6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
66
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
66
99
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
66
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
66
99
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
66
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
66
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
66
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
6 =6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6x6
66
9=9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9x9
99
BLOQUE 4
102
secuencia 24
En esta secuencia vas a conocer las leyes de los exponentes y vas a utilizar la notación científica para resolver problemas.
PRODUCTO DE POTENCIAS
Para empezar
En la secuencia 26 de tu libro Matemáticas i, volumen iiestudiaste que una potencia es la multiplicación de un número por sí mismo varias veces. Por ejemplo: 7 × 7 × 7 × 7
×7 es la quinta potencia de 7, se escribe 75 y se lee como 7elevado a la5 o simplemen-te7a la5. El 7 es la base y el 5 es el exponente.
La segunda potencia de un número también se llama el cuadrado del número o el nú-mero elevado al cuadrado, y la tercera potencia de un núnú-mero también se dice el cubo del número o el número elevado al cubo.
En esta sesión harás productos de potencias con la misma base.
Consideremos lo siguiente
Calculen los resultados de los siguientes productos y respondan las preguntas. a)2×2×2×2 =
b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?
2×2×2×2 = 2
c)23×24 = × =
d) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente?
23 × 24 = 2
e)25× 21 = × = = 2 f) 2 = 256
Comparen sus respuestas. Comenten como hicieron para encontrar los exponentes.
SESIóN 1
Potencias y
notación científica
MAT2 B4 S24.indd 102 9/10/07 12:39:40 PM Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y
justificar procedimientos para calcular productos de potencias enteras positivas de la misma base.
Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos con el propósito de que recuerden algunos conceptos básicos que se vieron en el libro de Matemáticas I, volumen I y volumen II. Usted puede plantear otros ejemplos para que puedan distinguir la base y el exponente, así como para que recuerden qué deben hacer para elevar un número a una determinada potencia.
Propósito de la sesión en el aula de medios.
Realizar el producto de potencias enteras y positivas de la misma base.
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 1.
Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos calculen numéricamente el resultado de las operaciones y que encuentren la potencia con la que se puede expresar el resultado.
Posibles errores. Un error común es que los alumnos identifiquen una potencia con una multiplicación, por ejemplo que interpreten 25 como 2 × 5.
En lo que se refiere a la potencia 1, en Matemáticas I no estudiaron ese caso de mane-ra explícita, por lo que es posible que tengan dificultades para interpretarla.
Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos resuelven, procure identificar sus dificultades y errores, para que en el momento de la comparación de resultados puedan aclararse algunos de ellos. Particularmente, usted puede precisar que la potencia 1 indica que la base se debe multiplicar sólo una vez.
En caso de que los alumnos continúen teniendo algunas dudas, podrán aclararlas con las actividades del apartado Manos a la obra.
Eje
Sentido numérico y pensamiento algebraico.
Tema
Significado y uso de las operaciones.
Antecedentes
En la secuencia 26 del libro Matemáticas I, volumen II, los alumnos tuvieron un primer acercamiento al trabajo con potencias. Con el libro de Matemáticas II, se espera que los alumnos amplíen sus conocimientos sobre el tema incorporando la multiplicación y la división de
Propósito de la secuencia
Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Sesión Propósitos de la sesión Recursos
1
Producto de potencias
Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular productos de potencias enteras positivas de la misma base.
Interactivo Potencias y exponentes
Aula de medios
Leyes de los exponentes I (Calculadora) 2 Potencias de potencias Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para
calcular potencias de potencias enteras positivas.
Interactivo Potencias y exponentes 3
Cocientes de potencias
Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular cocientes de potencias enteras positivas de la misma base.
Interactivo Potencias y exponentes
Aula de medios Leyes de los exponentes III (Calculadora) 4 Exponentes negativosInterpretar el significado de elevar un número natural a
una potencia de exponente negativo.
Interactivo Potencias y exponentes
Aula de medios Leyes de los exponentes II y IV
(Calculadora) 16 4 8 16 128 7 32 2 64 6 8
103
II
MATEMÁTICAS
Manos a la obra
I. Escriban cada una de las potencias como multiplicaciones y respondan las preguntas. a)23 × 22 = × × × ×
23 × 22
b) ¿Cuántos2 se están multiplicando en total? c)21 × 26 = ×
21 × 26
d) ¿Cuántos2 se están multiplicando en total? e)27 × 23 =
f) ¿Cuántos2 se están multiplicando en total?
II.Completen la siguiente tabla de multiplicación de potencias de base 2. Escriban todos los resultados utilizando una potencia de esa misma base.
× 21 22 23 24 25 21 26 22 23 23 26 24 25
El resultado del producto de dos potencias de la misma base se puede expresar como otra potencia de esa misma base, ¿cómo podemos encontrar el exponente del resultado?
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) La multiplicación 32 × 34 se puede expresar como una potencia de 3, ¿cuál es el ex-ponente de esta potencia?
b) La multiplicación 47 × 45 se puede expresar como una potencia de 4, ¿cuál es el ex-ponente de esta potencia?
c) La multiplicación (2a)(2b) se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el
ex-ponente de esta potencia?
MAT2 B4 S24.indd 103 9/10/07 12:39:41 PM
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen porqué se suman los exponentes en un producto de potencias de la misma base; es decir, que esto es así porque se cuentan cuántos factores de la base aparecen en total.
Respuestas. a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2. b) Hay 5. c) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2. d) Hay 6. e) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2× 2 × 2 × 2 × 2. f) Hay 10.
Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos escriban en los incisos a), c) y e) sólo el resultado numérico (por ejemplo, para el inciso e) 128 × 8=1 024); si esto sucede, invítelos a que expresen cada una de las potencias escribiendo todos los factores, pues eso les permitirá identificar el número total de factores para cada potencia.
Propósito de la actividad. Que los alumnos sean capaces de generalizar la regla de los exponentes para multiplicar potencias de la misma base y que la expresen de manera verbal y de manera algebraica.
Sugerencia didáctica. Con el propósito de que los alumnos se percaten de que el procedimiento que se muestra con la base 2 es el mismo para otras bases, usted puede pedir a los alumnos que hagan una tabla similar para cualquier otra base.
Respuestas.
a) 6 b) 12 c) a + b
Sugerencia didáctica. Es importante que comente el último inciso con sus alumnos, pues su propósito es establecer la regla algebraica. Usted puede plantear otro ejemplo utilizando otra base y letras distintas.
22 23 24 25
24 25 26 27
24 25 27 28
25 26 27 28 29
104
secuencia 24
A lo que llegamos
En un producto de potencias de la misma base el resultado es igual a la misma base elevada a la suma de los exponentes
(an)(am) = an+m
Por ejemplo:
27 × 210 = 27+10 = 217
iii.Expresen como potencia de la misma base el resultado de los siguientes productos de potencias:
a)28 × 24 = b)52 × 59 = c)75 × 712 = d)(3a)(3b) =
e)(n3)(n2) = f)(ma)(mb) =
Lo que aprendimos
1. Relaciona las columnas ( )3 × 3 × 3 × 3 × 3 ( )23× 24 ( )26 ( )23 + 24 (a)14 (b)64 (c)53 (d)24 (e)47 (f)35 (g)48 (h)27 (i) 12
2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia: a)36 × 33 = b)52 × 56 = c)210 × 25 = d)81 × 87 = e) (7 × 7 × 7) × (7 × 7) = f) (63) × (6 × 6 × 6) = g)213 × 21 = h)45 × 42 × 46 = i)31 × 312 × 37 =
MAT2 B4 S24.indd 104 9/10/07 12:39:42 PM Sugerencia didáctica. Usted puede sugerirles
que agreguen algunos ejemplos más.
Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes al multiplicar potencias de la misma base.
Integrar al portafolios. Con la actividad 1 usted puede identificar si los alumnos confunden todavía la potencia con la multiplicación; si esto es así, revise junto con ellos cada uno de los casos para que distingan la
expresión de una suma reiterada mediante una multiplicación, y la expresión de un producto de potencias de la misma base.
Con la actividad 2 usted puede identificar si cometen algunos errores en la aplicación de la regla de los exponentes que acaban de aprender; en ese caso revise junto con ellos nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión.
Sugerencia didáctica. En los dos últimos ejercicios el maestro puede sugerirles que realicen la primera multiplicación y luego la otra. Si lo considera pertinente, puede comentar en grupo que ahí se generaliza la regla y se suman los tres exponentes.
212 511 717 3a + b n5 m a + b f h b d 39 58 215 88 75 66 214 413 320
105
II
MATEMÁTICAS
POTENCIAS DE POTENCIAS
Para empezar
En la sesión anterior realizaste productos de potencias de la misma base. En esta sesión harás potencias de potencias.
Consideremos lo siguiente
Calcula el resultado de las siguientes potencias de potencia. Todos los resultados se pue-den expresar como una potencia, encuentra cuál es.
Operación Expresa el resultado como una potencia de la misma base (22)3 = =2 (24)2 = = 2 (52)2 = =5 (33)2 = =3 (23)3 = =2
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el exponente con el que expresaron el resultado.
Manos a la obra
I. Responde las preguntas.
a) Señala cuál de los tres procedimientos siguientes es correcto para encontrar el resultado de (23)3.
(23)3 = (6)3=216. (23)3 = (2)6 = 64. (23)3= (8)3 = 512.
b) El resultado se puede expresar como una potencia de 2, ¿cuál es el exponente? •
• •
SESIÓN 2
MAT2 B4 S24.indd 105 9/10/07 12:39:42 PM
Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y justificar procedimientos para calcular potencias de potencias enteras positivas.
Propósito de la actividad. Que los alumnos calculen numéricamente el resultado de las potencias de potencias y que, posteriormente, encuentren la potencia con la que puede expresarse ese resultado.
Posibles procedimientos. Un primer reto que los alumnos deben enfrentar es ¿cómo interpretar la expresión que se les plantea? Por ejemplo, ¿qué quiere decir (22)3? Anime a los alumnos a que expresen su interpretación planteando las operaciones que consideren necesarias. Además del cálculo numérico, otras formas de responder son las siguientes: (22)3 = (2 × 2) (2 × 2) (2 ×2) (22)3 = 22 × 22 ×22
En el primer caso pueden contar el número de factores para encontrar el resultado, mientras que en el segundo pueden sumar los exponen-tes. Respuestas. (22)3 = 43 = 64 = 26 (24)2 = 162 = 256 = 28 (52)2 = 252 = 625 = 54 (33)2 = 272 = 729 = 36 (23)3 = 83 = 512 = 29
Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos trabajan, usted puede observarlos para identificar dos o tres formas distintas de resolver. Posteriormente puede pedir a algunos de esos alumnos que pasen al pizarrón a mostrar cómo resolvieron algunos de los ejercicios. Destaque aquellas expresiones que sean distintas pero correctas, e invite a los alumnos a identificar las que sean erróneas.
Propósito de la actividad. Confrontar los errores más comunes que suelen cometer los alumnos al evaluar las potencias: confundir una potencia con una multiplicación, y sumar los exponentes en una potencia de potencia.
Respuestas.
a) El procedimiento correcto es el tercero. b) El exponente es 9.
c) El primer procedimiento es incorrecto porque se está multiplicando la base por el exponente. El segundo procedimiento es incorrecto porque se están sumando los exponentes.
Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que argumenten por qué consideran que un procedimiento es correcto o incorrecto.
106
secuencia 24
c) Explica dónde está el error en los dos procedimientos que no señalaste.
ii. Responde las preguntas.
a) Expresa las siguientes multiplicaciones como una potencia de potencia:
23 × 23 × 23 × 23 = (23)
64 × 64 × 64 × 64 × 64 × 64 × 64 = (64) b) Desarrolla la siguiente potencia de potencia:
(32)5 = × × × × × × × × ×
32 × 32 × 32 × 32 × 32
c) ¿Cuántos3se están multiplicando en total? d) Desarrolla (53)2
(53)2 = ×
53 × 53
e) ¿Cuántos5 se están multiplicando en total?
Comparen sus respuestas. Comenten: la potencia de potencia (53)4 se puede expresar como una potencia de base 5, ¿cuál es el exponente?
iii.Expresa como potencia el resultado de las siguientes potencias de potencias: a)(32)7 = b) (56)3 =
c)(27)1 = d)(n4)8 = e)(2a)b = f)(ma)b =
El resultado de una potencia de potencia, se puede expresar como otra potencia de esa misma base, ¿cómo podemos encontrar el exponente del resultado?
MAT2 B4 S24.indd 106 9/10/07 12:39:43 PM Propósito de la actividad. Que los alumnos
identifiquen una potencia de potencia y que justifiquen porqué se multiplican los exponentes en una potencia de potencia.
Respuestas. a) (23)4 (64)7 b) 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3× 3 × 3 × 3 × 3. c) 10 d) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 e) 6
En la confrontación grupal se espera que el grupo identifique que hay que multiplicar 12 veces el 5. Si hay dificultades puede hacerse un proceso similar al que se propone en la actividad:
(53)4 = (53) × (53) × (53) × (53) = 5 × 5 × 5 × × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5× 5 = 512
Propósito de la actividad. Establecer algebraicamente la regla de la potencia de potencia. Para encontrar el exponente del
resultado se multiplican los exponentes. 314 518
27 n 32
2a b m a b
Sugerencia didáctica. Acepte dos o tres intervenciones de los alumnos y anótelas en el pizarrón. Resalte las diferencias que hubiera y si no saben cuál es la respuesta correcta, sigan resolviendo y regresen a esta parte cuando terminen la sesión.
107
II
MATEMÁTICAS
A lo que llegamos
En una potencia de potencia, el resultado es igual a la base elevada al producto de los exponentes.
(an)m = anm
Por ejemplo:
(85)3= 85 × 3=815
Lo que aprendimos
1.Relaciona las columnas ( )52 × 53 ( )52 + 53 ( )(52)3 (a)30 (b)56 (c)255 (d)150 (e)55 (f)25 (g)256
2.Expresa el resultado de las siguientes operaciones como una potencia: a)(36)1 = b)(51)4 =
c)(210)5 = d)(42)6 = e)(34)2 = f)(27)5 = g)((23)2)4 = h)((32)5)7 =
MAT2 B4 S24.indd 107 9/10/07 12:39:44 PM
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que agreguen algunos ejemplos más.
Integrar al portafolios. En caso de que algunos alumnos cometan errores en el primer ejercicio, particularmente en el caso de la potencia de potencias, trate de identificar cuáles son los errores y coméntelos durante la comparación de resultados (por ejemplo, sumar los exponentes o considerar sólo uno de los exponentes).
Sugerencia didáctica. En los dos últimos casos se tiene que aplicar la regla dos veces
consecutivas. Usted puede comentar en grupo que en estas situaciones se generaliza la regla, por lo que se multiplican los tres exponentes.
36 54
250 412
38 235
224 370
Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular potencias de potencias.
e d b
108
secuencia 24
COCIENTES DE POTENCIAS
Para empezar
En las sesiones anteriores realizaste productos de potencias de la misma base y potencias de potencias. En esta sesión harás cocientes de potencias de la misma base.
Consideremos lo siguiente
Encuentra el resultado de los siguientes cocientes de potencias de la misma base y ex-présalo utilizando una potencia:
Operación Expresa el resultado como una potencia de la misma base 25 22=324= = 2 34 32 = =3 2 2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 22 × 2 × 2 × 2 = =2 24 27 = 16128= = 1 2 3 3 = 3 × 3 3 × 3 × 3 × 3= = 1 3 22 28= = 1 2
Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el resultado de cada cociente y cómo encontraron los exponentes que faltaban.
Manos a la obra
i. Encuentra el resultado de los siguientes cocientes y exprésalo como una potencia de la misma base.
a) 2262 = 644= = 2
b) 3343 = = c) 2273 = =
Recuerda que:
Para simplificar una fracción, se divide por el mismo número al numerador y al denominador.
Por ejemplo: 246 = = 14
÷ 6 ÷ 6
Entonces246 y14son equivalentes.
SESIÓN 3
MAT2 B4 S24.indd 108 9/10/07 12:39:46 PM Propósito de la sesión. Elaborar, utilizar y
justificar procedimientos para calcular cocientes de potencias enteras positivas de la misma base.
Propósito de la sesión en el aula de medios.
Realizar el cociente de potencias enteras positivas de la misma base.
Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 3.
Propósitos de la actividad. Que los alumnos calculen numéricamente el resultado de los cocientes de potencias y que identifiquen cuál es el exponente de algunas potencias; que expresen el resultado mediante una potencia.
Posibles dificultades. Es probable que algunos alumnos tengan dificultades para simplificar las fracciones, si esto es así, usted puede ayudarles a recordar cómo se hace esto (en la siguiente actividad se les aclara). Lo importante es que en este momento los alumnos tengan la oportunidad de explorar cómo se obtiene el resultado de un cociente de potencias de la misma base, y para ello se les dan algunas pistas en algunos de los casos de la misma tabla. Más adelante se les muestra el procedi-miento correcto. Respuestas. 8 = 23 81 9 = 9 = 3 2 26 24 = 64 16 = 4 = 2 2 1 8 = 1 23 32 34 = 9 81 = 1 9 = 1 32 22 28 = 4 256 = 1 64 = 1 24
Sugerencia didáctica. Si hubo dificultades para simplificar las fracciones, dedique un poco más de tiempo a revisar con los alumnos cómo se hace esa simplificación apoyándose en la información del marco Recuerda que; si lo considera pertinente, usted puede mostrar otros ejemplos en el pizarrón o pedir a algunos alumnos que simplifiquen otras fracciones.
Respuestas. a) 16 =24 b) 81 27 = 3 = 3 1 c) 128 8 = 16 = 2 4 d) 1 = 1
109
II
MATEMÁTICAS
d) 3323 = 927 = = 1 3 e) 2236 = = f) 3327 = =II.En un cociente de potencias, se puede expresar cada potencia como una multiplica-ción y, para simplificar, se separan los factores:
26
22 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 22 × 2 = 22× 22× 2 × 2 × 2 × 2 a) ¿Cuál es el resultado de 2
2?
b) Completa las operaciones con el resultado de 22:
26
22 = 22× 22× 2 × 2 × 2 × 2 = × × 2 × 2 × 2 × 2 = c) El resultado lo podemos expresar como una potencia de 2:
26
22= 2
d) En el siguiente cociente de potencias, completa los resultados para simplificar los factores:
23
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 22 × 2 × 2 = 22× 22× 22× 12× 12= × × × 12× 12 = e) Expresa el resultado utilizando una potencia de 2:
23
25 =
1 2
f) Completa las operaciones y encuentra el resultado:
2
2 = 2 × 2 × 2 × 2 × 22 × 2 × 2 × 2 × 2 =
g) 2277 =
III.Expresa el resultado de los siguientes cocientes utilizando una potencia de la misma base.
a) 2294 =
MAT2 B4 S24.indd 109 9/10/07 12:39:47 PM
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen por qué se restan los exponentes en un cociente de potencias.
Con frecuencia se utiliza la cancelación de factores diciendo frases como “este factor se va con éste” o “cancelamos estos factores”, lo que lleva a los alumnos a pensar que todos los factores del numerador o del denominador se anulan, y que el resultado es 0.
En esta actividad se hace explícito que no se está cancelando, sino que, al separar los factores, algunas divisiones dan como resultado 1. También se explora el resultado de un cociente de potencias de la misma base en el que los exponentes son iguales.
a) 2 2 = 1 b) 26 22 = 2 2 × 2 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1 × 1 × 2 × × 2 × 2 × 2 = 16 c) 26 22 = 2 4 d) 23 25 = 2 2 × 2 2 × 2 2× 1 2× 1 2 = = 1 × 1 × 1 × 1 2 × 1 2 = 1 4 e) 23 25 = 1 22 f) 25 25 = 2 2 × 2 2× 2 2× 2 2× 2 2 = 1 g) 27 27 = 1
Sugerencia didáctica. Se espera que los alumnos ya hayan identificado que es necesario restar los exponentes. Si no es así, usted puede sugerirles que realicen sus procedimientos como se hizo en la actividad anterior.
a) 29 24 = 2 5 b) 38 31 = 3 7 c) 54 58 = 1 54 d) 48 414 = 1 46
110
secuencia 24
b) 3381 = c) 5548 = d) 44148 =
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) ¿Cuál es la relación entre los exponentes del cociente y el exponente del resultado?
b) ¿Cuál es el resultado de5599?
A lo que llegamos
• En un cociente de potencias de la misma base, cuando el exponente en el numerador es mayor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a la misma base elevada a la diferencia de los exponentes.
En general, sin > m. an am=an−m Por ejemplo: 613 65 = 6 13−5 = 68
• Cuando el exponente en el numerador es menor que el exponente en el denominador, el resultado es igual a una fracción con numerador igual a uno y con denominador igual a una potencia de la misma base elevada a la diferencia de los exponentes. En general, sin < m. an am= 1 am−n Por ejemplo: 74 712= 712−41 = 178
• Si los dos exponentes son iguales, el resultado es igual a uno. En general, an an = 1 Por ejemplo: 96 96 = 1 MAT2 B4 S24.indd 110 9/10/07 12:39:49 PM Respuestas. Para encontrar los exponentes del
resultado se deben restar los exponentes del cociente.
El resultado de 59 59 es 1.
Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos, posteriormente pídales que agreguen en sus cuadernos algunos ejemplos distintos a los que se muestran en cada uno de los casos.
Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular el cociente de potencias.
111
II
MATEMÁTICAS
Lo que aprendimos
Expresa el resultado de los siguientes cocientes de potencias. Utiliza una potencia de la misma base. a) 3394 = b) 5 12 53 = c) 2281 = d) 4 3 43 = e) 6629 = f) 3 6 311= g) 221111 = h) 8 10 821= i)m18 m9 = j) a 7 a15
EXPONENTES NEGATIVOS
Para empezar
En la sesión anterior encontraste el resultado de cocientes de potencias. En esta sesión trabajarás con exponentes negativos.
Consideremos lo siguiente
Completen los resultados y respondan las preguntas:
26 25 24 23 22 21 20 2−1 2−2 2−3 2−4 2−5 2−6 2−7
4 2 12 14
a) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 24 al resultado de 23? b) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 22 al resultado de 21? c) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2−1 al resultado de 2−2? d) ¿Entre cuánto se divide para pasar del resultado de 2−2 al resultado de 2−3? Comparen sus respuestas. Comenten cómo hicieron para encontrar el resultado de 20 y de las potencias con exponente negativo.
SESIÓN 4
MAT2 B4 S24.indd 111 9/10/07 12:39:50 PM
Propósito de la sesión. Interpretar el significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que hay un patrón en las potencias consecutivas: siempre se multiplica por dos o se divide entre dos. Se les da el resultado de dos potencias negativas para que los alumnos puedan intuir que el patrón se continúa hacia los negativos.
Posibles dificultades. Es probable que algunos alumnos no sepan cuál es el resultado que corresponde a 20, pero pueden responder identificando el patrón. En actividades posteriores de esta misma sesión, tendrán oportunidad de justificar el resultado de esa potencia.
Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos comenten entre ellos y que estén todos de acuerdo en las respuestas de la tabla, pues ésta puede servirles de apoyo para actividades posteriores. Usted puede sugerirles que revisen sus resultados considerando que siempre se hace la misma operación para pasar de una potencia a la siguiente. 35 59 27 1 1 67 1 35 1 8111 m9 1 a8
Propósito de la sesión en el aula de medios.
Realizar productos y cocientes de potencias enteras, fraccionarias, positivas y negativas. Si se dispone de aula de medios, esta actividad puede realizarse en lugar de la sesión 4.
Entre 2 Entre 2 Entre 2 Entre 2 64 32 16 8 1 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128
112
secuencia 24
Manos a la obra
i. Entre dos potencias consecutivas, como las de la tabla, siempre se hace la misma operación para pasar de una potencia a la siguiente. Completen los resultados. a) 1 8 = 1 2 = 2 −3 b) 1 16 = 1 2 = 2 c) 1 32 = 1 2 = 2 d) 1 64 = 1 2 = 2
ii. Completen lo que falta en la tabla y respondan las preguntas:
33 32 31 3−2 3−3 3−4
1 13
a) Los resultados de 312 y de 3−2, ¿son iguales o son diferentes? b) ¿Cuánto es el resultado de 30?
iii.Encuentren los resultados de las siguientes potencias. Exprésalos sin utilizar otra potencia. a)50 =
b)5−2 = c)5−4 =
Comparen sus respuestas. Hagan una tabla como las anteriores para verificar sus resultados.
A lo que llegamos
Una potencia con exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador es uno y cuyo denominador es una potencia de la misma base con exponente igual al valor abso-luto del exponente negativo. Si n > 0
a-n = 1 an
Una potencia con exponente cero es igual a uno. a0 = 1
MAT2 B4 S24.indd 112 9/10/07 12:39:52 PM Propósito de la actividad. Establecer la
relación entre una potencia de exponente negativo y un cociente en el que el numerador es 1 y el denominador es una potencia de la misma base con exponente positivo.
Respuestas. a) 1 8 b) 1 8 = 1 23 = 2 –3 c) 1 32 = 1 25 = 2 –5 d) 1 64 = 1 26 =2 –6
Propósito de la actividad. Establecer el mismo patrón para potencias de base 3: siempre se divide entre 3 para pasar de una potencia a la siguiente. Respuestas. a) Son iguales. b) Es 1. Respuestas. a) 1 b) 1 25 c) 1 625
Sugerencia didáctica. En caso de que identifique en sus alumnos dificultades para resolver esta actividad, proponga que hagan una tabla parecida a las anteriores para las potencias de base 5, la actividad puede ser resuelta entre todo el grupo.
Sugerencia didáctica. Usted puede sugerirles que escriban otros ejemplos.
Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.
30 3–1
113
II
MATEMÁTICAS
IV.Encuentren los exponentes que faltan. a) 72 76 = 1 7 = 7 b) 8 815= 1 810= 8 c) 26 2 = 1 2 = 2 –18 d) a1 a5 = 1 a =a e) 38 38= 1 = 3 f) 4 46 = 1 = 4 g)610 610= 6 h) 53 50= 5
A lo que llegamos
En cualquier cociente de potencias de la misma base, el resultado es igual a una poten-cia de la misma base elevada a la diferenpoten-cia de los exponentes. En general
an am= an-m Por ejemplo: 815 89 = 815-9 = 86 67 612 = 67-12 = 6-5 54 54 = 54-4 = 50= 1
V.Expresen el resultado de cada cociente utilizando una potencia de la misma base. a) 511 516 = 5 b) 7 8 719 = 7 c) aa46 = a d)b 15 b27 = b e) 221124 = 2 f) 2 4 211 = 2 MAT2 B4 S24.indd 113 9/10/07 12:39:54 PM
Propósito de la actividad. Generalizar la regla para un cociente de potencias de la misma base: para obtener el resultado se restan los exponentes del cociente.
Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan resuelto, enfatice aquellos casos en los que resulta el exponente cero, pues es otra oportunidad para que los alumnos puedan justificar porqué una potencia con exponente cero es igual a la unidad.
Respuestas. a) 72 76 = 1 74 = 7 –4 b) 85 815 = 1 810 = 8 –10 c) 26 224 = 1 218 = 2 –18 d) a1 a5 = 1 a4 = a –4 e) 38 38 = 1 = 3 0 f) 46 46 = 1 = 4 0 g) 610 610 = 1 = 6 0 h) 53 50 = 125 1 = 5 3
Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en su cuaderno otros ejemplos que ilustren esta regla.
Respuestas. a) 5–5 b) 7–11 c) a–2 d) b–12 e) 27 f) 2–7
Propósito del interactivo. Que los alumnos exploren diferentes ejemplos para comprobar la generalidad de la regla de los exponentes para calcular el cociente de potencias de la misma base.
114
secuencia 24
Lo que aprendimos
1. Encuentra el resultado de las siguientes potencias. Exprésalos sin utilizar otra potencia. a)3−4 = b)2−8 =
c)2−1 = d)9−2 = e)5−2 = f)30 = g)150 = h)4−1 =
2. Relaciona las columnas de manera que los resultados sean los mismos ( ) 2223 (a)3−2 ( ) 3357 (b)3−8 ( )3339 (c)2−4 ( ) 2277 (d)2−1 ( ) 2248 (e)3−6 ( )33102 (f)20 ( ) 2279 (g)2−2
3. Calcula las siguientes potencias de diez, utiliza números decimales cuando sea necesario.
104 103 102 101 100
10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6
MAT2 B4 S24.indd 114 9/10/07 12:39:55 PM Integrar al portafolios. Considere las tres
actividades que se proponen en este apartado para valorar los aprendizajes de los alumnos. En caso de que identifique dificultades en la resolución, resuelva algunos de los ejercicios apoyándose en tablas y en los análisis como los que se presentan en la actividad II del apartado Manos a la obra; asimismo, revise nuevamente con ellos los apartados A lo que llegamos de esta sesión.
Respuestas.
El resultado puede expresarse con una fracción o con números decimales.
a) 1 34 = 1 81 b) 1 28 = 1 256 c) 1 21 = 1 2 d) 1 92 = 1 81 e) 1 52 = 1 25 f) 1 g) 1 h) 1 41 = 1 4
Propósito de la actividad. Hallar el resultado de las potencias de 10; estos resultados podrán utilizarse en la siguiente sesión. Los alumnos pueden encontrar los resultados obteniendo primero los resultados como fracción y luego convirtiéndolos a número decimal; también pueden ir dividiendo entre 10 para obtener el resultado de cada potencia.
Respuestas. 104 = 10000 103 = 1000 102 = 100 101 = 10 100 = 1 10–1 = 0.1 10–2 = 0.01 10–3 = 0.001 10–4 = 0.0001 10–5 = 0.00001 10–6 = 0.000001 d a e f c b g
115
II
MATEMÁTICAS
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para empezar
Números muy grandes y muy pequeños
¿Cuál es la masa del Sol? ¿Cuál es el tamaño de un átomo? Para manipular y hacer ope-raciones con cantidades muy grandes o muy pequeñas se utiliza la notación científica. Respondan las preguntas.
a) ¿Cuántos ceros hay después del 1 en 104? b) ¿Cuántos ceros hay después del 1 en 1029? c) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal en 10−6? d) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal en 10−42?
Consideremos lo siguiente
Las cantidades muy grandes o muy pequeñas las podemos expresar utilizando po-tencias de 10. Completa la siguiente tabla.
Medida utilizando una potencia Medida expresada de diez
Distancia media de la
Tierra a la Luna km 3.8 × 105 km Distancia media de la
Tierra al Sol 150 000 000 km 1.5 × km Año luz (distancia que
recorre la luz en un año) 9 500 000 000 000 km × 1012 km Tamaño de un bacteria 0.005mm × 10−3 mm Tamaño de un virus mm 1.8 × 10–5 mm Tamaño de un átomo 0.0000000001 mm mm
Comparen sus respuestas. Comenten cómo son los números que multiplican a las potencias de 10 en la tabla.
Recuerda que: Al multiplicar números decimales, una manera de saber dónde colocar el punto decimal es sumando el número de cifras que hay a la derecha del punto decimal en el primer factor y en el segundo factor, y en el resultado poner esa cantidad de cifras decimales. Por ejemplo:
1.2 × 0.7 = 0.84, ya que
12 × 7 = 84 y hay dos cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores. Cuando hagan falta lugares para poner el punto en el lugar adecuado se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:
2.841 × 0.00005 = 0.00014205, ya que
2 841 × 5 = 14205 y hay ocho cifras en total a la derecha del punto decimal, en los dos factores.
SESIÓN 5
MAT2 B4 S24.indd 115 9/10/07 12:39:56 PM
Propósito de la sesión. Utilizar la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Sugerencia didáctica. Comente la situación que se plantea con los alumnos, e invítelos a plantear otras situaciones en las que es necesario trabajar con cantidades demasiado pequeñas o demasiado grandes. Seguramente hallarán ejemplos en algunos de los temas que han tratado en las clases de Ciencias, también es probable que en algunas de las actividades comerciales o productivas de la región se presenten cantidades de ese tipo.
Descripción del video. Se dan los contextos necesarios para entender situaciones en las que se utilizan números muy grandes o muy pequeños.
Propósito de la actividad. Que los alumnos generalicen los resultados obtenidos en el ejercicio 3 del apartado Lo que aprendimos de la sesión anterior, para encontrar la relación entre las potencias de 10 y el resultado expresado en números decimales. Respuestas. a) 4 b) 29 c) 6 d) 42
Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que lean la información que se les presenta en el marco Recuerda que. Si lo considera necesario, puede comentar esa información con todo el grupo y resolver el primer renglón de la tabla como un ejemplo.
Posibles procedimientos. Algunos alumnos podrían buscar los resultados realizando las operaciones con papel y lápiz, otros podrían usar la calculadora. Durante la comparación de resultados, invite a unos y a otros a mostrar al grupo cómo completaron la tabla. Usted puede aprovechar el momento para que los alumnos aprendan a utilizar la calculadora para hacer operaciones con exponentes. Es importante aclarar a los alumnos que una desventaja de las calculadoras es que, la mayoría de ellas, sólo puede presentar 8 dígitos en la pantalla, por lo que es probable que les presente la palabra error en la pantalla si tratan de trabajar con más de 8 dígitos. 380 000 108 9.5 5 0.000018 1 × 10–10 También 10–10
116
secuencia 24
Manos a la obra
i. Realiza las multiplicaciones.
5.153 × 100 = 5.153 × 101 = 5.153 × 102 = 5.153 × 103 = 5.153 × 104 = 5.153 × 1010 = 5.153 × 1015 = 5.153 × 1020 =
Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una potencia de 10 con exponente positivo:
ii. Realiza las multiplicaciones.
7.25 × 10–1 = 7.25 × 0.1 = 0.725
7.25 × 10–2 = 7.25 × 0.01 =
MAT2 B4 S24.indd 116 9/10/07 12:39:56 PM Propósito de la actividad. Que los alumnos se
den cuenta de que hay un patrón cuando multiplicamos por potencias de 10 con exponente positivo: el punto se va recorriendo hacia la derecha, en ocasiones es necesario agregar ceros al resultado. Usted puede recordarles que, en el caso de los números que no tienen cifras después del punto decimal, el punto está hasta la derecha, aunque no se coloque explícitamente.
Sugerencia didáctica. Si lo considera conveniente, usted puede organizar la comparación de resultados de esta tabla antes de pasar a la siguiente actividad.
Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que hay un patrón cuando multiplicamos por potencias de 10 con exponente negativo: el punto se va recorriendo hacia la izquierda. 5.153 51.53 515.3 5153 51530 51530000000 5153000000000000 515300000000000000000 0.0725
Sugerencia didáctica. Solicite un voluntario para leer su texto frente al grupo. Escriba en el pizarrón las frases que puedan ser mejoradas y pida al resto del grupo que las comenten. Cuando terminen, reescriban la regla entre todos.
117
II
MATEMÁTICAS
7.25 × 10–3 = 7.25 × 10–4 = 7.25 × 10–5 = 7.25 × 10–6 = 7.25 × 10–10 = 7.25 × 10–15 = 7.25 × 10–22 = 7.25 × 10–30 =Escribe una regla para realizar multiplicaciones cuando uno de los factores es una potencia de 10 con exponente negativo:
III.Realiza las siguientes multiplicaciones. Utiliza las reglas que escribiste. a)1.9164 × 107 =
b)4.4 × 1018 = c)2.57 × 10−8= d)9.23 × 10−21 =
Comparen sus respuestas. Entre todos escriban en el pizarrón una regla para multiplicar números cuando uno de los factores es una potencia de 10.
MAT2 B4 S24.indd 117 9/10/07 12:39:57 PM 0.00725 0.000725 0.0000725 0.00000725 0.000000000725 0.00000000000000725 0.000000000000000000000725 0.00000000000000000000000000000725
Propósito de la actividad. Que los alumnos logren identificar que no es necesario realizar la multiplicación con lápiz y papel o con la calculadora, basta con recorrer el punto decimal tantos lugares como sea necesario.
Respuestas.
a) 19164000
b) 4400000000000000000 c) 0.0000000257
d) 0.00000000000000000000923
Sugerencia didáctica. Utilice la misma estrategia que con la regla anterior para lograr tener una regla común.
118
secuencia 24
A lo que llegamos
Lanotación científica es una convención para expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Un número está en notación científica cuando se expresa de la forma
a × 10n
Dondea es un número mayor que 1 y menor que 10 y n es un número entero. Por ejemplo, los siguientes números están en notación científica:
1.76 × 1015 4.034 × 10–8
Cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 con exponente positivo, el
punto se recorre hacia la derecha tantos lugares como el valor del exponente. Si es nece-sario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:
1.76 × 1015 = 1 760 000 000 000 000
El punto se recorre hacia la derecha 15 lugares
Cuando multiplicamos un número por una potencia de 10 con exponente negativo, el
punto se recorre hacia la izquierda tantos lugares como el valor absoluto del exponente: Si es necesario, se completa la cantidad con ceros. Por ejemplo:
4.034 × 10–8 = 0.00000004034
El punto se recorre hacia la izquierda 8 lugares
iV.Responde las preguntas
a) La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Seña-la cuál de Seña-las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación científica.
• 525 × 106km. • 5.25 × 109km.
• 5.25 × 108km. • 525 × 108km.
MAT2 B4 S24.indd 118 9/10/07 12:39:58 PM Sugerencia didáctica. Como una actividad
adicional, usted puede pedir a los alumnos que busquen en el periódico, en revistas o en las páginas electrónicas y en los libros que se señalan en el apartado Para aprender más, datos numéricos expresados con la notación científica o que ellos mismos los expresen de esa manera. Con esa información pueden hacer un cartel de Datos interesantes y
exhibirlo en el salón o en el periódico mural de la escuela.
Propósito del interactivo. Reconocer números representados en notación científica.
Practicar la representación de números muy pequeños y muy grandes usando notación científica.
Respuestas.
a) 5.25 × 108 km. b) 3 × 10–4 mm.
119
II
MATEMÁTICAS
b) Una célula mide aproximadamente 0.0003 mm. Señala cuál de las siguientes ex-presiones es igual a esta cantidad en notación científica.
• 3 × 10–3mm. • 0.3 × 10–3mm. • 0.3 × 10–4mm. • 3 × 10–4mm.
V.Relaciona las columnas para que cada número quede expresado en notación científica: ( )56 712 000 000 000 000 (a)6.1 × 10–11 ( )0. 0000000000061 (b)3.88 × 1022 ( )388 000 000 000 000 000 000 000 (c)8.54 × 10–20 ( ) 0. 0000000000000000000854 (d)5.6712 × 1015 (e)3.88 × 1023 (f)8.54 × 10–19 (g)5.6712 × 1017 (h)6.1 × 10–13 (i)8.54 × 10–21 (j)6.1 × 10–12 (k)5.6712 × 1016 (l)3.88 × 1024 Comparen sus respuestas.
MAT2 B4 S24.indd 119 9/10/07 12:40:00 PM
k j e c
120
secuencia 24
Lo que aprendimos
1. Expresa en notación científica los siguientes números.
a)1 200 000 = b)73 000 000 000 000 =
c)37 850 000 = d)0.0000009 =
e)0.000000000828 = f)0.003371 =
2. Señala con una cuáles de los siguientes números están en notación científica. ( )5.65 × 1023 ( )5 650 000 ( )56.5 × 10234 ( )17 × 10–11 ( )1.7 × 10–16 ( )0.0000000000017 ( )325.435 × 105 ( )0.65 × 1034 ( )0.003 × 10–8 3. Completa la siguiente tabla.
Medida en notación científicaMedida expresada
Masa de la Tierra 5.974 × 1024 kg
Masa del Sol 1 989 100 000 000 000 000 000 000 000 000 kg 1.9891 × kg Vida media de un muón
(partícula similar a un
electrón) 0.0000022 s × 10
–6s
Masa de un protón 1.6 × 10–27kg
4. Expresa en notación científica el resultado de las siguientes multiplicaciones: a)(4 × 105) × (3 × 108) =
b)(1.3 × 104) × (7 × 106) = c)(8 × 10–4) × (6 × 10–3) = d)(5 × 108) × (2.1 × 10–2) =
5. Para conocer más sobre el cálculo con exponentes y potencias pueden ver el programa Leyes de los exponentes y notación científica.
MAT2 B4 S24.indd 120 9/10/07 12:40:00 PM Integrar al portafolios. Considere los
ejercicios 1 y 4 para valorar los aprendizajes de los alumnos. Si identifica que aún tienen dificultades, revise junto con sus alumnos algunos de los incisos (unos de potencias positivas y otros de potencias negativas) y analícelos de manera similar a como se presenta en las actividades I y II del apartado Manos a la obra. Comente nuevamente con los alumnos el apartado A lo que llegamos de esta sesión.
Posibles errores. Algunos alumnos podrían responder que 0.65 x 1034 está en notación científica; esto es erróneo porque 0.65 no es un número entre 1 y 10. Usted puede recomendar-les que lean nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión y que identifiquen las condiciones para que se considere que un número está en notación científica.
Posibles procedimientos. Algunos alumnos encontrarán el resultado numérico de las multiplicaciones y posteriormente lo expresarán en notación científica. Por ejemplo:
(4 × 105) × (3 × 108) = 400 000 × 300 000 000 = 120 000 000 000 000 = 1.2 × 1014 Otros alumnos se darán cuenta de que se puede multiplicar aparte los números y las potencias de diez, pero es posible que no expresen el resultado final en notación científica. Por ejemplo: (4 × 105) × (3 × 108) = 12 × 1013 1.2 × 106 7.3 × 1013 3.785 × 107 9 × 10–7 8.28 × 10–10 3.371 × 10–3
¸
¸
5 974 000 000 000 000 000 000 000 kg 1030 2.2 0.0000000000000000000000000016 kg 1.2 × 1014 9.1 × 1010 4.8 × 10–6 1.05 × 107Propósito del programa integrador 19.
Ejemplificar las leyes de los exponentes y explicar el uso de la notación científica para manejar y operar cantidades muy grandes o muy pequeñas.
Se transmite por la red satelital Edusat. Consultar la cartelera para saber horario y días de transmisión.
121
II
MATEMÁTICAS
Para saber más
Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. “Potencias, chismes y cadenas”, “Unidades astronó-micas y microscópicas”, “Numerotes” y ”Un número muy grande” enUna ventana al infinito. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Tonda Mazón, Juan. “Potencias de diez” y “Notación científica” enLa medición y sus unidades. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
122
secuencia 25
En esta secuencia estudiarás los criterios de congruencia de triángulos.
tres lados iguales
Para empezar
Figuras congruentes
En geometría, a las figuras que son iguales se les llama figuras congruentes. Una forma de verificar la congruencia entre dos o más figuras geométricas es sobreponiéndolas y ver que coincidan.
Lo anterior significa que dos polígonos son congruentes si se puede hacer corresponder los lados y los ángulos de uno con los lados y los ángulos del otro, de manera que: a) Cada lado de uno de los polígonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro
polígono, y
b) Cada ángulo interno de uno de los polígonos mida lo mismo que su correspondiente en el otro polígono.
Consideremos lo siguiente
Construyan y recorten dos triángulos cuyos lados midan lo mismo que los siguientes segmentos:
sesión 1
Triángulos
congruentes
MAT2 B4 S25.indd 122 9/10/07 12:40:34 PM Propósito de la sesión. Identificar el criterio
Lado, Lado, Lado (LLL) para la congruencia de triángulos.
Propósito de la actividad. Que los alumnos se familiaricen con el término figuras congruentes y que identifiquen las condiciones para que dos polígonos sean congruentes.
Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos puedan enunciar las condiciones para que dos polígonos sean congruentes, pues esos criterios les permitirán trabajar con el resto de las actividades de esta secuencia.
Descripción del video. Se dan las condiciones para que dos polígonos sean congruentes. Se utilizan los recursos visuales para comparar polígonos distintos, sobreponiendo lados, ángulos y figuras completas para verificar si son congruentes o no.
Posibles procedimientos. Para trazar el triángulo algunos alumnos podrían medir los segmentos y después intentar construir el triángulo al tanteo.
Permita que lo construyan como puedan, posteriormente puede recordarles que hay formas de construir el triángulo utilizando regla sin graduación y compás.
Propósito del interactivo. Explorar la congruencia de triángulos con el criterio Lado, Lado, Lado.
Eje
Forma, espacio y medida.
Tema
Formas geométricas.
Antecedentes
Desde la primaria los alumnos se han familiariza-do con la reproducción de figuras consideranfamiliariza-do su tamaño y forma. En el libro Matemáticas I, volumen I, en la secuencia 5 Simetría, estudiaron las características de la congruencia de figuras: segmentos correspondientes iguales y ángulos correspondientes iguales; en la secuencia 19 Existencia y unicidad del volumen II, estudiaron los criterios para determinar si existe un triángulo a partir de ciertas medidas de los lados, y si existe sólo una solución o varias.
Propósito de la secuencia
Determinar los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.
Sesión Propósitos de la sesión Recursos
1
Tres lados iguales
Identificar el criterio Lado, Lado, Lado (LLL) para la congruencia de triángulos. Video Figuras congruentes Interactivo Congruencia de triángulos 2
Un ángulo y dos lados correspondientes iguales Identificar el criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) para la congruencia de triángulos.
Interactivo Congruencia de triángulos
123
II
MATEMÁTICAS
a) ¿Pudieron construir un triángulo cuyos lados midan lo mismo que los tres segmentos dados? ¿Por qué?
b) ¿Los triángulos que construyeron son congruentes o son diferentes?
c) ¿Cómo son las medidas de los lados de uno de los triángulos respecto a las medidas de los lados del otro triángulo?
d) ¿Cómo son las medidas de los ángulos de uno de los triángulos respecto a las medidas de los ángulos del otro triángulo?
e) ¿Creen que se pueda construir un triángulo con la misma medida de lados y que sea diferente a los que construyeron?
Comparen sus respuestas.
Manos a la obra
I. En la siguiente figura, el segmento AB mide 7cm y el radio de la circunferencia con centro en A mide 5 cm. Elijan tres puntos de la circunferencia que no sean colineales con A y B, y denótenlos como C1, C2 y C3, respectivamente.
Recuerden que:
Tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta.
A B
Recuerden que: Un triángulo se puede denotar por las letras asignadas a sus tres vértices. Así el triángulo
O P Q se denota como el triángulo OPQ. MAT2 B4 S25.indd 123 9/10/07 12:40:34 PM
Sugerencia didáctica. Apoye la formulación de argumentos por parte de sus alumnos recordán-doles algunas de las propiedades de los triángulos que estudiaron en primero: dados tres segmentos, es posible construir un triángulo si la suma de las medidas de cualesquiera dos segmentos es mayor que la medida del tercero. Invite a las parejas de alumnos a que comparen los triángulos que construyeron; se espera que identifiquen que todos los triángulos son iguales, en caso de que alguna pareja piense que es posible construir triángulos diferentes con las medidas que se les dieron, en las siguientes actividades tendrán oportunidad de confrontar sus afirmaciones.
Propósito de la actividad. Que logren identificar que tener como datos dos lados de un triángulo no lo determina.
Sugerencia didáctica. Es importante que lea y comente con sus alumnos la información sobre cómo se denota un triángulo para que puedan contestar las preguntas que después se les plantean.
Las medidas que se les solicitan de cada uno de los lados dependerán de los puntos que los alumnos hayan elegido en la circunferencia. sí
son congruentes iguales
iguales no
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secuencia 25
a) Tracen el triángulo ABC1, ¿cuánto mide el lado BC1?
b) Tracen el triángulo ABC2, ¿cuánto mide el lado BC2?
c) Tracen el triángulo ABC3, ¿cuánto mide el lado BC3?
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) ¿Cómo son los triángulos entre sí: congruentes o distintos?
b) ¿Pueden construir más triángulos que tengan un lado de 7 cm de largo y otro de 5 cm y que sean diferentes entre sí? Constrúyanlos.
ii. En la siguiente figura el segmento O1O2 mide lo mismo que el segmento MN. El radio del círculo con centro O1 mide lo mismo que el segmento SP. Y el radio del círculo con
centro en O2 mide lo mismo que el segmento QR.
M n s P Q R O1 O2 Figura 1
Construyan dos triángulos cuyos lados midan lo mismo que de los segmentos MN, OP y QR. Usen al segmento O1,O2 como uno de los lados.
a) ¿Lograron elegir dos puntos que cumplieran con las condiciones pedidas? Justifiquen su respuesta
b) Midan los ángulos internos de los triángulos que construyeron y contesten, ¿cómo son entre sí las medidas de los dos triángulos?
Comparen sus respuestas. Midan los ángulos de los triángulos y verifiquen sus respuestas. Comenten: ¿podrán construir algún triángulo cuyos lados midan lo mismo que los segmentos MN, OP y QR pero las medidas de sus ángulos distintos sean distintas a las de los triángulos que construyeron?
A lo que llegamos
Dadas las medidas de los tres lados, todos los triángulos que se pueden construir con esas medidas son congruentes entre sí.
Si se toman solamente las medidas de dos lados, se puede construir muchos triángulos
diferentes entre sí que tengan dos lados con esas longitudes.
MAT2 B4 S25.indd 124 9/10/07 12:40:35 PM Sugerencia didáctica. Apoye la puesta en
común de los alumnos para que se percaten de que con esos dos datos (dos lados correspon-dientes iguales) es posible construir una infinidad de triángulos diferentes entre sí.
Propósito del interactivo. Que los alumnos recuerden cómo se puede construir con regla no graduada y compás un triángulo cuyos lados midan lo mismo que tres segmentos dados.
Propósito de la actividad. Que los alumnos recuerden cómo se puede construir con regla no graduada y compás, un triángulo cuyos lados midan lo mismo que tres segmentos dados.
Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos la definición de figuras congruentes: lados y ángulos correspondientes iguales.
Sugerencia didáctica. Comente esta informa-ción con los alumnos y ayúdeles a recordar que en Matemáticas I aprendieron que si se dan las medidas de los tres lados, es posible construir un triángulo único.
125
II
MATEMÁTICAS
III.Las medidas de los lados del triángulo ABC son iguales a las medidas de los lados del triángulo DEF.
Marquen del mismo color las parejas de lados que tienen la misma medida. Marquen del mismo color las parejas de ángulos iguales.
A
B C
D E
F
a) ¿Son congruentes los triángulos ABC y DEF?
Completen las siguientes afirmaciones para que sean verdaderas: b) El lado AB es el correspondiente del lado
c) El lado BC es el correspondiente del lado d) El lado CA es el correspondiente del lado e) El ángulo ABC es el correspondiente del ángulo f) El ángulo BCA es el correspondiente del ángulo g) El ángulo CAB es el correspondiente del ángulo
A lo que llegamos
Para que dos triángulos sean congruenteses suficiente que las medi-das de los tres lados de un triángulo sean iguales a las medimedi-das de los tres lados correspondientes de otro triángulo.
Éste es un criterio de congruencia de triángulos que se denota por
LLL.
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Sugerencia didáctica. Recuerde a los alumnos que en la notación de ángulos, la letra que aparece en medio de las otras dos denota el vértice del ángulo al que se hace referencia.
Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que, para verificar la congruencia de polígonos, es necesario comprobar la igualdad de ángulos y lados correspondientes, mientras que para verificar la congruencia de triángulos sólo se necesita comprobar la igualdad de lados correspondientes. sí DEF EFD FDE DE EF FD
126
secuencia 25
Lo que aprendimos
Justifica si en cada figura los triángulos resaltados son congruentes entre sí.
Paralelogramo Pentágono regular Papalote Heptágono irregular
un ángulo y dos lados
correspondientes iguales
Para empezar
En la sesión anterior aprendiste el criterio de congruencia LLL: dos triángulos son con-gruentes si las medidas de los tres lados de uno son iguales a las medidas de los tres lados correspondientes del otro. Para denotar que dos triángulos son congruentes se utiliza el símbolo . Y se escribe: OAB OCD. Y se lee: el triángulo OAB es congruente con el triángulo OCD.
Consideremos lo siguiente
Construyan dos triángulos de tal manera que dos lados de cada triángulo midan lo mis-mo que los segmentos dados y que el ángulo formado por esos dos lados mida 45°.
R s
u V
a) ¿Los triángulos que construyeron son congruentes o son diferentes?
b) ¿Creen que se pueda construir un triángulo distinto a los que constuyeron de tal manera que dos de sus lados midan lo mismo que los segmentos dados y que el án-gulo formado por esos lados mida lo mismo que el ánán-gulo dado?
Justifiquen su respuesta
Comparen y comenten sus respuestas.
sesión 2
MAT2 B4 S25.indd 126 9/10/07 12:40:37 PM Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una
copia de su respuesta a este ejercicio. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.
Respuesta. En el paralelogramo, los triángulos comparten un lado y, por definición, los otros dos lados correspondientes son iguales. En el pentágono regular cada triángulo tiene dos lados iguales a los lados del pentágono y el tercer lado es igual a una diagonal; por ser un polígono regular, todas las diagonales miden lo mismo.
En el papalote y en el heptágono irregular sus lados correspondientes no son iguales.
Propósito de la sesión. Identificar el criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL) para la congruencia de triángulos.
Sugerencia didáctica. Ayude a los alumnos a recordar distintas formas para obtener un ángulo de 45º: bisectar uno de 90°, trazar la diagonal de un cuadrado (estos procedimientos son con regla y compás), medir con el transpor-tador…
Una vez que hayan construido sus triángulos, anime a las parejas para que respondan a los incisos a) y b) y que después comparen sus respuestas grupalmente. En caso de que haya diferencias, en las siguientes actividades tendrán la oportunidad de verificar si están en lo correcto o no.
Propósito del interactivo. Explorar la congruencia de triángulos con el criterio Lado, Ángulo, Lado.
son congruentes
127
II
MATEMÁTICAS
Manos a la obra
I. Anoten las medidas de los lados y ángulos de los siguientes triángulos.
Triángulo 1 Triángulo 2 Triángulo 3 Triángulo 4
a) ¿Cuáles triángulos son congruentes entre sí? b) ¿Qué tienen en común los cuatro triángulos?
A lo que llegamos
Sidos lados de un triángulo miden lo mismo que sus correspondien-tesdos lados de otro triángulo, no podemos garantizar que los trián-gulos sean congruentes.
II.Los siguientes triángulos tienen un lado que mide 7cm, otro lado de 4cm y un án-gulo de 45º. En cada triángulo marquen de rojo el lado que mide 7cm, de negro el que mide 4cm y de azul el ángulo de 45°.
a) ¿Cuánto mide el tercer lado en cada triángulo?
b) ¿Hay alguna pareja de triángulos congruentes? ¿Cuál? c) ¿El triángulo A es congruente con el triángulo C? Justifica
tu respuesta
Triángulo A Triángulo B
Triángulo C
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Propósito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que la igualdad de dos lados correspondientes y de cualquier ángulo, no garantiza la congruencia.
Sugerencia didáctica. Enfatice con los alumnos la característica de que el ángulo igual no es, en todos los casos, el que forman los lados de 7cm y 4 cm.
Es importante que los alumnos argumenten su justificación, aunque no necesariamente tiene que ser la misma que está indicada como respuesta.
ninguno
un lado de 4cm y otro de 3cm
sí B y C
no no tienen sus tres lados iguales
128
secuencia 25
A lo que llegamos
Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes con la misma
medida y un ángulo igual, no necesariamente son congruentes.
iii.El siguiente triángulo tiene un lado de 5cm, otro lado de 3cm y el ángulo formado por esos dos lados mide 45º.
a) Marquen los lados que miden 5cm y 3cm y el ángulo entre ellos. b) ¿Cuánto mide su tercer lado?
c) ¿Cuánto miden sus otros dos ángulos? y
d) ¿Los triángulos que construyeron en el apartado Consideremos lo siguiente son congruentes con éste?
A lo que llegamos
Si dos triángulos tienen dos lados correspondientes iguales y el ángu-lo entre ellos es igual al ángulo entre los correspondientes, entonces los triángulos son congruentes.
Éste es un segundo criterio de congruencia de triángulos que se deno-ta por LAL.
Lo que aprendimos
Construyan un triángulo isósceles y tracen la bisectriz de uno de sus ángulos. a) ¿En cuántos triángulos quedó dividido el triángulo isósceles? b) ¿Cómo son esos triángulos entre sí?
Justifiquen su respuesta
c) ¿Pasará lo mismo si trazan cualquiera de las otras dos bisectrices? ¿Por qué?
MAT2 B4 S25.indd 128 9/10/07 12:40:38 PM Sugerencia didáctica. Enfatice a los alumnos
que el ángulo igual es el que se forma por los lados iguales.
Sugerencia didáctica. Subraye el hecho de que para establecer que dos triángulos son congruentes, es suficiente identificar la igualdad de tres de los seis elementos del triángulo, aunque esos tres elementos deben cumplir ciertas condiciones.
Integrar al portafolios. Pida a los alumnos una copia de su respuesta a este ejercicio. Si tienen dificultades repasen la información del apartado A lo que llegamos.
Respuesta.
a) En dos triángulos
Las respuestas en los demás incisos dependen de si la bisectriz la trazaron por el ángulo desigual del triángulo isósceles o por uno de los ángulos que son iguales.
A D B C A E B C Caso I Caso II