ormaci)n de la columna #aría egn cierta magnitude de carga, %ara #alore de P ?a4o e acorta la columna, al aumentar la magnitud cea
el acortamiento ' a%arece la de(lexi)n lateral. Exite una carga límite !ue e%ara eto do ti%o de con(iguracione ' e conoce como carga crítica Pcr
Lo (actore !ue in(lu'en en la magnitud de la carga crítica on la longitud de la columna, la condicione de lo extremo ' la ecci)n tran#eral de la columna. Eto (actore e con4ugan en la relaci)n de e?elte2 o
coe(iciente de e?elte2, el cual e el %ar"metro !ue mide la reitencia de la columna. e eta (orma %ara aumentar la reitencia de la columna e de?e ?ucar la ecci)n !ue tenga el radio de giro m" grande %oi?le, o una
longitud !ue ea menor, 'a !ue de am?a (orma e reduce la e?elte2 ' aumenta el e(uer2o crítico.
+.0 Excentricidad
8uando la carga no e a%lica directamente en el centroide de la columna, e dice !ue la carga e excNntrica ' genera un momento adicional !ue
diminu'e la reitencia del elemento, de igual (orma, al a%arecer un
momento en lo extremo de la columna de?ido a #ario (actore, ;ace !ue la carga no acte en el centroide de la columna 6#Nae igura 0. Eta
relaci)n del momento re%ecto a la carga axial e %uede ex%rear en unidade de ditancia egn la %ro%iedad del momentoI, la ditancia e denomina excentricidad. 8uando la excentricidad e %e!uea la (lexi)n e de%recia?le ' cuando la excentricidad e grande aumenta lo e(ecto de (lexi)n o?re la columna.
+.$ Longitude(ecti#a
La longitud e(ecti#a com?ina la longitud real con el (actor de (i4aci)n de extremo Lt * L (ue deducida %ara el cao de una columna con extremo articulado, o li?re de girar. En otra %ala?ra. L en la ecuaci)n re%reenta la ditancia no o%ortada entre lo %unto con momento cero. Si la columna !ue o%ortada en otra (orma, la ()rmula de Euler e %uede uar %ara
determinar la carga crítica, iem%re !ue VLW re%reente la ditancia entre %unto con momento cero. A eta ditancia e le llama longitud e(ecti#a de
la columna, Le. E o?#io !ue %ara una columna con extremo, %ero en (igura 6$d. Para la columna con un extremo (i4o ' uno em%otrado !ue e anali2) arri?a, e encontr) !ue la cur#a de de(lexi)n (ue la mitad de la de una columna con u extremo articulado, cu'a longitude +L ' aí
Para calcular la longitud e(ecti#a e uaran la iguiente relacione3 . 8olumna con extremo de %aador3 Le*L* 1.-6L * L
. 8olumna con extremo (i4o3 Le*L * -,C$6L . 8olumna con extremo li?re3 L,*L * +.1-6L
. 8olumna con %aadore (i4o ' el otro (i4o3 L,*L*-.-6L
)rmula de Euler %ara columna larga o mu' e?elta
La ()rmula de Euler e #"lida olamente %ara columna larga ' calcula lo !ue e conoce como Xcarga critica de %andeoX, eta e la ltima carga !ue %uede o%ortar %or columna larga, e decir, la carga %reente en el
intante del cola%o.La columna articulada en u extremo, inicialmente recta ;omogNnea, de ecci)n tran#eral contante en toda u longitud e com%orta el"ticamente.