Matemáticas aplicadas a las CC SS I Ejercicios Septiembre 2011

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(1)

Ejercicio nº 1.-

Escribe cada uno de los siguientes números donde corresponda en la tabla:

− − −27 27 327 3 25 15,37 8 2 NATURALES ENTEROS RACIONALES REALES Ejercicio nº 2.-

Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

      − + 2 1 32 343 2 1 2 7 log log log Ejercicio nº 3.- Efectúa y simplifica: 50 98 3 a)45 2 80 b)1 3 3 c)Ejercicio nº 4.-

Se mezclan 30 kg de arroz de 0,75 euros/kg con 20 kg de arroz de 0,8 euros/kg. ¿A cuánto sale cada kilogramo de la mezcla?

Ejercicio nº 5.-

El número de habitantes de una cierta población aumentó hace tres años en un 2%. El año siguiente, el aumento fue del 3%; y, el siguiente, del 4%.

a) ¿Cuál ha sido el porcentaje total de aumento?

b) Si inicialmente eran 6 000 habitantes, ¿cuántos había después de los tres años de aumento? Ejercicio nº 6.-

Halla el tanto por ciento anual de interés al que debe colocarse un capital de 3 000 euros para que en dos años se transforme en 3 307,5 euros.

Ejercicio nº 7.-

Descompón en factores el siguiente polinomio: 2 3 4 4 5 x x x − − Ejercicio nº 8.-

Efectúa estas operaciones y simplifica:

x x x x x x x + + − + − + 2 2 2 1 1 Ejercicio nº 9.-

Resuelve las siguientes ecuaciones:

x x x 2 8 2 7 a) + − + = x x 1 11 2 3 b) − + =

(2)

Ejercicio nº 10.-

Halla la solución de estos sistemas:

+  + =   − + − =  a) 4 2 2 1 2 x y x x y x y

((((

))))

b) 3 5 1 2 1 2 3 xy x y = = = =        + − = ++ −− == + − =  Ejercicio nº 11.-

La edad de un padre hace dos años era el triple de la edad de su hijo. Dentro de once años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

Ejercicio nº 12.-

Resuelve e interpreta gráficamente la siguiente inecuación: 0

4 2

x

Ejercicio nº 13.-

Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones: = − 2 1 a) 2 y x x = + b) y 6 3x Ejercicio nº 14.-

Calcula los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:

2 1 1 a) 1 x lim x+ →− + + 3 5 b) 3 x x lim x 2 2 1 2 3 c) 1 x x x lim x → + − − Ejercicio nº 15.-

Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:

→+∞   −     2 a) 2 3 x x lim x →+∞ − + 4 4 2 3 b) 1 x x x lim x →−∞ − + 4 4 2 3 c) 1 x x x lim x Ejercicio nº 16.-

( )

encadacaso: Calcula f' x

( )

5 3 2 a) 7 x x f x = − +

( )

4 b) f x = x cosx

(((( ))))

3 3 c) 1 x e f x x = = = = + + + + Ejercicio nº 17.- Representa gráficamente: − = 1 a) 3 x y b) 2x y − =

(3)

Ejercicio nº 18.- Dada la función:

( )

   > + ≤ − = 0 si 1 0 si 1 2 x x x x x f

a) Estudia su continuidad. b) Dibuja su gráfica. Ejercicio nº 19.-

Subiendo una montaña, medimos la temperatura a 360 m de altura, y esta era de 8° C. Cuando estábamos a 720 m de altura, la temperatura era de 6° C.

a) Estima, mediante interpolación lineal, la temperatura que había a 500 m de altura.

b) Halla la expresión analítica de la recta que nos da la temperatura en función de la altura, y represéntala gráficamente.

Ejercicio nº 20.-

Halla la derivada de la siguiente función en x = 2 aplicando la definición de derivada:

( )

5 1 2 + = x x f Ejercicio nº 21.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva f(x)=x − 2x2 que es paralela a g(x) = −7x − 2. Ejercicio nº 22.-

Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente función:

( )

4 3 2 x x x f = − Ejercicio nº 23.-

Obtén las asíntotas de la siguiente función y representa gráficamente la posición de la curva respecto a ellas:

( )

1 2 2 + + = x x x f Ejercicio nº 24.-

Halla y representa gráficamente los puntos de tangente horizontal de la siguiente función: 5) ( 1) ( 2 + = x x f(x) Ejercicio nº 25.-

a) Representa gráficamente la función:

( ) (

x = x1

) (

2 x +8

)

f

b) A partir de la gráfica, averigua el dominio de f(x), estudia su continuidad y di cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.

Ejercicio nº 26.- Dada la función:

( )

3 1 2 2 − + − = x x x x f a) Represéntala gráficamente.

b) Ayúdate de la gráfica para estudiar la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). Ejercicio nº 27.-

Una empresa de publicidad hace una encuesta entre los lectores de una revista para saber su edad aproximada y estudiar si deben anunciarse en la revista.

Las respuestas obtenidas se reflejan en la siguiente tabla:

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))))

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))))

°

Edad 10,13 13,16 16,19 19,22 22,25 25,28

N. de lectores 110 248 115 20 4 3

a) Calcula la media y la desviación típica.

b) ¿Es un grupo homogéneo o disperso en cuanto a la edad? Si la empresa anuncia productos para adolescentes, ¿les conviene poner un anuncio en esa revista?

(4)

c) En otra revista B, la media de edad de los lectores es de 37,53 años con una desviación típica de 5,21. Calcula el coeficiente de variación en ambos casos y compara la dispersión en los dos grupos.

Ejercicio nº 28.-

El número de pisos que consiguen alquilar trimestralmente 250 agencias inmobiliarias viene reflejado en la siguiente tabla:

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° ° N. de pisos 0, 5 5, 10 10, 15 15, 20 20, 15 25, 30 N. de agencias 10 30 92 68 65 15 Halla numéricamente Me y p90. Ejercicio nº 29.-

Las estaturas (en cm) y los pesos (en kg) de seis deportistas se recogen en la siguiente tabla:

Estatura 186 190 189 190 192 193

Peso 85 86 86 90 90 87

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Ejercicio nº 30.-

Hemos preguntado a seis personas su peso y el número de calzado que usan, obteniendo los resultados que se recogen en la tabla: ° : Peso 52 50 53 54 54 55 : N. de calzado 35 36 37 38 39 36 X Y

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,46). que (Sabemos ? estimación esta fiable ¿Es (51). Calcula b) yˆ r= Ejercicio nº 31.-

La probabilidad de que un determinado juguete salga defectuoso es de 0,03. Calcula la probabilidad de que en un lote de 60 de estos juguetes haya:

a) Alguno defectuoso.

b) Menos de dos defectuosos. Halla la media y la desviación típica. Ejercicio nº 32.-

La temperatura en grados Fahrenheit de una cierta localidad sigue una distribución N(68, 4). Calcula la probabilidad de que la temperatura en esa localidad:

a) Supere los 75° F. b) Esté entre 65° F y 70° F. Ejercicio nº 33.-

El 5% de las semillas que se plantan de una determinada especie no llegan a germinar. Si plantamos 200 semillas, calcula la probabilidad de que germinen más de 180.

Ejercicio nº 1.-

De los números que se dan a continuación, di cuáles son naturales, enteros, racionales o reales:

23 6 39 25 24 5 8,315 4 5 − − −− −− − − − − − − Ejercicio nº 2.-

Halla el valor de x en cada caso, utilizando la definición de logaritmo:

x

log 32=

a) 2

3 b)log3x =

(5)

Ejercicio nº 3.-

Opera y simplifica al máximo las expresiones:

45 80 5 a)18 2 128 b) + 2 5 5 c)Ejercicio nº 4.-

Una persona se gasta la novena parte del dinero que lleva en la frutería, la cuarta parte del resto lo gasta en la carnicería, y la mitad de lo que le queda después de las dos compras lo gasta en la pescadería. Al final, le sobran 30 euros. ¿Cuánto dinero llevaba?

Ejercicio nº 5.-

Durante un curso escolar el número de alumnos matriculados en un colegio fue de 500. El curso siguiente, este número se redujo en un 5% y, el siguiente, aumentó un 12%.

a) ¿Qué variación total de alumnos ha habido en esos años?

b) ¿Cuál es el número de alumnos matriculados que había después de las dos variaciones? Ejercicio nº 6.-

Hemos colocado un capital de 6 500 euros al 5% anual, y al cabo de un tiempo se ha transformado en 8 295,83 euros. Calcula los años transcurridos, sabiendo que los períodos de capitalización han sido anuales.

Ejercicio nº 7.-

Factoriza el siguiente polinomio: 2 3 3 x x Ejercicio nº 8.- Calcula: x x x x x x x x 2 7 5 1 3 2 2 2 2 + + − + + + Ejercicio nº 9.-

Obtén las soluciones de las ecuaciones siguientes: 0 64 20 a) x4x2 + = 1 2 4 5 b) x+ = x+ Ejercicio nº 10.-

Averigua la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

(

)

+ −  − = −    − + = 2 2 a) 3 4 1 3 y x x x y 5 2 b) 2 3 2 1 x y x y    − = − − = − − = − − = −        + = + = + = + =  Ejercicio nº 11.- 2

La suma de dos números es 10 y la de sus inversos, . Hállalos. 15

− −− −

Ejercicio nº 12.-

Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:

(

)

(

)

 − − <  + − ≤  1 2 1 0 3 1 9 0 x x

(6)

Ejercicio nº 13.-

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: = − 2 1 a) 16 y x = + b) y 1 2x Ejercicio nº 14.-

Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:

(

)

→− − 2 1 a) 3 xlim x0 2 1 b) x lim x x → + − − + 2 2 1 2 c) 2 1 x x x lim x x Ejercicio nº 15.-

Resuelve los límites siguientes y representa los resultados obtenidos:

→+∞   −     2 a) 2 x x lim x →+∞ + 4 2 b) 1 x x lim x →−∞ − + 2 2 1 c) 3 x x lim x Ejercicio nº 16.-

Halla la función derivada de cada una de las siguientes funciones:

( )

= − 7+3a) 1 4 f x x x

( )

= − − 3 2 4 3 b) 1 x f x x

( )

4 3 c) 7x f x e − = Ejercicio nº 17.-

Obtén la gráfica de las siguientes funciones: a) y = x+3 = − + − 2 b) 2 2 2 x y x Ejercicio nº 18.- Dada la función:

(((( ))))

2 si 1 3 1 si 1 2 x x f x x x       = == = > > > >     

a) Estudia su continuidad. b) Represéntala gráficamente. Ejercicio nº 19.-

(7)

a) Halla la ecuación que nos da el valor de dicha área, y, en función del lado del cuadrado, x. b) Representa gráficamente la función obtenida.

Ejercicio nº 20.- Dada la función:

( )

= 2 2 x x f

( )

1, utilizando la definiciónde derivada.

Calcula f'

Ejercicio nº 21.-

Obtén la ecuación de la recta tangente a la curva f(x)= 2x3+x en el punto de abscisa x =−1. Ejercicio nº 22.-

Dada la función:

( )

x =4x2 2x+1

f

a) ¿Es creciente o decreciente en x = 0? ¿Y en x = 1?

b) Halla los tramos en los que la función crece y en los que decrece. Ejercicio nº 23.- Dada la función:

( )

x x x f 4 3 2 =

Halla sus asíntotas y representa la posición de la curva respecto a ellas. Ejercicio nº 24.-

Halla y representa gráficamente los puntos de tangente horizontal de la función:

( )

x =x3x28x+12

f

Ejercicio nº 25.-

a) Dibuja la gráfica de la siguiente función:

( )

x x x x

f = 3+2 2+

b) A partir de la gráfica, di cuál es el dominio de f(x), estudia su continuidad y di cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. Ejercicio nº 26.-

a) Representa gráficamente la función:

( )

3 2 2 4 2 2 2 − + + + = x x x x x f

b) A partir de la gráfica, estudia la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). Ejercicio nº 27.-

En una carrera popular, el tiempo, en minutos, que han hecho los corredores se refleja en la siguiente tabla:

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))))

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))))

°

Tiempo 25,28 28,31 31,34 34,37 37, 40 40, 43

N. de corredores 20 10 540 148 154 38

a) Calcula el tiempo medio empleado por los corredores y la desviación típica.

b) ¿Es un grupo homogéneo o disperso en cuanto al tiempo que han hecho en la carrera?

c) En otra carrera, el tiempo medio empleado por los corredores ha sido de 28,51 minutos con una desviación típica de 3,05. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di en cuál de ellos la dispersión es mayor. Ejercicio nº 28.-

Los ingresos por ventas (en millones de euros) en 500 empresas vienen reflejados en la siguiente tabla:

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))))

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))))

Ingresos 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7

N. de empresas° 50 80 170 90 56 54 Halla numéricamente Me y Q1.

(8)

Ejercicio nº 29.-

Los gastos y los ingresos (en millones de euros) de seis empresas se recogen en la siguiente tabla:

Gastos 4 2 1 5 3 2

Ingresos 7 6 4 7 5 4,5

Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Ejercicio nº 30.-

Las notas obtenidas en Matemáticas en la primera y en la segunda evaluación por un grupo de seis alumnos de 1.° de Bachillerato han sido las siguientes:

°

a

1. evaluación 4,5 8 6,5 4 9 8

2. evaluación 3,5 7 6 4 8,5 7,5

a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

0,98). r que Sabemos ? estimación esta fiable ¿Es (6) Calcula b) yˆ . ( = Ejercicio nº 31.-

El 53% de los trabajadores de una determinada empresa son mujeres. Si elegimos 8 personas de esa empresa al azar, calcula la probabilidad de que haya:

a) Alguna mujer. b) Más de 6 mujeres.

Halla la media y la desviación típica. Ejercicio nº 32.-

La tensión de una determinada línea eléctrica sigue una distribución N(100, 20). Calcula la probabilidad de que el valor de la tensión en esa línea:

a) Sea mayor que 150. b) Esté entre 130 y 140. Ejercicio nº 33.-

El 75% de los alumnos de 1.° de Bachillerato de cierto instituto han aprobado las Matemáticas. Si elegimos 60 alumnos de 1.° de Bachillerato de ese instituto al azar, calcula la probabilidad de que hayan aprobado las Matemáticas más de 40.

Ejercicio nº 1.-

Clasifica los siguientes números como naturales, enteros, racionales o reales:

3 18 3 2 1 8 2 3,5 2 4 2 − − − − − − − − − − −− −− − − Ejercicio nº 2.-

Teniendo en cuenta la definición de logaritmo, halla el valor de x en cada caso: 5 a)log2x = 3 27 b)logx = Ejercicio nº 3.-

Simplifica al máximo las siguientes expresiones: 2 75 48 a)147 108 b)3 6 3 2 c) +

(9)

Ejercicio nº 4.-

Una máquina, trabajando 8 horas diarias, tarda 3 días en fabricar 6 000 piezas. Calcula cuánto tardaría en fabricar 5 000 piezas si trabajara 10 horas diarias.

Ejercicio nº 5.-

Un artículo que costaba 300 euros sufrió un aumento del 25% en su precio. Después tuvo un segundo aumento del 15% y luego se rebajó un 20%.

a) Calcula el índice de variación total. b) ¿Cuál es el precio final?

Ejercicio nº 6.-

Calcula en cuánto se transforman 3 500 euros depositados durante dos años al 6% anual si los períodos de capitalización son trimestrales.

Ejercicio nº 7.- Factoriza el polinomio: x x x x4 + 3 9 29 Ejercicio nº 8.- Opera y simplifica:

(

)

2 1 1 2 1 : 1 1 + + +       + x x x x Ejercicio nº 9.-

Resuelve estas ecuaciones: 0 36 37 a) x4 x2 + = 3 1 6 1 2 1 2 b) 2 = − + − x x x Ejercicio nº 10.-

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

(

)

 − + = +   − =   a) 2 3 3 4 2 2 x x y y x y 2 2 b) 2 2 3 1 x y x y    − = − − = − − = − − = −    + = + = + = + =  Ejercicio nº 11.-

Hemos comprado un pantalón y una camiseta por 44,1 euros. El pantalón tenía un 15% de descuento y la camiseta estaba rebajada un 10%. Si no tuvieran ningún descuento, habríamos tenido que pagar 51 euros. ¿Cuánto nos ha costado el pantalón y cuánto la camiseta?

Ejercicio nº 12.-

Resuelve e interpreta gráficamente esta inecuación: 5

1 3 + >− − x

Ejercicio nº 13.-

Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:

(

)

2 5 3 a) − = x y 4 2 b)y = xEjercicio nº 14.-

Halla los límites siguientes y representa gráficamente la información que obtengas:

(

)

→ − 2+ 3 1 a) 3 x lim x x

(10)

→ − − 3 1 b) 2 6 x lim x → − − + 2 2 2 4 c) 4 4 x x lim x x Ejercicio nº 15.-

Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

(

)

→+∞ − 3 a) 3 xlim x →+∞ + − 2 2 3 3 b) 1 x x x lim x →−∞ + 3 c) 1 x x lim x Ejercicio nº 16.-

Halla la derivada de las funciones:

( )

= − + 6 4 a) 2 5 3 x f x x

( )

= + 2 2 b) 1 x f x x

( )

= − 4 c) f x 2x 3x Ejercicio nº 17.-

Representa gráficamente las siguientes funciones:

= − a) y 3x 6 − = 1 b) 2x y Ejercicio nº 18.-

a) Estudia la continuidad de:

( )

   > ≤ − = 0 si 1 0 si 2 2 x x x x f b) Representa su gráfica. Ejercicio nº 19.-

Una cierta población crece de acuerdo con la ecuación y = 1 + keat donde t es el tiempo en meses e y es el número de individuos en miles.

a) Calcula k y a sabiendo que y (0) = 1,2 y que y (10) = 1 + 0,2e ≈ 1,54. b) Representa la función obtenida con los valores de k y a que has hallado. Ejercicio nº 20.-

( )

. 2 1 5 función la para (3) derivada, de definición la utilizando Calcula, f' f x = xEjercicio nº 21.-

Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva f(x)=x − 4x2 que sea paralela a la recta g(x)=−7x + 3 Ejercicio nº 22.-

Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función:

( )

8 2 x x x f = − Ejercicio nº 23.-

Averigua cuáles son las asíntotas de la siguiente función y representa gráficamente la posición de la curva respecto a ellas:

( )

9 2 − = x x x f

(11)

Ejercicio nº 24.-

( )

= − 2 2 2

Dada la función , halla sus puntos singulares y represéntalos gráficamente. 1

x f x

x

Ejercicio nº 25.-

a) Representa la gráfica de la función:

( )

4 2 2 4 2 + − = x x x f

b) Sobre la gráfica anterior, estudia el dominio de f(x), su continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función

Ejercicio nº 26.-

a) Dibuja la gráfica de la función:

( )

x x x x x f 2 3 2 2 2 − − − =

b) Sobre la gráfica anterior, estudia la continuidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f (x ). Ejercicio nº 27.-

En un grupo de personas se pregunta por el número de veces que han visitado al dentista en el último año. Las respuestas obtenidas se recogen en la siguiente tabla:

° °

N. de visitas 0 1 2 3 4 5

N. de personas 2 40 83 52 18 5

a) Halla la media y la desviación típica.

(

)

b) ¿Cuántas personas hay en el intervalo x−σ , x? ¿Qué porcentaje del total representan?

c) Otro grupo de personas, ha visitado al dentista en el último años una media de 2,52 veces, con una desviación típica de 1,37. Halla el coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión en ambos grupos. Ejercicio nº 28.-

El número de empleados de 1000 empresas de una determinada región viene dado por la tabla:

Calcula numéricamente Me y Q3 . Ejercicio nº 29.-

En una determinada especie se han medido la longitud y la anchura de una serie de seis ejemplares, obteniendo los siguientes resultados:

((((

))))

((((

))))

Longitud cm 31 40 45 33 35 38

Anchura cm 17 21 25 16 18 19

Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables? Ejercicio nº 30.-

En seis modelos de automóviles todoterreno se han medido la potencia (en CV) y el tiempo (en segundos) de aceleración de 0 a 100 km/h. Los resultados se recogen en la tabla:

Potencia 190 190 225 134 134 134

Aceleracion 10,7 10,7 10,1 14,8 14,7 14,8 a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.

b) Calcula yˆ (200). ¿Es fiable esta estimación? (Sabemos que 0,97).r= −

Ejercicio nº 31.-

La probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4. Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito:

a) Alguna vez.

b) Menos de dos veces.

Halla la media y la desviación típica.

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° °

N. de empleados 40,70 70,100 100,130 130,160 160,190 190,210

(12)

Ejercicio nº 32.-

La medida de la presión ocular en personas sanas sigue una distribución N(20, 1). Si elegimos una persona sana al azar, calcula la probabilidad de que su presión ocular:

a) Sea mayor que 23. b) Esté entre 19 y 22. Ejercicio nº 33.-

El 45% de las personas de una determinada ciudad tiene como grupo sanguíneo el A. Si elegimos 50 personas al azar, calcula la probabilidad de que más de 35 tengan el grupo sanguíneo A.

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