El Mundo De Las Probabilidades: Experimentos deterministas

(1)

EL MUNDO DE LAS PROBABILIDADES

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio. posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen. Ejemplos

Ejemplos •

• Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lu!ar a dudas, que laSi dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lu!ar a dudas, que la piedra bajar".

piedra bajar". •

• Si la arrojamos #acia arriba, sabemos que subir" durante un determinadoSi la arrojamos #acia arriba, sabemos que subir" durante un determinado intervalo de tiempo$ pero despu%s bajar".

intervalo de tiempo$ pero despu%s bajar". •

• Si tiramos un dado con las & caras i!uales sabremos con se!uridad que saldr" eseSi tiramos un dado con las & caras i!uales sabremos con se!uridad que saldr" ese mismo número.

mismo número. •

• Si tenemos una baraja con '( cartas i!uales con se!uridad podremos que saldr"Si tenemos una baraja con '( cartas i!uales con se!uridad podremos que saldr" dic#a carta.

dic#a carta.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que %ste depende del

azar

.. Ejemplos

Ejemplos •

• Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldr" cara o cruz.Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldr" cara o cruz. •

• Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos aSi lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

obtener. •

• Si de una baraja decidimos sacar una carta no podemos determinar cu"l ser" esaSi de una baraja decidimos sacar una carta no podemos determinar cu"l ser" esa carta

carta •

• Si de una urna decidimos sacar una bola no sabemos con se!uridad que color deSi de una urna decidimos sacar una bola no sabemos con se!uridad que color de bola saldr".

bola saldr".

Teoría de probabilidades

La

teoría de

teoría de probabilidade

probabilidadess

se ocupa de se ocupa de

asignar

un cierto un cierto

número

a cada a cada

posible

resultado

que pueda ocurrir en un que pueda ocurrir en un

experimento aleatorio

, con el fin de cuantificar, con el fin de cuantificar dic#os resultados y saber si un suceso es m"s probable que otro. )on este fin,

dic#os resultados y saber si un suceso es m"s probable que otro. )on este fin, introduciremos al!unas

introduciremos al!unas

definiciones



Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria. Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Ejemplos: Ejemplos:

•

• *l lanzar una moneda sal!a cara.*l lanzar una moneda sal!a cara.

•

• *l lanzar un dado se obten!a +.*l lanzar un dado se obten!a +.

•

(2)

(3)

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E o bien por la letra !rie!a -.

representaremos por E o bien por la letra !rie!a -.

Ejemplos: Ejemplos:

•

• Espacio muestral de una monedaEspacio muestral de una moneda E / ), 2.

E / ), 2.

•

• Espacio muestral de un dadoEspacio muestral de un dado E / 1, (, 3, +, ', &2.

E / 1, (, 3, +, ', &2.

•

• Espacio muestral de un urnaEspacio muestral de un urna E / ne!ra, roja, azul, blanca2. E / ne!ra, roja, azul, blanca2.

Suceso aleatorio

es cualquier subconjunto del espacio muestral. es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos: Ejemplos:

•

• 4irar un dado un suceso ser5a que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar '.4irar un dado un suceso ser5a que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar '.

•

• Un ejemplo completoUn ejemplo completo

6na bolsa contiene bolas blancas y ne!ras. Se extraen sucesivamente tres bolas. 6na bolsa contiene bolas blancas y ne!ras. Se extraen sucesivamente tres bolas. )alcular )alcular 1. El espacio muestral. 1. El espacio muestral. E / b,b,b$ b,b,n$ b,n,b$ n,b,b$ b,n,n$ n,b,n$ n,n E / b,b,b$ b,b,n$ b,n,b$ n,b,b$ b,n,n$ n,b,n$ n,n ,b$ n, n,n2,b$ n, n,n2

(. El suceso * / extraer tres bolas

(. El suceso * / extraer tres bolas del mismo color2.del mismo color2.

* / b,b,b$ n, n,n2 * / b,b,b$ n, n,n2

3. El suceso 7 / extraer al menos una bola blanca2. 3. El suceso 7 / extraer al menos una bola blanca2.

7/ b,b,b$ b,b,n$ b,n,b$ n,b,b$ b,n,n$ n,b,n$ n,n ,b2 7/ b,b,b$ b,b,n$ b,n,b$ n,b,b$ b,n,n$ n,b,n$ n,n ,b2

+. El suceso ) / extraer una sola bola ne!ra2. +. El suceso ) / extraer una sola bola ne!ra2.

(4)

) / b,b,n$ b,n,b$ n,b,b2 ) / b,b,n$ b,n,b$ n,b,b2

Tipos de Su

Tipos de Sucesos

cesos

Suceso elemental es cada uno de

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del

los elementos que forman parte del

espacio muestral.

Ejemplo

•

• 4irando un dado un suceso elemental es sacar '.4irando un dado un suceso elemental es sacar '.

Suceso compuesto

es cualquier subconjunto del espacio muestral. es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Ejemplo

•

• 4irando un dado un suceso ser5a que 4irando un dado un suceso ser5a que saliera par, otro, obtener múltiplo de saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.3.

Suceso seguro, E,

est" formado por todos los posibles resultados es decir, por el est" formado por todos los posibles resultados es decir, por el espacio muestral.

espacio muestral.

Ejemplo: Ejemplo:

•

• 4irando un dado obtener una puntuaci8n que sea menor 4irando un dado obtener una puntuaci8n que sea menor que 9.que 9.

Suceso imposible

, , , , es es el el que que no no tiene tiene nin!ún nin!ún elemento.elemento.

Ejemplo: Ejemplo:

•

• 4irando un dado obtener una puntuaci8n i!ual a 9.4irando un dado obtener una puntuaci8n i!ual a 9.

Sucesos compatibles.- Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando

tienen al!n suceso elemental com!n.

Ejemplo: Ejemplo:

•

• Si * Si * es sacar es sacar puntuaci8n par al tirar puntuaci8n par al tirar un dado y 7 es un dado y 7 es obtener múltiplo de 3, * y 7obtener múltiplo de 3, * y 7 son compatibles porque el & es un suceso elemental común.

son compatibles porque el & es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles.- Dos sucesos, A y B, son

incompatibles

cuando no tienen nin!n elemento en com!n.

Ejemplo: Ejemplo:

•

• Si * Si * es sacar es sacar puntuaci8n par al tirar puntuaci8n par al tirar un dado y 7 es un dado y 7 es obtener múltiplo de ', * y 7obtener múltiplo de ', * y 7 son incompatibles.

(5)

Sucesos independientes

:os sucesos, * y 7, son independientes cuando la probabilidad de que suceda * no se ve afectada porque #aya sucedido o no 7.

Ejemplo:

• *l lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

:os sucesos, * y 7, son dependientes cuando la probabilidad de que s uceda * se ve afectada porque #aya sucedido o no 7.

Ejemplo:

• Extraer dos cartas de una baraja, sin reposici8n, son sucesos dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a * es otro suceso que se realiza cuando no se realiza *. Se denota por .

Ejemplo:

• Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.

Espacio de sucesos, S,

es el conjunto de todos los sucesos aleatorios. Si tiramos una moneda el espacio se sucesos est" formado por

S/  , )2, 2, ),22.

;bservamos que el primer elemento es el

suceso imposible

y el último el

suceso

seguro

.

Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el

número de sucesos

de E es (n_.

Ejemplos

6na moneda E/ ), 2.

(6)

:os monedas E/ ),)$ ),$ ,)$ ,2.

<úmero de sucesos / (+_/1&

6n dado E / 1, (, 3, +, ', &2.

<úmero de sucesos / (&_{/ &+}

UNION DE SUCESOS

La

unin de sucesos, ! "

, es el suceso formado por todos los elementos de * y de 7. Es decir, el suceso * 7 se verifica cuando ocurre uno de los dos, * o 7, o ambos.

* 7 se lee como =

! o "

=.

Ejemplo:

)onsideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si * / =sacar par= y 7 / =sacar múltiplo de 3=. )alcular * 7.

* / (, +, &2

7 / 3, &2

* 7 / (, 3, +, &2

"ropiedades de la uni#n de sucesos

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplifcación

(7)

Elemento neutro

Absorción

IN#E$SECCI%N DE SUCESOS

La

interseccin de sucesos, ! "

, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de * y 7.

Es decir, el suceso * 7 se verifica cuando ocurren simult"neamente * y 7.

* 7 se lee como =

! & "

=.

Ejemplo:

)onsideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si * / =sacar par= y 7 / =sacar múltiplo de 3=. )alcular * 7.

* / (, +, &2

7 / 3, &2

* 7 / &2

"ropiedades de la intersecci#n de sucesos

Conmutativa Asociativa Idempotente Simplifcación Distributiva Elemento neutro Absorción

(8)

DI'E$ENCI! DE SUCESOS

La

diferencia de sucesos, ! ( "

, es el suceso formado por todos los elementos de * que no son de 7.

Es decir, la

diferencia de los sucesos

* y 7 se verifica cuando lo #ace * y no 7. * > 7 se lee como =

! menos "

=.

Ejemplo

)onsideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si * / =sacar par= y 7 / =sacar múltiplo de 3=. )alcular * > 7.

* / (, +, &2 7 / 3, &2 * > 7 / (, +2

?ropiedad de la diferencia de sucesos

SUCESOS CON#$!$IOS

El suceso

) E * !

se llama

suceso contrario

o complementario de *. Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique *.

)onsideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si * / =sacar par=. )alcular .

* / (, +, &2

/ 1, 3, '2

"ropiedades

A$iomas de la probabilidad

1. La probabilidad es positiva y menor o i!ual que 1.

(9)

(. La probabilidad del suceso se!uro es 1.

p-E. ) /

3. Si * y 7 son incompatibles, es decir * 7 / entonces

p-! ". ) p-!. 0 p-".

"ropiedades de la probabilidad

1. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es

(. ?robabilidad del suceso imposible es cero.

3. La probabilidad de la uni8n de dos sucesos es la suma de sus probabilidades rest"ndole la probabilidad de su intersecci8n.

+. Si un suceso est" incluido en otro, su probabilidad es menor o i!ual a la de %ste.

'. Si *1, *(, ..., *@ son incompatibles dos a dos entonces

&. Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S / x1, x(, ..., xn2 entonces

Ejemplo:

La probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es

?par / ?( A ?+ A ?&

(10)

Si realizamos un experimento aleatorio en el que #ay n sucesos elementales, todos i!ualmente probables,

e1uiprobables

, entonces si * es un suceso, la

probabilidad

de que ocurra el suceso * es

Ejemplos

1. Ballar la probabilidad de que al lanzar dos monedas al aire sal!an dos caras.

)asos posibles cc, cx, xc, xx2.

)asos favorables 1.

(. En una baraja de +0 cartas, #allar la ? as y ? copas.

)asos posibles +0.

)asos favorables de ases +.

)asos favorables de copas 10.

3. )alcular la probabilidad de que al ec#ar un dado al aire, sal!a

• 6n número par.

)asos posibles 1, (, 3, +, ', &2.

)asos favorables (, +, &2.

• 6n múltiplo de tres. )asos favorables 3, &2.

(11)

• mayor que +.

)asos favorables ', &2.

2! CO3"IN!#O$I!

La

combinatoria

nos puede ser muy útil para calcular los

sucesos posibles &

fa4orables

, al aplicar

la regla de 2aplace

. Especialmente si #ay un !ran número de sucesos.

Ejemplos

1 6n !rupo de 10 personas se sienta en un banco. C)u"l es la probabilidad de que dos personas fijadas de antemano se sienten juntasD

)asos posibles

)asos favorables

Si consideramos las dos personas que se sientan juntas como una sola persona #abr" F$ pero pueden estar de dos formas posibles a la izquierda uno de otro o a la derec#a, por

tanto se tiene (

5

F.

(Se extraen cinco cartas de una baraja de '(. Ballar la probabilidad de extraer

1+ ases.

(12)

33 cincos y ( sotas.

+6n , 10, sota, caballo y rey en cualquier orden.

'3 de un palo cualquiera y ( de otro.

Bay cuatro formas de ele!ir el primer palo y tres formas de ele!ir al se!undo palo.

&*l menos un as.

Probabilidad de la unión de sucesos

* 7 /

p-! ". ) p-!. 0 p-".

)alcular la probabilidad de obtener un ( 8 un ' al lanzar un dado.

"robabilidad de la uni#n de sucesos compatibles

* 7 G

p-! ". ) p-!. 0 p-". ( p-! ".

(13)

Ejemplo:

)alcular la probabilidad de obtener un múltiplo de ( 8 un & al lanzar un dado.

Probabilidad condicionada

Sean * y 7 dos sucesos de un mismo espacio muestral E.

Se llama

probabilidad

del suceso 7

condicionado

a * y se representa por

6-"7!.

a la

probabilidad del suceso " una 4ez 8a ocurrido el !

.

Ejemplo

)alcular la probabilidad de obtener un & al tirar un dado sabiendo que #a salido par.

Sucesos independientes

:os sucesos * y 7 son independientes si

p-!7". ) p-!.

Sucesos dependientes

:os sucesos * y 7 son dependientes si

p-!7". 9 p-!.

Sucesos independientes

p-! ". ) p-!. 5 p-".

Ejemplo

Se tiene una baraja de +0 cartas, se saca una y se vuelve a meter. C)u"l es la probabilidad de extraer dos asesD

(14)

Sucesos dependientes

p-! ". ) p-!. 5 p-"7!.

Ejemplo:

Se tiene una baraja de +0 cartas, se extraen dos cartas. C)u"l es la probabilidad de extraer dos asesD

"robabilidad de la diferencia de sucesos

Tablas de continencia

6n m%todo útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las

tablas

de contingencia

.

Se trata de tablas en cuyas celdas fi!uran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.

Ejemplo

Se sortea un viaje a Homa entre los 1(0 mejores clientes de una a!encia de autom8viles. :e ellos, &' son mujeres, I0 est"n casados y +' son mujeres casadas. Se pide

1. C)u"l ser" la probabilidad de que le toque el viaje a un #ombre solteroD

(. Si del afortunado se sabe que es casado, Ccu"l ser" la probabilidad de que sea una mujerD

(15)

Diaramas de !rbol

?ara la construcci8n de un

diagrama en :rbol

se partir" poniendo una

rama

para cada una de las

posibilidades

, acompaJada de su

probabilidad

.

En el

final

de cada

rama parcial

se constituye a su vez, un

nudo

del cual parten nuevas

ramas

, se!ún las

posibilidades

del si!uiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento 

nudo final

.

Bay que tener en cuenta que la

suma de probabilidades

de las

ramas

de cada

nudo

#a de dar

/

.

Ejemplos:

16na clase consta de seis niJas y 10 niJos. Si se esco!e un comit% de tres al azar, #allar la probabilidad de

(16)

(Seleccionar exactamente dos niJos y una niJa.

3Seleccionar exactamente dos niJas y un niJo.

1 Seleccionar tres niJas.

()alcular la

probabilidad

de que al arrojar al aire tres monedas, sal!an

(17)

E$perimentos compuestos

6n

experimento compuesto

es aquel que consta de dos o m"s experimentos aleatorios simples.

Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos

realizando un

experimento compuesto

.

En los

experimentos compuestos

es conveniente usar el llamado

diagrama en :rbol

para #acerse una idea !lobal de todos ellos.

Teorema de la probabilidad total

Si * 1, * (,... , * nson

Sucesos incompatibles ( a (.

K cuya uni8n es el espacio muestral * 1 * ( ... * n/ E.

K 7 es otro suceso.

Hesulta que

p-". ) p-!

/

. 5 p-"7!

/

. 0 p-!

;

. 5 p-"7!

;

. 0 <<< 0 p-!

n

. 5 p-"7!

n

.

Ejemplo:

Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales #ay cuatro fundidas$ en la se!unda #ay seis bombillas, estando una de ellas fundida, y la tercera caja #ay tres bombillas fundidas de un total de oc#o. C)u"l es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, est% fundidaD

(18)

Teorema de Ba"es

Si * 1, * (,... , *nson

Sucesos incompatibles

( a (.

K cuya

unin

es el

espacio muestral

* 1 * ( ... * n/ E.

K 7 es otro suceso.

Hesulta que

Las probabilidades

p-!

/

.

se denominan

probabilidades a priori

.

Las probabilidades

p-!

i

7".

se denominan

probabilidades a posteriori

.

Las probabilidades

p-"7!

i

.

se denominan verosimilitudes.

(19)

1El (0 de los empleados de una empresa son in!enieros y otro (0 son economistas. El 9' de los in!enieros ocupan un puesto directivo y el '0 de los economistas

tambi%n, mientras que los no in!enieros y los no economistas solamente el (0 ocupa un puesto directivo. C)u"l es la probabilidad de que un empleado directivo ele!ido al azar sea in!enieroD

(La probabilidad de que #aya un accidente en una f"brica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta s5 se #a producido al!ún incidente es de 0.9 y la probabilidad de que suene si no #a sucedido nin!ún incidente es 0.0(.

En el supuesto de que #aya funcionado la alarma, Ccu"l es la probabilidad de que no #aya #abido nin!ún incidenteD

Sean los sucesos

M / ?roducirse incidente.

(20)

6$O"2E3!S

1. :etermina si los si!uientes experimentos son aleatorios o deterministas

E$traer una carta de una baraja. &an'ar una moneda al aire.

Arrojar una piedra a un po'o. (edir las )ojas de un *rbol. (edir la altura del E+erest.

(edir la temperatura a la que conela el aua destilada. (edir la temperatura de un enfermo.

&as personas que +a a en un cine en da. alcular el +olumen de un cubo.

alcular la masa de un litro de aua de mar. E$perimentos aleatorios.

E$perimentos deterministas.

(. Esco!e el número de resultados distintos que cabe esperar al realizar los si!uientes experimentos

(Lanzar tres monedas.



/

0

3Lanzar dos dados.

(21)

/1

2

+:ejar caer una piedra.

2



3inuno

'Nolver una fic#a de domin8.

4

25

0

Si tienes dudas puedes consultar la teor5a

?untuaci8n

SE#UNDO #RUPO DE PROBLEMAS

Esco!e la respuesta correcta

16no de los sucesos elementales que se obtiene al extraer tres bolas de una urna con dos bolas rojas y una ne!ra es ....

(22)

sacar nera, roja, roja.

sacar al menos una bola blanca.

sacar nera, roja, nera.

(6n suceso compuesto de lanzar un dado es ...

sacar un /.

sacar un n!mero menor que /.

sacar dos /.

36n suceso imposible de lanzar un dado es que sal!a un número que ...

sea menor que 1.

no sea par ni impar.

sea mayor o iual que 1.

+Es un suceso se!uro que al lanzar dos dados la suma de las puntuaciones obtenidas sea ....

(23)

un n!mero natural.

un n!mero par.

'*l lanzar un dado son sucesos compatibles ...

sacar par e impar.

sacar m!ltiplo de  y m!ltiplo de /.

sacar m!ltiplo de / y m!ltiplo de 6.

&Son sucesos incompatibles que al lanzar dos dados la suma de la puntuaciones sea ...

par e impar

par y m!ltiplo de .

par y m!ltiplo de 6.

9Son sucesos independientes ...

lan'ar dos dados.

la e$tracci#n de una seunda carta 7sin reposici#n8 de una baraja.

el AD3 de un )ijo y el de su padre.

(24)

la puntuaci#n obtenida al lan'ar un seundo dado.

el color obtenido al sacar una seunda bola 7sin reposici#n8 de una urna con / bolas rojas y  +erdes.

el se$o de un seundo )ijo.

El suceso contrario de que al lanzar un dado sal!a ( es que sal!a ...

impar.

2, , /, 5, 6, 1.

distinto de .

106n suceso y su contrario son ...

compatibles.

incompatibles.

3inuna de las respuestas anteriores es correcta.

?untuaci8n

(25)

Esco!e la respuesta correcta

1 Son sucesos equiprobables ....

obtener m!ltiplo de  o de / al tirar un dado.

obtener rojo o +erde al e$traer una bola de una urna con tres bolas rojas, dos +erdes y una nera.

obtener par o impar al lan'ar un dado.

(La probabilidad de un suceso m"s la de su contrario es ...

2

9

Depende del suceso en cuesti#n.

3La probabilidad del suceso se!uro es ...

menor que 2.

iual a 2.

mayor que 2.

(26)

est* comprendida entre 9 y 2.

es 9.

es 2.

'C)u"l de estas probabilidades es mayor que 1D

ue al lan'ar un dado sala m!tiplo de 2 o de  o de / o de 5 o de 6 o de 1.

ue un )ijo tena madre.

3inuna probabilidad es mayor que 2.

&6na probabilidad puede ser ne!ativa ...

cuando un suceso es totalmente imposible.

3unca.

Depende de las circunstancias.

9Si la probabilidad de que sal!a cara en un moneda trucada es de 0.'9 entonces la probabilidad de que sal!a cruz es de ...

9.6

(27)

on tan pocos datos no se puede determinar.

I 6n ami!o me dijo que lanz8 una moneda 10 000 veces y obtuvo  0 caras. Esto es ...

imposible.

normal.

improbable.

Bemos lanzado una moneda +I veces, lo m"s probable es que en el pr8ximo lanzamiento sal!a ...

cara.

cru'.

3o es m*s probable ni una opci#n ni la otra.

10Si la probabilidad de que en EspaJa nazca una niJa es de 0.'( entonces la probabilidad de que nazca niJo es de ...

9.50

9.69

(28)

?untuaci8n

$UARTO #RUPO DE PROBLEMAS

)ontesta a las si!uientes pre!untas, redondeando a dos cifras decimales siempre que sea necesario

1)alcular la probabilidad de que al tirar un dado sal!a

6n número impar.

? Mmpar /

6n múltiplo de 3.

? Oúltiplo de 3 /

6n número menor que '.

? P' /

(6na urna tiene seis bolas blancas, ' ne!ras y + rojas. Si se extrae una bola al azar calcular la probabiliidad de

Sea blanca.

? 7lanca /

Sea ne!ra.

? <e!ra /

<o sea roja.

(29)

3:e una urna que contiene + bolas blancas y seis ne!ras, se extraen dos bolas al azar, con reemplazamiento. )alcular la probabilidad de que

Las dos sean ne!ras.

6na sea blanca y la otra ne!ra.

+:e una urna que contiene + bolas blancas y seis ne!ras, se extraen dos bolas al azar, sin reemplazamiento. )alcular la probabilidad de que

Las dos sean ne!ras

6na sea blanca y la otra ne!ra.

'Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide

La probabilidad de que la suma sea '.

La probabilidad de que la suma sea 11.

&:e una baraja de +I cartas se extrae simult"neamente dos de ellas. )alcular la probabilidad de que

Las dos sean espadas.

*l menos una espada.

(30)

9Quan y ?edro van de caza, sabiendo que Quan acierta 1 de + disparos y que ?edro acierta 1 de cada 3 disparos. )alcular la probabilidad de que

Quan cace una pieza.

?edro cace una pieza.

Los dos abatan la misma pieza.

*l menos uno abata la pieza.

IEn una clase #ay 10 alumnas con !afas y (0 sin !afas, ' alumnos con !afas y 10

alumnos sin !afas. 6n d5a asisten ++ alumnos, calcular la probabilidad de que el alumno que falte sea

Bombre

Oujer sin !afas

Bombre o mujer

?untuaci8n

(31)

Ballar 1 ( 3 + ' & 9 Soluci8n Ejercicio 2

Sean * y 7 dos sucesos aleatorios con

Ballar

1

(