ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

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CAPÍTULO I

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

INTRODUCCIÓN

Consideremos una familia de curvas definida en alguna región del plano cartesiano:

C y x F( , )=

Se desea determinar la pendiente de la recta tangente a cualquier elemento de la familia en el punto P( yx, ). Suponiendo que las derivadas parciales de la función existen en la región, el diferencial total de la función está dado por:

0 ) , ( ) , ( ) , ( = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = F x y dy dC y dx y x F x y x dF C: es una constante real.

A partir de la expresión anterior se obtiene la ecuación para la pendiente de la recta tangente a cualquier elemento de la familia en el punto P( yx, ), así:

y Fx F dx dy ∂ ∂∂ ∂ − = ≠0 ∂ ∂ y F

En consecuencia, la pendiente de la recta tangente a cualquier elemento de la familia depende de las variables x, , así: y

) , ( yx f dx dy =

La ecuación obtenida es una ecuación diferencial. Ejemplo 1.1

Considere la familia de parábolas:

2

y=Cx

a) Dibuje dos elementos de la familia.

(2)

Solución.

a) La figura 1.1 ilustra los elementos correspondientes a los valores del parámetro: 1

1 =−

= C

C

b) Para hallar la ecuación diferencial derivamos la función y eliminamos la constante, así:

x y dx dy dx dy x C Cx dx dy 2( 1) 2 1 2 ⇒ = ⇒ = − =

Es de esperarse que a partir de la ecuación diferencial se obtenga la familia de curvas. Precisamente, el objetivo del libro es que el estudiante aprenda a resolver ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales tienen orígenes muy diversos, pero fundamentalmente estaremos interesados en aquellas ecuaciones diferenciales que resultan del análisis de sistemas de ingeniería. Se hará un énfasis especial en aplicaciones de la mecánica, de soluciones en ingeniería química, de circuitos eléctricos, de problemas de crecimiento y decrecimiento y muchas otras.

Figura 1. 1 Figura 1.2 Ejemplo 1.2

Considere la curva del plano dada por:

2

y =Cx

b) Determine la ecuación diferencial de la familia.

c) Encuentre la ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales. Solución.

Se trata de la familia de parábolas con eje sobre el eje de abscisas y vértice en el origen. Asignamos valores a la variable independiente y dos valores diferentes a la constante, obtenemos la gráfica de la figura 1.2

2

y =x ⇒ y= ± x

2

(3)

Claramente se observa que todas las parábolas pasan por el origen.

En cuanto a la ecuación diferencial de la familia, derivamos y eliminamos la constante, así:

2 ₂ 2 dy dy y y Cx y C dx dx x = ⇒ = ⇒ =

La familia de curvas ortogonales es tal que su pendiente está dada por

1 2

1

m

m = − , donde: m₁

es la pendiente de la familia dada. Así las cosas, la ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales es:

2

dy x dx y

− =

A partir de la ecuación diferencial encontrada es posible encontrar la ecuación de la familia de curvas ortogonales, simplemente resolviéndola. Separando las variables, se tiene:

2xdx+ydy₌0 La solución de la ecuación diferencial es:

2 2

2

y x + =K

La constante de integración es K . La ecuación se puede escribir en la forma:

2 2 1 2 x y K + K = Si hacemos _K₌_a2_{, se obtiene:}

( )

2 2 2 2 1 2 x y a + _a =

La familia encontrada es una familia de elipses con centro en el origen y semiejes: , 2a a

Con el objeto de visualizar la ortogonalidad de las familias, representemos en un mismo gráfico un elemento de cada una. Tomemos a =2, obteniendo el elemento:

2 2

1

4 8

x y

+ =

Al representar gráficamente la elipse y las dos parábolas antes descritas, resulta la figura 1.3. Puede visualizarse la ortogonalidad entre una de las parábolas y la elipse. Se deja como ejercicio al estudiante la determinación de las intersecciones entre la elipse y una de las parábolas.

Lo ideal es hacer todo el procedimiento ilustrado anteriormente para cualquier familia de curvas, sin embargo se tienen ciertas limitaciones operativas que no lo hacen viable en todos los casos.

(4)

Figura 1.3 Ejemplo 1.3

2 2 ₂

y +x = Cx

Se trata de la familia de circunferencias con el centro sobre el eje de abscisas y que pasan por el origen. Ajustando el trinomio cuadrado perfecto, resulta: ₍_x₋_C₎2₊₍_y₋₀₎2 ₌_C2

La figura 1.4 ilustra la gráfica para los casos: C =1 C=2

Figura 1.4

Para encontrar la correspondiente ecuación diferencial procedemos de la misma manera, veamos:

(5)

2 2 2 2 ₂ ₂ ₂ dy ₂ ₂ ₂ dy x y x y Cx x y C x y dx dx x + + = ⇒ + = ⇒ + =

Despejando la pendiente, resulta:

xy x y dx dy 2 2 2₋ =

La ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales viene a ser:

2 2 2 y x xy dx dy − =

La ecuación diferencial hallada se puede resolver, a pesar de que no es de variables separables. Más adelante veremos que dicha ecuación se puede clasificar como homogénea y estudiaremos la técnica para resolverla.

Ejemplo 1.4

2 2 2 1 y x C + =

Se trata de una familia de elipses con centro en el origen y semiejes: 1 y C. Para los elementos de la familia correspondientes a C =1y C =2. La representación gráfica se muestra en la figura 1.5.

Encontremos la ecuación diferencial de la familia: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 y dy dy y C y xC y x x = ⇒ dx= − ⇒ dx= − x − − Simplificando, resulta: 1 2₋ = x xy dx dy

En cuanto a la ecuación diferencial de las curvas ortogonales, tenemos:

xy x dx

dy ₁₋ 2

=

(6)

dx x x ydy ₌( −1₋ )

La solución de la ecuación diferencial la familia de curvas: _x2₊ _y2 ₌2ln(_Cx)

La figura 1.6 muestra un elemento de la familia dada y otro de la familia de curvas ortogonales. Las gráficas se hicieron usando Mathcad y fueron procesadas por Paint.

Figura 1.5 Figura 1.6

Ejemplo 1.5

Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo de masa:M con una velocidad inicial Vi .

Determine la posición y la velocidad en todo instante. Solución.

Para resolver el problema debemos elaborar un modelo matemático que describa la situación planteada, veamos. Supongamos que el cuerpo se puede considerar como una partícula, es decir, su masa está concentrada en su centro de masas. Supongamos también que la trayectoria que sigue es estrictamente vertical. Si ubicamos nuestro sistema de coordenadas en el punto en el que se efectúa el lanzamiento, la posición y la velocidad en ese instante t= 0 están dadas por: y( )0 = y v0 ( )0 = V_i

Nuestro objetivo es determinar la posición y la velocidad en cualquier instante: t> 0 Observe que cuando el cuerpo se está moviendo hacia arriba las fuerzas actuantes sobre él son: el peso y la fricción, ambas en sentido contrario al movimiento. Con base en la segunda ley de Newton, podemos escribir:

Friccion Mg t Mv dt d ₌₋ ₋ )] ( [ (1)

La figura 1.7 ilustra la posición de la partícula en el instante cualquiera t> 0. En la ecuación (1), se tiene:

M: Masa en movimiento.

(7)

g : Es la gravedad.

Friccion : Es la fuerza de fricción dinámica

Figura 1.7

No olvidemos que la segunda ley de Newton establece que: "La variación con respecto al tiempo de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la suma de las fuerzas aplicadas en la dirección del movimiento"

La ecuación (1) es una ecuación diferencial y para resolverla se hace necesario conocer algunas técnicas que serán objeto de estudio en el curso.

Tomemos algunos modelos simples: Primer modelo.

La masa del cuerpo es constante y la fricción se desprecia (Caso feliz). En este caso, la segunda ley de Newton queda en la forma:

M d

dtv t( )= −Mg

La ecuación diferencial resultante en este caso es de variables separables, así:

g t v dt d ₌₋ ) (

Observe que la ecuación diferencial es independiente de la masa. Efectuando las integrales, encontramos la solución general, así:

v t( )_{= − +}gt C

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v t( )=Vi −gt

Es de notarse que la función de velocidad es lineal, es decir, su gráfica es una recta de cuya pendiente es menos la gravedad. Cuando la velocidad se hace cero la partícula alcanza la posición máxima. El tiempo en el que esto ocurre es:

max /

t =Vi g

En cuanto a la posición del cuerpo en todo instante, usamos la relación entre la posición y la velocidad, así: gt Vi t v t y dt d ₌ ₌ ₋ ) ( ) (

Integrando de nuevo, resulta la solución general:

y t( )= −1gt +V t D_i + 2

2

La constante de integración: D se determina con base en la condición inicial, así: y( )0 = y el resultado es: 0

y t( )= −1gt +V t_i

2

En resumen, tenemos que: cuando un cuerpo de masa constante M se lanza verticalmente

hacia arriba con una velocidad inicial V_i y se mueve en un medio sin fricción, la velocidad y la posición en todo instante están dadas por:

v t( )= − + y tgt V_i ( )= −1gt +V t_i

2

La figura 1.8 representa, en un mismo gráfico, la posición y la velocidad en función del tiempo, asignando valores a la gravedad, a la velocidad inicial y al tiempo en el sistema internacional de medidas (MKS), veamos:

2

50 / ; 10 /

i

V = m s g= m s

La línea recta es la gráfica de la velocidad y la parábola representa la posición en todo instante. Observe que la posición tiene un valor máximo de 125 metros y se alcanza al cabo de cinco segundos, esto es, cuando la velocidad se hace cero. La velocidad negativa se interpreta como que el cuerpo está bajando.

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Figura 1.8 Segundo modelo.

La masa es constante y la fricción es directamente proporcional a la velocidad en todo instante. Tomemos Friccion Bv t= ( ) , siendo B una constante de proporcionalidad en el sistema MKS. La ecuación diferencial queda en la forma:

M d

dtv t( )= −Mg Bv t− ( )

La ecuación diferencial obtenida es de variables separables y por lo tanto se puede resolver por integración directa. Para integrar la expresaremos de una forma más conveniente así:

d dtv t

B

M v t g

( )+ ( )+ = 0

Separando las variables e indicando las integrales, resulta:

∫

=−

+Mgdv dt Bv

M

Evaluando las integrales, tenemos:

C t Mg Bv B M ₊ ₌₋ ₊ ) ln(

La constante la calculamos con la condición inicial v( )0 = , de donde: V_i

C M

B BVi Mg

= ln( + )

Ahora despejamos la velocidad en función del tiempo, así: t M B i e B Mg V B Mg t v  −      + + − = ) (

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De otro lado, la expresión para la posición esta dada por:         −       + + − = −Mt B i e B g M V B M t B Mg t y( ) ₂ 1 2

Convenimos en definir la velocidad límite de la siguiente manera:

B Mg V_L =

Observe que la velocidad límite es la que tendrá el cuerpo después de mucho tiempo. En este caso el signo negativo se debe a que el cuerpo está bajando.

En conclusión, cuando un cuerpo de masa M se lanza verticalmente hacia arriba en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la velocidad, la velocidad y la posición en todo instante vienen dadas por:

(

)

t V g L i L V V e L V t v( )=− + + −

(

)

_       − + + − = −V t g i L L L _g V V e L V t V t y( ) 1

Representemos la posición y la velocidad para algunos valores de la constante de fricción y los siguientes datos en el sistema MKS:

1 0.5 10 _i 50

M= B= g= V =

Debemos establecer claramente el dominio de las funciones de posición y velocidad ya que nos interesa el movimiento de subida. A partir de la expresión de la velocidad, veamos el instante en que se hace cero. Resolviendo para la variable t, encontramos:

      + = L i L V V g V tmax ln 1

Con los datos dados encontramos el tiempo, en segundos, que demora en alcanzar la altura máxima.

max 2.506

t ≅

En consecuencia, resultan las gráficas de velocidad y posición que se muestran en la figura 1.9, las cuales se obtienen usando el paquete: Mathcad. Puede notarse que la altura máxima alcanzada ocurre a los cuatro minutos aproximadamente y su valor en metros es:

( max) 49.89

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Figura 1.9

Es claro el efecto de la fricción si comparamos con la situación ideal. Es de esperarse que la altura máxima sea menor en tanto aumente la constante de fricción: B

Tercer modelo.

La masa es variable y la fricción es igual a cero. Supongamos que la masa en reposo es de1Kgy que en movimiento está dada por M(t)=1−0.01t. Lo anterior significa que el cuerpo en movimiento pierde masa a una rata de 0.01Kg /seg. La ecuación diferencial en este caso es:

g t M t M dt d t v t v dt d t M( ) ( )+ ( ) ( )=− ( )

Dividiendo por la masa y asignando los datos dados, tenemos: 10 ) ( 100 1 ) ( =− − − v t t t v dt d

Al resolver la ecuación debe tenerse en cuenta que t <100

La ecuación diferencial bajo estudio no es de variables separables sino que se clasifica como lineal y es uno de nuestros objetivos aprender a resolverla.

Es posible elaborar otros modelos para el mismo problema de manera tal que resulten variados tipos de ecuaciones diferenciales. En el transcurso del capítulo estudiaremos las diferentes técnicas de solución. Se deja como ejercicio al estudiante que resuelva el problema con masa constante y fricción proporcional al cuadrado de la velocidad, esto es, resolver la ecuación diferencial:

2 Bv Mg dt dv M =− − Ejemplo 1.6

Un conejo y un perro están separados una distancia: c en el momento de observarse

mutuamente. Inmediatamente el conejo empieza a escapar con una velocidad constante: a

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lado, empieza a perseguir al conejo con una rapidez: b describiendo una curva tal que la

tangente a la misma apunta al conejo.

a) Escriba el problema de valor inicial para la curva que describe el perro b) Resuelva el problema de valor inicial para diferentes relaciones entre a y b Solución.

Para resolver el problema supongamos que el perro se encuentra en el origen de coordenadas y el conejo se encuentra en el punto C c( , )0 .

En un instante cualquiera t , el conejo estará en el punto: D c at( , ) y el perro estará en el punto: P(x,y) de la figura 1.10. Para encontrar la ecuación diferencial de la curva es necesario relacionar la pendiente de la misma con las variables del problema. La pendiente de la recta tangente a la curva está dada por:

dy dx at y c x = − −

La rapidez del perro es la tasa de variación de la longitud del arco de curva con respecto al tiempo, así:

( )

2 1 ' ds dx b y dt dt = = +

Sí denotamos la pendiente de la recta tangente a la curva como p dy dx = , se puede escribir: 2 ; 1 at y dx p b p c x dt − = = + − Figura 1.10

Despejando el tiempo en la primera ecuación, tenemos: t y cp xp a

+ −

= Derivando con respecto a la variable x , se tiene:

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dt c x dp dx a dx

 _{− }  =_ __

Sustituyendo la última ecuación en la segunda, tenemos:

b a c x

dp

dx p

( − ) = 1+ 2

El resultado es un problema de valor inicial para la pendiente de la curva, así:

dp dx k p c x = + − 1 2 p( )0 = 0 k =a/b

Puesto que la ecuación diferencial es de variables separables, tenemos:

dp p kdx c x 1₊ 2 = − Integrando, resulta:

(

)

ln p+ 1+ p2 = −kln(c x− )+C

La constante de integración se halla con la condición inicial, obteniendo: C k= ln( ) c

Con el valor hallado para la constante, podemos escribir:

(

)

ln p p kln c c x + + = −     1 2

Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos: k x c c p p       − = + + ₁ 2

A continuación despejamos la pendiente, así:

p c c x c c x k k = −    − −            − 1 2

Finalmente escribimos el problema de valor inicial para la curva, así:

dy dx c c x c c x k k = −    − −            − 1 2 y( )0 = 0

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La ecuación diferencial es de variables separables y su solución, para k≠ 1, es la siguiente: y x k kc c x k c x c k c x c k k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − − + − − −     − + −        _         − 1 2 2 1 2 1 1

Usando el paquete Mathcad, representamos gráficamente la trayectoria que sigue el perro para dos valores de k, veamos:

Si la velocidad del conejo es menor que la del perro, es decir k < 1, el perro alcanzará al conejo. La figura 1.11 ilustra el caso en que k = 0 9. . Observe que si la distancia inicial es

c= 10 , el perro alcanzará al conejo cuando este ha recorrido aproximadamente 47.4 metros.

Si la velocidad del conejo es mayor que la del perro, éste nunca lo alcanzará, lo cual es obvio.

Analicemos el caso en que las velocidades son iguales, es decir k = 1. La ecuación diferencial en este caso es la siguiente:

dy dx c c x c x c = − − −    1 2

La solución de la ecuación diferencial es la siguiente:

y x c c c x c c x c ( )= ln −    + −    −         2 4 1 2

Tal como en el caso anterior, el perro no alcanzará al conejo.

Figura 1.11

EJERCICIOS 1.1

Para todas y cada una de las familias que se describen a continuación, determine: a) La ecuación diferencial de la familia

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c) En los casos en que la ecuación diferencial de la familia de curvas ortogonales sea de variables separables, encuentre la solución

C y x3 2 = . 1 ₂_. y2−₂xy−₂x2 =C _C y x+ = 2 1 . 3 y x C C x = + . 4 1 4 . 5 ₂ 2 2 2 = + C y C x 6. x2−sen(y)=C C y x−tan( )= . 7 C y x y x ₌ − + . 8 9. _y₌_Cx₊ _C2₊1 2 ) ( . 10 Cy = x+C

I.2. LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN

Una ecuación diferencial de primer orden para las variables x, presenta la forma general: y

) , ( ) (x f x y y dx d =

Con base en lo estudiado previamente, la ecuación proviene de una familia de curvas del plano, de la forma: 0 ) , , (x y C = F

En adelante diremos que la familia de curvas es una solución general de la ecuación diferencial y que cada elemento de la familia es una solución particular. En general, una función de la forma: y=µ(x)es solución de una ecuación diferencial si la satisface idénticamente, es decir, si se verifica que:

)) ( , ( ) (x f x x dx d _µ _≡ _µ

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden: *Ecuación diferencial de variables separables:M

( )

x dx+N

( )

y dy=0

*Ecuación diferencial lineal: p

( )

x y q

( )

x dx

dy₊ ₌

*Ecuación diferencial de Bernoulli: p

( )

x y q

( )

x yα dx

dy₊ ₌

*Ecuación diferencial de Riccati: p

( )

x y q

( )

x y r

( )

x dx

dy

+ +

= 2

*Ecuación diferencial de Clairaut:       + = dx dy F dx dy x y

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Ejemplo 1.7

Dada la ecuación diferencial:

x e y dx

dy_{+ 2} ₌ ₋

Muestre que las siguientes funciones son soluciones de la misma: x x x x x _e _e _e _Ce e− _, − ₊ −2 _, − ₊ −2 Solución.

Para la primera función, se tiene _u

( )

_x ₌_e−x_, _u_'

( )

_x ₌₋_e−x_.

Sustituyendo en la ecuación diferencial, obtenemos ₋_e−x₊₂_e−x ₌_e−x_{. Como puede verse,} la función es solución de la ecuación diferencial ya que resulta una identidad.

Del mismo modo, el estudiante puede verificar que las otras dos funciones son también soluciones de la ecuación diferencial. Particularmente, la tercera es una familia de curvas y recibe el nombre de solución general de la ecuación diferencial. Las dos primeras soluciones son soluciones particulares de la ecuación diferencial ya que se obtienen asignando valores a la constante que aparece en la solución general.

Pueden existir ecuaciones diferenciales que tengan soluciones que no se puedan obtener de la solución general, dichas soluciones reciben el nombre de soluciones singulares.

Ejemplo 1.8

Considere la ecuación diferencial:

2 2 1       − = dx dy dx dy x y

Puede verificarse que la parábola ₂_y₌ _x2_{es una solución singular de la ecuación}

diferencial, mientras que la solución general es la familia de rectas

2 2 C Cx y= − Ejemplo 1.9

Dada la ecuación diferencial de Riccati

2 2 ₊ ₋ = y y dx dy x

Muestre que la solución general es:

3 3 2 x K x K y − + =

(17)

Solución.

Tomando la primera derivada se tiene:

(

₃

)

2 2 9 ' x K Kx y − =

Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene la siguiente identidad:

(

9

)

2 23 2 3 2 3 3 2 3 2 − − + +       − + ≡ − K x x K x K x K x K Kx x EJERCICIOS 1.2

1. Dada la ecuación diferencial:

2 2 ln       + = dx dy x dx dy x x y

a) Muestre que la solución general es la familia de curvas

( )

2

ln x C C

y= + b) Muestre una solución singular es la curva

( )

4 ln2 _x

y=− 2. Dada la ecuación diferencial

dy dx x dx dy x y= − 2

a) Muestre que la solución general es la familia de parábolas

(

y C

)

C x2 = 4− − b) Represente gráficamente dos elementos de la familia. 3. Dada la ecuación diferencial de Bernoulli

2

y y dx

dy₊_α ₌_α

a) Muestre que la solución general viene dada por

x x e C e y _α α − − + =

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b) Represente gráficamente dos elementos de la familia. 4. Dada la ecuación diferencial

2 2 0 dy dx x y x dx dy    _ _ _  _ ₋ _ _{+ =}  _        

a) Muestre que la solución general es la familia de parábolas

2 2 _{1 2}

C x + = Cy

b) Muestre que las rectas y= ± son soluciones singulares de la ecuación diferencial x

c) Represente gráficamente dos elementos de la familia junto con las soluciones singulares.

1.3 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL DE PRIMER ORDEN

Un problema de valor inicial es el que se formula mediante una ecuación diferencial y un número preciso de condiciones iniciales. Para el caso que nos ocupa, en principio, la formulación de un problema de valor inicial de primer orden es la siguiente

( )

_{( )}

0 0 ; ,y y x y x f dx x dy = =

Si hacemos una interpretación geométrica simple del problema (puede tratarse de un problema físico o de otra índole), la solución del problema es “la curva del plano que satisface a la ecuación diferencial y pasa por el punto

(

x₀, y₀

)

”. Cabe preguntarnos aquí algunas cosas que más adelante intentaremos resolver.

¿Cuál es la región R del plano en la que el problema tiene solución? ¿Bajo qué condiciones la solución que pasa por el punto

(

x₀, y₀

)

es única?

¿En qué medida las soluciones pueden expresarse en términos de funciones elementales? Antes de proceder formalmente con el teorema de existencia y unicidad es conveniente analizar un ejemplo sencillo

Ejemplo 1.10

Encuentre la familia de curvas cuya pendiente de la recta tangente en todos sus puntos está dada por:

x y y'= 2

Solución.

Escribiendo la ecuación diferencial en términos de diferenciales tenemos 0

2 1

1 ₋ − ₌

−_dy _x _dx

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Así que integrando a ambos lados de la ecuación diferencial tenemos

K x y− ln2 = ln

Puesto que K es una constante arbitraria podemos hacer K =ln(C) de tal forma que usando las propiedades de los logaritmos obtenemos la familia de parábolas

2

Cx y=

El estudiante puede verificar que la familia encontrada corresponde a parábolas con centro en el origen y simetría de eje Y.

La figura 1.12 representa dos elementos de la familia correspondientes a los valores de la constante: 1C=−1, C=

Puede verse que por el origen pasan infinitas soluciones de la forma:

   ≥ < = 0 0 ) ( ₂ 2 2 1 x si x C x si x C x f

Particularmente, son soluciones las siguientes:

Curva AOD, cuya ecuación es:

   ≥ − < = 0 0 ) ( ₂ 2 x si x x si x x f

Curva COB, cuya ecuación es:

   ≥ < − = 0 0 ) ( ₂ 2 x si x x si x x f

Teorema de existencia y unicidad

Supongamos una ecuación diferencial de la forma y'= f

( )

x,y , con la condición de hallar una solución única que pase por el punto

(

x₀, y₀

)

. Geométricamente, la solución debe ser una curva particular de la familia de curvas halladas al resolver la ecuación diferencial. Nos interesa determinar bajo qué condiciones dicha ecuación diferencial tiene solución en una región R del plano y si dicha solución, en caso de existir es única en dicha región.

El teorema de existencia y unicidad se formula en los siguientes términos:

Dado el problema de valor inicial y'(x)= f(x,y); y(x₀)= y₀, donde f y f son _y continuas en una región rectangular centrada en el punto (x₀,y₀) y definida como

{

x y R x x a y y b

}

R= ₍ _, ₎∈ 2_/ − ₀ < _, − ₀ < _{. Si} _f₍_x_,_y₎ _<_M _{en dicha región y si h es el}

menor de los números: a, b, M, entonces existe una solución única en el intervalo h

x

x− 0 < para el problema de valor inicial dado.

Es importante aclarar que las condiciones del teorema son de suficiencia pero no de necesidad, lo anterior significa que puede no cumplirse una de las condiciones de

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continuidad y sin embargo tener solución. Algunos ejemplos posteriores pondrán de presente tal aseveración.

Figura 1.12 Figura 1.13 Ejemplo 1.11

Considere el problema de valor inicial: 0 0) ( , 2 ' y x y x y y= =

Determine las regiones del plano en las que se puede ubicar el punto dado para que se garantice que el problema tenga solución única.

Solución.

La función y su primera derivada parcial con respecto a la variable dependiente son: x y f x y f = 2 _y =

De lo anterior se concluye que no se garantiza solución única en regiones que contengan a la recta x=0. El estudiante puede analizar el ejemplo anterior en el que se muestran algunas de las soluciones de la ecuación diferencial dada. Por tanto, el punto puede ubicarse en cualquiera de las siguientes regiones:

{

(_x,_y)_∈_R2/_x_<0

}

{

(_x,_y)_∈_R2/_x_>0

}

(21)

Ejemplo 1.12

Considere el problema de valor inicial:

0 0 2 ₁, ( ) ' y x y x xy y = − =

Solución.

La función y su primera derivada parcial con respecto a la variable dependiente son: 1 1 2 2₋ = ₋ = x x f x xy f _y

De lo anterior se concluye que no se garantiza solución única en regiones que contenga a las rectas x=−1y x=1. Por consiguiente, el punto dado se puede ubicar en cualquiera de las siguientes regiones del plano:

{

(_x,_y)_∈_R2/_x_<₋1

}

{

(_x,_y)_∈_R2/₋1_<_x_<1

}

{

(_x,_y)_∈_R2/_x_>1

}

La ecuación diferencial es de variables separables y, en consecuencia, se puede determinar su solución general, así:

1 2₋ = x xdx y dy

Integrando ambos miembros de la igualdad, resulta: ) ln( ) 1 ln( 2 1 ) ln(_y ₌ _x2₋ ₊ _C

Con base en las propiedades de los logaritmos, tenemos: _y2 ₌_C2(_x2₋1)

Puesto que C2 =K_{es una constante arbitraria, la solución general es la familia de cónicas:}

1 1 2 2 = − K y x

Si K <0 es una familia de elipses Si K >0 es una familia de hipérbolas

La figura 1.13 muestra las regiones de validez de las soluciones y algunos elementos de la familia, así:

(22)

ParaK =−4, el elemento es una elipse cuya ecuación es: 1 2 1 2 2 2 2 = + y x

ParaK =4, el elemento es una hipérbola cuya ecuación es:

1 2 1 2 2 2 2 = − y x

Claramente se observa que por los puntos de abscisa x=−1 y x=1 pasan infinitas soluciones.

Ejemplo 1.13

Considere el problema de valor inicial:

0 0) ( , 1 ' y x y yx y y y = − − =

Solución.

La función y su primera derivada parcial con respecto a la variable dependiente son: 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 y x f x y y f _y − = − − =

De lo anterior se concluye que no se garantiza solución única en regiones que contenga a las rectas x=1y y=0. Por consiguiente, el punto dado se puede ubicar en cualquiera de las siguientes regiones del plano:

{

(_x,_y)_∈_R2/(_x_>1_∧_y_>0)

}

{

(_x,_y)_∈_R2/(_x_<1_∧_y _>0)

}

{

(_x,_y)_∈_R2/(_x_<1_∧_y_<0)

}

{

(_x,_y)_∈_R2/(_x_>1_∧_y_<0)

}

Puesto que la ecuación diferencial es de variables separables, se puede escribir en la forma: 0 1 1 1 ₌ − + − − dy y y dx x

(23)

Resolviendo las integrales se obtiene la familia de curvas: C x y y =      − − + 1 1 ln

Usando las propiedades de los logaritmos, se tiene:

C y y C _Ke _K _e x y e x y = = − − = − − − − 1 1 1 1

Como puede verse, la representación gráfica de algunos de los elementos de la familia es bastante complicada. Para lograrlo, se puede recurrir a ciertas técnicas numéricas que están por fuera del alcance del curso.

EJERCICIOS 1.3

1. Considere la ecuación diferencial:

y x dx dy

x = +2

a) Encuentre las regiones del plano en las que se puede ubicar el punto:(x₀,y₀) de tal manera que se garantice que el problema de valor inicial asociado tenga solución única. b) Muestre que para todas las constantes C y ₁ C la siguiente familia es solución de la 2

ecuación diferencial    ≥ − < − = 0 0 2 2 2 1 x si x x C x si x x C y

x y dx dy =

a) Encuentre las regiones del plano en las que se puede ubicar el punto (x₀,y₀) de tal manera que se garantice que el problema de valor inicial asociado tenga solución única. b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y represente gráficamente algunos elementos de la familia.

) 1 ( 3 − = y dx dy x

a) Encuentre las regiones del plano en las que se puede ubicar el punto (x₀,y₀) de tal manera que se garantice que el problema de valor inicial asociado tenga solución única.

(24)

b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y represente gráficamente algunos elementos de la familia.

c) ¿Existirá alguna solución que pase por los puntos: (1,3) y (2,9)? d) ¿Existirá alguna solución que pase por los puntos: (-1,3) y (2,9)? 4. Considere la ecuación diferencial:

) sen(x

y dx dy =

a) Encuentre las regiones del plano en las que se puede ubicar el punto (x₀,y₀) de tal manera que se garantice que el problema de valor inicial asociado tenga solución única. b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial y represente gráficamente algunos elementos de la familia.

5. Resuelva el siguiente problema de valor inicial y represente gráficamente la solución. 2 ) 0 ( ; ) 10 ( − = = y y y dx dy

6. Resuelva el siguiente problema de valor inicial y represente gráficamente la solución. 0 ) 0 ( ; ) 2 5 )( 10 ( − − = = y y y dx dy

7. Demuestre que la ecuación y'= f

(

ax+by+c

)

se puede convertir en una ecuación diferencial de variables separables mediante el cambio u=ax+by+c

8. Resuelva el siguiente problema de valor inicial y represente gráficamente la solución.

( )

0 3 ; 0 sen 10 =      = + x y π dx dy y

9. Repita el problema anterior reemplazando la función seno por su serie aproximada:

( )

6 sen 3 x x

x ≈ − y compare los resultados obtenidos.

10. Resuelva el siguiente problema de valor inicial y represente gráficamente la solución. ¿Qué puede decir acerca del teorema de existencia y unicidad?

Para el análisis se recomienda dibujar algunos elementos de la familia. 2 ) 1 ( ; ) 1 ( ' ) 1 (_x2₊ _y₌ _y _x2₋ _y ₌ x

(25)

1.4. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Una ecuación diferencial de primer orden puede, en algunos casos, expresarse en la forma: ) , ( yx f dx dy =

Como ya hemos visto, no siempre es posible separar las variables y proceder por integración directa para resolver la ecuación diferencial. Trataremos en esta sección con cierto tipo de ecuaciones diferenciales que se pueden convertir en ecuaciones de variables separables mediante un cambio adecuado de la variable dependiente.

Funciones homogéneas

Consideremos una función de dos variables F(x,y). Se dice que la función es homogénea de grado n si existe un λ∈R tal que F(_λx,_λy)₌_λnF(x,y)_{. Particularmente, si la función} es polinómica, la suma de las potencias de las variables en cada término es la misma. Son ejemplos de funciones homogéneas las siguientes:

*_F₍_x_,_y₎₌_x2₊₃_xy₊_y2_{es homogénea de grado dos}

* x y ye x y x

G( , )= + es homogénea de grado uno * y x y x y x H − + = ) ,

( es homogénea de grado cero

* _      = y x xy y x

S( , ) 2 sen es homogénea de grado dos *R(x,y)= x+ y es homogénea de grado un medio * y x x y x T + = ) ,

( es homogénea de grado cero

Ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial de la forma y'= f

( )

x,y es homogénea si la expresión:f(x,y)es homogénea de grado cero

La ecuación diferencial y x y x y − + =

' , por ejemplo, es homogénea.

Solución de una ecuación diferencial homogénea

Una ecuación diferencial homogénea se puede reducir, en todo caso, a una ecuación diferencial de variables separables mediante uno de los siguientes cambios de variable

(26)

y x v x y u= , = 1. Si hacemos el cambio x y

u = tenemos que y=ux, con base en lo anterior, tenemos

u dx du x dx dy ₌ ₊

Puesto que f ,

( )

x y es homogénea de grado cero, siempre es posible expresarla como:

( )

      = x y F y x f ,

De lo anterior, tenemos la ecuación diferencial de variables separables para las variables:

u x,

( )

u F u dx du x + = 2. Si hacemos el cambio y x

v= , tenemos que x=vy, de donde:

v dy dv y dy dx + =

La anterior es una ecuación diferencial de variables separables para las variables: vy,

Ejemplo 1.14

Resuelva la ecuación diferencial

y x y x y + − = ' Solución.

Dividiendo por x el numerador y el denominador de f ,

( )

x y y luego haciendo y=ux, tenemos: u u u dx du x + − = + 1 1

Haciendo transformaciones se obtiene la ecuación de variables separables 0 1 2 1 2₊ ₋ + = + x dx du u u u Integrando se obtiene:

(

u +2u−1

)

+ln

( )

x =C ln 2 1 2

(27)

Regresando a la variable original y simplificando se obtiene

K y xy

x2−₂ − 2 = _,_K ₌₋_C2

La solución general de la ecuación diferencial es una familia de hipérbolas. La figura 1.14 ilustra el elemento correspondiente a K = . 2

Con el valor dado para la constante podemos escribir la ecuación en la forma: 0 ) ( 2 2 2₊ _xy₋ _x ₋_K ₌ y

Aplicando la fórmula general, se obtienen dos soluciones, así: 2 2 2 2 2₋ ₌₋ ₋ 2₋ + − = x x y x x y

La figura muestra las asíntotas oblicuas correspondientes, cuyas ecuaciones son:

(

1 2

)

y= − ± x

Figura 1.14 Figura 1.15 Ejemplo 1.15

Resuelva la ecuación diferencial:

2 2 ' x y xy y= − Solución.

Dividiendo por _{y el numerador y el denominador de}2 _f

( )

_x_,_y _{y luego haciendo}_x₌_vy_,

tenemos: 1 2 − = + v v v dy dv y

(28)

Haciendo transformaciones se obtiene la ecuación de variables separables 0 1− ₊ ₌ y dy dv v v Integrando se obtiene:

( )

ln

( )

ln( ) lnv −v+ y = C

Aplicando las propiedades de los logaritmos, resulta: v=ln(Cvy)

Regresando a la variable original y simplificando se obtiene la familia de curvas:

) ln(Cx

x y=

Puede verse que, aunque el teorema de existencia y unicidad no garantiza solución en regiones que contengan a la recta x=0, la ecuación diferencial tiene solución única en las regiones:

a)

{

(

_{x y}_,

)

_∈_R2_{/ 0}_{≤ < , sí}_x ₁

}

_{C =}₁

b)

{

(

_{x y}_,

)

_∈_R2_{/ 1}_{− < ≤}_x ₀

}

_{, sí}_{C = −}₁

La figura 1.15 ilustra los dos elementos de la familia EJERCICIOS 1.4

Para las ecuaciones diferenciales numeradas del 1 al 10

a) Determine y represente gráficamente las regiones del plano en las que se puede ubicar el punto )(x₀,y₀ de tal manera que se garantice solución única

b) Encuentre la solución general

c) Cuando sea posible, represente un elemento de la familia

x y x dx dy ₌ + . 1 ₂ 2 . 2 x y xy dx dy ₌ + y x y x dx dy + + − = 2 2 . 3 xy y x dx dy 2 . 4 2 2₋ = ₅_. ₍x3₊y3₎dx₌ xy2dy       + = x y x y dx dy x _cos2 . 6 x y y x dx dy + = 2 . 7 8. sec2(_y/_x) x y dx dy + = 0 ) 2 5 6 ( ) 8 6 ( . 9 _x2₋ _xy₊_y2 _dy₋ _x2₋ _xy₋ _y2 _dx₌

(

)

x y x dx dy 2 . 10 = +

(29)

1.5. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Tal como se estudió previamente, dada una función de dos variables F(x,y)=C, su diferencial total viene dado por:

0 = =       ∂ ∂ +       ∂ ∂ = F dy dC y dx F x dF

Tanto la derivada parcial con respecto a x como la derivada parcial con respecto a y de la función dependen de las dos variables. Se conviene en designarlas de la siguiente manera:

) , ( ) , ( F N x y y y x M F x ∂ = ∂ = ∂ ∂

Con base en lo anterior se obtiene la ecuación diferencial de primer orden: 0 ) , ( ) , (x y dx+N x y dy= M

Es claro que si la ecuación diferencial se obtuvo a partir de la familia de curvas, la solución general de dicha ecuación diferencial es la correspondiente familia.

Ejemplo 1.16

0 2_xydx_{+ dy}_x2 ₌

Muestre que la solución general viene dada por

C y x2 = Solución.

Hallamos el diferencial total de la función, encontrando la correspondiente ecuación diferencial.

El problema que nos ocupa es precisamente el contrario, es decir, encontrar la familia de curvas a partir de la ecuación diferencial.

Ecuación diferencial exacta

Dada la ecuación diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, se dice que es exacta si existe una función: F(x,y)=C tal que:

( )

_M x y x F ₌ ∂ ∂ , y

( )

N y y x F ₌ ∂ ∂ ,

(30)

En tal caso, la solución general de la ecuación diferencial es la familia de curvas: C y x F( , )= Teorema 1.

Sí la ecuación diferencial: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta y M(x,y),N(x,y) son continuas y poseen su primera derivada continua en una región simplemente conexa del plano _{R , entonces se verifica que:}2

0 ) , ( ) , ( = ∂ ∂ − ∂ ∂ y x N x y x M y

La demostración del teorema se apoya en la definición de una ecuación diferencial exacta y en un teorema de las funciones de dos variables.

Por hipótesis se tiene que:

) , ( ) , ( F x y x y x M ∂ ∂ =

Derivando con respecto a la otra variable, se tiene:

) , ( ) , ( ) , ( 2 y x F x y y x F x y y x M y ∂ ∂ ∂ =     ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

De manera similar, tenemos:

) , ( ) , ( F x y y y x N ∂ ∂ =

Derivando con respecto a la otra variable, se tiene:

) , ( ) , ( ) , ( 2 y x F y x y x F y x y x M x ∂ ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

Ahora bien, para regiones del plano simplemente conexas se verifica que la segunda derivada mixta no depende del orden de derivación, esto es:

xy yx F F =

De lo anterior se concluye que si la ecuación diferencial es exacta, entonces: 0 ) , ( ) , ( = ∂ ∂ − ∂ ∂ y x N x y x M y

(31)

La ecuación del ejemplo 1.14 es exacta y, en consecuencia se verifica el teorema, es decir: 0 2 2 − = = ∂ ∂ − ∂ ∂ x x x N y M

El teorema anterior es de poca utilidad ya que no ayuda a resolver la ecuación diferencial.

Teorema 2.

Dada la ecuación diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, si las funciones M,N,M_yyN_x

son continuas en una región simplemente conexa del plano y se verifica que M_y−N_x =0, entonces la ecuación diferencial es exacta y tiene como solución general a la familia de curvas del plano:

C y x F( , )=

Para demostrar el teorema se supone que existe una F( yx, ) tal que su derivada parcial con respecto a x es M , esto es M

x F =

∂

∂ _{. La función F se determina por integración sobre la} variable x manteniendo constante la otra variable, así:

∫

+ = xM x y dx C y y x F( , ) ( , ) ( )

El éxito de esta demostración consiste en poder determinar la función C( y) de tal manera que se verifique que N( yx, )

y F =

∂ ∂

. En efecto, tomando la derivada parcial con respecto a la variable y se tiene: ) , ( ) ( ' ) , ( ) , ( M x ydx C y N x y y y x F y ∂ x + = ∂ = ∂ ∂

∫

De lo anterior debe resulta una función dependiente únicamente de la variable y para la función )C' y( dx y x M y y x N y C x

∫

∂ ∂ − = ( , ) ( , ) ) ( '

Si la expresión anterior se deriva con respecto a x , el miembro de la izquierda debe ser cero, así:       ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ =

∫

M x y dx y x y x N x ( , ) x ( , ) 0

Si se cambia el orden de la derivación y se aplica el teorema fundamental del cálculo integral, se tiene:

(32)

y M x N dx y x M x y y x N x x ∂ ∂ − ∂ ∂ =     ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = ( , )

_∫

( , ) 0

El procedimiento de demostración del teorema se constituye en el método para resolver la ecuación diferencial. También se puede partir de N

y F = ∂ ∂ y proceder en consecuencia. Nota.

Se dice que una región del plano: _{R es simplemente conexa si cualquier curva cerrada en}2

ella puede reducirse a un punto sin salirse de la región; en tal sentido, una región simplemente conexa no debe tener huecos. Una corona circular es un ejemplo de una región que no es simplemente conexa

{

1 2

}

2 2 2 2 2 1 2_/ _; ) , (x y ∈R r < x +y <r r <r

La figura 1.16 muestra una región simplemente conexa y otra doblemente conexa. En el estudio de las funciones de variable compleja es necesario manejar adecuadamente el concepto.

0 ) (

2_xydx₊ _x2 ₋_y2 _dy₌

a) Verifique que es exacta

b) Encuentre las regiones del plano en las que se puede ubicar el punto (x₀,y₀) de tal manera que se garantice solución única

c) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial d) Dibuje dos elementos de la familia

Solución. a) Dado que: 2 2 ) , ( 2 ) , (x y xy N x y x y M = = −

(33)

0 2 2 − = = ∂ ∂ − ∂ ∂ x x x N y M

b) Escribimos la ecuación diferencial en la forma:

2 2 2 x y xy dx dy − = Con base en lo anterior, tenemos:

2 2 2 2 2 2 2 ₍ ₎ ) ( 2 2 x y y x x f x y xy f _y − + − = − =

Con base en el teorema de existencia y unicidad, se garantiza solución única en regiones que no contengan a las rectas y= x y y=−x. En consecuencia, el punto (x₀,y₀) se puede ubicar en cualquiera de las siguientes regiones del plano:

{

(x,y)∈R2/−x< y< x

}

{

(x,y)∈R2/x< y<−x

}

{

(x,y)∈R2/−y<x< y

}

{

(x,y)∈R2/y< x<−y

}

c) Para resolver la ecuación diferencial partimos de: xy y x F x ( , )=2 ∂ ∂ .

Integrando con respecto a x tenemos:

) ( ) , (_x _y _x2_y _C _y F = +

Derivando con respecto a y e igualando con N , se tiene:

2 2 2 _C_'₍_y₎ _x _y

x + = − De lo anterior se tiene que:

2 ) ( ' y y C =− Integrando, tenemos: 3 3 1 ) (y y C =−

(34)

C y y x2 − 3 = 3 1

La familia encontrada se puede expresar en la forma:

y K y x 3 3 2 ₌ +

La figura 1.17 muestra los elementos correspondientes a: K =1 y K =4. Observe que las variables aparecen trocadas, es decir, se expresa x en función de y

) sen( ) cos( x y x y x dx dy + − = a) Verifique que es exacta

b) Encuentre las regiones del plano en las que se puede ubicar el punto (x₀,y₀) de tal manera que se garantice solución única

c) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial Solución.

Organizando la ecuación, se tiene:

[

ycos(x)−x

]

dx+

[

y+sen(x)

]

dy=0 Puede verse que la ecuación diferencial es exacta, ya que:

(35)

0 ) cos( ) cos( − = = ∂ ∂ − ∂ ∂ x x x N y M

Con base en la ecuación, se tiene:

[

_sen( ₎

]

2 ) cos( ) sen( ) sen( ) cos( x y x x x f x y x y x f _y + + − = + − =

No se garantiza solución única en regiones tales que: y=−sen(x) Para encontrar la solución general partimos de:

) sen(x y y F ₌ ₊ ∂ ∂

Integrando con respecto a y tenemos:

) ( ) sen( 2 1 ) , (_x _y _y2 _y _x _C _x F = + +

Derivando con respecto a x e igualando con M( yx, ), se tiene:

x x y x C x ycos( )+ '( )= cos( )− De lo anterior se obtiene 2 2 1 ) (x x C =−

En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial es la familia de curvas:

C y x x y_sen( ₎− 2 + 2 = 2 Ejemplo 1.19

0 ) ( ) , (_x _y _dx₊ _x2₊_xy₊_y2 _dy₌ M

a) Determine M( yx, ) de tal manera que la ecuación diferencial sea exacta b) Encuentre la solución general de la ecuación diferencial

Solución.

a) Debe cumplirse que:

x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂

(36)

De lo anterior resulta que: y x y M ₌ ₊ ∂ ∂ 2

Integrando con respecto a y resulta:

) ( 2 1 2 ) , (_x _y _xy _y2 _f _x M = + +

Cualquiera que sea la función f(x), la ecuación diferencial es exacta. Como caso particular tomamos f x = , resultando la ecuación diferencial exacta: ( ) 0

(

₂_xy₊_y2_{/ 2}

)

_dx₊₍_x2₊_xy₊_{y dy}2₎ ₌₀

Se deja al estudiante que muestre que la solución general es la familia de curvas del plano cuya expresión general es:

C y xy y x2 +₃ 2+₂ 3 = 6

Es claro que no todas las ecuaciones diferenciales son exactas, sin embargo, ciertas ecuaciones diferenciales se pueden reducir a exactas mediante un factor integrante.

Ecuaciones diferenciales reducibles a exactas

Algunas ecuaciones diferenciales no exactas, de la forma: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 se pueden convertir en exactas mediante la multiplicación de la ecuación diferencial por un factor )Φ( yx, , conocido como factor integrante.

Si Φ(x,y) es un factor integrante de la ecuación diferencial dada, entonces la siguiente ecuación diferencial debe ser exacta:

0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , (x y M x y dx+Φ x y N x y = Φ

Bajo el supuesto de que la ecuación diferencial es exacta, se tiene que:

[ ]

=0 ∂ ∂ − ∂ ∂ N x M y Φ Φ

Expandiendo la expresión anterior, podemos escribir:

0 = ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ x N x N y M y M Φ Φ Φ Φ

La ecuación diferencial obtenida es una ecuación en derivadas parciales que se puede resolver en algunos casos particulares.

(37)

El factor integrante se puede determinar cuando depende únicamente de una de las variables, así:

1. El factor integrante depende únicamente de x

Es claro que síΦ =Φ(x), la ecuación diferencial resultante es:

0 = − ∂ ∂ − ∂ ∂ dx d N x N y M _Φ Φ Φ

La anterior es una ecuación de variables separables, así:

dx N N M d ₌ y− x Φ Φ

El miembro de la derecha de la ecuación anterior debe depender solo de la variable x . En consecuencia, sí f(x) N N M_y _x = − , entonces resulta: dx x f d ) ( = Φ Φ

El factor integrante en este caso es:

∫ =e f xdx x) ( ) (

Φ

2. El factor integrante depende únicamente de y

Es claro que síΦ =Φ(y), la ecuación diferencial resultante es:

0 = + ∂ ∂ − ∂ ∂ dy d M x N y M _Φ Φ Φ

La anterior es una ecuación de variables separables, así:

dy M N M d y x − − = Φ Φ

El miembro de la derecha de la ecuación anterior debe depender solo de la variable y . En consecuencia, sí g( y) M N My x ₌ − − , entonces resulta: dy y g d ₌ ₍ ₎ Φ Φ

El factor integrante en este caso es:

∫ =e g ydy y) ( ) (

(38)

Existen otras ecuaciones diferenciales para las cuales se puede encontrar un factor integrante, tal es el caso de ecuaciones que se pueden escribir de la forma:

( )

₂

( )

0

1 xy dx+xf xydy =

yf

Puede demostrarse que dicha ecuación diferencial tiene como factor integrante:

( )

_{( )}

xy xyf xy xyf k xy 2 1 − = Φ

k : es una constante que se escoge convenientemente

Ejemplo 1.20

(

2 ₊ 3

)

₌0

+

−xdx x y y dy

Solución.

Se puede ver que:

xy xy

N

My− x =0−2 =−2 Dividiendo por M− , resulta: g

( )

y =−2y

En consecuencia, el factor integrante es: _Φ

( )

_y ₌_e−y2

La ecuación diferencial exacta que resulta de multiplicar por el factor integrante es:

(

2 3

)

0 2 2 = + + −_xe−y _dx _e−y _x _y _y _dy Haciendo la prueba tenemos:

0 2 2 2 + 2 = − = − −y −y x y N xye xye M

Para encontrar la solución general partimos de:

2 y xe x F ₌₋ − ∂ ∂ Integrando con respecto a x , se tiene:

( )

x y x e C

( )

y F y + − = − 2 , 2 2

(39)

( )

(

2 3

)

2 2 2 ' y e x y y C ye x −y ₊ ₌ −y ₊ Simplificando se obtiene:

( )

2 3 ' y e y C ₌ −y

La función C(y) se determina por integración, así:

( )

y e y dy e y ydy

C y y

∫

− ₌ −

= 2 3 2 2

Haciendo el cambio de variable _u ₌ _y2_{, resulta:}

( )

(

1

)

2 1 2 =− + = − −

∫

e udu e u u C u u

Finalmente, la solución general de la ecuación diferencial es la familia de curvas:

2 1 2 2 _y _Key x + + = Ejemplo 1.21

(

_xy3₊1

)

_dx₋_x2_y2_dy ₌0 Solución.

Se puede ver que:

2 2 2 ₂ ₅ 3xy xy xy N My− x = + = Dividiendo por N , resulta: f

( )

x =−5/x

En consecuencia, el factor integrante es:

( )

_x _{= x}−5

Φ

La ecuación diferencial exacta que resulta de multiplicar por el factor integrante es: 0

)

(_x−4_y3₊_x−5 _dx₋_x−3_y2_dy ₌

Haciendo la prueba tenemos:

0 3 3 4 2₋ 4 2 ₌ = −_N _x− _y _x− _y M_y _x