2. FUNCIONES CONTINUAS.
En este capítulo nos centraremos en el estudio de las funciones continuas. Para ello, necesitamos estudiar el concepto de límite y algunas de sus propiedades.
2.1. Límites de una función 2.1.1. Concepto de límite
Denición 2.1 (Límite nito). Sea f :A →R una función y x0 ∈A0. Se dice que l ∈Res el límite de f(x)cuandox tiende a x0 y se denota por
l´ım
x→x0
f(x) =l,
si
∀ε >0, ∃δ >0 tal que ∀x∈A: 0<|x−x0|< δ ⇒ |f(x)−l|< ε.
Interpretación geométrica: Que el límite de f(x) cuando x tiende x0 sea l∈ R signica que los
valores de f(x) se aproximan al tanto como queramos, tomando xlo sucientemente cerca de x0.
y
=
f
H
x
L
x0 x0-∆ x x0+∆ l l-Ε l+Ε fHxLObservación 2.2.
x0 no pertenece necesariamente a A, sino a A0, por lo que sabemos que ∀r >0
B(x0, r)∩A\ {x0} 6=∅,
es decir, que existen números de A tan cerca a x0 como queramos.
Six0∈A,f(x0)no es necesariamente el límite def(x) cuandoxtiende ax0. Por ejemplo, basta
considerar la función f(x) = x six6= 0 1 six= 0.
El límite, si existe, es único. Ejemplo 2.3.
(a) Veamos, usando la denición de límite, que l´ım
x→4(3x−7) = 5.
En efecto, dado cualquier ε > 0, buscamos un número δ >0 tal que si 0<|x−4|< δ entonces
|3x−7−5| < ε. Pero como tenemos que |3x−7−5| = |3x−12| = 3|x−4|, podemos elegir
δ =ε/3, y se tiene que para todo x tal que 0<|x−4|< δ:
|3x−7−5|= 3|x−4|<3δ=ε.
Obsérvese que, en realidad, podemos elegir cualquier δ < ε/3.
(b) l´ım
x→0(1 +x
2) = 1.
En efecto, dado ε >0, buscamos δ > 0 tal que si 0< |x|< δ entonces |(1 +x2)−1|< ε. Pero
como |(1 +x2)−1|=|x2|=|x|2, basta tomar δ=√ε para que|(1 +x2)−1|=|x|2< δ2=ε.
Denición 2.4 (Límite innito). Sea f :A → R una función y x0 ∈ A0. Se dice que f(x) tiende o
diverge a +∞ cuandoxtiende a x0 y se denota: l´ım
x→x0
f(x) = +∞,
si
Se dice que f(x) tiende o diverge a−∞ cuandoxtiende a x0 y se denota: l´ım x→x0 f(x) =−∞, si ∀M >0, ∃δ >0 tal que ∀x∈A: 0<|x−x0|< δ ⇒ f(x)<−M.
En ambos casos decimos que f(x) tiene una asíntota vertical en la rectax=x0.
Recordemos que+∞ o −∞no son números, sino símbolos que en este caso indican crecimiento o
decrecimiento no acotado de los valores de la función: Si l´ım
x→x0
f(x) = +∞,f crece de manera no acotada.
Si l´ım
x→x0
f(x) =−∞,f decrece de manera no acotada.
Ejemplo 2.5. l´ım
x→0
1
x2 = +∞.
Denición 2.6 (Límite en el innito: dominios no acotados). Sea f :A→ R una función con A no
acotado superiormente. Se dice que l es el límite de f(x) cuando x tiende a +∞ y se denota: l´ım
x→+∞f(x) =l,
si
∀ε >0, ∃M >0 tal que ∀x∈A con x > M ⇒ |f(x)−l|< ε.
Análogamente, si A no está acotado inferiormente, se dice que l es el límite de f(x) cuando x
tiende a −∞ y se denota:
l´ım
x→−∞f(x) =l,
si
si∀ε >0, ∃M >0 tal que ∀x∈A con x <−M ⇒ |f(x)−l|< ε.
Los límites en el innito pueden ser innito:
l´ım
x→+∞f(x) = +∞, si∀M >0, ∃K >0 tal que ∀x∈A:x > K ⇒f(x)> M.
l´ım
x→+∞f(x) =−∞, si∀M >0, ∃K >0 tal que ∀x∈A:x > K ⇒f(x)<−M.
Y análogamente cuandox tiende a −∞.
Ejemplo 2.7. l´ım
x→+∞
1
x = 0.
En la denición de límite en un punto x0, tomamos valores de x próximos a ambos lados de x0,
pero puede ocurrir que el límite exista condicionado a tomar valores sólo a un lado dex0. Así denimos
los límites laterales.
Denición 2.8 (Límites laterales). Dada una función f :A→Rconx0∈A0 tal que para algúnδ >0,
A∩(x0, x0+δ)6=∅, decimos queles el límite def(x)cuandoxtiende ax0 por la derecha y se denota: l´ım
x→x+0
f(x) =l,
si
∀ε >0,∃δ >0 tal que ∀x∈A:x∈(x0, x0+δ) ⇒ |f(x)−l|< ε.
Y si x0 ∈A0 es tal que para algún δ >0, A∩(x0−δ, x0) 6=∅, decimos que l es el límite de f(x)
cuandox tiende a x0 ∈A0 por la izquierda y se denota: l´ım
x→x−0
f(x) =l,
si
∀ε >0, ∃δ >0 tal que ∀x∈A:x0 < x < x0+δ ⇒ |f(x)−l|< ε.
Teorema 2.9. Si x0∈A0 tal que para algúnδ >0, A∩(x0−δ, x0)6=∅ y A∩(x0, x0+δ)6=∅, existe
el límite l´ım
x→x0
Ejemplos 2.10. 1. @l´ım
x→0
1
x.
Existen ambos límites laterales, pero como no son iguales, el límite no existe.
l´ım x→0− 1 x =−∞ xl´ım→0+ 1 x = +∞. 2. f(x) = x six <0 x+ 1 six≥0.
Los límites laterales en x0= 0 existen: l´ım
x→0−f(x) = 0 xl´ım→0+f(x) = 1
pero al ser distintos el límite l´ım
x→0f(x) no existe.
Observación 2.11. Puede ser que no tenga sentido el límite lateral de una función, por ejemplo, si
A∩(x0−δ, x0) =∅ no tiene sentido l´ım
x→x−0
f(x).
En ese caso es suciente que exista el otro límite lateral para hablar del límite de la función. Sería el caso de f(x) = lnx, cuyo dominio es R+, y por tanto
l´ım
x→0lnx= l´ımx→0+lnx=−∞.
Observación 2.12. Es posible que no existan ninguno de los límites laterales y por tanto no exista el límite de la función. -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -0.10 -0.05 0.05 0.10 -1.0 -0.5 0.5 1.0
Por ejemplo:
@l´ım
x→0sen(1/x),
porque cuando xtiende a 0, los valores de f(x) no se aproximan a ningún número, sino que oscilan en
el intervalo [−1,1], ya que ∀x= (1+42k)π, conk∈Z, f(x) = 1 (observemos que al crecer los valores de
k, x se aproxima a 0), y ∀x= (3+42k)π, con k ∈Z, f(x) = −1. Este tipo de comportamiento se llama
divergencia por oscilación.
Propiedades 2.13 (Álgebra de límites). Sean f(x) yg(x) funciones tales que existe l´ım
x→x0 f(x)∈Ry l´ım x→x0 g(x)∈Ry sea α∈R. Entonces l´ım x→x0 αf(x) =α l´ım x→x0 f(x). l´ım x→x0 (f(x)±g(x)) = l´ım x→x0 f(x)± l´ım x→x0 g(x). l´ım x→x0 (f(x)·g(x)) = l´ım x→x0 f(x)· l´ım x→x0 g(x). Si l´ım x→x0 g(x)6= 0, entonces l´ım x→x0 f(x) g(x) = l´ımx→x0f(x) l´ımx→x0g(x) . Si l´ım x→x0 f(x)6= 0 y l´ım x→x0 g(x)6= 0, entonces l´ım x→x0 (f(x))g(x)= l´ım x→x0 f(x) l´ım x→x0 g(x) . Se tienen resultados similares para límites en el innito.
Proposición 2.14 (Regla del Sandwich). Sean f(x), g(x) y h(x) tres funciones tales que para cada
x ∈ A se cumple que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Si x0 ∈ A0, y l´ım x→x0 f(x) = l´ım x→x0 h(x) = l, entonces l´ım x→x0 g(x) =l.
El resultado también es válido para límites innitos y límites en el innito. Proposición 2.15. Si f(x) es una función tal que l´ım
x→x0
f(x) = 0 yg(x) está acotada (en un entorno
de x0), entonces l´ım
x→x0
f(x)·g(x) = 0.
Ejemplo 2.16. l´ım
x→0xsen (1/x) = 0.
Es consecuencia de la propiedad anterior porque aunque @l´ım
x→0sen
1
x
, sabemos que la función
sen x1
está acotada en un entorno del 0 (de hecho, sen 1x
∈ [−1,1], ∀x 6= 0), y l´ım
x→0x = 0. Ver
-0.10 -0.05 0.05 0.10
-0.05 0.05
Fig. 3: Gráca de la funciónf(x) =xsen 1/xcerca de x= 0.
Proposición 2.17. Sea f(x) tal que l´ım
x→x0
f(x) = 0. Entonces l´ım
x→x0
(1 +f(x))1/f(x)=e.
Los dos últimos resultados también son ciertos para límites en ±∞.
2.1.2. Indeterminaciones
En general, la forma más simple de calcular un límite es la sustitución directa. Recordemos que, bajo el signo de límite, podemos suponer que 1/∞= 0y que 1/0 =∞. En este último caso (y siempre
dentro del cálculo de límites) tendremos que estudiar el signo del innito y, posiblemente, recurrir a los límites laterales para ello.
Sin embargo, en algunos casos, por sustitución directa, y a pesar de las reglas anteriores, no podemos obtener el valor del límite pues obtenemos un cálculo que no se puede realizar. Son estas situaciones las que se conocen como Indeterminaciones, pues dependiendo de cada límite el resultado será uno u otro. En total son siete:
Indeterminación de la suma/resta:[∞ − ∞].
Indeterminación del producto: [0· ∞].
Indeterminaciones del cociente:
0 0 yh∞∞i. Indeterminaciones de la exponenciación: [1∞], 00 y ∞0 .
y para resolverlas hay que utilizar diversas herramientas que se suponen conocidas. Aún así, ilus-tramos algunas con varios ejemplos.
Ejemplos 2.18.
(a) Simplicación de fracciones:
l´ım x→2 x2+x−6 x−2 = 0 0 = l´ım x→2 (x+ 3)(x−2) x−2 = l´ımx→2x+ 3 = 5.
(b) División entre la potencia mayor grado:
l´ım x→+∞ 2x2+ 3x x3−x2+ 4 = h∞ ∞ i = l´ım x→+∞ 2 x + 3 x2 1−1 x + 4 x3 = 0 + 0 1−0 + 0 = 0 1 = 0. (c) Racionalización: l´ım x→+∞ 2 √ x+ 1−√x = 2 ∞ − ∞ = l´ım x→+∞ 2(√x+ 1 +√x) (√x+ 1−√x)(√x+ 1 +√x) = l´ım x→+∞ 2(√x+ 1 +√x) 1 = +∞.
(d) Uso del número ey la Proposición 2.17 ([1∞]). l´ım x→+∞ x x−1 x = [1∞] = l´ım x→+∞ 1 + 1 x−1 x = l´ım x→+∞ " 1 + 1 x−1 x−1# x x−1 =e1 =e.
(e) Uso de la exponencial y logaritmo (
00 , ∞0 , [1∞]): l´ım x→0x 2 3−lnx ! = 00= l´ım x→0e lnx(3−2lnx) =exl´ım→0lnx 2 3−lnx =exl´ım→0 2 lnx 3−lnx =e[∞∞] = e l´ım x→0 2 3 lnx −1 ! =e−2 = 1 e2. 2.1.3. Innitésimos.
Denición 2.19 (Innitésimos). Una función f(x) se dice que es un innitésimo en x0 (o ±∞) si l´ım
x→x0
f(x) = 0.
Dados dos innitésimos en x0, f(x) y g(x), decimos que f(x) es de menor orden que g(x) (o que
es despreciable frente a g(x) cerca dex0) y se denota f(x) =o[g(x)] si l´ım
x→x0 f(x)
Dos innitésimos en x0, f(x) y g(x), se dicen innitésimos equivalentes en x0 y lo denotaremos f(x)∼x→x0 g(x) si l´ım x→0 f(x) g(x) = 1. Ejemplo 2.20. l´ım x→0 senx x = 1.
La utilidad de los innitésimos en el cálculo efectivo de límites se puede apreciar en la siguiente propiedad.
Proposición 2.21. Principio de sustitución: Si f(x) ∼x→x0 g(x) y h(x) está denida en un entorno
de x0, entonces: l´ım x→x0 f(x)·h(x) = l´ım x→x0 g(x)·h(x) l´ım x→x0 h(x) f(x) = l´ımx→x0 h(x) g(x).
Propiedades 2.22. Algunos innitésimos equivalentes útiles: Si f(x) es un innitésimo en x0, es decir, l´ım
x→x0
f(x) = 0, entonces
f(x)∼x→x0 senf(x)∼x→x0 tanf(x)∼x→x0 arc senf(x)∼x→x0 senhf(x).
f(x)∼x→x0 ef(x)−1∼x→x0 ln(1 +f(x)). f(x)2 2 x→x0 ∼1−cosf(x)∼x→x0 coshf(x)−1. (1 +f(x))α−1∼x→x0 αf(x), (α >0).
Observación 2.23. El principio de sustitución nos permite calcular el límite de una función cuando
x tiende a x0, cambiando un innitésimo en x0,f(x), por cualquiera de sus innitésimos equivalentes
siempre que f(x) aparezca multiplicando o dividiendo. El próximo ejemplo ilustra esta estrategia.
Ejemplo 2.24. Veamos que l´ım
x→π/2(sen
2x)tan2x=e−1. En efecto, como tenemos una indeterminación
del tipo [1∞], primero hacemos uso de la exponencial y su inversa: l´ım
x→π/2(sen
2x)tan2x =ex→l´ımπ/2tan
2x·ln(sen2x)
Como l´ım
x→π/2tan
2x·ln(sen2x) = [0· ∞], y l´ım
x→π/2sen
2x= 1, utilizamos la equivalencia de los
innité-simos ln(sen2x) = ln(1 + (sen2x−1))y sen2x−1, y el principio de sustitución para obtener l´ım x→π/2(sen 2x)tan2x =ex→l´ımπ/2tan 2x·(sen2x−1) =e l´ım x→π/2tan 2x·(−cos2x) =e l´ım x→π/2−sen 2x =e−1.
2.2. Continuidad de una función
2.2.1. Denición de continuidad y clasicación de discontinuidades
Denición 2.25 (Continuidad en un punto). Una función f(x) es continua en x0 ∈ Dom(f) si ∃l´ımx→x0f(x) =f(x0). Es decir,
f(x) es continua en x0 si
∀ε >0, ∃δ >0 tal que ∀x∈Dom(f) :|x−x0|< δ ⇒ |f(x)−f(x0)|< ε.
Podemos hablar de continuidad lateral:
Una función f(x) es continua por la derecha en x0 ∈R si
l´ım
x→x+0
f(x) =f(x0).
Una función f(x) es continua por la izquierda en x0∈R si
l´ım
x→x−0
f(x) =f(x0).
Claramente, f(x) es continua en x0 si lo es por la derecha y por la izquierda (siempre que tengan
sentido los límites laterales).
Ejemplo 2.26. La función parte entera E[x], que asocia a x ∈ R su parte entera, es una función escalonada que en todo x=p∈Z es continua por la derecha pero no por la izquierda (ver Figura 4).
En efecto, para todox=p∈Z, l´ım
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1 1
Fig. 4: Gráca de la función parte entera.
Denición 2.27 (Continuidad en un subconjunto). Una funciónf(x)es emcontinua en un subconjunto
A⊂Dom(f) si es continua en todo punto x∈A.
Observación 2.28. Recordemos que para que f(x) sea continua en x0 es necesario que lo sea por la
derecha y por la izquierda, siempre que tengan sentido los límites laterales. Si tomamos A= [a, b],f(x)
será continua en A si lo es en todo x∈A, de forma que en los extremos ay b tan sólo tendremos que
comprobar que f(x) es continua por el interior de A, es decir, por la derecha para ay por la izquierda
para b. Por ejemplo, E[x]es continua en [p, p+ 1)para todo p∈Z.
Propiedades 2.29 (Álgebra de funciones continuas). Sean f(x) yg(x) dos funciones continuas enx0
y α∈R; entonces (αf)(x) es continua en x0. (f±g)(x) es continua en x0. (f·g)(x) es continua en x0. (f /g)(x) es continua en x0, si g(x0)6= 0. |f(x)|es continua en x0.
Si, además,f(x)es continua eng(x0), entonces (f ◦g)(x) es continua en x0.
Observación 2.30. Todas las funciones elementales estudiadas anteriormente son continuas en su dominio.
en un entorno de x0 (quizás no en dicho punto). Si f(x) no es continua enx0, entonces se dice quex0
es una discontinuidad de f(x).
Las discontinuidades de una función pueden clasicarse del siguiente modo: (a) Discontinuidad evitable:
∃ l´ım x→x0 f(x) =l∈R pero l6=f(x0). ∃ l´ım x→x0 f(x) =l∈R pero x0 ∈/ Dom(f).
(b) Discontinuidad de salto nito
∃ l´ım
x→x−0
f(x) =l1∈Ry ∃ l´ım
x→x+0
f(x) =l2 ∈R, pero l1 6=l2.
Al valor |l1−l2| se le llama salto.
(c) Discontinuidad de salto innito
∃ l´ım x→x−0 f(x) =l1∈Ry l´ım x→x+0 f(x) =±∞ (o viceversa). (d) Discontinuidad asintótica l´ım x→x0 f(x) =±∞. l´ım x→x−0 f(x) = +∞ y l´ım x→x+0 f(x) =−∞ (o viceversa).
(e) Discontinuidad esencial
Alguno de los límites laterales (posiblemente ambos) no existen. Ejemplos 2.32.
(a) La funciónf(x) =ln(xx+1) presenta una discontinuidad evitable enx= 0porqueDom(f) = (−1,0)∪ (0,+∞) y l´ım
x→0f(x) = 1 (recordemos que son innitésimos equivalentes en x= 0).
(b) La función parte entera E[x]es continua en R\Z y todos los puntos p∈Z son discontinuidades de salto nito porque
l´ım
x→p−E[x] =p−1 xl´ım→p+E[x] =p.
(c) La función f(x) =e1/x presenta una discontinuidad de salto innito en x= 0 porque l´ım
x→0+f(x) = +∞ xl´ım→0−f(x) = 0.
(d) Las funciones f(x) = 1x y g(x) = x12 presentan una discontinuidad asintótica en x= 0 pues
l´ım
x→0+f(x) = +∞, xl´ım→0−f(x) =−∞, xl´ım→0g(x) = +∞.
(e) La función f(x) = sen(1/x) tiene enx= 0 una discontinuidad esencial porque ya hemos visto que
@l´ım x→0f(x). (f) La función de Dirichlet f(x) = 1 x∈Q 0 x /∈Q ,
no es continua en ningún punto porque tanto Q como R\Q son densos en R, luego para cada
x0∈R, se tiene que@ l´ım
x→x0
f(x) y tampoco existen los límites laterales. Por este último motivo, la
función f(x) presenta una discontinuidad esencial en cada punto x0 ∈R.
2.2.2. Propiedades de las funciones continuas
Proposición 2.33 (Conservación del signo). Si f(x) es continua en x0 entonces ∃δ >0 tal que f(x)·f(x0)≥0, ∀x∈(x0−δ, x0+δ)∩Dom(f).
Proposición 2.34 (Acotación local). Si f(x) es continua enx0 entonces ∃δ >0 tal que f(x) está acotada en (x0−δ, x0+δ).
Para los siguientes resultados necesitamos establecer los conceptos de máximo y mínimo de una función.
Denición 2.35 (Máximo y mínimo absoluto). Sea f :A⊆R→R,y sea x0 ∈A. Se dice que f(x0)
es el máximo absoluto de f en A si f(x)≤f(x0) para todo x ∈A. Análogamente, se dice que f(x0)
es el mínimo absoluto de f en A sif(x)≥f(x0) para todo x∈A.
Teorema 2.36 (Teorema de Weierstrass). Si f(x) es continua en[a, b], entoncesf(x) está acotada en [a, b]y tiene máximo y mínimo absoluto en [a, b].
Teorema 2.37 (Teorema de Bolzano). Si f(x) es continua en [a, b]y f(a)·f(b)<0, entonces existe
al menos un punto c∈(a, b) tal que f(c) = 0.
Corolario 2.38 (Propiedad de Darboux). Si f(x) es continua en [a, b], entonces alcanza todos los
valores entre su máximo y su mínimo absoluto. En particular, f(x) alcanza cualquier valor entre f(a)
