Solución de Ecuaciones no lineales

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Soluci´

on de Ecuaciones no lineales

7.1 Introducci´

on

En este tema estudiaremos la resolución de ecuaciones no lineales, es decir, el cálculo de sus soluciones o ra´ıces. Nos centraremos en el caso de una única ecuación con una incógnita. En tal situación toda ecuación puede ser escrita como

f(x) = 0

siendo f(x) una función real de variable real. Desde este punto de vista el cálculo de ra´ıces de una ecuación es equivalente al cálculo de los ceros de una función real dada. De manera general, incluso en ecuaciones dependientes de una sóla incógnita, no es posible despejar ésta salvo en casos muy concretos. Evidentemente las ecuaciones lineales de una sola incógnita (es decir, ecuaciones de la formaax+b= 0, cona̸= 0) son triviales, por lo que el tema está dedicado a las ecuaciones no lineales en general.

Las ecuaciones no lineales más sencillas son las polinómicas, es decir del tipo: Pn(x) = 0, siendoPn(x) un polinomio (en principio con coeficientes reales) de gradon(conn≥2). Estas ecuaciones presentan siemprenra´ıces (Teorema Fundamental del Álgebra), si bien éstas pueden ser reales o complejas.

El caso n= 2 es muy sencillo y conocido:

ax2+bx+c = 0, a̸= 0 ⇒ x= −b±

√

b2₋₄_ac

2a

y además es también sencilla la discusión sobre el número de ra´ıces reales que la ecuación posee en términos del discriminante de la misma: ∆ =b2₋₄_ac_.

Para polinomios de grado 3 y 4, y exceptuando los casos casi-triviales en los que fun-ciona el Método de Ruffini, las fórmulas de Cardano-Tartaglia permiten una resolución

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en términos de ra´ıces cúbicas1, si bien las expresiones son mucho más complicadas que las correspondientes a la ecuación cuadrática, y en consecuencia, a menudo de poca utilidad. Para polinomios de grado igual o superior a cinco, el célebre Teorema de Abel establece que no existen fórmulas generales que permitan la resolución por radicales de las mismas.

Otro tipo de ecuaciones irresolubles de forma exacta de manera general son las ecua-ciones trascendentes, es decir las ecuaecua-ciones que contienen una función trascendente2. Existen ejemplos notorios en la historia de la Ciencia en los que aparecen ecuaciones trascendentes, como la ecuación de Kepler: x−asenx = b, que aparece en el cálculo de las órbitas planetarias (x representa la anomal´ıa excéntrica, a la excentricidad y b la anomal´ıa media de la órbita), o la ecuación: x−tanx = 0, que aparece en varias disciplinas cient´ıficas y técnicas (por ejemplo en la Teor´ıa de Difracción de la luz, o en cálculos de caudales en Hidráulica)3.

1

Las fórmulas de Cardano-Tartaglia, para la ecuación polinómica de grado 3, pueden ser escritas de la siguiente manera: Sea la ecuación cúbica:

x3 +a2x2 +a1x+a0 = 0

y denotemos porqyra las siguientes expresiones: q=1₃a1−1₉a22 ; r=16(a1a2−3a0)− 1 27a

3 2. El discriminante de la ecuación se define como: ∆ =q3₊_r2_{, de tal manera que si ∆}_<_{0, entonces la} cúbica presenta tres ra´ıces reales diferentes. Si ∆ >0, la ecuación tiene una ra´ız real y dos complejas conjugadas. Finalmente, si ∆ = 0, la ecuación tiene tres ra´ıces reales y al menos dos de ellas iguales. Llamandos1 ys2a las cantidades:

s1= ( r+√∆ )1 3 , s2= ( r−√∆ )1 3

entonces las ra´ıces de la c´ubica son:

x1=s1+s2− a2 3, x2=− 1 2(s1+s2)− a2 3 +i √ 3 2 (s1−s2), x3=− 1 2(s1+s2)− a2 3 −i √ 3 2 (s1−s2) 2

Recordemos que una función trascendente es aquélla que no puede ser representada mediante ninguna ecuación polinómica (cuyos coeficientes sean asimismo polinomios), a diferencia de una función alge-braica, para la cual esto s´ı que es posible. Los ejemplos más t´ıpicos de funciones trascendentes son las trigonométricas (seno, coseno, funciones hiperbólicas, etc.), los logaritmos y exponenciales, etc. Eviden-temente algunas ecuaciones trascendentes son realmente fáciles de resolver, pero no es en absoluto el caso general. Un ejemplo sencillo es la ecuación:

cosx= 0⇒x=π

2 +kπ, k∈Z 3

Curiosidad: Siα1, α2,· · ·, αn,· · ·son todas las ra´ıces positivas de esta ecuaci´on, entonces se veriﬁca

∑

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7.2 Separaci´

on de ra´ıces

El primer problema que nos encontramos al intentar resolver una ecuaci´on de la forma: f(x) = 0

es conocer el número de ra´ıces de la misma y dónde están situadas. En general se dice que las ra´ıces de una ecuación están separadas si conocemos intervalos cerrados tales que contienen cada uno de ellos a una sóla ra´ız de la ecuación.

No existe una técnica general efectiva para separar las ra´ıces de una ecuación. Lo más habitual es utilizar los Teoremas de Bolzano y Rolle, en aquellas regiones donde la función sea continua y derivable, evidentemente4.

La localización de un intervalo cerrado dondef(x) sea continua y tenga signos con-trarios en los extremos del mismo garantiza, por el Teorema de Bolzano, la presencia de al menos una ra´ız real, si además f(x) es derivable en el correspondiente abierto y se verificaf′(x)̸= 0 en todo punto de dicho abierto, podemos concluir que existe una ra´ız ´

unica en dicho intervalo (la presencia de dos ra´ıces obligar´ıa a que la derivada primera se anulara, por el Teorema de Rolle, lo cual estamos suponiendo falso). Un razonamiento an´alogo conduce a que sif(n)(x) ̸=x en (a, b), entonces f(x) tiene en (a, b) a lo m´as n ra´ıces. De igual forma, los ceros def′(x) nos determinan los intervalos en los que f(x) puede (o no) tener ra´ıces. Veamos un ejemplo de estos razonamientos.

Ejemplo: Busquemos las ra´ıces de la ecuaci´on trascendente:

x2−senx−1

2 = 0 ⇒f(x) =x

2₋_sen_x₋1

2

Es evidente quef(x) es continua y derivable en toda la recta real. Si calculamos las derivadas def(x) tendremos:

f′(x) = 2x−cosx ; f′′(x) = 2 + senx̸= 0

Es decir,f′′(x) ̸= 0, ∀x∈ R. Según el razonamiento anterior, la ecuación posee a lo más dos ra´ıces reales. Calculemos:

f(−1) = 1

2−sen(−1)≃1.34>0 , f(0) =− 1

2 <0 , f(1)≃ −0.34<0 , f(2)≃2.59>0 de donde se deduce la existencia de dos ra´ıces realesr1yr2, separadas en los intervalos:

r1∈[−1,0] , r2∈[1,2] 4_{Recordemos los enunciados de dichos teoremas:}

Teorema de Bolzano: Sea f(x) una funci´on continua en el intervalo [a, b] y tal que f(a)f(b) < 0, entonces existe al menos un puntoc∈(a, b) que veriﬁca quef(c) = 0.

Teorema de Rolle: Seaf(x) una funci´on continua en el intervalo [a, b], derivable en (a, b) y tal que

f(a) =f(b), entonces existe al menos un puntoc∈(a, b) para el cualf′(c) = 0. Del Teorema de Rolle se puede deducir con facilidad el siguiente resultado:

Teorema: Seaf(x) una funci´on continua en el intervalo [a, b], derivable en (a, b) y tal quef′(x)̸= 0,

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Suele resultar de considerable ayuda, para el caso de funciones sencillas, el uso de representaciones gráficas. As´ı por ejemplo, aunque la gráfica de f(x) nos resulta en principio desconocida (y calcularla, salvo que se utilice un ordenador, resulta una tarea cuanto menos pesada), podemos en este caso concreto escribir la ecuación de la forma:

x2−1

2 = senx

y es evidente entonces que las soluciones de la ecuación se reducen a los puntos donde se cortan las gráficas dex2₋1

2 (bien conocida, se trata de la par´abolay=x

2_{“desplazada” en 0.5 unidades}

“hacia abajo”) y de la funci´on seno:

-2 -1 1 2

-1 1 2 3

Ejemplo: Un segundo ejemplo interesante es el ya comentado en la introducción del tema, la determinación del número y ubicación de las ra´ıces de la ecuación

x−tanx= 0

se aclara completamente si uno representa las funciones y=xey = tanx. La gr´aﬁca se explica por s´ı misma: -5 5 -15 -10 -5 5 10 15

Finalmente, es necesario insistir en el hecho de que no existe un método sistemático para “separar” las ra´ıces de una ecuación. Los ejemplos anteriores dan en cierta me-dida las pautas a seguir al abordar un problema de este tipo, pero con frecuencia no disponemos de una herramienta definitiva que permita establecer de manera sencilla y precisa el número y ubicación de las ra´ıces.

(5)

7.3 M´

etodo de la Bisecci´

on

Supongamos que se ha establecido, por alguno de los métodos comentados en la sección anterior, que la ecuación f(x) = 0 tiene una y sólo una ra´ız en el interior del intervalo [a, b], donde verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano.

El método de la bisección o bipartición es el método más simple y a la vez robusto de los que describiremos. Su inconveniente principal, no obstante, radica en el hecho de que se trata de un método muy lento y pesado si se requiere un grado alto de exactitud en la aproximación.

El método consiste en lo siguiente: se calcula el punto medio del intervalo [a, b] que podemos escribir comoc= a+₂b. Se evalúa la función en dicho punto, pudiendo resultar dos posibilidades:

• Si f(c) =f(a+₂b) = 0, entonces hemos obtenido la ra´ız buscadar, puesc=r.

• Sif(c)̸= 0, entonces elegimos, entre [a, c] y [c, b], el intervalo en el que se satisfagan las hip´otesis del Teorema de Bolzano, y lo denotamos [a1, b1].

Tras esto, nos encontramos con un intervalo de longitud la mitad al inicial, y que contiene la solución que buscamos. Reiterando el proceso construiremos una sucesión de intervalos encajados que contienen la solución

[a, b]⊃[a1, b1]⊃[a2, b2]⊃....⊃[an, bn]

donde obviamente tendremos las sucesiones de n´umeros a =a0 ≤a1 ≤a2 ≤... ≤b0 y

b=b0 ≥b1 ≥b2 ≥...≥a0 . La sucesión {an}converge debido a que es creciente y está acotada superiormente. La sucesión {bn} converge por razones análogas. Siempre se tendrá que: bn−an= 1₂(bn₋1−an−1), de donde se deduce que: bn−an= 2−n(b0−a0).

Por ello

lim

n→∞bn−nlim→∞an= limn→∞2 −n₍_b

0−a0) = 0

y en consecuencia los l´ımites de las sucesiones anteriores toman el mismo valor α= lim

n→∞an= limn→∞bn

Si tomamos tambi´en el l´ımite en la desigualdad: f(an)f(bn)≤0, concluiremos que: (f(α))2 ≤0, lo cual implica que f(α) = 0, es decir α=r, la ra´ız buscada.

Cuando se trunca el proceso en una iteración n, el error cometido εaproximando la solución por el punto medio deln-ésimo intervalo encajado: r ≃cn, será evidentemente menor que la semi-anchura de dicho intervalo, es decir:

ε≤ b−a 2n+1 ⇔ r∈[an, bn] = [ cn− b−a 2n+1, cn+ b−a 2n+1 ]

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Si uno fija una cotaεT como error tolerado en la aproximación, exigiremos en general que ₂bn−+1a sea menor que dicho εT y, además, que |f(cn)|< εT. Con este doble criterio, evitaremos la aparición de “casos patológicos” en los que aun estando muy cerca de la ra´ız la función sea claramente distinta de cero en el punto, por un lado, o casos en los que la función es casi nula a pesar de estar relativamente “lejos” de la ra´ız verdadera, por otro (ver figura).

cn -1.0 -0.5 0.5 1.0 cn r -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

Ejemplo: Encontrar una soluci´on para la ecuaci´on: x4₋_x₋_{10 = 0, con una exactitud de}

0.005.

Dada la precisión que nos fija el enunciado: εT = 0.005, aplicaremos el método hasta conseguir

que 2−(n+1)(b−a)<0.005 y que|f(cn)|<0.005, tal y como se ha explicado anteriormente.

La funci´on a considerar es, obviamente,f(x) =x4₋_x₋_{10. Separemos de entrada sus ra´ıces:}

Si calculamos la derivada tendremos: f′(x) = 4x3₋_{1. Es evidente entonces que}_f′₍_x_{) tiene tan}

s´olo un cero, enx= 1

3 √

4. Por tanto, en el intervalo (−∞, 1

3 √

4) la derivada es no nulaf

′₍_x₎_̸_{= 0}

y en consecuencia a lo sumo existir´a una ra´ız en dicho intervalo. Otro tanto ocurre en (√31₄,∞).

Centr´emonos en el primero de los intervalos mencionados; por tanteo se observa quef(−1) =−8 yf(−2) = 8, es decir: existe una ra´ız en el intervalo [−2,−1].

i ai ci bi f(ai) f(ci) f(b) εi 0 -2 -1.5 -1 8 -3.4375 -8 0.5 1 -2 -1.75 -1.5 8 1.1289 -3.4375 0.25 2 -1.75 -1.625 -1.5 1.1289 -1.4021 -3.4375 0.125 3 -1.75 -1.6875 -1.625 1.1289 -0.2033 -1.4021 0.0625 4 -1.75 -1.7187 -1.6875 1.1289 0.4444 -0.2033 0.0312 5 -1.7178 -1.7031 -1.6875 0.4444 0.1163 -0.2033 0.0156 6 -1.7031 -1.6953 -1.6875 0.1163 -0.0446 -0.2033 0.0078 7 -1.7031 -1.6992 -1.6953 0.1163 0.0356 -0.0446 0.0039 8 -1.6992 -1.6972 -1.6953 0.0356 -0.00456 -0.0446 0.00195

De forma an´aloga se puede hacer para obtener la ra´ız positiva, de modo que las soluciones son

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r1 r2

-10 -5

5

7.4 M´

etodo de Newton-Raphson

El Método de la Tangente o de Newton-Raphson, que presentaremos a continuación, constituye un método mucho más eficiente que el de la bisección.

Desde un punto de vista geométrico, el Método de Newton-Raphson consiste simple-mente en aproximar la funciónf(x), en las cercan´ıas de uno de sus ceros, r, por la recta tangente a la curvay=f(x). Para ello supondremos que la función f(x) es continua y derivable en un entorno der.

Si partimos de un valorx0 como ra´ız aproximada, la recta tangente a y=f(x) en el

punto (x0, f(x0)) ser´a:

y−f(x0) =f′(x0)(x−x0)

cuyo corte con el eje de abscisas es:

x1=x0−

f(x0)

f′(x0)

En las condiciones que veremos a continuación, este valor, x1, estará más cercano

a la ra´ız r buscada que el inicial x0. Si iteramos el razonamiento, encontraremos una

sucesi´on de puntos{xn} dada por la expresi´on: xn+1 =xn−

f(xn) f′(xn) convergente a la ra´ızr.

Debemos por tanto aclarar dos puntos importantes, en primer lugar encontrar las condiciones en las que la sucesi´on {xn} es convergente, y, en segundo, demostrar que converge a la ra´ız buscada.

El segundo de estos aspectos es f´acil de analizar, suponiendo que la sucesi´on tiene l´ımite: lim

n→∞xn = α, entonces, recordando las propiedades b´asicas de los l´ımites y las funciones continuas, tendremos:

lim n→∞xn+1= limn→∞xn− limn→∞f(xn) limn→∞f′(xn) ⇒ α=α− f(α) f′(α) ⇒f(α) = 0

(8)

Es decir, si la sucesi´on es convergente, entonces el l´ımite de la misma es una ra´ız de la ecuaci´on.

Es posible determinar varios teoremas que determinan las propiedades que debe verificar tanto f(x) como x0 para garantizar la convergencia de la sucesión xn. El más

ilustrativo es el siguiente:

Teorema. Sea f(x) continua y derivable dos veces en un abierto que contenga al

intervalo [a, b], y tal que:

a)f(a)f(b)<0

b) f′′(x) tiene signo constante en[a, b].

Si x0 ∈ [a, b] es tal que f(x0)f′′(x0) > 0, entonces la sucesi´on {xn} definida por la

expresi´on

xn=xn−1−

f(xn−1)

f′(xn−1)

, n= 1,2, . . .

es convergente a un l´ımiter tal quef(r) = 0.

Demostración: Es evidente que en el intervalo existe una ra´ız r de la ecuación f(x) = 0, puesto que se verifican en el mismo las hipótesis del Teorema de Bolzano.

Supongamos en primer lugar quef(b)>0 (y por tantof(a)<0) yf′′(x)>0 para todox∈[a, b], entonces el puntox0deber´a ser tomado de manera quef(x0)>0.

Obviamente f′(x) se anula a lo más en un punto de [a, b], veamos a continuación que en el caso de que dicho punto cr´ıtico exista, deberá alcanzarse necesariamente para un valor xc tal que

f(xc)<0, es decir que f′(x) ser´a distinta de cero en [r, b] (en particular, ser´a necesariamente

positiva, por ser f(x) creciente de dicho sub-intervalo).

Efectivamente, si existexc con f′(xc) = 0, necesariamente ser´a un m´ınimo local de la funci´on,

pero además es el m´ınimo absoluto de la función en [a, b] (la ausencia de puntos de inflexión en [a, b] impide la existencia de máximos locales, y por tanto la función no puede decrecer por debajo def(xc)). Dado que la función toma valores negativos, necesariamentef(xc)<0. Esta

demostración tiene también como consecuencia evidente que la función alcance un único cero en [a, b].

Demostremos entonces que en estas condiciones la sucesión{xn} está acotada inferiormente y es decreciente, por lo tanto es convergente (y ya se ha demostrado que si converge, el l´ımite es necesariamente una ra´ız de la ecuación, con lo que quedar´ıa demostrado el teorema).

Procederemos por inducción enn para demostrar la acotación de la sucesión. Evidentemente

x0> ry supongamos quexn> r. Calculemos el polinomio de Taylor def(x) enxn, tendremos:

f(x) =f(xn) +f′(xn)(x−xn) +

1 2f

′′₍_ξ₎₍_x₋_x n)2

con ξ∈(x, xn) oξ∈(xn, x), seg´un el caso. En particular:

0 =f(r) =f(xn) +f′(xn)(r−xn) + 1 2f ′′₍_ξ₎₍_r₋_x n)2 con ξ∈(r, xn). Entonces: f(xn) +f′(xn)(r−xn)<0⇒r < xn− f(xn) f′(xn) =xn+1

(9)

y por tanto la sucesi´on est´a acotada inferiormente.

Que la sucesi´on es decreciente es trivial si tenemos en cuenta que f(xn) yf′(xn) toman valores

positivos∀n.

Finalmente, es posible repetir paso a paso la demostraci´on cuandof(b) es negativo, por un lado, y cuandof′′(x)<0, por otro.

Q.E.D.

Comentario: Aunque el Teorema anterior (y otros similares que no hemos incluido en estas notas), establece condiciones para garantizar la convergencia del Método, en la práctica, en la resolución de problemas, estos resultados con frecuencia no son de mucha utilidad, pues la evaluación del signo de la derivada segunda no siempre es fácil de realizar. Habitualmente se aplica directamente el Método para un valor dex0 dado,

y s´olo si la convergencia no resultara la adecuada, entonces se proceder´ıa a analizar en detalle la situaci´on.

Ejemplo: Encontrar una soluci´on para la ecuaci´on: x4₋_x₋_{10 = 0, con una exactitud de}

0.005.

Como vemos se trata del mismo problema que hemos resuelto anteriormente por el M´etodo de la Bisecci´on. Busquemos directamente la ra´ız que pertenece al intervalo [−2,−1]. Tomaremos (en principio arbitrariamente) el punto inicial: x0=−1.5. Presentamos los resultados en la siguiente

tabla: i xi−1 xi |xi−xi−1| f(xi) 1 -1.5 -1.737068 0.2370 1.7370 2 -1.737068 -1.698744 0.03832 0.026202 3 -1.698744 -1.697473 0.00127 0.000028 4 -1.697473 -1.697471 1.6 10−6 _{3.2 10}−11

7.5 M´

etodo de la substituci´

on reiterada (o de punto fijo)*

En este m´etodo el planteamiento es transformar nuestra ecuaci´on inicial f(x) = 0, en una del tipo:

x=g(x)

de tal manera que la solución podrá encontrarse siempre que la iteración: xk=g(xk−1)

sea convergente. Habitualmente se intenta, obviamente, que el punto inicial x0 est´e

lo más cercano posible a la solución buscada. El método es muy flexible dado que proporciona libertad en el elección de la función g(x), aunque también es cierto que el

(10)

´

exito y la rapidez en la convergencia depende de la buena elecci´on de dicha funci´on. El proceso puede ser escrito en la forma:

xk =g(xk−1) =g(g(xk−2)) =...=g(g(g((...n)(g(x0)))))

Denotemos por c a la soluci´on buscada, tendremos entonces que: f(c) = 0, o equivalen-temente, c=g(c). El error que cometemos en cada iteraci´on puede ser escrito como

|xk−c|=|g(xk−1)−c|=|g′(yk−1)(xk−1−c)|=|g′(yk−1)||xk−1−c| ≤Mk−1|xk−1−c|

donde se ha aplicado el teorema de Lagrange o de los incrementos ﬁnitos de modo que yk₋1 ∈ (xk−1, c) y donde tomamos Mk−1 como una cota de la derivada de g′(x) en el

intervalo (xk−1, c). Siendo M = m´ax{M1, M2, M3, ...}llegar´ıamos a una expresi´on de la

forma

|xk−c|=Mk|x0−c|

de modo que la convergencia está asegurada para M < 1, esto es dado que el punto de inicio de la recurrencia puede ser elegido arbitrariamente si existe un entorno de la solución x=c para el que se verifica que

|g′(x)|<1 ∀x∈E(c)

Además es sencillo advertir que cuanto más pequeño sea el valor de |g′(x)| tanto más rápida será la convergencia a la solución.

Ejemplo: Calcularemos alguna ra´ız de la ecuaci´on: x2₋₃_x₊_ex₋_{2 = 0, mediante el m´}_etodo

del punto ﬁjo.

Separemos en primer lugar las ra´ıces. Llamaremos : f(x) =ex+x2−3x−3. Calculando las dos primera derivadas def(x): f′(x) =ex_{+ 2}_x₋_3,_f′′₍_x_{) =}_ex_{+ 2}_̸_{= 0}_∀_x_∈_R_{, por lo que}_f₍_x₎

a lo sumo tendr´a dos ra´ıces. Es f´acil encontrar ahora valores relevantes: f(−1) = 2.36788>0,

f(0) = −1 < 0, f(2) = 3,38906 >0. Tenemos en deﬁnitiva que existen dos y s´olo dos ra´ıces separadas de la forma: r1 ∈ [−1,0], y r2 ∈ [0,2]. Calcularemos r1. Podemos re-escribir la

ecuación de manera idónea para ser aplicado el método del punto fijo:

x=x

2₊_ex₋₂

3 =g(x)

con la iteraci´on: xk = g(xk). N´otese que en este caso |g′(x)| = |

2x+ex_|

3 < 1 para los valores

x∈(−1,0) puesto que 2x <2 yex_<_{1 en dicho intervalo. Si partimos de un valor inicial}_x

0= 0

obtenemos los valores

i xi−1 xi |xi−xi−1| f(xi)

1 0 -0.333333 0.333333 -1

2 -0.333333 -0.390786 0.057453 0.00159661 3 -0.390786 -0.390254 0.000532 -0.0000548916 4 -0.390254 -0.390272 0.000018 9.74055 10−7

(11)

7.6 Otros M´

etodos*

Método de la posición falsa: Es una variante del método de la bisección y consiste dividir cada intervalo no mediante el punto medio sino por el punto de corte entre la secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) el cual es fácilmente evaluado comoc= af(b)−bf(a)

f(b)−f(a) , reiterando el proceso. Se presume que el método converge más rápidamente

que el método de la bisección. Sin embargo pueden aparecer problemas de estancamiento con los valores obtenidos de la iteración.

Método de la posición falsa modificado: Resuelve los problemas de estancamiento del método anterior llevando al valor de la función en la cota inferior a la mitad. Método de Newton-Raphson con derivada numérica: Para evitar el cálculo expl´ıcito de la derivada y su evaluación en el puntoxk se toma un incrementohpequeño y se aproxima la derivada bien por su valor por la derecha (forward) o por la izquierda (back)

f′(xk) = f(xk+h)−f(xk)

h f

′₍_xk_{) =} f(xk−h)−f(xk)

h h <<

Método de la secante: En la evaluación aproximada de la derivada en el punto anterior debe ser evaluada la función en nuevos puntos, con el coste de memoria y tiempo que ello conlleva. Para solventar este problema se propone que la magnitud h sea tal que coincida la derivada sea aproximada por la tangente de la secante de los puntos xk y xk−1. Entonces se tiene la iteración siguiente:

xn+1 =xn−f(xn)

xn−xn−1

f(xn)−f(xn₋1)

n≥1 donde debemos dar dos puntos para iniciar el algoritmo.

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7.7 Algunos Problemas Resueltos

1. Hallar la ra´ız quinta de 3 con seis cifras decimales exactas.

Se trata por tanto de encontrar la soluci´on de la ecuaci´on x5 _{= 3, por lo que tomaremos}

f(x) =x5−3 = 0, evidentementef(x) es continua y derivable inﬁnitas veces en toda la recta real. Aplicando el teorema de Rolle y teniendo en cuenta quef′(x) = 5x4_{= 0 s´}_{olo en el punto}

x= 0, debe cumplirse que en el intervalo (−∞,0) existe a lo más una ra´ız y lo mismo sucede en el intervalo (0,∞). Nosotros estamos interesados en la ra´ız positiva. Para verificar la existencia de ésta aplicamos el teorema de Bolzano teniendo en cuenta que f(1) = −2 y f(2) = 32 lo que nos permite asegurar por ello la presencia de una ra´ız en el intervalo [1,2]. Calculemos aproximadamente dicha ra´ız utilizando el método de Newton-Raphson:

i xi−1 xi |xi−xi−1| f(xi) 1 1.5 1.318518 0.181481 0.985026 2 1.318518 1.253335 0.065182 0.092695 3 1.253335 1.245822 0.007513 0.001104 4 1.245822 1.2457309 0.00009 1.6 10−7 5 1.2457309 1.2457309 1.3 10−8 3.9 10−15 que nos permite concluir que √5

3≈1.2457309 con seis cifras decimales exactas. 2. Dos part´ıculasα1 yα2 se mueven recorriendo trayectorias respectivas:

y1(x) =x2−1 y2(x) = senx

Se pretende encontrar un punto (c, y(c)) en el que ambas trayectorias se cortan.

a) Demostrar que las trayectorias se cortan en dos y s´olo en dos puntos. Encontrar sendos intervalos de longitud uno que los contengan.

b) Calcular el punto de corte entre ambas trayectorias que tenga abscisa positiva con un error de aproximaci´on menor que 10−3_.

Las trayectorias se cortan para los valores dextales que: y1(x) =y2(x), es decir: x2−1 =

senx. Por ello tomamosf(x) =x2−senx−1 = 0, evidentemente es continua y derivable para toda la recta real. Derivando dos veces encontramos fácilmente: f′′(x) = 2 + senx̸= 0,∀x∈R. Por tanto f(x) tendrá a lo más dos ra´ıces. Dando valores: f(−1) = −sen 1 >0, f(0) = −1,

f(1) = −sen 1 < 0, f(2) = 4−sen 2−1 >0, luego existen dos ra´ıces y se encuentran en los intervalos (−1,0) y (1,2). Calculemos aproximadamente la ra´ız positiva utilizando el m´etodo de Newton-Raphson:

i xi₋1 xi |xi−xi₋1| f(xi)

1 1.5 1.41379912 0.0862 0.0111 2 1.41379912 1.4096337 0.00416 0.0000259 3 1.4096337 1.4096240 9.7 10−6 1.4 10−10

que nos permite concluir que la soluci´on es aproximadamentec≈1.4096240 con 5 cifras decimales exactas. Es decir: c≈1.40962

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3. Demuestra que la ecuación: 2x2 = x+ cos2x, admite dos y sólo dos ra´ıces reales. Calcula una de ellas con una precisión de hasta la cuarta cifra decimal.

Sea f(x) = 2x2−x−cos2x= 0. Derivando: f′(x) = 4x−1 + sen 2x, f′′(x) = 4 + 2 cos 2x. Es obvio que la segunda derivada es no nula para todox∈R. As´ı la primera derivada a lo sumo tendrá una ra´ız y por tanto la función f(x) a lo sumo tendrá dos ra´ıces. Dando valores a x:

f(−1) = 2 + 1−cos2(−1)<0,f(0) =−1 yf(1) = 1−cos21<0. Tenemos por tanto que hay dos y sólo dos ra´ıces, separadas en los intervalos: (−1,0) y (0,1). Calculemos aproximadamente la ra´ız positiva utilizando el método de Newton-Raphson con la precisión pedida:

i xi−1 xi |xi−xi−1| f(xi)

1 0.5 0.918226 0.418226 0.39932 2 0.918226 0.808456 0.10977 0.021796 3 0.808456 0.801714 0.006742 0.000089 4 0.801714 0.801686 0.0000277 1.5 10−9

que nos permite concluir que la soluci´on es aproximadamentec≈0.801686 con 5 cifras decimales exactas.

4. Dada la función f(x) =xsenx, estamos interesados en estudiar su comportamiento en el intervalo [0, π]. Dado que f(x) se anula en x = 0 y en x = π, de acuerdo con el teorema de Rolle, la función tiene al menos un punto cr´ıtico en el interior de dicho intervalo. De hecho sólo tiene uno en ese intervalo, cálculalo con una precisión de 3 cifras decimales. Determina si se trata de un máximo o de un m´ınimo.

La ecuación que debemos estudiar es f′(x) = senx+xcosx= 0. Por ello consideraremos la resolución de la ecuacióng(x) = senx+xcosx= 0. g′(x) = 2 cosx−xsenx. Y as´ı:

i xi₋1 xi |xi−xi₋1| f(xi)

1 2 2.02905 0.02904 0.000785 2 2.02905 2.02876 0.00029 7.5 10−8