Teoría de colas

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NUCLEO DE ANZOÁTEGUI COORDINACIÓN DE POSTGRADO MAESTRÍA EN INFORMÁTICA GERENCIAL

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Elaborado por: Gianpaolo Passanante Eneida Martinez Mayra Lanza Barcelona, Marzo 2016

Teoría de Colas

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ... 3

OBJETIVO GENERAL ... 5

OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 5

CAPITULO I MARCO REFERENCIAL ... 6

BASES TEÓRICAS ... 6

Investigación de Operaciones ... 6

Teoría de Colas ... 6

Proceso básico de colas ... 7

POR QUÉ SE FORMAN LAS COLAS DE ESPERA ... 8

ASPECTOS A TENER EN CUENTA EN LOS MODELOS DE COLAS ... 9

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN ... 10

ESTADOS DE UN SISTEMA DE COLAS ... 11

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES ... 12

PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE ... 15

MEDIDAS DE DESEMPEÑO DE SISTEMA DE COLAS ... 18

FORMULAS GENERALES ... 18

CLASIFICACIÓN DE MODELOS DE COLAS ... 19

Modelo M/M/1 ... 19

Modelo Con Múltiples Servidores ... 21

Modelo M/G/1 ... 21

Modelos De Decisión En Colas ... 22

CAPITULO II METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION ... 25

NIVEL DE INVESTIGACIÓN ... 25

DISEÑO DE INVESTIGACIÓN ... 25

CAPITULO III DESARROLLO ... 27

TEORÍA DE COLAS ... 27

ESTRUCTURA BÁSICA DEL MODELO DE COLAS ... 27

Fuente de entrada (población potencial) ... 28

Cola ... 29

Disciplina de la cola ... 29

Mecanismo de servicio ... 29

ESTRUCTURAS MÁS COMUNES EN MODELOS DE COLAS ... 30

APLICACIONESDELOSSISTEMASDECOLAS ... 32

BENEFICIOS DEL MODELO DE COLAS ... 34

LIMITACIONES DEL MODELO DE COLAS ... 34

SOFTWARE DISPONIBLE PARA APLICACIÓN DE COLAS DE ESPERA ... 35

CONCLUSIONES ... 41

INTRODUCCIÓN

La teoría de colas es una disciplina, dentro de la investigación operativa, que tiene por objeto el estudio y análisis de situaciones en las que existen entes que demandan cierto servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instantáneamente, por lo cual se provocan esperas mientras son atendidos. En tal sentido, la investigación de operaciones, utilizando métodos determinísticos y probabilísticos, permite encontrar soluciones opimas a los problemas originadas en las actividades de la empresa, además de simular las diversas políticas, con el cual se limita los riesgos de decisión.

La teoría de colas (o también llamada teoría de líneas o filas de espera) se le atribuye al ingeniero danés A. K. Erlang (909) esta llegó después de estudiar los conmutadores telefónicos en Copenhague, en la compañía telefónica danesa. Desarrolló muchos de los resultados de colas de espera que utilizamos actualmente. La "Cola" (o queue) es el término británico para cualquier tipo de colas de espera.

El ámbito de la aplicación de la teoría de colas se puede observar en cada aspecto de la vida cotidiana: desde las esperas para ser atendidos en establecimientos comerciales, esperas para ser procesados determinados programas informáticos, esperas para establecer comunicación o recibir información de un sito web, a través de internet, entre muchas otras. Aunque el fenómeno de esperar no se limita a los seres humanos si no también a los trabajos esperan para ser procesados, los aviones vuelan en círculos a diferentes alturas hasta que se les permite aterrizar, y los autos se detienen en los semáforos. Es decir, El estudio de las colas tiene que ver con la cuantificación del fenómeno de esperar por medio de medidas de desempeño representativas, tales como

longitud promedio de la cola, tiempo de espera promedio en la cola, y el uso promedio de la instalación.

En resumen, un modelo de teoría de cola de espera es aquel en el que usted tiene una secuencia de elementos (tales como las personas) que llegan a una instalación en busca de servicio. Ésta es una aplicación inusual, porque la teoría de colas se utiliza para demostrar que la causa de los largos retrasos es principalmente logística

El fin último de este trabajo de investigación radica en estudiar la teoría de colas de esperas y los modelos más comunes. En tal sentido la presente investigación está estructurada de la siguiente manera: Introducción, objetivos, Capitulo I Marco referencial en donde se describen las bases teóricas de la teoría de Colas de espera; Capitulo II Marco metodológico en donde se indica la metodología de investigación utilizada y la Capítulo III de desarrollo donde se define modelo de colas, su estructura, beneficios y limitaciones y software disponible.

OBJETIVOS Objetivo General

Analizar el modelo de colas de espera en cuanto a aspectos generales, estructura, aplicaciones y metodología a seguir para obtener soluciones a problemas de sistemas reales de cola con ayuda de software especializado

Objetivos Específicos

 Definir el Modelo de Colas.

 Identificar estructura básica de los Modelo de Colas  Determinar las aplicaciones del modelo de Colas

 Establecer los problemas, ventajas y desventajas de la aplicación del modelo de colas

 Aplicación de Modelo de colas o líneas de espera a casos propuestos con ayuda de software especializado

CAPITULO I

MARCO REFERENCIAL

Bases Teóricas

Investigación de Operaciones

Según Munguía y Protti(2005) “es la aplicación por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización. (p.3)

En tal sentido, la investigación de operaciones se basa en la aplicación del método científico para el desarrollo de modelos que permitan solucionar problemas que requieran la toma de decisiones gerenciales dentro de las organizaciones. Entre los problemas más comunes se encuentran la asignación de recursos, ruteo, inventario, línea de espera (colas) o programación de proyectos.

Teoría de Colas

Hillier y Liberman (2010) afirman que:

La teoría de colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Utiliza los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas de cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá en diversas circunstancias. (p.708)

Por otro lado para González (2003):

La teoría de colas se ocupa de las llegadas aleatorias a una instalación de servicio o de procesamiento de capacidad limitada. Este modelo tiene como objeto permitir la determinación del número óptimo de personal o de instalaciones que se requieran para dar servicio a los clientes que lleguen en forma aleatoria al considerar el costo del servicio y el de las esperas y congestiones.(p.6)

Teniendo en cuenta las definiciones anteriores, ambas coinciden en que la teoría de Colas permite generar modelos matemáticos para establecer el desempeño del sistema correspondiente en cuanto a número de personal requerido así como las instalaciones facilitando establecer los costos de las esperas para una organización.

Proceso básico de colas

Siguiendo lo especificado por Hillier y Liberman Op.cit.,p.109, la estructura y el proceso básico de Colas comprende:

Los clientes que requieren un servicio en momento determinado comprenden fuente de entrada. Luego, ingresan al sistema y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola para proporcionarle el servicio mediante alguna regla conocida como disciplina de la cola que sería el orden de atención. Se lleva a cabo el servicio que el cliente requiere mediante un mecanismo de servicio, y después el cliente sale del sistema de colas. (Ver figura 1)

Figura 1.Proceso Básico de colas. Tomado de Introducción a la investigación de operaciones por Hillier y Liberman 2010. p.709

Por qué se Forman las Colas de Espera

Se sabe que las colas de espera son una hilera formada por uno o varios “clientes” que esperan a recibir un servicio, estos pueden ser personas u objetos inanimados (máquinas, producto, entre otros). Pero, cabe preguntarse ¿por qué se forman las colas? Esto ocurre, según Krajewski, Ritzman, & Malhotra (2008) “a un desequilibrio temporal entre la demanda de un servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo”. En la mayoría de los problemas de filas de espera de la vida real, la tasa de demanda varía; es decir, los clientes llegan a intervalos imprevisibles.

Lo más común es que también haya variaciones en la tasa de producción del servicio, dependiendo de las necesidades del cliente. Las filas de espera pueden formarse a pesar de que el tiempo necesario para atender a los clientes sea constante. Por ejemplo, el terminal de una empresa de transporte está controlado por computadoras para que llegue puntualmente a las distintas estaciones de su ruta. Cada autobús está programado para llegar a una estación, por ejemplo, cada 15 minutos. A pesar de que el tiempo de servicio es constante, se forman filas de espera cuando los pasajeros tienen que esperar al siguiente autobús o no logran abordar alguno a causa del gran número de personas que se aglomeran en las estaciones en las horas más agitadas del día. Por consiguiente, en

este caso, la variabilidad de la tasa de demanda determina la longitud de las filas de espera.

En general, si no hay variabilidad en las tasas de demanda o servicio y se cuenta con capacidad suficiente, no se formarán filas de espera.

Aspectos a tener en cuenta en los Modelos de colas

Dado que los gerentes suelen utilizar modelos de colas de espera para equilibrar las ventajas que podrían obtener incrementando la eficiencia del sistema de servicio y los costos que esto implica.

En tal sentido Eppen (2000) indica que deben plantearse o considerar lo siguiente para establecer el desempeño de cualquier sistema de cola de espera:

• El número de personas en el sistema: el número de personas que están siendo atendidas en el momento, así como aquellas que están esperando servicio.

• La cantidad de personas en la cola de espera: las personas que están esperando servicio.

• El tiempo de espera en el sistema: el intervalo entre el momento en que el individuo entra al sistema y aquel en que sale del mismo. Observe que este intervalo incluye el tiempo de servicio.

• El tiempo de espera en la cola: el tiempo transcurrido desde que uno entra al sistema hasta que se inicia el servicio

.

Además, los gerentes deben considerar los costos de no mejorar el sistema: las filas de espera largas o los tiempos de espera prolongados provocan que los clientes eviten el sistema o renuncien a permanecer este. A partir de lo anterior, el Gerente deberá realizar la toma de decisiones necesarias en beneficio de la organización

Terminología y notación

A menos que se establezca otra cosa, se utilizará la siguiente terminología estándar:

Estado del sistema = número de clientes en el sistema.

Longitud de la cola = número de clientes que esperan servicio.

= estado del sistema menos número de clientes a quienes se les da el servicio.

n(t) = número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0).

n(t) = probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en

el tiempo t, dado el número en el tiempo 0.

s =número de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas.

n = tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de

tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.

_n = tasa media de servicio en todo el sistema (número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema. Es decir, representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados (aquellos que están sirviendo a un cliente) logran terminar sus servicios.

Nota

Cuando n es constante para toda n, esta constante se denota por

. Cuando la tasa media de servicio por servidor ocupado es constante para toda n 1, esta constante se denota por . ( En este caso, n =

s cuando n  s, es decir, cuando los s servidores están ocupado)

Estados de un sistema de colas

Los sistemas de colas pueden estar en estado transitorio o estable. Para Hillier y liberman (2010) un estado del sistema de colas transitorio ocurre apenas un sistema de colas apenas inicia su operación, el estado del sistema (el número de clientes que esperan en el sistema) se encuentra bastante afectado por el estado inicial y el tiempo que ha pasado desde el inicio. Se dice entonces que el sistema se encuentra en condición transitoria.

Sin embargo, una vez que ha pasado suficiente tiempo, el estado del sistema se vuelve, en esencia independiente del estado inicial y del tiempo transcurrido (excepto en circunstancias no usuales).

En este contexto, se puede decir que el sistema ha alcanzado su condición de estado estable, en la que la distribución de probabilidad del estado del sistema se conserva (la distribución estacionaria o de estado estable) a través del tiempo. La teoría de colas tiende a dedicar su análisis a la condición de estado estable, en parte porque el caso transitorio es analíticamente más difícil.

La notación siguiente supone que el sistema se encuentra en la condición de estado estable:

Pn = probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema

L = número esperado de clientes en el sistema

Lq = longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio)

En condiciones de estado estable, para n > 0, las tasas de flujo esperadas de entrada y salida del estado n deben ser iguales. Con base en el hecho de que el estado n puede cambiar sólo a los estados n - 1 y n +1, se tiene entonces que:

P0 =

Distribuciones De Probabilidades

Para Krajewski, Ritzman, & Malhotra ( 2008) el carácter aleatorio de la llegada de los clientes y de las variaciones que se registran en los tiempos requeridos para proporcionar el servicio. Cada una de esas fuentes se describe mediante una distribución de probabilidades, como se detalla a continuación:

Distribución De Llegadas

La llegada de clientes a las instalaciones de servicio es aleatoria. La variabilidad en los intervalos de llegada de los clientes a menudo se describe por medio de una distribución de Poisson, que especifica la probabilidad de que n clientes lleguen en T periodos de tiempo.

Expresada en la siguiente fórmula:

para n=(1,2,3…)

Donde

Pn = probabilidad de n llegadas en T periodos de tiempo λ = número promedio de llegas de clientes por periodo e = 2.7183

La media de la distribución de Poisson es λT, y la varianza también es λT. La distribución de Poisson es una distribución discreta; es decir, las probabilidades corresponden a un número específico de llegadas por unidad de tiempo. Ver figura 2.

Figura 2. Distribución Poisson

!

)

(

)

(

n

T

n

P

T 







Otra forma de especificar la distribución de las llegadas consiste en hacerlo en términos de tiempos entre llegadas de clientes; es decir, el tiempo que transcurre entre la llegada de dos clientes sucesivos. Para ello se utilizaría una distribución exponencial que permitirá describir la probabilidad de que el próximo cliente llegue durante los siguientes T periodos de tiempo.

Distribución Del Tiempo De Servicio

La distribución exponencial describe la probabilidad de que el tiempo de servicio del cliente en una instalación determinada no sea mayor que T periodos de tiempo. La probabilidad puede calcularse con la siguiente fórmula:

P(t ≤ T) = 1 – e-μT

Donde

μ = número promedio de clientes que completan el servicio por periodo

t = tiempo de servicio del cliente T = tiempo de servicio objetivo

La media de la distribución del tiempo de servicio es 1/μ, y la varianza es (1/μ)2

. A medida que T se incrementa, la probabilidad de que el tiempo de servicio del cliente sea menor que T se va aproximando a 1.0. (ver figura 3) . En resumen, el modelo de distribución exponencial se basa en la suposición de que cada tiempo de servicio es independiente de los tiempos que lo precedieron.

Figura 3 Distribución Exponencial

Procesos de Nacimiento y Muerte

En teoría de colas existen dos procesos el de nacimiento y muerte y estos se refieren a las llegadas y salidas de un sistema de cola. Como lo expresan a continuación Hillier y Lieberman Op.cit.p.721

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo con un proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embargo, en el contexto de la teoría de colas, el termino nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al sistema de colas, mientras que el termino muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t  0), denotado por N(t), es el numero de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilístico como cambia N(t) al aumentar t.

En general, sostiene que los nacimientos y muertes individuales ocurren de manera aleatoria, y que sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, los supuestos del proceso de nacimiento y muerte son los siguientes:

Supuesto 1. Dado N(t) 5 n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n(n 5 0, 1, 2, . . .).

Supuesto 2. Dado N(t) 5 n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro n

(n 5 1, 2, . . .).

Supuesto 3. La variable aleatoria del supuesto 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria del supuesto 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. La siguiente transición del estado del proceso es

n → n+ 1 (un solo nacimiento) o

n → n-1 (una sola muerte), lo que depende de cuál de las dos variables es más pequeña.

En el caso de un sistema de colas, n y n

representan, respectivamente, la tasa media de llegada y la tasa media de terminaciones de servicio, cuando hay n clientes en el sistema. En algunos sistemas de colas, los valores n de las serán las mismas para todos los valores

de n, y las n también serán las mismas para toda n excepto

para aquella n tan pequeña que el servidor este desocupado (es decir, n= 0). Sin embargo, las n las n también pueden

variar en forma considerable con n para algunos sistemas de colas.

Lo anterior se representa en la figura 2. Mostrada a continuación:

Figura 4. Diagrama de tasas del proceso de nacimiento y muerte. Tomado de Hillieer y Liberman

En la realidad se pueden dar casos en que solo ocurran llegadas o salidas estos serían modelos puros de nacimiento y muerte. Por ejemplo, modelo de nacimiento puro es la creación de actas de nacimiento de bebés recién nacidos. El modelo de muerte pura puede demostrarse por medio del retiro aleatorio de un artículo en existencia en una tienda.

Medidas de desempeño de Sistema de Colas Formulas Generales

Para determinar el desempeño de un sistema de colas se deben conocer ciertos parámetros según Krajewski, Ritzman, & Malhotra. Op.cit.p 305, los cuales se muestran con sus símbolos y respectiva fórmula solo válida para < según cuadro 1. Las fórmulas de cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá en diversas circunstancias.

Cuadro1. Formulas para modelos de uno y Múltiples Servidores. Krajewski, Ritzman, & Malhotra(2008)

Modelo un servidor

Modelo múltiples servidores

Utilización del Sistema



=



𝝁

p=



𝝁

Probabilidad que haya n clientes en el sistema

_p

n

=(1-



)

𝝆

𝒏

p

n

=

(/𝝁)𝟐 𝒏!

𝝆

𝒏

𝟎 < 𝒏 < 𝒔

(/𝝁)𝟐 𝒔!𝒔𝒏−𝒔

𝝆

𝒏

𝒏 ≥ 𝒔

Probabilidad que haya

0 clientes en el sistema

p

0

=1-



𝐩

𝟎

=

(/𝝁)𝒏 𝒏! + (/𝝁)𝒔 𝒔! 𝒔−𝟏 𝒏=𝟎 𝟏 𝝆

Nº promedio de clientes en el sistema de Servicio

𝑳

=



𝝁−

𝑳

=



w

Nº promedio de clientes en fila de espera

𝑳

q =

𝝆𝑳

𝑳

_q= 𝛒_𝟎(



/𝝁)𝒔𝝆 𝒔!(𝟏−𝝆𝟐) Tiempo promedio pasado en el sistema, incluido el servicio 𝑾 = 𝟏 𝝁 − 𝑾 = 𝑾𝒒+ 𝟏 𝝁 Tiempo promedio de espera en la fila 𝑾𝒒 = 𝝆𝑾 𝑾𝒒= 𝑳_𝒒



Clasificación de Modelos de Colas

Para unificar criterios y facilitar el entendimiento entre los investigadores del modelo de colas, D.G. Kendall en 1953 ideo y propuso una clasificación o taxonomía con base en la siguiente notación:

A/B/s Donde

A= distribución de las llegadas B =distribución del servicio s =número de servidores

Existen muchos modelos de colas que pueden aplicarse, sin embargo para los efectos de esta investigación se plantearan dos modelos según Hillier y Liberman Op.cit.p.725

Modelo M/M/1

El modelo M/M/s supone que todos los tiempos entre llegadas son independientes e idénticamente distribuidos de acuerdo con una distribución exponencial (es decir, el proceso de entrada es de Poisson), que todos los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos de acuerdo con otra distribución exponencial y que el número de servidores es s (cualquier entero positivo).

Es el modelo más sencillo corresponde a un solo servidor y una sola fila de clientes.

Para especificar con más detalle el modelo, se harán las siguientes suposiciones:

1. La población de clientes es infinita y todos los clientes son pacientes.

2. Los clientes llegan de acuerdo con una distribución de Poisson y con una tasa media de llegadas de λ.

3. La distribución del servicio es exponencial, con una tasa media de servicio de μ.

4. La tasa media de servicio es mayor que la tasa media de llegadas.

5. A los clientes que llegan primero se les atiende primero. 6. La longitud de la fila de espera es ilimitada.

A partir de estas suposiciones, se pueden aplicar varias fórmulas para describir las características de operación del sistema o medidas de desempeño, ver cuadro 1

Por ejemplo, la gerente de una tienda, está interesada en brindar un buen servicio a las personas mayores que compran en su tienda. Actualmente, la tienda tiene una caja registradora reservada para los clientes de la tercera edad. Esas personas llegan a la caja a un ritmo promedio de 30 por hora, de acuerdo con una distribución de Poisson, y son atendidas a una tasa promedio de 35 clientes por hora, con tiempos de servicio exponenciales. Calcule las siguientes características de operación:

¿Qué tasa de servicio se requeriría para lograr que los clientes pasaran, en promedio, sólo 8 minutos en el sistema?

Se usa la ecuación correspondiente al tiempo promedio dentro del sistema y se resuelve para obtener el valor de μ.

Dado

8 minutos=0,133 horas = 1 𝜇 −30

0,1333-0,1333(30)=1 =37,52 clientes/hora

Modelo Con Múltiples Servidores

En el modelo con múltiples servidores, los clientes forman una sola fila y eligen entre s servidores al que esté disponible. El sistema de servicio tiene una sola fase. Se partirá de las siguientes suposiciones, además de las que se hicieron para el modelo con un solo servidor: hay s servidores idénticos, y la distribución del servicio para cada uno de ellos es exponencial, con un tiempo medio de servicio igual a 1/μ. Siempre debe ocurrir que sμ sea mayor que λ. Las medidas de desempeño para este modelo se pueden ver en el Cuadro 1.

Modelo M/G/1

A pesar de que en muchas situaciones la distribución exponencial describe con precisión el proceso de llegadas, puede que no se ajuste muy bien al proceso de servicio. Afortunadamente, existe una generalización del modelo básico, el cual permite que la distribución del tiempo de servicio sea arbitraria. Ni siquiera es necesario conocer la distribución del tiempo de servicio, sólo su media, 1/, y su varianza



2

.

Suponiendo que la distribución del tiempo de servicio es exponencial. La varianza de una distribución exponencial es (1/)2 si la media es 1/. Por lo que resulta igual al modelo básico

Modelos De Decisión En Colas

Existen modelos que se utilizan para determinar niveles de servicio “adecuado” en sistemas de colas a continuación se presentan dos modelos de decisión para determinar los niveles de servicio adecuado en sistemas de cola: (1) un modelo de costos, y (2) un modelo de nivel de aspiración. El objetivo es encontrar un balance entre el nivel de servicio y la espera.

Los modelos de costos tratan de balancear el costo del ofrecimiento del servicio y el costo de la demora al ofrecer el servicio (tiempo de espera del cliente). Teniendo en cuenta que un incremento de un costo provoca automáticamente una reducción del otro.

Las formulas para este modelo, comprende

Si x (= o c) representa el nivel de servicio, el modelo de costos se expresa como:

Donde

ETC = Costo total esperado por unidad de tiempo

EOC = Costo de operación esperado de la instalación por unidad de tiempo

EWC =Costo de espera anticipado por unidad de tiempo

Las formas más simples de EOC y EWC son las siguientes funciones lineales:

Donde

C1 = Costo marginal por unidad de x por unidad de tiempo

C2 = Costo de espera por unidad de tiempo por cliente (en espera)

Por otro lado, el Modelo de Nivel de aspiración utiliza en aquellas situaciones en que se desea estimar los parámetros del costo de un sistema de colas, algo difícil de controlar per se. Taha (2012) propone que el modelo de nivel de aspiración mitiga esta dificultad al trabajar directamente con las medidas de desempeño de la situación de colas. Con este se pretende determinar un intervalo aceptable para el nivel de servicio (m o c) especificando límites razonables en las medidas de desempeño conflictivas. Tales límites son los niveles de aspiración que el tomador de decisiones desea alcanzar.

Figura 5. Aplicación de niveles de aspiración en la toma de decisiones en colas

El modelo se aplica al modelo de varios servidores para determinar una cantidad “aceptable” de servidores, c*, teniendo en cuenta dos medidas de desempeño (conflictivas): El tiempo promedio en el sistema,Ws. Y El porcentaje de ociosidad de los servidores, X.

Porcentaje de ociosidad

Para determina la cantidad de servidores c*

Las constantes a y b son los niveles de aspiración especificados por el tomador de decisiones. Por ejemplo, α = 3 minutos y = 10%.

La solución del problema puede determinarse trazando una gráfica de Ws y X como una función de c, como se muestra en la figura 18.10.

Localizando α y  en la gráfica, determinando un intervalo aceptable para c*. Si no se pueden satisfacer las dos condiciones al mismo tiempo, entonces una o ambas deben relajarse antes de que se pueda encontrar un intervalo factible.

CAPITULO II

METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION

Nivel de Investigación

Según Arias (2006) el nivel de investigación se refiere al grado de profundidad con que se aborda un objeto o fenómeno y menciona que existen tres (3) tipos de niveles de investigación los cuales son: exploratoria, explicativa y descriptiva. Se puede establecer que este trabajo corresponde a una Investigación Descriptiva, ya que el mismo tiene como objetivo general describir los Modelos de colas a fin de estudiar su contenido, aplicación y los pasos a seguir para llevarlo a cabo, lo cual se piensa lograr definiendo el teoría de colas, identificando la estructura del modelo, y determinando aplicaciones y problemas en la aplicación en este tipo de modelos.

Dado que la Investigación Descriptiva Ibíd. p.24 consiste en la caracterización de un hecho, fenómeno o grupo con el fin de establecer su estructura o comportamiento. Se habla de este nivel de investigación cuando el investigador señala como es y cómo se manifiesta un fenómeno o evento, buscando de especificar las propiedades importantes para medir y evaluar aspectos, dimensiones o componentes del fenómeno a estudiar.

Diseño de Investigación

Se entiende por Diseño de Investigación a la metodología, plan de trabajo o estrategia que se desarrolla para obtener la información que se requiere en un estudio científico [1].

La Investigación Documental, es un proceso basado en la búsqueda, recuperación, análisis, crítica e interpretación de datos secundarios, es decir, los obtenidos y registrados por otros investigadores en fuentes documentales impresas, audiovisuales o electrónicas. Como en toda investigación, el propósito de este diseño es el aporte de nuevos conocimientos.(p.27)

Este trabajo, según lo citado anteriormente, se ajusta a una Investigación Documental, bajo la modalidad de Estudio de Desarrollo Teórico, ya que busca de brindar al lector una descripción de teoría de colas o líneas de espera, estudiando su contenido, aplicaciones en la vida cotidiana y los pasos a seguir para llevarlo a cabo.

CAPITULO III

DESARROLLO

Teoría de Colas

El autor González (2003) menciona:

Esta teoría, también llamada líneas de espera, se ocupa de las llegadas aleatorias a una instalación de servicio o procesamiento de capacidad limitada. Este modelo tiene como objeto permitir la determinación del número óptimo de personal o de instalaciones que se requieran para dar servicio a los clientes que llegan de forma aleatoria al considerar el costo del servicio y el de las esperas o congestiones.

En base a lo anterior, se puede decir entonces que la teoría de colas mediante la teoría de probabilidades y cálculo, permite determinar la cantidad de personal o de instalaciones para brindar servicio a los clientes que llegan a estas de forma aleatoria. Esto con el fin, además de determinar los costos del servicio y el tiempo de espera.

Estructura Básica del Modelo de Colas

El modelo de colas posee la siguiente estructura Hillier y liberman (2010) (ver figura 2):

Fuente de entrada (población potencial)

Comprende el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir, el número total de clientes potenciales.El tamaño de la fuente puede ser infinito o finito.

En tal sentido, una fuente es finita. Si ese número de clientes potenciales se ve afectado por el número de clientes que ya se encuentra en la cola. Una situación que se podría presentar por ejemplo, en un banco si las instalaciones esta a su máxima capacidad se observa que la razón a la cual llegan los clientes a dicha instalación disminuye.

Por otro lado, la fuente se considera infinita es aquella en la que el número de clientes que entran al sistema no afecta la tasa a la cual dicha población genera nuevos clientes. En general el número de clientes que llegan hasta un momento específico tiene una distribución de Poisson

El patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes en el tiempo, en el supuesto normal es que se generan de acuerdo con un proceso Poisson.

Cola

Es donde los clientes esperan antes de recibir el servicio. Una cola tiene un número máximo de clientes que puede admitir. Las colas también pueden ser finitas o infinitas, según si dicho número es finito o infinito.

Disciplina de la cola

Se refiere al orden en el que sus miembros se seleccionan para recibir el servicio.

Para el autor Taha (2012) la disciplina de la cola:

representa el orden en que se seleccionan los clientes en una cola, es un factor importante en el análisis de modelos de colas. La disciplina más común es la de primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS, por sus siglas en inglés). Entre otras disciplinas esta último en llegar primero en ser atendido (LCFS, por sus siglas en inglés) y la de servicio en orden aleatorio (SIRO, por sus siglas en inglés). los clientes también pueden ser seleccionados de entre la cola, con base en algún orden de prioridad. Por ejemplo, los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos regulares. (p.595)

Mecanismo de servicio

Consiste en una o más estaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales de servicio paralelos, llamados servidores. Los modelos de colas más elementales suponen una estación, ya sea con un servidor o con un número finito de servidores.

El mecanismo de servicio según Krajeski, Ritzman y Malhotra Op.cit. p.293 puede describirse en función de número de filas (colas) y la distribución de las instalaciones. Para este autor las colas pueden ser de

una sola cola o de colas múltiples. La distribución de una sola cola y varios servidores donde cada uno de ellos puede manejar transacciones de tipo general, mantiene a todos ellos uniformemente ocupados y proyecta en los clientes una sensación de igualdad y justicia.

Por otra parte, en el caso de las colas múltiples estas se utilizarían cuando algunos de los servidores brindan un conjunto de servicios limitado. En esta distribución, los clientes eligen los servicios que necesitan y esperan en la fila donde se suministra dicho servicio. Este sería por ejemplo, el caso de un Supermercado en donde está la caja para pago en efectivo o la de menos de 10 artículos.

Tiempo de servicio. Es tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta su terminación en una estación. Un modelo de un sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio de cada servidor (y tal vez de los distintos tipos de clientes).

Estructuras más comunes en modelos de Colas

Las estructuras más comunes en un sistema de colas, se describen a continuación:

En el sistema de una cola y un servidor, todos los servicios solicitados por un cliente pueden proporcionarse en una instalación con un solo servidor. En ese caso, los clientes forman una sola fila y van pasando uno por uno a través de la instalación de servicio. Ejemplo: Servicios de lavado de automóviles, donde los conductores no necesitan bajar de sus vehículos, o cualquier máquina en la que deban procesarse varios lotes de partes.

El sistema de una cola múltiples servidores, se usa cuando es más conveniente que los servicios se brinden en secuencia por varias instalaciones, pero el volumen de clientela u otras restricciones limitan el diseño a un solo canal. Los clientes forman una sola fila y avanzan en sucesión ordenada de una instalación de servicio a la siguiente. Un ejemplo son los McDonald’s para automovilistas, donde la primera instalación toma el pedido, la segunda lo cobra y la tercera entrega los alimentos.

En la distribución de múltiples colas y un solo servidor (servidor secuencial) se usa cuando la demanda es suficientemente grande para justificar que el mismo servicio se brinde en más de una instalación o cuando los servicios ofrecidos por las instalaciones son diferentes. Los clientes forman una o varias colas, dependiendo del diseño. En el diseño de una sola fila, los clientes son atendidos por el primer servidor disponible, como sucede en los bancos.

La distribución de varias colas y múltiples servidores se presenta cuando los clientes pueden ser atendidos por una de las instalaciones de la primera fase, pero después requieren servicios de una instalación de la segunda fase, y así sucesivamente. En algunos casos, los clientes no pueden cambiar de canales después de iniciado el servicio; en otros sí.

Un ejemplo de esta distribución son las lavanderías automáticas. Las lavadoras son las instalaciones de la primera fase y las secadoras son las instalaciones de la segunda fase. Algunas lavadoras y secadoras están diseñadas para recibir cargas de mayor volumen, con lo cual se brinda al cliente la posibilidad de elegir entre varios canales. Las distintas estructuras se pueden observar en la figura 7

Figura7. Tipos de estructuras de Sistemas de cola

APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE COLAS

Los sistemas de colas tienen múltiples aplicaciones en la vida real a continuación se nombran algunos según Hillier y Liberman Op.cit. p 713 por ejemplo:

En servicios comerciales o a domicilio

Donde se ofrecen servicios persona a persona en un local fijo como una peluquería (los peluqueros son los servidores), el servicio de una cajera de banco, las cajas de cobro de un supermercado y una cola

en una cafetería (canales de servicio en serie). Sin embargo, muchos otros sistemas son de un tipo diferente, como la reparación a domicilio (el servidor va hacia el cliente), una cajero automático (el servidor es una máquina) y una gasolinera (los clientes son automóviles).

En servicio de transporte

En estos casos los vehículos son los clientes, los automóviles que esperan para pasar por una caseta de peaje o un semáforo (el servidor), un camión de carga o un barco que esperan que una cuadrilla les dé el servicio de carga o descarga y un avión que espera aterrizar o despegar en una pista (el servidor). Un estacionamiento es un ejemplo poco usual de este tipo, en el que los automóviles son los clientes y los espacios son los servidores, pero no existe una cola porque si un estacionamiento está lleno, los clientes se van a otro. En otros casos, los vehículos son los servidores, como los taxis, los camiones de bomberos y los elevadores.

En sistemas de servicio interno

Las propias organizaciones tienen clientes que son personal interno o parte de la organización que reciben el servicio. Los ejemplos incluyen sistemas de manejo de materiales, en donde las unidades de manejo de materiales (los servidores) mueven cargas (los clientes); sistemas de mantenimiento, en los cuales las brigadas de mantenimiento (los servidores) reparan máquinas (los clientes) y puestos de inspección en los que los inspectores de control de calidad (los servidores) inspeccionan artículos (los clientes). Las instalaciones para empleados y los departamentos que les prestan servicio también entran en esta categoría. Además, las máquinas se pueden ver como servidores cuyos clientes son los trabajos que están procesando. Un ejemplo relacionado

muy importante es un centro de cómputo en el que la computadora se puede ver como el servidor.

De lo anterior, se deduce que la teoría tiene muchas otras maneras de aplicación; entre ellas, el diseño de sistemas computarizados, servicio al cliente y la administración de bases de datos en Internet.

BENEFICIOS DEL MODELO DE COLAS

Debido al valor de la información que proporciona la teoría de colas, ésta se usa con amplitud para dirigir el diseño (o rediseño) de cualquier sistema de líneas de espera de la vida real. Debido a que permite considerar el costo al brindar el servicio y las consecuencias de la espera de los clientes, para ello las decisiones que deben tomarse al momento de diseñar un sistema de colas incluyen:

1. Número de servidores en cada instalación de servicio. 2. Eficiencia de los servidores.

3. Número de instalaciones de servicio.

4. Cantidad de espacio para espera en la cola.

5. Algunas prioridades para diferentes categorías de clientes.

En este contexto, el uso de la teoría de colas facilita alcanzar la meta de encontrar un equilibrio entre el costo del servicio y el tamaño de la espera

LIMITACIONES DEL MODELO DE COLAS

Las líneas de espera son objeto de estudio tanto del modelo de colas y de modelos de simulación, ambos permiten determinar medidas de desempeño de las líneas de espera tales como tiempo de espera promedio en la cola, tiempo de espera promedio para el servicio y el uso de las instalaciones de servicio. Los modelos de cola emplean modelos

probabilísticos y estocásticos para llevar a cabo el análisis de las líneas de espera, por otra parte la simulación realiza la estimación de las medidas de desempeño a través de la imitación del comportamiento del sistema real. La simulación tiene ventajas notorias a la hora de observar un sistema real, ya que a diferencia de los modelos de colas están atados a hipótesis que limitan el alcance de su aplicación, mientras que la simulación permite una mayor flexibilidad lo que hace posible su uso en cualquier situación de colas que se presente.

La teoría de formación de una cola es a menudo demasiado restrictiva matemáticamente para ser capaz de modelar todas las situaciones reales. Por ejemplo; los modelos matemáticos a menudo asumen el número de clientes, o la capacidad de la cola infinitos, cuando es evidente que deben estar limitados. Los medios alternativos del análisis de la teoría de colas consisten generalmente en simulaciones de ordenador y/o en el análisis de datos experimentales

SOFTWARE DISPONIBLE PARA APLICACIÓN DE COLAS

DE ESPERA

ARENA

El software Arena permite la simulación de eventos discretos permite analizar rápidamente un proceso o el comportamiento del sistema en el tiempo, permite preguntarse "por qué" o "qué pasa si", y como cambiarían los procesos de diseño o sistemas, sin riesgo o incurrir en

consecuencias financieras. Este software es de gran utilidad en simulación de fenómenos de colas de espera.

Características generales del Software Arena

 Metodología de modelado Diagrama de flujo que incluye una gran biblioteca de bloques de construcción predefinidos para modelar el proceso sin necesidad de programación personalizada.

 Completa gama de opciones de distribución estadística para modelar con precisión la variabilidad de los procesos

 Capacidad para definir trayectorias de objetos y rutas para la simulación

 Análisis estadístico y generación de informes de resultados.  Métricas de rendimiento y cuadros de mando

 Capacidades de animación realistas en 2D y 3D para visualizar resultados más allá de los números.

Figura 8. Diferencias entre Versiones Arena. Tomado de http://www.mimesis-soluciones.com/versionesarena/

Versiones disponibles de Arena

El software de simulación Arena está disponible en 2 versiones:  Arena Standard Edition

 Arena Professional Edition

Las diferencias entre las versiones se destacan en la Figura X Ventajas

 Mejorar la visibilidad en el efecto de un cambio de sistema o proceso, escenarios "what if".

 Explorar las oportunidades para los nuevos procedimientos o métodos sin interrumpir el sistema actual.

 Diagnosticar y solucionar problemas.  Reducir o eliminar los cuellos de botella.  Reducir los costos de operación.

 Mejorar el pronóstico financiero.  Reducir los tiempos de entrega.

 Mejor manejo de los niveles de inventario, personal, sistemas de comunicaciones y equipo.

 Aumente la rentabilidad a través de operaciones mejoradas.

TORA

Herramienta computacional, de fácil uso y con menús de optimización del sistema, para la resolución de modelos de investigación de operaciones, basado en Windows, el cual se distribuye gratuitamente con el libro Investigación de Operaciones del autor Taha, Hamdy A.

Las últimas versiones de TORA cuentan con un tutorial nuevo y único y automatizado de las características que van desde la solución de

animación gráfica LP a la construcción dinámica de tablas de tiempo de CPM y la generación de árboles de búsqueda branch-and-bound.

Ofrece módulos para la inversión de matrices, solución de ecuaciones lineales simultáneas, la programación lineal, modelos de transporte, modelos de redes, programación entera, modelos de colas, la planificación de proyectos con CPM y PERT, y la teoría de juegos.

TORA se puede ejecutar en modo automático o tutorial. El modo automático genera informes de la solución final del problema.

Figura 9 Pantalla de inicio TORA, Ver. 2.0

WINQSB

WinQSB es un paquete gratuito de herramientas para solucionar y automatizar problemas de carácter complejo. Incluye módulos para el análisis de muestreos, pronósticos (forecasting), programación dinámica, elaboración de pronósticos, teoría y sistemas de inventarios, programación de jornadas de trabajo, procesos y cadenas de Markov, planificación de recursos, modelado de redes, programación no lineal, PERT y CPM, programación cuadrática, entre otras posibilidades. Entre

los sistemas operativos que soporta tenemos: Win98/98SE/Me/2000/NT/XP/2003/Vista.

Figura10 Logo de WinQSB

Esta herramienta computacional es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa.

Módulos del Sistema

El sistema está formado por distintos módulos, uno para cada tipo de modelo o problema, los cuales son:

 Acceptance Sampling Analysis (Análisis de muestreo de aceptación)

 Aggregate Planning (Planeación agregada)

 Decision Analysis (Análisis de decisiones)

 Dynamic Programming (Programación dinámica)

 Forecasting (Pronósticos)

 Goal Programming (Programación por objetivos)

 Inventory Theory and System (Teoría y sistemas de inventarios)

 Job Scheduling (Programación de jornadas de trabajo)

 Linear and integer programming (Programación lineal y entera)

 Markov Process (Procesos de Markov)

 Material Requirements Planning (Planeación de Requerimiento de Materiales)

 Network Modeling (Modelación de redes)

 Nonlinear Programming (Programación no lineal)

 PERT y CPM

 Quadratic Programming (Programación cuadrática)

 Quality Control Chart (Cartas de control de calidad)

 Queuing Analysis (Análisis de sistemas de cola)

 Queuing Analysis Simulation (Simulación de análisis de sistemas de cola).

A parte se puede trabajar con Excel e incluso encontrar complementos como EXCEL OM, para trabajar con distintos modelos de investigación de operaciones, incluyendo teoría de colas. El autor Eppen (2000) en su libro investigación de operaciones para la ciencia administrativa brinda ejemplos útiles de su aplicación.

CONCLUSIONES

Los Sistemas de cola son muy comunes en la sociedad actual. Por ende la teoría de colas la teoría de colas mediante la teoría de probabilidades y cálculo, permite determinar la cantidad de personal o de instalaciones para brindar servicio a los clientes que llegan a estas de forma aleatoria. Esto con el fin, además de determinar los costos del servicio y el tiempo de espera.

En tal sentido, el desarrollo de los modelos de cola permiten obtener información importante para alcanzar un balance Costo del servicio y costo por espera. La teoría de colas no es una respuesta directa al problema, pero aporta las pistas fundamentales para la toma de decisiones

.

Para lo cual se definen cuatro características o medidas de desempeño de un sistema de colas, como son: cantidad esperada en el sistema, L; cantidad estimada en cola de espera, Lq; tiempo estimado de espera, W; y tiempo estimado en cola de espera, Wq.

BIBLIOGRAFIA

Arias, F (2006). El proyecto de investigación. Introducción a la metodología científica. Editorial Episteme. Quinta edición. Caracas-Venezuela

Eppen. Gould. y Schmith.(2000). Investigación de Operaciones en la Cs. Administrativa. PHH. México

González, A (2003). Manual práctico de investigación de operaciones I. tercera edición. Ediciiones Uninorte

Hillier, F.S. y Lieberman, G.J (2010). Introducción a la Investigación de Operaciones. McGraw-Hill. Novena edición. México

Krajewski,L, Ritzman, L y Malhotra, M (2008). Administración de operaciones. Octava edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008

Taha, Hamdy A (2012). Investigación de Operaciones. Alfaomega. Novena Edición. México

Fuentes Electrónicas

Mimesis Soluciones (2016).[página web en línea]. Disponible en:

http://www.mimesis-soluciones.com/versionesarena/

Munguía, L y Protti, M (2005). Investigación de operaciones. [Libro en línea].Consultado 28 de marzo 2016. Disponible en:

https://books.google.co.ve/books?id=6NHEmmbHGcoC&lpg=PP1 &pg=PP1#v=onepage&q&f=false