4.2.4. Método de cuadratura Gaussiana. 4.2.4. Método de cuadratura Gaussiana.
En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos so
son n igiguaualeles, s, es es dedecicir r quque e la la vavaririabable le inindedepependndieientnte e x x esesta ta didivivididida da enen interva
intervalos equiespaciadolos equiespaciados. s. Gauss observo que a Gauss observo que a falta de falta de exigir la condición deexigir la condición de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de tre
tres s tétérmrminoinos s rereququerieriría ría seseis is paparámrámetretros os (e(en n vevez z de de tretres s cocomo mo el el cacaso so dede Simpson) y corresponder
Simpson) y correspondería ía a una formula a una formula de integracióde integración poli n poli nómica de gradonómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse cuando la función f(x) se cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores equiespaciados conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se deben de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se deben usar las formulas de integración numérica.
usar las formulas de integración numérica.
Las formulas de
Las formulas de integración integración de Gaude Gauss tienen ss tienen la forma:la forma:
Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función
función
f(x)-Cuadratura Gauss
Cuadratura Gauss LegeLegendrendre
El objetivo de este método es aproximar la función f(x), por un polinomio pn El objetivo de este método es aproximar la función f(x), por un polinomio pn (x) que sea ortogonal con respecto a una función de peso dado, en el intervalo. (x) que sea ortogonal con respecto a una función de peso dado, en el intervalo. f(x)=Pn(x)+Rn(x)
f(x)=Pn(x)+Rn(x)
Donde w(x) son funciones de peso, Pn(x) es el polinomio seleccionado y Donde w(x) son funciones de peso, Pn(x) es el polinomio seleccionado y Rn(x) es el residuo originado por la aproximación.
Rn(x) es el residuo originado por la aproximación.
Es conveniente que los límites de integración sea entre (-1,1) y no entre (a, b ). Es conveniente que los límites de integración sea entre (-1,1) y no entre (a, b ). para ello s
Así se tiene que.
L1 es el polinomio de Legendre:
Nótese que I e I’ están relacionadas de la siguiente manera:
Reagrupando los términos de la primera ecuación de esta cuadratura, se tiene:
Se puede demostrar que si la función F(t) es equivalente a un polinomio de grado inferiros o igual a un polinomio de grado 2n+1, la integral es exacta si los coeficientes son calculados por la formula:
Las funciones Ω(t) son funciones positivas integrales asociadas a la propiedad de ciertos polinomios ortogonales. De hecho los valores que aparecen en el cálculo de la sumatoria son justamente las raíces de estos mismos polinomios ortogonales, raíces utilizadas en el desarrollo:
Dependiendo del intervalo (a,b), también llamado dominio, se selecciona el tipo de polinomio que satisfaga la ecuación general del método de Romberg. Finalmente el resultado de la integral es:
Polinomios de Legendre:
Dominio (1,1), función de peso Ω(x)=1
Coeficientes para la cuadratura de Gauss-Legendre
ti wi 2 +-0,577350269189 1 3 o +-0,774596669241 0,888…(=8/9) 0,555…(=5/9) 4 +-0,339981043585 +-0,861136311594 0,652145154862 0,347854845137 5 O +-0,538463310106 +-0,906179845939 0,56888 0,478628670499 0,236926885056 6 +-0,238619186083 +-0,661209386466 +-0,932469514203 0,467913934573 0,3607615730481 0,171324492379 10 +-0,148874338982 +-0,433395394129 +-0,679409568299 +-0,865063366689 +-0,973906528517 0,295524224714 0,269266719310 0,219086362515 0,149451349151 0,066671344309 15 O +-0,201194093997 +-0,394151347078 +-0,570972172609 +-0,724417731360 +-0,848206583410 0,202578241926 0,198431485327 0,186161000116 0,166269208817 0,139570677926 0,107159220467
+-0,937273392401 +-0,987992518020
0,070366047488 0,030753241996 Otras cuadraturas Gaussianas
Las técnicas de cuadratura Gaussiana pueden ser utilizadas para otro tipo de polinomios ortogonales. De las numerosas familias existentes, tres tienen un
uso relativamente común. Se trata de las cuadratura de Gauss-Tchebychef, Gauss-Laguerre y Gauss-L’Hermite. Todas se diferencian fundamentalmente por tener las raíces ubicadas en dominios distintos y tener funciones de peso
también diferentes.
Ejercicio1 Método de cuadratura: Gauss-Legendre (MetGaLeg)
Demostrar que para una cuadratura de Gauss-Legandre, los coeficientes para una colocación de tres puntos para zi y (t)i son los de latabla expuesta en el párrafo correspondiente:
Solución:
Se calcularan primero las raíces del polinomio de Legendre que anulan el residuo en tres puntos:
Siendo las raíces: 0, +
Los factores de peso se obtienen integrando los polinomios de Lagrange para caca uno de los valores que anuló el residuo.
Resolviendo se obtiene:
1 = 8/9
2 = 3 = 5/9 Ejercicio 2: Aproximamos
usando la regla de cuadrátura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que
resulta en:
Tenemos ahora que
Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n
parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta.
Caso n = 2 e intervalo [-1, 1]
Queremos determinar x1, x2, c1 y c2 para que la fórmula
de un resultado exacto siempre que f(x) sea un polinomio de grado 2 · 2 - 1 = 3 o menor
Hay que demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x, x2 y x3.
Este sistema de ecuaciones tiene solución única
Caso general Para n _ 2 e intervalo [-1, 1] el cálculo de los xi y ci se realizan utilizando los polinomios de Legendre y sus raíces.
Las constantes ci y las raíces de los polinomios de Legendre están tabuladas
Así:
Para el caso general de un intervalo cualquiera [a, b] se realiza un cambio de variable en la integral:
