Diseño de Datos Experimentales-ejercicios-resueltos

6-7. Se llevó a cabo un experimento para mejorar el rendimiento de un proceso químico.

Se seleccionaron cuatro factores y se corrieron dos réplicas de un experimento

completamente aleatorizado. Los resultados se presentan en la tabla siguiente:

Diseño factorial completo

Factores: 4 Diseño de la base: 4, 16 Corridas : 32 Réplicas: 2 Bloques: 1 Puntos centrales (total): 0 Todos los términos están libres de estructuras alias

a) Estimar los efectos de los factores.

Efectos y coeficientes estimados para y (unidades codificadas) Término Efecto Coef SE Coef T P

Constante 82.781 0.4891 169.24 0.000 A -9.063 -4.531 0.4891 -9.26 0.000 B -1.312 -0.656 0.4891 -1.34 0.198 C -2.687 -1.344 0.4891 -2.75 0.014 D 3.937 1.969 0.4891 4.02 0.001 A*B 4.062 2.031 0.4891 4.15 0.001 A*C 0.688 0.344 0.4891 0.70 0.492 A*D -2.187 -1.094 0.4891 -2.24 0.040 B*C -0.563 -0.281 0.4891 -0.57 0.573 B*D -0.188 -0.094 0.4891 -0.19 0.850 C*D 1.688 0.844 0.4891 1.72 0.104 A*B*C -5.187 -2.594 0.4891 -5.30 0.000 A*B*D 4.687 2.344 0.4891 4.79 0.000 A*C*D -0.938 -0.469 0.4891 -0.96 0.352 B*C*D -0.938 -0.469 0.4891 -0.96 0.352 A*B*C*D 2.437 1.219 0.4891 2.49 0.024 S = 2.76699 PRESS = 490

BD BC AC ACD BCD B CD AD ABCD C D AB ABD ABC A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Té rm in o Efecto estandarizado 2.120 A A B B C C D D Factor Nombre

Diagrama de Pareto de efectos estandarizados

(la respuesta es y, Alfa = 0.05)

1 -1 86 84 82 80 78 1 -1 1 -1 86 84 82 80 78 1 -1 A M e d ia B C D

Gráfica de efectos principales para Rendimiento

Medias de datos

Se muestra que el efecto potencialmente importante es el factor A, donde igualmente

todos los factores pasando la línea 2.12 son significativos; Y la mejor condición para

mejorar el rendimiento del proceso en los factores A, B y C es en -1, mientras que en

D es 1.

b) Construir la tabla del análisis de varianza y determinar cuáles factores son

importantes para explicar el rendimiento.

Análisis de varianza para y (unidades codificadas)

Fuente GL SC Sec. SC Ajust. CM Ajust. F Efectos principales 4 852.63 852.625 213.156 27.84 A 1 657.03 657.031 657.031 85.82 B 1 13.78 13.781 13.781 1.80 C 1 57.78 57.781 57.781 7.55 D 1 124.03 124.031 124.031 16.20 2-Interacciones de (No.) factores 6 199.69 199.687 33.281 4.35 A*B 1 132.03 132.031 132.031 17.24 A*C 1 3.78 3.781 3.781 0.49 A*D 1 38.28 38.281 38.281 5.00 B*C 1 2.53 2.531 2.531 0.33 B*D 1 0.28 0.281 0.281 0.04 C*D 1 22.78 22.781 22.781 2.98 3-Interacciones de (No.) factores 4 405.12 405.125 101.281 13.23 A*B*C 1 215.28 215.281 215.281 28.12 A*B*D 1 175.78 175.781 175.781 22.96 A*C*D 1 7.03 7.031 7.031 0.92 B*C*D 1 7.03 7.031 7.031 0.92 4-Interacciones de (No.) factores 1 47.53 47.531 47.531 6.21 A*B*C*D 1 47.53 47.531 47.531 6.21 Error residual 16 122.50 122.500 7.656 Error puro 16 122.50 122.500 7.656 Total 31 1627.47 Fuente P Efectos principales 0.000 A 0.000 B 0.198 C 0.014 D 0.001 2-Interacciones de (No.) factores 0.009 A*B 0.001 A*C 0.492 A*D 0.040 B*C 0.573 B*D 0.850 C*D 0.104 3-Interacciones de (No.) factores 0.000 A*B*C 0.000 A*B*D 0.000 A*C*D 0.352 B*C*D 0.352 4-Interacciones de (No.) factores 0.024 A*B*C*D 0.024 Error residual

Error puro Total

Observaciones inusuales de Rendimiento

EE de Residuo Obs OrdenEst. Rendimiento Ajuste ajuste Residuo estándar 13 13 99.0000 94.5000 1.9566 4.5000 2.30R 29 29 90.0000 94.5000 1.9566 -4.5000 -2.30R

Los factores importantes para

explicar el rendimiento son el A, D y

las interacciones entre A*B, A*D,

A*B*C y A*B*D ya que muestran

valores significativos en el análisis de

varianza y además sus valores P son

menores que el nivel de significancia

de alfa = 0.05.

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

c) Escribir un modelo de regresión para predecir el rendimiento, suponiendo que los

cuatro factores se hicieron variar en el rango -1 a +1 (en unidades codificadas).

R-cuad. = 92.47% R-cuad.(pred.) = 69.89% R-cuad.(ajustado) = 85.42% Y = 82.781 - 4.531 A - 0.656 B - 1.344 C + 1.969 D + 2.031 A*B + 0.344 A*C - 1.094 A*D - 0.281 B*C - 0.094 B*D + 0.844 C*D - 2.594 A*B*C + 2.344 A*B*D - 0.469 A*C*D - 0.469 B*C*D + 1.219 A*B*C*D

d) Graficar los residuales contra el rendimiento predicho y en una escala de

probabilidad normal. ¿El análisis residual parece ser satisfactorio?

2 1 0 -1 -2 99 90 50 10 1 Residuo estandarizado P o rc e n ta je 100 90 80 70 2 1 0 -1 -2 Valor ajustado R e si d u o e st a n d a ri za d o 2 1 0 -1 -2 10.0 7.5 5.0 2.5 0.0 Residuo estandarizado F re cu e n ci a 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 1 0 -1 -2 Orden de observación R e si d u o e st a n d a ri za d o

Gráfica de probabilidad normal vs. ajustes

Histograma vs. orden

Gráficas de residuos para Rendimiento

Si, ya que presenta una normalidad distribuida cerca del ajuste. Además hay una

predominancia en 1 y -1, dónde los puntos por encima de la línea denotan una

independencia y se puede apreciar el patrón aleatorio alrededor de la línea central, lo que

valida el experimento.

e) Dos interacciones de tres factores, ABC y ABD, aparentemente tienen efectos

grandes. Trazar una gráfica de cubo en los factores A, B y C con los rendimientos

promedio indicados en cada vértice. Repetir lo anterior utilizando los factores A, B

y D. ¿Estas dos gráficas ayudan a la interpretación de los datos? ¿Dónde se

recomendaría que se corriera el proceso con respecto a las cuatro variables?

1 -1 1 -1 1 -1 C B A 75.75 78.75 86.00 85.25 83.50 75.00 94.00 84.00

Gráfica de cubos (medias de los datos) para Rendimiento

1 -1 1 -1 1 -1 D B A 82.75 75.50 95.50 85.25 76.50 78.25 84.50 84.00



Solo nos ayudan a interpretar cuál es el efecto más significativo, mostrando la

relación existente entre varios factores.



Es más recomendable correr el proceso en donde el valor del rendimiento sea más

significativo, en este caso en la interacción A*B*C.

6-8. Un bacteriólogo está interesado en los efectos de dos medios de cultivo diferentes y

dos tiempos diferentes sobre el crecimiento de un

virus particular. Realiza seis réplicas de un diseño

2^2, haciendo las corridas de manera aleatoria.

Analizar los datos del crecimiento viral que se

presenta enseguida y sacar las conclusiones

apropiadas. Analizar los residuales y comentar la

adecuación del modelo.

Diseño factorial de múltiples niveles

Factores: 2 Réplicas: 6 Corridas base: 4 Total de corridas: 24 Bloques base: 1 Total de bloques: 1 Número de niveles: 2, 2

Modelo lineal general: Crecimiento vs. Tiempo, Cultivo

Tiempo fijo 2 12, 18 Cultivo fijo 2 1, 2

Análisis de varianza para Crecimiento, utilizando SC ajustada para pruebas Fuente GL SC Sec. SC Ajust. CM Ajust. F P

Tiempo 1 590.04 590.04 590.04 115.51 0.000 Cultivo 1 9.38 9.38 9.38 1.84 0.191 Tiempo*Cultivo 1 92.04 92.04 92.04 18.02 0.000 Error 20 102.17 102.17 5.11 Total 23 793.63 S = 2.26016 R-cuad. = 87.13% R-cuad.(ajustado) = 85.20%

Observaciones inusuales de Crecimiento

EE de Residuo Obs Crecimiento Ajuste ajuste Residuo estándar 17 28.0000 23.3333 0.9227 4.6667 2.26 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Medias de cuadrado mínimo para Crecimiento Error

estándar de la Tiempo Media media 12 24.67 0.6525 18 34.58 0.6525 Cultivo 1 30.25 0.6525 2 29.00 0.6525 Tiempo*Cultivo 12 1 23.33 0.9227 12 2 26.00 0.9227 18 1 37.17 0.9227 18 2 32.00 0.9227 2 1 0 -1 -2 99 90 50 10 1 Residuo estandarizado P o rc e n ta je 35 30 25 2 1 0 -1 -2 Valor ajustado R e si d u o e st a n d a ri za d o 2 1 0 -1 4.8 3.6 2.4 1.2 0.0 Residuo estandarizado F re cu e n ci a 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 1 0 -1 -2 Orden de observación R e si d u o e st a n d a ri za d o

Gráfica de probabilidad normal

vs. ajustes

Histograma

vs. orden

El análisis de varianza nos muestra que los efectos más significativos sobre el crecimiento

de un virus en particular son el tiempo y su interacción con el medio de cultivo. Por lo que

las gráficas residuales presentan una distribución normal con los datos muy cerca unos de

otros de la línea de ajuste. Esto quiere decir que el crecimiento dado en los intervalos de

tiempo es satisfactorio.

Medias de datos 2 1 38 36 34 32 30 28 26 24 22 Cultivo M e d ia 12 18 Tiempo Gráfica de interacción para Crecimiento

La gráfica de efectos muestra que las mejores condiciones para el crecimiento del virus se

deben dar en un tiempo de 18hrs y con el cultivo número 1.

Además, se puede apreciar que no hay una interacción entre ambas variables, por lo que

si alguna cambia, no afectaría directamente en el rendimiento.

6-9. Un ingeniero industrial empleado por una compañía refresquera está interesado en

los efectos de dos diferentes tipos de botellas de 32 onzas sobre el tiempo de entrega de

cajas de 12 botellas del producto. Los dos tipos de botellas son de vidrio y plástico. Se

usan dos empleados para realizar una tarea que

consiste en mover 40 cajas del producto 50 pies

de una plataforma de carga estándar y

acomodarlas en un estante de venta. Se hacen

cuatro réplicas de un diseño factorial 2^2 y los

tiempos observados se enlistan en la siguiente

tabla. Analizar los datos y sacar las conclusiones

apropiadas. Analizar los residuales y comentar la adecuación del modelo.

Diseño factorial de múltiples niveles

Factores: 2 Réplicas: 4 Corridas base: 4 Total de corridas: 16 Bloques base: 1 Total de bloques: 1 Número de niveles: 2, 2

Modelo lineal general: Tiempo vs. Tipo de botella, Empleado

Tipo de botella fijo 2 Vidrio, Plástico Empleado fijo 2 1, 2

Fuente GL SC Sec. SC Ajust. CM Ajust. F P Tipo de botella 1 2.1389 2.1389 2.1389 15.58 0.002 Empleado 1 1.6706 1.6706 1.6706 12.17 0.004 Tipo de botella*Empleado 1 0.4590 0.4590 0.4590 3.34 0.092 Error 12 1.6471 1.6471 0.1373 Total 15 5.9156 S = 0.370487 R-cuad. = 72.16% R-cuad.(ajustado) = 65.20% Observaciones inusuales de Tiempo

EE de Residuo Obs Tiempo Ajuste ajuste Residuo estándar 2 6.65000 5.98250 0.18524 0.66750 2.08 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Medias de cuadrado mínimo para Tiempo Error estándar de la Tipo de bote Media media Vidrio 5.490 0.1310 Plástico 4.759 0.1310 Empleado 1 4.801 0.1310 2 5.447 0.1310 Tipo de bote*Empleado Vidrio 1 4.997 0.1852 Vidrio 2 5.982 0.1852 Plástico 1 4.605 0.1852 Plástico 2 4.913 0.1852

2 1 0 -1 -2 99 90 50 10 1 Residuo estandarizado P o rc e n ta je 6.0 5.5 5.0 4.5 2 1 0 -1 -2 Valor ajustado R e si d u o e st a n d a ri za d o 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 4 3 2 1 0 Residuo estandarizado F re cu e n ci a 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 0 -1 -2 Orden de observación R e si d u o e st a n d a ri za d o

Gráfica de probabilidad normal

vs. ajustes

Histograma

vs. orden

Gráficas de residuos para Tiempo

Los efectos más significativos sobre el tiempo de entrega son el tipo de botella y el

empleado. La gráfica de residuos presenta una normalidad cercana al ajuste, lo que valida

el modelo. Además la variabilidad en los factores es independiente, donde el tipo de

botella afecta más al tiempo de entrega que la relación entre empleado-tipo de botella, y

se puede apreciar con el patrón aleatorio alrededor de la línea central.

Plástico Vidrio 5.5 5.4 5.3 5.2 5.1 5.0 4.9 4.8 4.7 2 1 Tipo de botella M e d ia Empleado Gráfica de efectos principales para Tiempo

Medias de datos 2 1 6.00 5.75 5.50 5.25 5.00 4.75 4.50 Empleado M e d ia Vidrio Plástico botella Tipo de

Gráfica de interacción para Tiempo Medias de datos

Es notorio que tiene un mayor efecto con el tiempo el tipo de botellas de vidrio que las de

plástico, al igual que el empleado 2, por lo que para hacer un menor tiempo de entrega es

recomendable las botellas de plástico y el empleado 1, pero para una mejor calidad de

producto es mejor el tipo de botella de vidrio y el empleado 2.

Como se puede apreciar no hay interacción entre ambos factores, por lo que si alguno

cambia, no afectará directamente al tiempo de entrega de la compañía refresquera.