7. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. 7.1 Distribución Uniforme discreta. 7.2 Distribución Binomial. 7.3 Distribución de Poisson.

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(1)

7. DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

7.1 Distribución Uniforme discreta.

7.2 Distribución Binomial.

7.3 Distribución de Poisson.

7.4 Distribución Hipergeométrica.

7.5 Distribución Geométrica.

7.1 Distribución Uniforme discreta.

 

1

1, ...,

k k

p

X

x

k

n

n

P

Media:

 

1 1 1

1

n k n n k k k k k k

x

E X

x p

x

n

n

  

Varianza:

 

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1

1

n n n k k k n n k k k k k k k k

x

x

x

E X

x p

x

Var X

n

n

n

n

    

 

(2)

►EJEMPLO 7.1

X=número de cruces en tres lanzamientos de una moneda y obtenga.

   X CCC +CC C+C CC+ ++C +C+ C++ +++         ( ) 0 X CCC  ( ) 1 XCC  1 1 2 2 2 3 6.1

0

1

0

8

p

P

X

P

CCC

 

 

1

1 1 1

3

1

8 8 8 8

p

P

X

 

P

CC

C

C

CC

    

 

 

2

1 1 1

3

2

8 8 8 8

p

P

X

P

 

C

 

C

C

     

3

1

3

8

p

P

X

 

P

   

i

x

p

i

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

3 0

1

i i

p

(3)

Distribución Binomial de parámetros 1 y p (distribución de Bernouilli).

A=éxito A fracaso P

 

Ap P

 

A   q 1 p 1 0 si ocurre A X si ocurre A    

10

1 X p X q p       P P

Media:

 

1

 

0

0

1

k k k

E X

x p

q

p

p

   

Varianza:

 

1 2 2 2 2 0

0

1

k k k

E X

x p

q

p

p

 

 

 

 

2 2 2 2

(1

)

X

E X

E

X

p

p

p

p

pq

 

7.2 Distribución Binomial.

X

 

(1, )

p

Distribución Binomial de parámetros n y p.

1 2 ... n

XXX  X Xi (1, )p i1, ...,n

X= el número de éxitos que se obtienen en n pruebas idénticas e independientes.

( , ) X  n p

0, ..., x p P Xx xn  ... ... ... ... x n x x n x x n x AA A AA A pp p qq q p q            P

x n x 0, ..., x n p X x p q x n x           P

!

! ! n n x x n x      

7.2 Distribución Binomial.

(4)

Distribución Binomial de parámetros n y p.

Media:

 

1 2 ... n

   

1 2 ...

 

n ...

E XE XX  XE XE X  E X     p p p np

Varianza:

Dado que X1,X2, ...,Xn son independientes

 

 

 

 

2 2 2 2 2

1 2 ... n 1 2 ... n ...

X X X X X X X pq pq pq npq

             

Propiedad de aditividad o reproductividad.

( , )

X

 

n p

Y

 

( , )

m p

X

Y

 

(

n

m p

, )

7.2 Distribución Binomial.

(Véase ejemplo 7.2 página 277)

Solución:

X = nº de piezas defectuosas en las 10 seleccionadas 10, 900

6000         900 0,15 6000 p 

0

10 0,150 0,8510 10! 1 0,1969 0,1969 0 0!10! X           P

7.2 Distribución Binomial.

►EJEMPLO 7.1

En un almacén hay 6000 piezas de las cuales 900 son defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente (con reemplazamiento) 10 piezas. Calcular la probabilidad de que todas estén en buen estado.

Y = nº de piezas en buen estado de las 10 seleccionadas

1

0,15

q

  

p

(10,

p

0,85)

 

 

5100

0,85

6000

p

P

A

10

10 0,8510 0,150 10! 0,1969 1 0,1969 10 10!0! Y          P

(5)

Distribución de Poisson.

( )

X

 

0,1, 2, ...

!

x x

e

p

X

x

x

x

P

 

E X

2

 

X

Propiedad de aditividad o reproductividad.

1

( )

X

 

Y

 

( )

2

X

Y

 

(

 

1

2

)

Distribución de Poisson como límite de la distribución Binomial.

( , )

n p

{p es muy pequeño , n suficientemente grande}

( )

np

7.3 Distribución de Poisson.

Solución:

a)

X

1

n de fallos durante una hora

º

 

 

1,5

1

1

1

1,5 0

1,5

1

1

1

1

0

1

1 0, 2231 0,7769

0!

e

X

X

X

  

  

 

 

P

P

P

7.3 Distribución de Poisson.

►EJEMPLO 7.3

El número de fallos por hora en un determinado mecanismo sigue una distribución de Poisson de media 1,5.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya algún fallo durante una hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya algún fallo durante tres horas?

(6)

b)

X = número de fallos durante tres horas=

X

1

X

2

X

3

 

1

º

1,5

X

n de fallos durante la primera hora

 

 

2

º

1,5

X

n de fallos durante la segunda hora

 

 

3

º

1,5

X

n de fallos durante la tercera hora

 

1,5 1,5 1,5

 

4,5

X

 

1

1

1

1

0

1

4,5

4,5

0

1 0,0111 0,9889

0!

e

X

X

X

  

  

 

 

P

P

P

7.3 Distribución de Poisson.

Solución:

X = número de piezas defectuosas en la producción anual

 

(36000 , 0, 0001)

36000 0, 0001

3,6

X

 

 

3,6 0 3,6 1

2

1

2

1

0

1

3,6

3,6

1

1 0, 0273 0,0984 0,8743

0!

1!

X

X

X

X

e

e

 

 

 

 

 

 

P

P

P

P

7.3 Distribución de Poisson.

►EJEMPLO 7.4

La probabilidad de que aparezca una pieza defectuosa en un proceso es 0,0001. La producción de un año es de 36000 piezas. Calcular la probabilidad de que en la producción anual el número de piezas defectuosas sea por lo menos dos.

(7)

7.3 Distribución de Poisson.

►EJEMPLO 7.4

La probabilidad de que aparezca una pieza defectuosa en un proceso es 0,0001. La producción de un año es de 36000 piezas. Calcular la probabilidad de que en la producción anual el número de piezas defectuosas sea por lo menos dos.

X = número de piezas defectuosas en la producción anual

 

(36000 , 0, 0001) 36000 0, 0001 3, 6 X    

2

1

2

1

0

 

1 1

3,63,60 3,63,61 1 0,0273 0,0984 0,8743 0! 1! e e X X X X                   P P P P

X2

 1

X 2

 1

X 0

 

X 1

P P P P 0 36000 35999 36000 36000 1 0, 0001 0,9999 0, 0001 0,9999 0,874323663 0 1           

Distribución Hipergeométrica.

Sea una población con N elementos. 2 categorías (éxito y fracaso).

Np individuos con la característica éxito (

A

)

N(1-p)=Nq individuos sin la característica éxito (

A

)

Se extrae una muestra de n elementos.

 Muestreo con reemplazamiento. Distribución Binomial.

 Muestreo sin reemplazamiento. Distribución Hipergeométrica.

X=número de éxitos en una muestra sin reemplazamiento de tamaño n. X  

N n p, ,

Np Nq x n x X x N n                  P

 

E Xnp 2

 

1 N n X npq N

  

7.4 Distribución Hipergeométrica.

(8)

7.4 Distribución Hipergeométrica.

►EJEMPLO 7.5

Una urna contiene 15 bolas blancas y 5 bolas negras. Se extraen 6 bolas, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean negras?

a) Se extraen las bolas una a una, se observa el color y se devuelve a la urna antes de la siguiente extracción.

b) Se extraen las 6 bolas de una vez.

X = número de bolas negras en las 6 extraídas

a) 6

5 0, 25 (6 , 0, 25) 20 npP bola negra   X  

2

6 0, 25 1 0, 252

4 6! 0, 252 0, 754 0, 2966 2 2! 4! X           P b) 20 6

5 0, 25 (20, 6, 0, 25) 20 NnpP bola negra   X 

20 0, 25 5

Np

éxitos o bolas negras.

20 (1 0, 25) 15

Nq

 

fracasos o bolas blancas.

5 15 5! 15! 2 4 2!3! 4!11! 10 1365 2 0,3522 20! 20 38760 6!14! 6 X                     P

7.4 Distribución Hipergeométrica.

(9)

7.4 Distribución Hipergeométrica.

►EJEMPLO 7.6

En un almacén hay 5000 piezas de las cuales 400 son defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente 10 piezas, en una ocasión con reemplazamiento y en otra sin reemplazamiento. En cada caso determine la probabilidad de que todas las piezas estén en buen estado.

Cuando N tiende a infinito (un valor muy elevado en la práctica) las distribuciones

Hipergeométrica y Binomial coinciden, pudiéndose aproximar una por otra

7.4 Distribución Hipergeométrica.

P[ pieza defectuosa ]=400/5000=0,08

X=número de piezas defectuosas en las 10 seleccionadas.

Con reemplazamiento: (10, 0,08) X  

0

10 0,08 0,920 10 0,9210 0, 434388 0 X        P Sin reemplazamiento:

5000, 10, 0,08

X  

400 4600 400! 4600! 0 10 0!400! 10!4590! 0 5000! 5000 10!4990! 10 X                    P 4600 4599 4598 4597 4596 4595 4594 4593 4592 4591 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0, 434048 5000 4999 4998 4997 4996 4995 4994 4993 4992 4991 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1                             

(10)

Solución:

X = número de bolas extraídas iguales a alguno de nuestros 6 números.

6

6

49

6

49, 6,

49

49

N

n

p

X

 

6

49

6

(1

)

49 6 43

49

Np

Nq

N

p

 

N

Np

 

 

 

 

6

43

6 43

6 43

4

2

5

1

6

0

4

4

5

6

49

49

49

6

6

6

0,00096862+0,00001845+0,000000071 0,000987141

X

X

X

X

        

        

        

 

P

P

+P

P

7.4 Distribución Hipergeométrica.

►EJEMPLO 7.7

Si jugamos una combinación de la lotería primitiva. ¿Cuál es la probabilidad de que acertemos 4 números o más?

Distribución Geométrica.

X= número de fracasos antes de obtener el primer éxito. X ( )p

(1 )x x 0,1, 2, ... x p P Xx  p pq p x

 

1 p q E X p p    2

 

2 2 1 p q X p p    

7.5 Distribución Geométrica.

(11)

Solución:

X=número de suspensos antes de aprobar sigue una distribución

X

 

( )

p

p=0,70 q=1-0,70=0,30

 

 

 

 

 

 

0 2 3 4 5

5

0

1

2

3

4

5

(0,3

0, 7) (0,3 0,7) (0,3

0, 7) (0,3

0,7) (0,3

0,7) (0,3

0, 7)

0, 7 0, 21 0, 063 0,0189 0, 00567 0, 001701 0,999271

X

 

X

X

 

X

 

X

X

 

X

 

P

P

+P

P

P

+P

P

7.5 Distribución Geométrica.

►EJEMPLO 7.8

En una Facultad suelen aprobar el 70% de los alumnos. Hallar la probabilidad de que un alumno apruebe en alguna de las 6 convocatorias de examen que dispone.

Figure

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Referencias