VERDADERA MAGNITUD EN LA REPRESENTACIÓN. ÁNGULOS

VERDADERA MAGNITUD EN LA REPRESENTACIÓN. ÁNGULOS

OBJETIVOS

Obtener la verdadera magnitud de un segmento mediante el método de cotas o alejamientos relativos entre sus ex tremos y/o el método de giro.

Aplicar el método de vistas auxiliares y el mé todo de abatimiento tradicional para hallar la verdadera mag ni tud, en va lor y posición, de una forma plana.

Identificar, definir y construir ángulos entre rectas (bien cor tándose o cruzándose), entre planos y, entre recta y pla no, de terminando su valor real.

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2

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Al dibujar en alzado y planta cualquier objeto se comprueba cómo diferentes elementos, ta-les como sus aristas o sus caras planas, no se aprecian en su verdadera forma y tamaño; en estos casos se dice que el elemento en cues-tión no está en verdadera magnitud. Lo más frecuente, en las lecturas diédricas de las ver-daderas magnitudes, es hacer referencia a ele-mentos rectilíneos y caras planas del objeto.

1 VERDADERA MAGNITUD DE UN

SEGMENTO

La proyección diédrica de un segmento so-bre un plano paralelo a él es verdadera mag-nitud. Pero cuando el segmento es oblicuo al plano de proyección no aparece así y, por tanto, se hace precisa la utilización del artifi-cio o método constructivo que conduzca a determinar el valor real de la distancia entre sus extremos.

1.1 Método de cotas o alejamientos relativos entre sus extremos.

SeaABun segmento del espacio ( fig.1) jun-to a sus correspondientes proyecciones orjun-to- orto-gonalesA’B’yA’’B’’sobre los planos

H

y

V

que definen el diedro de referencia. Si se traza por Buna paralela a la proyección horizontal, se origina un triángulo rectángulo de catetos la proyección horizontalA’B’ y la cota relativazentre los extremos del segmen-to, y por hipotenusa el segmento real AB. Lo mismo que se origina en el espacio, puede trasladarse a la proyección horizontal, al con-siderar al triángulo rectángulo descrito aba-tido sobre el plano horizontal de referencia. Por ello, para obtener la verdadera magnitud de un segmento en el sistema diédrico, basta con trazar por un extremo de la proyección ho-rizontal A’B’(fig. 1.1.a)una perpendicular de magnitud la diferencia de cotas entre sus ex-tremos: la dimensión (A)B’determina la mag-nitud real del segmento.

Análogo procedimiento puede emplearse partiendo de la proyección vertical A’’B’’del segmento, con la diferencia de considerar los alejamientos relativos de sus extremos, en vez de sus cotas. Este procedimiento que se muestra también en la perspectiva de la fig.1,tiene su tratamiento en las vistas diédri -cas de la fig. 1.1.b.

Obsérvese, asimismo, cómo con el abati-miento de estos triángulos rectángulos sobre los planos horizontal

H

y vertical

V

, también se consigue determinar la verdadera magni-tud de los ángulos

_ϕH

y

_ϕV

que for ma el segmento ABcon los planos de referencia

H

y

V

respectivamente.

1.2 Método de giro de una recta.

El artificio de girar una recta se reduce a girar un segmento de ella.

Sea ABun segmento de la rectar( fig. 1.2 ), en posición análoga al segmento analizado en el método anterior. Ahora, el artificio con-siste en girar el segmento fijando uno de sus extremos. El triángulo rectángulo AOBgira al-rededor del cateto AO,vertical respecto al plano de referencia

H

,hasta situarse frontal al plano vertical de referencia

V

. En esta nue-va posición el segmento AB,ahoraAB1tiene como proyección verticalA’’B’’1de igual mag-nitud que el segmento en el espacio. Como se observa en la perspectiva, el giro del segmento origina que el extremo A permanez-ca fijo en el espacio, mientras el puntoB des-cribe un arco de circunferencia situado en un plano horizontal. En su representación diédri-ca, se hace centro en la proyección A’y con ra-dioA’B’se traza un arco con trayectoria hasta B’1,de manera queA’B’1sea paralela a una vir-tual línea de tierra. El giro descrito por el punto Bse verá en proyección vertical como el seg-mento horizontal B’’B’’1.

Tanto éste como el anterior procedimiento para conseguir la verdadera magnitud de un seg-mento, son las formas más utilizadas para me-dir distancias entre elementos geométricos.

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2 VERDADERA MAGNITUD DE UN

PLANO: VISTA AUXILIAR

Un plano se observa en verdadera magnitud cuando la dirección de proyección es perper-dicular al mismo, apareciendo como un seg-mento en todas las vistas adyacentes. Dicho de otra forma: un plano se observa en verda-dera magnitud cuando se sitúa paralelo al pla-no de proyección; lo que trae consigo, que en las vistas adyacentes se proyecte y observe como un segmento.

En el ejemplo que se acompaña( fig. 2)se par-te de las vistas alzado y planta de un plano ABCoblicuo a los planos de proyección: hori-zontal

H

y vertical

V

. Nótese que la imagina-ria línea de tierra (señalada con trazo largo y dos cortos), es siempre perpendicular a las lí-neas de referencia que ligan las proyecciones diédricas y, puede situarse a capricho entre el alzado y la planta.

Para obtener la verdadera magnitud del plano, será necesario obtener dos vistas auxiliares me-diante dos cambios de plano de proyección: primero un cambio del horizontal (

H

)de refe-rencia y lue go otro que origine un cambio del plano vertical (

V

),o viceversa.

-Paso 1.- La vista auxiliar que posiciona al plano ABCcomo proyectante vertical y que origina que el plano se visualice como un segmento (A’’1C’’1) ,se consigue situando la virtual linea de tierra(

H

-

V1

) perpendicular a la proyección h’de una horizontal cualquiera del plano ABC (en la figura se ha trazado la que pasa por el punto B(B’-B’’). Con el cambio de plano verti-cal ( de

V

por

V1

)se mantienen, consecuente-mente, las alturas o cotas relativas entre los puntosA,ByC que definen el plano. -Paso 2.- La segunda vista auxiliar posiciona al

plano ABCparalelo al nuevo horizontal(

H1

)y visualiza el mismo en verdadera magnitud; es decir, que el triángulo ABCse observa en ver-dadero tamaño, (tanto la magnitud de sus la-dos como la superficie del mismo). Para ello, se convierte el plano proyectante vertical anterior en un plano horizontal respecto a un nuevo horizontal

H1

donde la nueva línea de tierra (

V

₁-

H

₁)será paralela al segmento proyec-ción A’’1-B’’1-C’’1. Por último, debe recordarse que como sucede siempre que se cambia el plano horizontal de referencia, los alejamientos relativos entre los puntos del plano se mantie-nen constantes en la nueva proyección auxi-liar, como se observa en la figura.

El proceso alternativoal empleado, consiste en situar el plano oblicuo ABC como plano frontal a un nuevo plano vertical, mediante dos cambios de plano: primero cambiando el ho-rizontal

H

por otro

H1

, convirtiendo ABC en proyectante horizontal (cuya virtual línea de tierra será perpendicular a la proyección ver-tical de una recta frontal cualquiera contenida en el plano ) y, a continuación, cambiando el plano vertical

V

por otro

V1

, que transforme el plano ABCen frontal (la nueva línea de tie-rra será paralela al segmento proyección del plano). En esta situación, la vista auxiliar que resulta ofrece la proyección del plano en ver-dadera magnitud.

3 ABATIMIENTOS

Abatir un plano sobre otro consiste en girar el primero alrededor de la recta común a am-bos (charnela), hasta hacerles coincidir. En el sistema diédrico, al abatir un plano cualquiera_αsobre el plano horizontal de re-ferencia

H

,la charnela de giro es la traza horizontal_α1( fig. 3 )y, si el abatimiento se realiza sobre el vertical

V

,hace de charnela o eje de giro la traza vertical _α2.

3.1 Abatimiento de un punto.

Consideremos un punto A perteneciente al plano _α(fig. 3). En el abatimiento, el punto A describe una trayectoria circular contenida en un plano proyectante (en la figura un proyec-tante horizontal) y el radioMA del arco es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo A A’M que se produce en el espacio. El artifi-cio consiste en abatir dicho triángulo sobre el

3.3 Desabatimiento de una figura plana: proyecciones diédricas de una circunfe-rencia de radio y centro conocidos. En lafig. 3.3,se parte de conocer las proyec-ciones de la circunferencia de centroO(O’-O’’) y radio r,contenida en el plano _α. Una vez de-terminado el punto (O),abatido del centro de la circunferencia, se dibuja ésta en verdadera magnitud. Los ejes de la elipse proyección ho-rizontal son las proyecciones hoho-rizontales de los diámetros ortogonales(A)(B)y(C)(D)de la circunferencia,paralelo y perpendicular res-pectivamente, a la charnela _α1. Obsérvese có-mo el eje ABes segmento de la horizontal h que pasa por el centro O,y el eje menor CD, segmento de la recta mde máxima pendiente. Análogamente, los ejes principales de la elip-se proyección vertical de la circunferencia, re-sultan ser las proyecciones (1’’2’’y 3’’4’’)de los diámetros de la circunferencia 1-2 y3-4 respectivamente. Dichos ejes, corresponden

horizontal y representarle como el triángulo A0A’ M,para luego, con centro en M y radio MA0obtener la posición abatida(A)del punto A como intersección del arco con la recta A’M. En diédrico, porA’y sobre la proyección h’ se lleva la magnitud de la cota zdel punto A. Por último, con centro en M y radioMA0se traza un arco de circunferencia que corta a la perpendicular en el punto(A)buscado. Para abatir unarecta,contenida en un plano, basta con abatir dos puntos de ella.

3.2 Abatimiento de una forma plana. Entre la proyección horizontal de una figura y el abatimiento de la misma sobre el plano ho-rizontal existe una relación proyectiva de afi-nidad ortogonal. Por tanto, un procedimiento muy práctico para determinar el abatimiento de una figura, y hallar su verdadera magnitud, consiste en establecer los elementos básicos de la relación afín:

- El eje de la afinidad: la traza _α1del plano que contiene a la figura.

- La dirección de afinidad:ortogonal al eje. -Dos puntos afines:en lafig. 3.2 la

proyec-ción horizontal A’y el abatido(A)del punto A. Si el abatimiento de la figura se realiza sobre el plano vertical de proyección, la relación de afinidad es análoga a la anterior:

- El eje de la afinidad:la traza _α2.

- La dirección de afinidad:perpendicular a _α2. -Dos puntos afines:tales como A’’y el abatido deAsobre el plano vertical de referencia.

a segmentos contenidos en la recta frontal f y en la recta ide máxima inclinación que pasan por O. Siempre, el eje menor de las proyec-ciones elípticas de la circunferencia es verda-dera magnitud e igual al diámetro de la misma.

Observa – tanto sobre las proyecciones orto-gonales de la circunferencia como en su aba-timiento– , la posición que toman todas estas rectas singulares que pasan por el centro O: h( horizontal ) ,f ( frontal ) ,m( de máxima pendiente ) ei( de máxima inclinación ).

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4 ÁNGULOS

4.1 Ángulo entre rectas.

Como es sabido, dos rectas pueden cortarse o cruzarse. En este último caso, el ángulo que forman dos rectasrys(fig. 4.1)se determina trazando por un punto cualquiera de una de ellas, en la ilustración porR der,una rectaq paralela a la otra. El ángulo

_γ

que formanry q,es el mismo que formanr ys;luego, todo se reduce a un único problema: determinar el ángulo que forman dos rectas que se cortan.

4.3 Ángulo entre planos.

Para medir un ángulo entre dos planos o su-perficies planas, primero es necesario cons-truir una vista donde los dos planos aparez-can como dos segmentos.

E j e m p l o s d e l á n g u l o e n t re s u p e r f i c i e s l o constituyen la intersección de la cubierta de un tejado a dos aguas, los guardavientos de un avión o, sin ir más lejos, la intersección de dos caras de un cuerpo poliédrico.

«El ángulo de dos planos que se cortan es-tá determinado por la vista en la que la rec-ta intersección entre ambos aparece como un punto. La solución requiere de dos vistas auxiliares, esto es, de dos cambios de pla-no de proyección (upla-no vertical y otro hori-zontal)».

En lafig. 4.3 los planos ABCyABD tienen en común la rectaAB. Para determinar el án-gulo que forman ambos se siguen los siguien-tes pasos:

-Paso 1.- En la primera vista auxiliar se obtie-ne la rectaABen verdadera magnitud, junto a la nueva posición de los planos: se cambia el plano de proyección vertical

V

por

V1

si-tuando la nueva línea de tierra paralela a A’B’ para que su nueva proyección vertical A’’1B’’1 sea la que corresponde a una recta frontal; es decir, en su verdadera magnitud. -Paso 2.- En la segunda vista (mediante un

cambio de plano horizontal, se pasa del

H

al

H1

) ,la recta ABse muestra como un punto (A’1 B’1) y los dos planosABCyABDapare -cen como segmentos.

El ángulo

ϕ

formado por los segmentosA’1C’1 yA’1D’1,es el ángulo que forman los planos ABCyABD.

Sabido es que dos rectas concurrentes deter-minan o definen un plano. En general, la forma más sencilla de hallar el ángulo entre ellas, es abatir el plano que definen. En lafig. 4.1.b se parte de conocer las proyecciones diédricas de las rectas_ry_sque se cortan en el punto A,y de las que se han considerado sus seg-mentos AB(A’B’-A’’B’’) yAC(A’C’-A’’C’’) , to-mando intencionadamenteByC como pun-tos de igual cota.

El abatimiento del puntoA sobre el plano hori-zontal que pasa porByC resuelve el proble-ma. Para ello seguimos los siguientes pasos: - Se traza la perpendicular desdeA’a la traza

B’C’,y porA’la perpendicular a ésta para lle-var la cota relativa_z;con centro en _M y radio MA0se obtiene el punto(A)abatido de A. - Los segmentos abatidos(A)B’ y(A)C’

defi-nen el ángulo _α,en verdadera magnitud, que forman las rectasrys consideradas. 4.2 Ángulo de recta y plano.

El ángulo que una recta forma con un plano es el que la recta forma con su proyección orto -gonal sobre dicho plano. En lafig. 4.2,la recta ry el plano_πforman un ángulo

_γ

. En caso de re querir únicamente el valor real

_γ

, pero no su po sición, el trazado se simplifica notablemente de bido a que la rectar y la perpendicular al plano por un punto cualquieraR de la recta, forman un ángulo complementario al

_γ

.