Curso de conjuntos y n´
umeros.
Apuntes
Juan Jacobo Sim´on Pinero
Curso 2013/2014
´
Indice general
I
Conjuntos
5
1. Conjuntos y elementos 7
1.1. Sobre el concepto de conjunto y elemento. . . 7
1.2. Pertenencia, contenido e igualdad. . . 7
1.3. Operaciones con subconjuntos . . . 10
1.3.1. Familias de conjuntos y operaciones . . . 13
1.4. Pares ordenados, producto cartesiano y relaciones binarias . . . . 15
2. Aplicaciones 19 2.1. Relaciones y aplicaciones . . . 19
2.2. Tipos de aplicaciones . . . 21
2.3. Im´agenes directas e inversas . . . 22
2.4. Composici´on . . . 24
2.4.1. Inversa de una aplicaci´on biyectiva . . . 25
3. Orden 29 3.1. Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos . . . 29
3.2. Conjuntos bien ordenados. . . 34
4. Relaciones de equivalencia 37 4.1. Conceptos b´asicos . . . 37
4.2. Clases de equivalencia . . . 38
4.3. El conjunto cociente y la proyecci´on can´onica . . . 39
4.4. Relaciones de equivalencia y particiones . . . 40
5. Conjuntos num´ericos 43 5.1. Cardinalidad. Conjuntos finitos e infinitos . . . 43
5.1.1. Orden y operaciones aritm´eticas . . . 48
5.2. N´umeros enteros . . . 48
5.3. N´umeros racionales . . . 50
5.3.1. Escritura decimal de n´umeros racionales. . . 52
5.4. N´umeros reales . . . 55
5.5. N´umeros complejos . . . 56
5.5.1. Forma exponencial de un n´umero complejo. . . 60
4 ´INDICE GENERAL
5.6. Conjuntos numerables y no numerables . . . 61
6. An´alisis combinatorio. 63 6.1. Variaciones. . . 63
6.1.1. N´umero de variaciones. . . 63
6.2. Permutaciones. . . 64
6.3. Combinaciones. . . 64
II
N´
umeros y polinomios
67
7. El anillo de los n´umeros enteros. 69 7.1. Artim´etica de los enteros. . . 697.1.1. Divisi´on entera y m´aximo com´un divisor. . . 69
7.1.2. M´ınimo com´un m´ultiplo . . . 75
7.1.3. La ecuaci´on diof´antica lineal . . . 76
7.1.4. N´umeros primos.Teorema Fundamental de la Aritm´etica . 78 7.2. Congruencias. . . 80
7.2.1. Propiedades aritm´eticas de las congruencias . . . 81
7.2.2. Estructuras algebraicas. . . 82
7.2.3. Algunas aplicaciones . . . 84
7.3. Teoremas de Euler, Fermat y Wilson . . . 87
7.4. Teorema chino de los restos . . . 90
8. Polinomios 95 8.1. Polinomios con coeficientes en un cuerpo. . . 95
8.2. Ra´ıces de polinomios. . . 101
8.3. Irreducibilidad y teorema fundamental del ´algebra. . . 103
8.4. Factores m´ultiples. . . 106
8.5. Polinomios irreducibles enQ[X]. . . 107
A. Ap´endice 111 A.1. La funci´on sucesor . . . 111
Parte I
Conjuntos
Cap´ıtulo 1
Conjuntos y elementos
1.1.
Sobre el concepto de conjunto y elemento.
Comenzamos con la definici´on de conjunto de G. Cantor:Un conjunto es una colecci´on (dentro de un todo) de distintos objetos definidos por nuestra intuici´on o pensamiento
Esta forma de abordar los conjuntos se llama concepci´on intuitiva de los conjuntos.
La noci´on formal de conjunto corresponde con fundamentos de la ma-tem´atica que quedan fuera del alcance de nuestro curso.
Tambi´en queda fuera del alcance de este texto el concepto de pertenencia. Vamos a asumir entonces que hay unos objetos que llamamos conjuntos que poseen unos objetos que llamamos elementos.
1.2.
Pertenencia, contenido e igualdad.
Las colecciones a las que llamaremos conjuntos ser´an construidas de las si-guientes dos formas principales.
1. Por extensi´on: haciendo la lista de objetos. Por ejemplo
A={X1, . . . , Xn, . . .} o A={a, b, c, . . .}.
2. Por comprehensi´on: a trav´es de una f´ormula proposicional que siempre tendr´a, a su vez, un conjunto de referencia. Por ejemplo, siB es un con-junto,
A={X∈B | p(X) (es verdadera)}.
Cuando el conjunto B sea obvio qui´en es por el contexto, podemos no escribirlo.
8 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
Asumimos (como axioma) que cualquiera de las dos escrituras anteriores determina un ´unico conjunto.
1.2.1. Ejemplo. Las siguientes colecciones son conjuntos. 1. A={a, e, i, o, u}oA={x | x es una vocal}. 2. A={2,4, . . .} oA={x∈N | x es par}.
1.2.2. Ejercicio. Escribir, usando las formas de comprehensi´on y extensi´on, los siguientes conjuntos:
1. Los n´umeros naturales que son impares y menores que 20. 2. Las vocales de la palabra “murci´elago”.
3. Los n´umeros impares positivos.
1.2.3. Observaci´on. La exigencia del conjunto de referencia en la escritura de comprehensi´on es importante. El “todo” de donde tomamos los elementos debe de ser, de antemano, un conjunto. De no ser as´ı, podemos tener problemas, como se muestra a continuaci´on.
Sea U la colecci´on de todos los conjuntos y definimos
A={x∈ U | x6∈x}.
Si U fuese conjunto entonces A tambi´en lo ser´ıa y entonces es inmediata la siguiente proposici´on: A∈A si y solo si A6∈A, conocida como la paradoja de Russell.
Lo que ocurre aqu´ı es que U no es un conjunto y por tanto, no podemos formar el conjuntoApor comprehensi´on.
1.2.4. Notaci´on. Siaes un elemento del conjuntoA, escribiremosa∈A. En caso contrario escribimosa /∈A.
1.2.5. Inclusi´on. SeanAyBconjuntos. Decimos queAest´a contenido enB, o queA es subconjuntos deB si para todo elementoa∈A se tiene quea∈B.
Se denotaA⊂B y se expresaa∈A⇒a∈B
Si Ano est´a contenido enB entonces escribimos A6⊂B.
1.2.6. Observaci´on. Es claro que A 6⊂ B si y solo si existe a ∈ A tal que
a6∈B.
1.2.7. Ejemplo. Sea I ={x∈ N | x es impar } = {x∈ N | x = 2n+ 1, conn∈N}, que a veces, para abreviar, escribimos{2n+1 | n∈N}(aunque esta escritura no estaba contemplada, se usa mucho y se entiende perfectamente, as´ı que podemos introducirla). EntoncesI⊂N.
1.2.8. Notaci´on. SeanAyBconjuntos, tales queA⊂B. Si queremos destacar la posibilidad de que A y B sean iguales podemos escribir A ⊆ B. Cuando queremos poner ´enfasis en justo lo contrario, escribimosA(B; lo expresamos comoa∈A⇒a∈B pero ∃b∈B tal queb6∈A.
1.2. PERTENENCIA, CONTENIDO E IGUALDAD. 9
1.2.9. Igualdad. Diremos que dos conjuntosAyBson iguales cuando tengan exactamente los mismos elementos. Lo expresamos a∈A⇔a∈B.
1.2.10. Proposici´on. Sean A y B conjuntos. A = B si y s´olo si A ⊂ B y
B ⊂A
Demostraci´on. Inmediata.
Conjunto vac´ıo.
1.2.11. Definici´on. Un conjunto vac´ıo es aquel que no tiene elementos. 1.2.12. Proposici´on. SeanA yB conjuntos. SiAes vac´ıo entoncesA⊂B. Demostraci´on. Por reducci´on al absurdo. SeaAun conjunto vac´ıo y supongamos que existe B, conjunto tal queA *B. Entonces existea ∈A tal que a6∈ B. LuegoA no es vac´ıo lo cual es imposible.
1.2.13. Corolario. Solo hay un conjunto vac´ıo. Demostraci´on. Inmediata de la proposici´on anterior.
Notaci´on. El conjunto vac´ıo se denota ∅
1.2.14. Ejercicio. Decidir razonadamente si la siguiente afirmaci´on es verda-dera o falsa:
A=∅ ⇐⇒ ∀x, x6∈A.
1.2.15. Partes de un conjunto. SeaA un conjunto. La colecci´on
P(A) ={B | B⊂A}
se conoce como el conjunto de las partes de Ao el conjunto potencia deA. 1.2.16. Ejercicios.
1. DeterminarP(∅).
2. SeaA={x1, x2, x3}. Escribir P(A)y comprobar que tiene23 elementos.
3. (Taller 2012-2013) Probar que A6=P(A).
Soluci´on. Solo veremos el ejercicio del taller. Supongamos que A =P(A). Se tendr´a entonces que X ⊂A implica que X ∈A. Vamos a formar el conjunto
B ={X ∈A | X 6∈X}. ComoB⊆Aentonces B∈A; adem´as, ocurre una de dos:
1. B ∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B ∈ B y por tanto B 6∈ B, lo cual es absurdo.
2. B 6∈ B, en cuyo caso B ∈ A y B 6∈ B y por tanto B ∈ B, lo cual es absurdo.
As´ı que la suposici´on de que A=P(A) reduce al absurdo y por tanto es falsa. Luego lo contrario es verdadero.
10 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
1.3.
Operaciones con subconjuntos
1.3.1. Uni´on. SeanAy B conjuntos. El conjunto A∪B={x | x∈A o x∈B} se conoce como la uni´on deAy B.
Se escribe x∈A∪B si y s´olo six∈A ox∈B. Lo contrario es x /∈A∪B si y s´olo si x /∈Ay x /∈B.
1.3.2. Ejercicio. SeaAun conjunto arbitrario. Probar que para cualquier con-juntoB, se tiene queA⊂A∪B.
1.3.3. Intersecci´on. SeanAy B conjuntos. El conjunto A∩B={x | x∈A y x∈B}
se conoce como la intersecci´on de Ay B.
Se escribe x∈A∩B si y s´olo six∈A yx∈B. Lo contrario es x /∈A∩B si y s´olo si x /∈Aox /∈B.
1.3.4. Ejercicio. Para los conjuntosA,B yC, probar las siguientes propieda-des:
1. SiA⊂B y B⊂C entonces (A∪B)⊂C. 2. (A∩B)∩C=A∩(B∩C).
3. A⊂B si y s´olo siA∪B=B si y solo si A∩B =A 4. Como consecuencia,A∪ ∅=Ay A∩ ∅=∅.
1.3.5. Ejemplos. 1)Vamos a comenzar abordando un caso muy concreto hasta otener la m´axima generalidad, en el uso de la escritura comprehensiva.
Sea U =R2, el plano eucl´ıdeo,A=
{(x, y)∈ U | x+y= 3},B ={(x, y)∈
U | x+y = 7} y C ={(x, y)∈ U | x−y = 0}. Probar queA ⊂B y que
A6⊂C.
M´as en general, siP(r) ={(x, y)∈ U | x+y=r}, conr∈R, probar que
P(r)⊂P(s) si y solo sir≤s.
Finalmente, probar que siU es un conjunto arbitrario,A={x∈ U | p(x)} yB={x∈ U | q(x)}, entoncesA⊆B si y solo si [p(x)⇒q(x)].
2) Vamos a ver un caso donde podemos comparar el uso de escritura com-prehensiva y el de listas. Para cualquiera∈N, se define N·a={a,2a, . . .}=
{x∈N | x=na, conn∈N}. En este caso, la escritura con lista parece m´as elegante que la comprehensiva. Tambi´enN·a∩N·b = N·mcm(a, b); pero la uni´onN·a∪N·b se escribe mal como lista.
1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 11
Diagramas de Venn
En 1880 John Venn introdujo los diagramas para una mejor comprensi´on de los conjuntos y sus operaciones. Los siguientes diagramas representan la uni´on e intersecci´on de dos conjuntosAyB contenidos en otro conjunto, digamosU.
U A B &% '$ &% '$ Uni´on U A B &% '$ &% '$ Intersecci´on Leyes distributivas.
1.3.6. Proposici´on. SeanA,B y C conjuntos. Entonces 1. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
2. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).
Demostraci´on. Probaremos la primera, la otra se deja como ejercicio.
⊆] Sea x∈A∩(B∪C). Entoncesx∈ A y x∈ B∪C; es decir, x∈ A y adem´asx∈Box∈C. Ahora separamos en dos casos. Primero,x∈Ayx∈B, de dondex∈A∩B. El otro es x∈Ay x∈C, de donde x∈A∩C. No hay m´as casos y por tanto x∈(A∩B)∪(A∩C).
⊇] Si x∈(A∩B)∪(A∩C) entoncesx∈A yx∈B o bienx∈Ayx∈C. Luego x∈A en ambos casos y as´ı,x∈Ay adem´asx∈B o x∈C, de donde
x∈A∩(B∪C).
Vamos ahora con la segunda.
⊆] Sea x ∈ A∪(B∩C). Tenemos dos casos. Primero, si x ∈ A entonces
x∈A∪B y adem´asx∈A∪C (Ejercicio 1.3.2) luego x∈(A∪B)∩(A∪C). Ahora, six6∈Aentoncesx∈B∩C entoncesx∈A∪B yx∈A∪C (otra vez Ejercicio 1.3.2) y por tantox∈(A∪B)∩(A∪C).
⊇] Sea x∈(A∪B)∩(A∪C). Consideramos dos casos. Primero, si x∈A
entoncesx∈A∪(B∩C) (otra vez Ejercicio 1.3.2). Segundo, six6∈Aentonces
x∈B y adem´asx∈C por lo quex∈B∩C, de dondex∈A∪(B∩C).
1.3.7. Diferencia de conjuntos. Sean A y B conjuntos. La diferencia de conjuntos es la colecci´on
A\B ={X | X ∈A y X 6∈B}.
12 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS U A B &% '$ &% '$ Diferencia
1.3.8. Ejercicio. Consid´erense los conjuntos A = {X ∈ R | 0 ≤ x
2 ≤6} y
B={X∈R | X22 <8}. Se pide:
1. Representar estos conjuntos en la recta real.
2. Determinar los conjuntosA∪B,A∩B,A\B yB\A, escribi´endolos de forma comprehensiva y gr´aficamente en la recta real.
1.3.9. Complemento. Sean A y U conjuntos, con A ⊂U. Se conoce como complemento de Aen U a la colecci´on
A∁=U\A={X∈U | X 6∈A}. Leyes de De Morgan.
Augustus De Morgan 1806 (Madras, India)-1871(Londres). Fue hijo de un militar brit´anico. Hizo contribuciones importantes en ´algebra, geometr´ıa y adem´as fue cofundador de la London Mathematical Society, as´ı como su primer presi-dente.
1.3.10. Proposici´on. SeanAy B conjuntos. 1. (A∩B)∁=A∁∪B∁. 2. (A∪B)∁=A∁∩B∁. Demostraci´on. 1. x∈(A∩B)∁ ⇔ x6∈A∩B⇔x6∈Aox6∈B⇔x∈A∁ox∈B∁ ⇔ x∈A∁∪B∁. 2. x∈(A∪B)∁ ⇔ x6∈A∪B⇔x6∈Ayx6∈B⇔x∈A∁yx∈B∁ ⇔ x∈A∁∩B∁.
1.3. OPERACIONES CON SUBCONJUNTOS 13 U A B &% '$ &% '$ (A∩B)∁=A∁∪B∁ U A B &% '$ &% '$ (A∪B)∁=A∁∩B∁
1.3.1.
Familias de conjuntos y operaciones
Algunas veces queremos hacer colecciones de objetos y no podemos o no nos interesa garantizar que todos ellos sean distintos. Vamos a ver un par de ejemplos.
SeanN el conjunto de los n´umeros naturales y P el conjunto de los n´ ume-ros pares positivos. Definimos, para cada n ∈ N, An como el conjunto de los
m´ultiplos pares den; es decirAn ={x∈P | nx ∈N}.
Entonces, la colecci´on C = {An}n∈N no es conjunto porque, por ejemplo,
Ap=A2p, para todo primo impar. En este caso, decimos queC es una familia
(de conjuntos).
A´un as´ı, es claro que podemos considerar su uni´on e intersecci´on y respe-tar´a las leyes habituales de conjuntos.
Otro ejemplo es el siguiente. Consid´erese p1(X) = X3−X2+X −1 y
p2 = X3+X2−2. Sean R1 y R2 los conjuntos de ra´ıces reales de p1(X) y
p2(X) respectivamente, y R = {R1, R2}. En principio, no podemos asegurar queR sea o no conjunto, pero es inmediato comprobar que, visto como familia 1∈R1∪R2.
1.3.11. Definici´on. Una familia de conjuntos es una colecci´on {Ai | i∈I},
donde I es un conjunto y Ai son conjuntos.
14 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
Uniones e intersecciones arbitrarias en conjuntos y familias
Comenzamos con la uni´on. Al ser una operaci´on binaria y asociativa, po-demos extenderla a una colecci´on finita de uniendos. As´ı, si A1, . . . , An son
conjuntos se tiene que
n
[
i=1
Ai={x | x∈Ai para alguna i∈ {1, . . . , n}}.
Cuando la colecci´on sea infinita, tambi´en habr´a uni´on, pero ya no es una consecuencia de propiedades de operaciones binarias. Ser´a una nueva definici´on. Veamos la versi´on m´as general. Nos viene a decir que las uniones m´as gene-rales ser´an conjuntos, siempre y cuando los uniendos pertenezcan a su vez, a un conjunto.
1.3.12. Uni´on arbitraria. SeaC un conjunto cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La uni´on arbitraria es el conjunto
∪C={x | x∈A, para alg´un A∈ C}.
En el caso de las familias, siIes un conjunto de ´ındices yC={Ai | i∈I}=
{Ai}i∈I, entonces escribimos
∪C=[
i∈I
Ai={x | x∈Ai para alg´un i∈I}.
Al igual que sucede con la uni´on, podemos definir la intersecci´on finita en conjuntos y familias. SiA1, . . . , An son conjuntos entonces la intersecci´on es el
conjunto
n
\
i=1
Ai={x | x∈Ai para todo i∈ {1, . . . , n}}.
1.3.13. Intersecci´on arbitraria. SeaC un conjunto, cuyos elementos son, a su vez, conjuntos. La intersecci´on arbitraria es el conjunto
∩C={x | x∈A, para todo A∈ C}.
En el caso de las familias, siIes un conjunto de ´ındices yC={Ai | i∈I}=
{Ai}i∈I, entonces escribimos
∩C=\
i∈I
Ai={x | x∈Ai para todo i∈I}.
1.3.14. Ejemplo. Sea A= {a, b, c} y consideramos el conjunto de las partes deA, que denotamosP(A). SeaC={{a, b}, {b, c}}. Entonces
1. SC=A. 2. TC={b}.
1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS15
1.3.15. Ejemplo. Sea P el conjunto de todos los n´umeros primos positivos. Para cada primo, p∈P, definimos el conjuntoN·p={0, p,2p, . . .}, o sea, los m´ultiplos naturales dep. Entonces:
1. La familia{N·p}p∈P es un conjunto.
2. Sp∈PN·p=N.
3. Sip1, . . . , pn son primos cualesquiera entonces se tiene que Tni=1N·pi =
{0,·p1· · ·pn,2(p1· · ·pn), . . .}
4. Tp∈PN·p=∅.
1.4.
Pares ordenados, producto cartesiano y
re-laciones binarias
En ocasiones queremos hacer corresponder dos objetos, ya sea para compa-rarlos, sustituirlos o diversos objetivos m´as. Una herramienta matem´atica por excelencia para estudiar las correspondencias es la idea de pareja ordenada o par ordenado. En los estudios preuniversitarios invocamos las parejas ordenadas escribiendo (a, b). Vamos interpretar este concepto en t´erminos de conjuntos.
1.4.1. Definici´on. Sean A y B conjuntos. La pareja ordenada formada por a∈A y b∈B es el conjunto
(a, b) ={{a},{a, b}}.
1.4.2. Observaci´on. La escritura de la definici´on anterior puede reducirse mu-cho seg´un el caso. Por ejemplo (a, a) ={{a}}.
1.4.3. Proposici´on. SeanAyB conjuntos. Para cualesquiera elementosa, c∈ A y b, d∈B se tiene que(a, b) = (c, d)si y solo sia=c yb=d.
Demostraci´on. Se deduce de la igualdad{{a},{a, b}}={{c},{c, d}}.
Ahora vamos a considerar el conjunto de las parejas ordenadas. N´otese que una vez establecida la definici´on conjuntista de pareja ordenada volvemos a expresiones completamente familiares.
1.4.4. Producto cartesiano. SeanA y B conjuntos. El producto cartesiano de A yB es el conjunto
A×B={(a, b) | a∈A y b∈B}.
1.4.5. Observaci´on. Es claro que siendo el producto cartesiano un operaci´on binaria, podemos extender el concepto a un n´umero finito de factores. En este caso, es inmediato comprobar que el producto cartesiano de tres conjuntos no es asociativo; sin embargo, la identificaci´on (a,(b, c)) con ((a, b), c) es demasiado clara como para pasarla de largo. Intuitivamente identificamos los conjuntos,
16 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS Y ELEMENTOS
teniendo precauciones formales pues no tenemos por ahora una descripci´on en t´erminos de conjuntos para la expresi´on (a, b, c). M´as adelante le daremos sen-tido, con un concepto m´as general, el de producto directo.
1.4.6. Proposici´on. Sea Aun conjunto arbitrario. Entonces A× ∅=∅ ×A=∅.
Demostraci´on. Supongamos queA× ∅ 6=∅. Entonces existe una pareja (a, b)∈
A× ∅, con b ∈ ∅. Pero eso es imposible. El otro producto es completamente an´alogo.
1.4.7. Observaci´on. De la propia definici´on de pareja ordenada se desprende que siAyB son conjuntos puede ocurrir queA×B6=B×A.
1.4.8. Ejercicios.
1. SeaA= 1,2,3 y B=a, b. Formar el producto cartesiano. 2. Probar queA×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
3. Probar queA×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)
Ahora vamos expresar en t´erminos de conjuntos la noci´on de relaci´on (o correspondencia) entre dos objetos.
1.4.9. Definici´on. SeanA yB conjuntos. Una relaci´on binaria (o correspon-dencia) entre elementos deA y de B es un subconjuntoR⊆A×B.
Cuando(a, b)∈Rdecimos queaest´a relacionado conb(dicho en ese orden) y escribimos aRb.
Cuando ocurraA=B, diremos simplemente queRes una relaci´on enA. 1.4.10. Observaci´on. Algunos autores obligan a que las relaciones sean con-juntos no vac´ıos. Otros reservan el t´ermino relaci´on para correspondencias en un solo conjunto.
Si no causa confusi´on, diremos relaci´on en vez de relaci´on binaria.
1.4.11. Observaci´on. N´otese que puede ser que un elementoaest´e relacionado con otrob, pero no rec´ıprocamente.
1.4.12. Ejemplos. 1. SiA=∅yB es arbitrario, entoncesA×B=∅y por lo tanto, la ´unica posible relaci´on entre AyB es la vac´ıa.
2. SeanAyB conjuntos cualesquiera. Siempre se tienen dos relaciones (que pueden coincidir), una es el vac´ıo y la otra es la total.
3. Sea R⊂R2 la relaci´on dada por
R=(x, y)∈R2
| x≤y ; es decir, xRy⇔x≤y.
1.4. PARES ORDENADOS, PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS17
4. SeaR⊆Z2
×Z2 tal que
(a, b)R(a′, b′)⇐⇒ab′=a′b.
5. SeaA un conjunto. La “diagonal” deA2; es decir, (a, b)
∈R⇔a=b, es una relaci´on (la igualdad).
6. Sea R ⊆Z2 la relaci´on dada por aRb
⇔a| b (adivide a b; o bien,b es m´ultiplo dea, v´ease 7.1.6).
7. Sea R ⊆R2 la relaci´on dada porxRy
⇔y =x2+ 1. En este casoR =
{(x, y)∈R2
| y=x2+ 1
}y podemos dibujarla en el plano.
1.4.13. Definici´on. SeanAy B, conjuntos, yR una relaci´on entre A yB. 1. Al conjunto Ase le llama conjunto inicial.
2. Al conjunto B se le llama conjunto final.
3. Se conoce como dominio de la relaci´on, al conjunto
DomR={a∈A | ∃b∈B, (a, b)∈R}. 4. Se conoce como imagen de la relaci´on, al conjunto
ImR={b∈B | ∃a∈A, (a, b)∈R}. 1.4.14. Ejemplo. SeaR⊂R2 tal que
(x, y)∈R⇐⇒x= y 2
−x
y .
Se puede comprobar que DomR=Ry que ImR=R\ {0}.
Podemos representar las relaciones en gr´aficas planas, como se hace en el c´alculo. Vamos a ver un ejemplo, sean A = {a, b, c} y B = {a′, b′, c′, d′} y
consid´erese la relaci´onR={(a, b′),(a, c′), (b, c′)}. La grafica es
a′ b′ c′ d′ a b c • • •
Un ejercicio interesante es estudiar la relaci´on entre la forma de las gr´aficas y las propiedades de las relaciones.
Cap´ıtulo 2
Aplicaciones
2.1.
Relaciones y aplicaciones
En cursos anteriores hemos visto que una aplicaci´on es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. M´as actualmente, en cap´ıtulos anerio-res hemos expanerio-resado el concepto de coranerio-respondencia en t´erminos de conjuntos. Vamos a trabajar ahora el concepto de aplicaci´on en t´erminos de conjuntos.
2.1.1. Definici´on. SeanAyB conjuntos. Una aplicaci´on entreAyB es una relaci´on f ⊂A×B que cumple la siguiente propiedad:
Para todoa∈A, existe un ´unicob∈B tal que(a, b)∈f. O bien, si(a, b)y (a, c)pertenecen af, entoncesc=d.
N´otese que esta definici´on en realidad no difiere de la que hemos visto en estudios previos. Estamos diciendo, en t´erminos de conjuntos, que una aplicaci´on es una correspondencia entre los elementos del conjunto A y del conjunto B, que satisfacen que para todo a ∈ A existe un ´unico elemento b ∈ B que le corresponde.
2.1.2. Notaci´on. Sean Ay B conjuntos yf una aplicaci´on de A aB. Escri-bimos entonces
f :A→B o A−−→f B.
Adem´as, si a∈A y (a, b)∈f, como b es ´unico podemos escribir b=f(a).
En ocasiones expresamos la igualdad anterior b = f(a), que tambi´en lla-mamos regla de corespondencia, a trav´es de ecuaciones. Por ejemplo, podemos definirf :N→Ntal quef(n) =n2.
Cuando partimos de una ecuaci´on como por ejemploy=x2+ 1 y queremos interpretarla como la regla de una relaci´on, la llamamosfunci´on1y tenemos que
1
Algunos autores no distinguen estos conceptos y a todo le llaman funciones.
20 CAP´ITULO 2. APLICACIONES
determinar su “dominio de definici´on” es decir, el mayor conjunto que puede ser el dominio con el que podemos interpretar y = x2 + 1 como la regla de correspondencia de una aplicaci´on.
Existen diversas maneras de representar gr´aficamente a las aplicaciones. Va-mos a ver dos de ellas. La primera muy t´ıpica:
Sean A={a, b, c}y B ={a′, b′, c′, d′} conjuntos. Representamos la
aplica-ci´onf :A→B tal que f ={(a, a′),(b, c′),(c, d′)} como
A B a• b• c• •a′ •b′ •c′ •d′ f
La siguiente es la gr´afica habitual de las coordenadas, que ya hemos visto para relaciones. a′ b′ c′ d′ a b c • • •
Otra gr´afica habitual es la de la funci´ony=x2+ 1
2.1.3. Observaci´on. En ocasiones, sobre todo en el c´alculo y la topolog´ıa, se suele identificar la aplicaci´on con la regla de correspondencia y a la propia aplicaci´on con la gr´afica (o grafo).
2.1.4. Observaci´on. Como hemos dicho, una aplicaci´on es una relaci´on, que escribimosf :A→B. De este modo tenemos
1. El dominio def, que es Domf =A. Es decir, el dominio coincide con el conjunto inicial, as´ı que ´este ´ultimo t´ermino ya no se usa.
2. La imagen (o imagen directa) def, que es Imf =f(A)⊆B. Adem´as, tenemos otras definiciones.
2.1.5. Definici´on. SeanAy B conjuntos y f :A→B. 1. Al conjunto finalB se le llama el codominio de f.
2.2. TIPOS DE APLICACIONES 21
2. A la igualdad b = f(a) se le llama la regla de correspondencia de f, y tiene especial sentido cuando se establece por f´ormula.
3. Si (a, b)∈f, decimos que a es una preimagen deb y que b es la imagen dea.
2.1.6. Ejemplos.
1. SeaAun conjunto. La relaci´on “diagonal” es una aplicaci´on que llamamos la identidad.
2. Seaf :Z→N, tal quef(a) =a2. Entoncesf es una aplicaci´on.
3. La relaci´on xRy ⇔x2+y2 = 1 no es una aplicaci´on. Sin embargo,y =
√
1−x2 s´ı lo es.
2.1.7. Ejemplo. Operaciones binarias. SeanA y B conjuntos no vac´ıos. Una ley de composici´on externa es una aplicaci´on
B×A−−→ø A
cuya imagen habitualmente denotamosbøaen vez de ø(b, a). Un ejemplo t´ıpico de esto es el producto por un escalar en espacios vectoriales.
Otra operaci´on binaria es la ley de composici´on interna. SeaAun conjunto. Una operaci´on binaria en Aes una aplicaci´on
B×A−−→ø A
cuya imagen habitualmente denotamos aøa′ en vez de ø(a, a′). Un ejemplo
t´ıpico de esto es la suma en los n´umeros naturales.
2.2.
Tipos de aplicaciones
2.2.1. Definici´on. Seaf :A→B una aplicaci´on.
1. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si para cada elemento de la imagen, la preimagen es ´unica. Escribimos
f(a) =f(b)⇒a=b o a6=b⇒f(a)6=f(b)
2. Decimos que f es suprayectiva (o sobreyectiva o exhaustiva) si cubre todo el codominio. Escribimos
∀b∈B, ∃a∈A tal que f(a) =b. 3. Decimos quef es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.
22 CAP´ITULO 2. APLICACIONES
1. La aplicaci´onf :N→Ntal quef(x) = 2xes biyectiva. 2. La aplicaci´onf : [1,∞)→(0,1] tal quef(x) =1x es biyectiva. 3. SeanA={a, b, c}yB={a′, b′, c′, d′}. Entonces
a) La aplicaci´onf ={(a, b′),(b, b′),(c, b′)} no es inyectiva ni
suprayec-tiva (es constante).
b) La aplicaci´onf ={(a, b′),(b, c′),(c, d′)} es inyectiva pero no
supra-yectiva.
c) Ninguna aplicaci´onf :A→B puede ser suprayectiva.
2.3.
Im´
agenes directas e inversas
2.3.1. Definici´on. Seaf :A→B una aplicaci´on.
1. Para X⊆A, definimos la imagen (directa) de X como
f(X) ={f(x) | x∈X}={b∈B | ∃x∈X, b=f(x)}. 2. Para Y ⊆B, definimos la imagen inversa como
f(Y)−1=
{a∈A | f(a)∈Y}
que tambi´en podemos escribirf−1(Y)teniendo cuidado de no confundirla
con la aplicaci´on inversa.
En el caso de las im´agenes inversas, cuando el conjunto Y solo tiene un elemento, digamosY ={y} se suele denotarf(y)−1.
2.3.2. Proposici´on. Seaf :A→B una aplicaci´on. La imagen directa verifica las siguientes propiedades.
1. f(∅) =∅.
2. SiX⊂Y entoncesf(X)⊂f(Y).
3. SiX, Y ⊂Aentonces f(X∪Y) =f(X)∪f(Y). 4. SiX, Y ⊂Aentonces f(X∩Y)⊆f(X)∩f(Y).
M´as en general, si I es un conjunto y{Xα}α∈I una familia de subconjuntos de
A entonces f [ α∈I Xα ! = [ α∈I f(Xα) y f \ α∈I Xα ! ⊆ \ α∈I f(Xα)
2.3. IM ´AGENES DIRECTAS E INVERSAS 23
Demostraci´on. 1.Es inmediata de (1.4.6).
2. Si X = ∅ el resultado se sigue de lo anterior, y del hecho de que el vac´ıo est´a contenido en todo conjunto (1.2.12). En otro caso, sea y ∈ f(X). Entonces existe x∈X tal quef(x) = y. ComoX ⊆Y entonces x∈Y, luego
y=f(x)∈f(Y).
Finalmente haremos la primera de las generales y los apartados restantes los dejaremos como ejercicio.
⊆] Sea y ∈ f(∪α∈IXα). Entonces existe x ∈ ∪α∈IXα tal que f(x) = y.
Como x∈ ∪α∈IXα entonces x∈Xα para algunaα∈ I. Luegoy ∈f(Xα)⊂
∪α∈If(Xα).
⊇] Consid´erese y ∈ ∪α∈If(Xα). Entonces y ∈ f(Xα) para alguna α∈ I,
as´ı que existe x ∈ Xα tal que f(x) = y. De hecho x ∈ Sα∈IXα, as´ı que
y=f(x)∈f(∪α∈IXα).
2.3.3. Ejercicio. Dar ejemplos de funciones f :A→B y conjuntosX, Y ⊆A tales quef(X∩Y)(f(X)∩f(Y)yf′ :A′ →B′ y conjuntosX′, Y′ ⊆A′tales
quef(X′∩Y′) =f(X′)∩f(Y′)
Respuesta. Sean A = {1,2}, B = {b}, X = {1} e Y ={2}. Sea f : A → B
tal que f es la constante b. Entonces X∩Y = ∅, luego f(X∩Y) =∅, pero
f(X)∩f(Y) =B.
2.3.4. Proposici´on. Sea f : A → B una aplicaci´on e Y ⊂ B. La imagen inversa verifica las siguientes propiedades.
1. f(Y)−1∁=fY∁−1
.
2. SiI es un conjunto e{Yα}α∈I una familia de subconjuntos deBentonces
f [ α∈I Yα !−1 = [ α∈I f(Yα)−1 y f \ α∈I Yα !−1 = \ α∈I f(Yα)−1
Demostraci´on. Probaremos la ´ultima afirmaci´on. El resto se deja como ejercicio.
⊆] Sea x∈ f(∩α∈IYα)−1. Entoncesf(x) ∈ ∩α∈IYα, entonces f(x)∈ Yα para
todo α∈Iluegox∈f(Yα)−1 para todoα∈I, as´ı quex∈ ∩α∈If(Yα)−1.
⊇] Sea x ∈ ∩α∈If(Yα)−1. Entonces x ∈ f(Yα)−1 para todo α ∈ I,
lue-go f(x) ∈ Yα para todo α ∈ I, entonces f(x) ∈ ∩α∈IYα. Por lo tanto x ∈
f Tα∈IYα−
1 .
2.3.5. Ejemplo. Sea f :R→Rdada porf(x) =x2. SeaX = [1,√2]
⊂R. Se puede comprobar que:
1. f(X) = [1,2]. 2. f(f(X))−1
24 CAP´ITULO 2. APLICACIONES 3. f(X)−1= −√4 2,−1∪1,√4 2 4. f f(X)−1= [1,√2].
Como ejercicio se puede hacer lo mismo para la aplicaci´on dada porg(x) = senx, eY = [−2,2].
2.4.
Composici´
on
Perm´ıtasenos comenzar este p´arrafo con el siguiente ejercicio.
2.4.1. Ejercicio. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones. Definimos la relaci´on g◦f ⊂A×C tal que (a, c)∈(g◦f) si y s´olo si, existeb ∈B tal que
(a, b)∈f y (b, c)∈g.
Probar queg◦f es una aplicaci´on.
Respuesta. Sea a∈A. Entonces existe un ´unicob ∈B tal que (a, b ∈F y un ´
unico c ∈ C tal que (b, c)∈ g, por tanto (a, c) ∈g◦f. Vamos a ver que c es ´
unico. Si (a, c′)∈g◦f entonces existe b′ ∈ B tal que (a, b′)∈f y (b′, c′)∈g,
pero la definici´on de aplicaci´on nos dice queb=b′ y por tanto c=c′.
Entonces podemos introducir el siguiente concepto.
2.4.2. Definici´on. Seanf :A→B y g:B→C aplicaciones. Se conoce como la composici´on def seguida deg y la denotamosg◦f a la aplicaci´on siguiente:
1. g◦f :A→C. Tal que 2. (g◦f)(a) =g(f(a)).
Entonces, en la composici´on ocurre que Dom(g◦f) = Domf y el codominio de la composici´on es igual al codominio deg.
2.4.3. Ejemplos.
1. Sean f : N → N y g : N → Z, dadas por f(n) = 2n+ 1 y g(n) = n2. Entonces la composici´on def seguida deg es
(g◦f)(n) =g(f(n)) =g(2n+ 1) = (2n+ 1)2.
N´otese que la composici´on de g seguida de f no puede definirse, porque no coinciden la imagen de g y el dominio de f. Tambi´en notemos que a efectos pr´acticos, eso podr´ıa corregirse. Una manera es la siguiente. 2. Al hilo del apartado anterior, sean f :N →N y g′ :N →N, dadas por
f(n) = 2n+ 1 yg′(n) =n2. Ahora podemos hacer ambas composiciones y queda
(g◦f)(n) = (2n+ 1)2 y (f◦g)(n) = 2n2+ 1.
2.4. COMPOSICI ´ON 25
2.4.4. Teorema. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D aplicaciones. Entoncesh◦(g◦f) = (h◦g)◦f.
Demostraci´on. La coincidencia de los dominios y codominios es clara, luego las composiciones pueden considerarse. Seaa∈A. Calculamos
(h◦(g◦f))(a) =h([g◦f](a)) =h(g(f(a))) = (h◦g)(f(a)) = ((h◦g)◦f)(a)
2.4.5. Proposici´on. La composici´on de aplicaciones inyectivas es inyectiva. Demostraci´on. Sean f : A → B y g : B → C aplicaciones inyectivas. Sean
a, a′∈Atales que (g◦f)(a) = (g◦f)(a′). Entoncesg(f(a)) =g(f(a′)) y como
g es inyectivaf(a) =f(a′), y comof es inyectivaa=a′.
2.4.6. Proposici´on. La composici´on de aplicaciones suprayectivas es supra-yectiva.
Demostraci´on. Sea c ∈C. Entonces existe b∈ B tal que g(b) =c y, a su vez, existea∈A tal quef(a) =b. Luego (g◦f)(a) =c.
2.4.7. Corolario. La composici´on de aplicaciones biyectivas es biyectiva. Demostraci´on. Inmediata de las dos anteriores.
2.4.8. Proposici´on. Seanf :A→B yg:B→C. Entonces 1. Sig◦f es inyectiva entonces f es inyectiva.
2. Sig◦f es suprayectiva entonces g es suprayectiva. Demostraci´on. Ejercicio.
2.4.1.
Inversa de una aplicaci´
on biyectiva
2.4.9. Notaci´on. Sea A un conjunto arbitrario. Denotamos a la aplicaci´on identidad en A, como 1A:A→A; es decir,1A(a) =a, para todoa∈A.
2.4.10. Definici´on. Sea f : A → B una aplicaci´on. Decimos que f tiene inversa si existe g:B →Atal queg◦f = 1A y f◦g= 1B.
En este caso, decimos quef es una aplicaci´on invertible.
2.4.11. Proposici´on. Sea f : A → B una aplicaci´on invertible. Entonces la inversa es ´unica.
Demostraci´on. Supongamos quegyhson inversas. Entonces
26 CAP´ITULO 2. APLICACIONES
2.4.12. Notaci´on. Para una aplicaci´on invertible f : A → B, denotamos la inversa comof−1.
2.4.13. Teorema. Sea f :A→B una aplicaci´on. Entonces f es invertible si y s´olo si es biyectiva.
Demostraci´on. Supongamos primero quef es invertible y veamos que es biyec-tiva. Sean a, a′ ∈ A. Si f(a) = f(a′) entonces f−1(f(a)) = f−1(f(a′)), luego
a=a′. Ahora, seanb, b′∈B. Hacemosa=f−1(b) ya′ =f−1(b′) y se tiene que
f(a) =b yf(a′) =b′. Por tanto es biyectiva.
Rec´ıprocamente, supongamos que f es biyectiva y queremos definir la in-versa. Para cada b ∈ B consideremos la imagen inversa f({b})−1. Se afirma que la imagen inversa tiene exactamente un elemento. Como f es sobre, en-tonces f({b})−1
6
= ∅. Si a, a′ ∈ f({b})−1 entonces b = f(a) y b = f(a′), de
donde f(a) =f(a′) y como es inyectivaa= a′. Definimos g : B → Atal que
g(b)∈f(b)−1, el ´unico elemento. Es inmediato comprobar queg es inversa de
f y por tantog=f−1.
2.4.14. Proposici´on. Seanf : A→B y g: B →C aplicaciones invertibles. Entonces
(g◦f)−1=f−1
◦g−1.
Demostraci´on. Es un c´alculo directo.
2.4.15. Ejemplo. Las permutaciones. Sea 0 6=n ∈N yA ={a1, . . . , an} un
conjunto (connelementos). Una permutaci´on es una biyecci´onσ:A→A. Las permutaciones se denotan σ= a1 . . . an σ(a1) . . . σ(an) .
Como ejemplo m´as concreto, si A = {1,2,3,4,5} entonces una permutaci´on puede ser σ= 1 2 3 4 5 3 4 5 1 2 .
Dado un conjunto no vac´ıo Aconnelementos, se denota S(A) el conjunto de las permutaciones deA. En caso de queA={1, . . . , n}escribimosSn.
Producto directo
Vamos a ver una extensi´on de la idea del producto cartesiano (1.4.4) que llamaremos el producto directo. A diferencia del producto cartesiano, el pro-ducto directo no implica un orden en las coordenadas. Cuando el conjunto de ´ındices est´a ordenado, los identificamos, con la idea de extensi´on del producto
2.4. COMPOSICI ´ON 27
2.4.16. Definici´on. SeaI un conjunto y F ={Ai}i∈I una familia de
conjun-tos. Se conoce como producto directo de la familia F al conjunto
Y
i∈I
Ai={f :I→ ∪i∈IAi | f(i)∈Ai}.
2.4.17. Notaci´on. Los elementos se denotan imitando la escritura de las pa-rejas ordenadas; es decir, sif ∈Qi∈IAi, escribimos f = (xi)i∈I.
Cuando I es finito y se escribe como una lista, escribimos sus elementos repitiendo la lista en los ´ındices. No tenemos que seguir el orden de la lista, pero es conveniente y se acostumbra.
Por ejemplo siI={1, . . . , n}, escribimos
A1× · · · ×An={(x1, . . . , xn) | xi∈Ai}.
En caso de que no se quiera escribir a una familia con ´ındices, simplemente se presupone; es decir, a la familia {A, B, C} la vemos como {A1, A2, A3} o
usando cualquier otro conjunto de ´ındices con tres elementos. 2.4.18. Ejemplos. 1. R2 = {f :{1,2} →R | f(i)∈R, i= 1,2} = {(x1, x2) | xi ∈ R}, el plano habitual. 2. Rn = {f :{1, . . . , n} →R | f(i)∈R, i= 1, . . . , n}.
3. Qn∈NAn ={f :N→ ∪n∈NAn | f(n)∈An}, es un producto infinito.
De-notamos sus elementos tambi´en comof = (x1, x2, . . .).
Ya hemos comentado que el producto cartesiano con m´as de dos factores no es asociativo (v´ease 1.4.5). El producto directo tampoco lo es, pero todo puede identificarse. Por ejemplo existe una biyecci´on entreA×(B×C) y (A×B)×C
que nos permite escribirA×B×C, e identificar (a,(b, c))↔((a, b), c)↔(a, b, c). La comprobaci´on es demasiado laboriosa como para ocuparnos de ella, pero en general depende del siguiente resultado que es mucho m´as simple. Esta parte la dejamos para los lectores m´as curiosos.
2.4.19. Proposici´on. Sean I y J conjuntos y F ={Ai}i∈I y G ={Bj}j∈J
familias de conjuntos. Si existe una biyecci´onσ:I→J, junto con un conjunto de biyecciones{fi:Ai→Bσ(i)}i∈I entonces existe una biyecci´onf :Qi∈IAi→
Q
j∈JBj, dada por f(x)(j) =fσ−1(j) x(σ−1(j))
.
Demostraci´on. N´otese que para cada x ∈ Qi∈IAi y cada j ∈ J, se tiene un
´
unico elemento fσ−1(j) x(σ−1(j))
, as´ı que la relaci´on es aplicaci´on. Vamos a ver que es biyectiva. Consid´ereseg :Qj∈JBi →Qi∈IAi, dada por g(y)(i) =
f−1
i (y(σ(i))) (n´otese quef−
1
i :Bσ(i)→Ai). Es claro que tambi´en es aplicaci´on.
Se afirma que son inversas. Seax∈Qi∈IAi. Entonces
g(f(x))(i) =f−1 i (f(x)(σ(i))) =fi−1 fσ−1(σ(i))(x(σ−1(σ(i)))) = =f−1 i (fi(x(i))) =x(i).
28 CAP´ITULO 2. APLICACIONES
De forma completamente an´aloga se tiene quef(g(y)) =y. Como tiene inversa, (2.4.13) nos asegura quef es biyectiva.
Producto directo arbitrario y axioma de elecci´on
Como acabamos de ver, el producto directo finito puede identificarse con el producto cartesiano de conjuntos. De aqu´ı se desprende que si tengo una familia finita de conjuntos no vac´ıos, el producto de conjuntos es no vac´ıo. Sin embargo, no podemos establecer directamente del primer cap´ıtulo que el producto arbitrario de una familia de conjuntos no vac´ıos sea no vac´ıa.
Los enunciados que veremos a continuaci´on, son equivalentes. Es f´acil com-probarlo.
2.4.20. Axioma de elecci´on.
1. SeaI un conjunto arbitrario y{Ai}i∈I una familia. Si cada Ai no vac´ıo
entonces se puede elegir un elemento de cada conjunto. O, equivalentemente
2. SeaI un conjunto no vac´ıo y{Ai}i∈I una familia de conjuntos no vac´ıos.
Entonces el producto directo Qi∈IAi es no vac´ıo.
M´as adelante veremos conexiones muy interesantes entre esta y otras pro-piedades.
Cap´ıtulo 3
Orden
3.1.
Conjuntos ordenados y sus elementos
dis-tinguidos
Recordemos que una relaci´on binaria, correspondencia o simplemente rela-ci´on (1.4.9 y 1.4.10) es un subconjunto del producto cartesiano entre dos con-juntos. En este cap´ıtulo nos vamos a referir a cierto tipo de relaciones donde el conjunto inicial y el final, coinciden.
Comenzamos con una lista de propiedades que utilizaremos durante todo el texto.
3.1.1. Definici´on. SeaA un conjunto y Runa relaci´on enA. 1. Decimos queR es reflexiva si (a, a)∈R, para todo a∈A.
2. Decimos que R es sim´etrica si para a, b∈ A, cada vez que (a, b)∈R se tiene que(b, a)∈R.
3. Decimos que R es antisim´etrica si dados a, b ∈A tales que (a, b)∈ R y
(b, a)∈R, se tiene quea=b.
4. Decimos queR es transitiva si, dados a, b, c∈A, cada vez que (a, b)∈R y(b, c)∈Rse tiene que (a, c)∈R.
3.1.2. Ejemplo. Se pide que como ejemplo se clasifiquen las siguientes relacio-nes.
1. Se puede comprobar que siA ={a, b} y B ={1,2} entonces existen 16 relaciones entreAyB. Un ejercicio puede ser clasificarlas todas.
2. SeaA=NyaRbsi y solo sia+bes par.
3. SeaA=ZyaRbsi y solo siayb tienen distinta paridad. 4. SeaA=RyaRbsi y solo si
30 CAP´ITULO 3. ORDEN
a) a≤b.
b) a6=b.
c) |a+b| ≤1.
5. Sea A=NyaRbsi y solo siadivide ab(recordemosa|b, v´ease 7.1.6). 6. Sea C un conjunto arbitrario yA=P(C). Definimos
a) aRbsi y solo sia\b=b\a.
b) aRbsi y solo sia⊆b. 7. Sea A =R2 y (x
1, x2)R(y1, y2) si y s´olo si x1 < x2 o bien, six1 =x2 se tiene que x2≤y2.
3.1.3. Ejercicio. El orden que hemos visto en el Ejemplo 7 se conoce como “orden lexicogr´afico”. Se pide extender la idea de orden lexicogr´afico en dos direcciones. La primera a cualquier n´umero de coordenadas. La segunda susti-tuyendoRpor un conjunto ordenado arbitrario.
3.1.4. Definici´on. SeaA un conjunto.
1. Una relaci´on “≤” en Ase dice que es una relaci´on de orden (o un orden parcial) si es reflexiva, antisim´etrica y transitiva.
2. Un par (A,≤), donde A es un conjunto y “≤” es una relaci´on de orden en A, se dice que es un conjunto ordenado (o parcialmente ordenado). Si el contexto no deja dudas sobre la relaci´on de orden, s´olo escribiremos queA es un conjunto ordenado.
3.1.5. Notaci´on. Sea(A,≤)un orden parcial. Para a, b∈A, escribimosa < b sia≤b y adem´as a6=b(tambi´en se escribe ab).
3.1.6. Ejemplos.
1. Los ejemplos 4a, 5, 6ay 7, son todos ´ordenes. Los otros no lo son. 2. A=Rcon el ordena≤b⇔a≤b (el orden usual).
3. A=N\ {0}con el ordena≤b⇔a|b (la divisibilidad 7.1.6). 4. B ={1,2,3}yA=P(B) con el ordena≤b⇔a⊆b (la inclusi´on). 5. A=R2 con el orden (a
1, a2)≤(b1, b2)⇔
(
a1< b1; o bien
a1=b1ya2≤b2
Una propiedad notable de la relaci´on “menor o igual de siempre” en todos los conjuntos de n´umeros es que dados dos n´umeros, siempre podemos distinguir entre tres posibilidades. Que sean iguales, que uno sea mayor que el otro o viceversa. Vamos a formalizar este concepto en la llamada ley de tricotom´ıa.
3.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y SUS ELEMENTOS DISTINGUIDOS31
3.1.7. Definici´on. Sea(A,≤)un conjunto ordenado.
Decimos que Asatisface la ley de tricotom´ıa si, dados a, b∈A, ocurre una y solo una de las tres condiciones siguientes:
1) a=b. 2) a < b. 3) b < a. 3.1.8. Definici´on. Sea(≤, A)un conjunto ordenado.
1. Decimos que la relaci´on de orden≤es un orden total o lineal, si satisface la ley de tricotom´ıa.
2. En el caso anterior, diremos adem´as que A es un conjunto totalmente o linealmente ordenado.
3.1.9. Ejercicio. Consid´erense los conjuntos ordenados (A,≤) dados en los ejemplos (3.1.6). Se pide decidir cu´ales de ellos son conjuntos totalmente orde-nados, razonando la respuesta.
Vamos a ver dos representaciones gr´aficas para conjuntos ordenados. La pri-mera es conocida como los diagramas de Hasse o “upward drawing”, o simple-mente diagrama de grafo de un orden parcial.
Consideremos a, b ∈ (A,≤), tales que a ≤b, pero a 6= b; es decir, a < b. Entonces dibujamos una l´ınea hacia arriba que conecte a con b. Lo hacemos con todos los elementos de A (escritos en lista si es finito o en caso infinito, con f´ormula cuando sea posible) con la condici´on de no repetir ning´un elemento de A. Adem´as, no escribimos bucles; es decir, no conectamos ning´un elemento consigo mismo.
3.1.10. Ejemplo. Sea C = {1,2,3} y A = P(C) junto con la relaci´on de inclusion que ya vimos. El diagrama de Hasse asociado es:
{1,2,3} {1,2} {1,3} {2,3} {1} {2} {3} ∅ H H H H H H HH HH HH H H H H H H H H H H H H
La otra representaci´on, tambi´en bastante conocida se llama las “ζ-matrices”. Si tenemos un conjunto (parcialmente) ordenado, se construye entonces la matriz
ζA con ´ındices enA, tal que
ζa,b=
(
1 sia < b
32 CAP´ITULO 3. ORDEN
3.1.11. Ejemplo. Sea, otra vez,C={1,2,3}yA=P(C) junto con la relaci´on de inclusion que ya vimos. La representaci´on deζ-matriz es
∅ {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} ∅ {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3} 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
Vamos a ocuparnos de algunos elementos notables.
3.1.12. Definici´on. Sea (A,≤)un conjunto ordenado y a∈A. 1. Decimos queaes m´aximo deA, cuandob≤apara todob∈A
2. Decimos quea es el primer elemento o m´ınimo deA, cuandoa≤b, para todo b∈A
En el Ejemplo 3.1.10 podemos ver que el m´aximo{1,2,3} es el que ocupa el extremo superior, mientras que el primer elemento ocupa el extremo inferior. En cambio en el Ejemplo 3.1.11, el m´aximo tiene toda su columna 1 menos la entrada de ´el mismo, mientras que el primer elemento es el que tiene toda su fila 1 excepto la entrada de ´el mismo.
3.1.13. Proposici´on. Sea (A,≤)un conjunto ordenado. Entonces 1. SiAtiene m´aximo entonces ´este es ´unico.
2. SiAtiene primer elemento o m´ınimo entonces ´este es ´unico. Demostraci´on. Se deja como ejercicio.
3.1.14. Definici´on. Sea (A,≤)un conjunto ordenado y a∈A.
1. Decimos que a es un elemento maximal de A cuando se verifica que si a≤b entonces b=a
2. Decimos que a es un elemento minimal de A cuando se verifica que si b≤aentonces b=a
3.1.15. Ejemplos. Sobre los siguientes conjuntos, vamos a establecer los ele-mentos notables, cuando los haya.
1. A=1n | n∈N , junto con el “≤” habitual. El m´aximo es 1 y no tiene primer elemento.
2. A = {n∈N | nes par} junto con el “≤” habitual. No tiene m´aximo. Tiene primer elemento 0.
3.1. CONJUNTOS ORDENADOS Y SUS ELEMENTOS DISTINGUIDOS33
3. A=N×Njunto con el orden lexicogr´afico. No tiene maximales y el primer elemento es el (0,0).
4. Un intervalo abierto enR. No tiene m´aximo, m´ınimo, maximales ni mini-males.
5. Un intervalo cerrado enR. El extremo de la izquierda es el minimo y el de la derecha es el m´aximo.
6. A ={a·N | 16=a∈N}, junto con la inclusi´on. Si a es primo entonces
a·Nes maximal. No hay minimales.
7. A=N\{0,1}, junto con la divisibilidad. No tiene maximales ni minimales. Tiene minimales. Todos los primos.
8. SeaC={1,2,3}yA=P(C)\C, junto con la inclusi´on. EntoncesAtiene primer elemento y tiene maximales, pero no tiene m´aximo.
3.1.16. Definici´on. Sea(A,≤)un conjunto ordenado, B⊆A un subconjunto y c∈A.
1. Decimos quec es una cota superior deB enA sib≤c, para todob∈B 2. Decimos quec es una cota inferior de B en Asic≤b, para todob∈B
En los ejemplos de (3.1.15) se tiene: En (1),Apuede verse contenido en Q
y as´ı, 0 es cota inferior y todo racionalq≥1 es cota superior. En (2), Apuede verse contenido enNy as´ı, el 0 es cota inferior (y primer elemento). En (3) (0,0) es cota inferior y primer elemento, tambi´en. En (4) y (5)Apuede verse conteni-do enRy as´ı, todos los menores o iguales que el extremo izquierdo del intervalo son cotas inferiores, mientras que los mayores o iguales al extremo derecho del intervalo son cotas superiores. En (6) Apuede verse contenido enA∪ {N,∅}y as´ı, se tiene que Nes cota superior y ∅ es cota inferior. En (7),A puede verse contenido enN\ {0}y as´ı, el 1 es cota inferior. En (8),Apuede verse contenido enP(C) y as´ı, el {1,2,3}es cota superior.
3.1.17. Definici´on. Sea(A,≤)un conjunto ordenado, B⊆A un subconjunto y c∈A.
1. Decimos que c∈A es el supremo (o extremo superior) deB enAsi es el m´ınimo del las cotas superiores deB enA.
2. Decimos que c ∈ A es ´ınfimo (o extremo inferior) de B en A si es el m´aximo de las cotas inferiores de B en A.
3.1.18. Ejemplos. En los siguientes ejemplos vamos a establecer si existen el supremo e ´ınfimo de cada uno.
1. A=n1 | n∈N ⊂Q, junto con el “≤” habitual. El m´aximo y el supre-mo es 1. El ´ınfisupre-mo es 0.
34 CAP´ITULO 3. ORDEN
2. A={n∈N | nes par} ⊂Njunto con el “≤” habitual. El ´ınfimo y primer elemento 0.
3. El intervalo (a, b)⊂R. Supremobe ´ınfimo a. 4. El intervalo [a, b]⊂R. Supremob e ´ınfimoa.
3.1.19. Proposici´on. Sea (A,≤) un conjunto ordenado y B ⊆A un subcon-junto, con el orden deA. SiB tiene supremo (o ´ınfimo) enA´este es ´unico. Demostraci´on. Se deja como ejercicio.
El siguiente resultado nos muestra por qu´e podemos decir ´el supremo e ´ınfimo, en vez deun supremo o ´ınfimo.
3.1.20. Proposici´on. Sea (A,≤) un conjunto ordenado y B ⊆A un subcon-junto, con el orden deA.
1. Sib∈B es un m´aximo (o m´ınimo) entoncesb es tambi´en el supremo de B enA.
2. Sia∈A es supremo (´ınfimo) de B en A ya∈B, entonces aes m´aximo (m´ınimo) deA.
Demostraci´on. Se deja como ejercicio.
3.2.
Conjuntos bien ordenados.
Es inmediato comprobar que los n´umeros naturales, enteros, racionales y reales son conjuntos con orden total o lineal. Sin embargo, existe una gran diferencia entre el orden de los n´umeros naturales y los enteros y los otros dos. A saber, podemos establecer el antecesor y el sucesor de cualquier n´umero entero (excepto el 0 en los naturales). Vamos a describir este fen´omeno en el lenguaje de los conjuntos ordenados, estableciendo el concepto de conjunto bien ordenado.
3.2.1. Definici´on. Sea(A,≤) un conjunto ordenado. Diremos que es bien or-denado si todo subconjunto no-vac´ıo deA tiene un m´ınimo
3.2.2. Proposici´on. Todo conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. El rec´ıproco no se verifica.
Demostraci´on. Supongamos que un conjunto A es bien ordenado y considero dos elementos a y b, de A. Consideramos el subconjunto B = {a, b} de A. Como B no es vac´ıo, tiene primer elemento. De ah´ı se desprende la tricotom´ıa trivialmente.
3.2.3. Ejemplo. Consid´erenseN×Njunto con el orden lexicogr´afico. (1,1)<(1,2)< . . . <(1, n)< . . .
<(2,1)<(2,2)< . . . <(2, n)< . . .
.. .
3.2. CONJUNTOS BIEN ORDENADOS. 35
Este conjunto est´a bien ordenado.
Demostraci´on. SeaA⊆N×Nno vac´ıo yA1={x∈N | (x, y)∈Ap.a.y∈N}. Claramente A1 6=∅ y A1⊆N, por tanto, tiene primer elemento. Seax0 ∈A1, dicho primer elemento. Sea ahoraA2={y∈N | (x0, y)∈A}. Como antes,A2 tambi´en tiene primer elemento, digamosy0∈A2.
Se afirma que (x0, y0) es el primer elemento deA. Sea (a, b)∈A, arbitrario. Comoa∈A1entoncesx0≤a. Six0< aya terminamos, si no, entoncesx0=a, as´ı que b∈A2 y as´ıy0≤b.
Intuitivamente, es claro que si tenemos un conjunto con un n´umero deter-minado de elementos, entonces es posible hacer una lista estableciendo un buen orden entre ellos; de hecho, si existe una biyecci´on entre dos conjuntos y uno tiene un buen orden, el otro podr´a ser dotado de un buen orden (probarlo como ejercicio). En el caso de conjuntos arbitrarios, eso ha de ser un axioma. Se cono-ce como el principio de la buena ordenaci´on. Es interesante hacer notar que este axioma es equivalente al axioma de elecci´on (2.4.20) aunque la demostraci´on excede los alcances de estos apuntes. Terminamos entonces con el enunciado.
3.2.4. Principio de la buena ordenaci´on. Si A es un conjunto no-vac´ıo, entonces existe una relaci´on de orden≤enAtal que(A,≤)es un conjunto bien ordenado.
Cap´ıtulo 4
Relaciones de equivalencia
4.1.
Conceptos b´
asicos
Como hemos comentado, un m´etodo importante de las matem´aticas consis-te relacionar los elementos de un conjunto. Recordemos que en (3.1.1) vimos algunas propiedades de las relaciones. Vamos a trabajar con ellas.
4.1.1. Definici´on. Sea A un conjunto y R una relaci´on en A×A. Decimos queR es una relaci´on de equivalencia si es reflexiva, sim´etrica y transitiva. 4.1.2. Ejemplos.
1. La diagonal; es decir, la igualdad, en cualquier conjunto. 2. EnZ, la relaci´ona∼5bsi y s´olo si 5|(a−b).
3. EnR, la relaci´ona∼b si y s´olo sia−b∈Z.
4. En los tri´angulos, la semejanza; es decir, tri´angulos cuyos angulos coinci-den.
5. ¿Cu´ando una relaci´on de orden es relaci´on de equivalencia?
6. Sea A={a, b, c} y R ={(a, a),(b, b),(c, c),(a, b),(b, a),(a, c),(c, a)}. De-terminar si es relaci´on de equivalencia.
Otro ejemplo que puede resultar muy interesante es el siguiente.
4.1.3. Ejemplo. Seaf :A→B una aplicaci´on. Definimos la relaci´on
a∼a′ ⇔f(a) =f(a′).
Se puede comprobar que es relaci´on de equivalencia.
4.1.4. Notaci´on. SiR es una relaci´on de equivalencia en A y a, b∈A est´an relacionados, entonces podemos escribir cualquiera de las tres siguientes formas
1. La tradicional:aRb, que tambi´en usamos para relaciones en general.
38 CAP´ITULO 4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA
2. Tambi´en,a∼Rb
3. O la anterior, pero m´as corta si no causa confusi´on,a∼b.
4.2.
Clases de equivalencia
SeaAun conjunto no vac´ıo yRuna relaci´on de equivalencia enA. Para cada elemento a ∈ A, podemos considerar el conjunto de todos aquellos elementos de A que est´en relacionados cona. Estas colecciones son una herramienta de trabajo importante en ´algebra.
4.2.1. Definici´on. SeaA6=∅un conjunto yRuna relaci´on de equivalencia en A. Para cada a∈A, su clase de equivalencia es el conjunto
[a] ={b∈A | a∼b}.
Las siguientes propiedades son muy f´aciles de verificar:
4.2.2. Proposici´on. SeaA6=∅un conjuntoRuna relaci´on de equivalencia en A. Las siguientes condiciones son equivalentes, paraa, b∈A:
1. [a]∩[b]6=∅. 2. a∼Rb.
3. [a] = [b].
Demostraci´on. (1⇒2) Six∈[a]∩[b] entonces a∼xyx∼b, luegoa∼b. (2⇒3) Por hip´otesis,a∼b. Six∈[a] entoncesx∼ay comoa∼bse tiene que x∼b, luegox ∈[b]. An´alogamente se tiene que cualquiery ∈[b] verifica
y∈[a].
(3⇒1) Inmediato del hecho de que (a, a)∈[a].
Si C es una clase de equivalencia cualquiera y a ∈ C entonces [a] = C, trivialmente. En este caso decimos queaes un representante deC.
Como se ver´a en los siguientes ejemplos, una correcta elecci´on de los repre-sentantes puede simplificar mucho la descripci´on de las clases de equivalencia.
4.2.3. Ejemplos.
1. De las siguientes relaciones se pide determinar si son relaciones de equiva-lencia (si lo son, hay que probarlo, si no, indicar cu´al de las tres condiciones falla). En caso de que lo sean, determinar las clases de equivalencia.
a) EnZ, la relaci´ona∼bsi y s´olo sia+b es impar.
b) EnN×N, la relaci´on (a, b)∼(c, d) si y s´olo sia+d=b+c.
c) EnA={1,2,3}, la relaci´onR={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.
d) En Z×(Z\ {0}), la relaci´on (a, b) ∼ (c, d) si y s´olo si ad = bc. ¿Qu´e pasar´ıa si incluy´esemos al (0,0)?