#Desarrollo. La derivada corta al eje X en x= 1 y en x=2. También muestra un valor mínimo entre x=0 y x=1.

(1)

#

Desarrollo

Criterio de la segunda derivada.

En la secuencia anterior obtuviste los puntos críticos de una función, los cuales podían ser máximos, mínimos y en algunos casos, puntos de inflexión, Esto lo lograste siempre y cuando la pendiente de la recta tangente en ellos fue horizontal, dicho en otras palabras, cuando la derivada se iguala a cero, pero no es la única forma de hacerlo.

A continuación se presentará el criterio de la segunda derivada, con él también se pueden clasificar los puntos críticos, pero más aún, se puede obtener los puntos donde cambia de concavidad una función, es decir, los puntos de inflexión de la misma.

Para deducir el criterio, se analizará el siguiente ejemplo. Ejemplo 1. Graficar la función x 2x 2 2 1 x 3 1 ) x

(f ₌ 3₋ 2₋ ₊ _{y su derivada, además, la derivada de la derivada, es decir, la segunda} derivada, para identificar los puntos donde cambia de comportamiento la función.

Primero se obtendrá la primera y segunda derivada de la función f(x), y posteriormente, se utilizará el graficador Geogebra para trazar ambas gráficas y comparar los puntos de cambio de comportamiento de la función.

2 x 2 x 2 1 x 3 1 ) x (f ₌ 3₋ 2₋ ₊ _f_′₍_x₎₌_x2₋_x₋₂ _f_′′₍_x₎₌₂_x₋₁

En esta función, se observa un máximo relativo en x=−1 y un mínimo relativo en x=2.

También muestra un punto de inflexión entre x=0 y x=1. En el intervalo de

(

−∞,−1

)

la función es creciente. En el intervalo de

(

− ,12

)

la función es decreciente. En el intervalo de

(

2,∞

)

la función es

La derivada corta al eje X en x=−1 y en x=2.

También muestra un valor mínimo entre x=0 y x=1.

En el intervalo de

(

−∞,−1

)

la derivada es positiva, está por encima del eje X.

En el intervalo de

(

− ,12

)

la derivada es negativa, está por debajo del eje X.

En el intervalo de

(

2,∞

)

la derivada

La segunda derivada es negativa en x=1 y positiva en x=2.

(2)

A continuación se graficarán la función, su primera y segunda derivada en el mismo plano, para ver la correspondencia de los puntos críticos entre ella y establecer la forma en que se pueden encontrar los puntos de inflexión.

Como se puede observar en esta imagen y con el análisis por separado de las tres funciones, presentado con anterioridad, se deduce que el punto de inflexión de la función se puede obtener cuando la segunda derivada de la función se iguala a cero, pero además, también se puede deducir que la función tiene un máximo si su segunda derivada evaluada en el número crítico, es negativa, y tiene un mínimo cuando la segunda derivada evaluada en el número crítico es positiva.

A continuación se formalizará éste criterio.

Criterio de la segunda derivada:

1. Una función f

( )

x es cóncava hacia abajo en un intervalo, si la segunda derivada, f′′

( )

x existe y además f′′

( )

x <0 en todo el

intervalo.

2. Una función f

( )

x es cóncava hacia arriba en un intervalo, si la segunda derivada, f′′

( )

x existe y además f′′

( )

x >0 en todo el

intervalo.

3. Una función f

( )

x tiene un punto de inflexión en x=a, si

( )

a 0

f′′ = y además, antes y después de éste, cambia de concavidad la función.

Ejemplo 2.

Determina si la función f

( )

x ₌x4₋6x2₊4_{tiene valores máximos o mínimos y puntos de inflexión, utilizando el criterio} de la segunda derivada.

Primero, se obtendrá la primera derivada, para obtener los valores críticos.

f(x) f

’

(x) f

’’

(x)

(3)

( )

x 4x 12x f 4 x 6 x x f 3 2 4 − = ′ + − =

Ahora se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación.

( )

(

)

3 x ó 3 x 3 x 0 x 3 x 4 0 x 0 3 x ó 0 x 4 0 3 x x 4 0 x 12 x 4 0 x 12 x 4 x f 2 2 2 3 3 = − = ± = = = = = − = = − = − = − = ′

Se obtuvieron tres puntos críticos y se clasificarán utilizando el criterio de la segunda derivada, para ello, se obtiene la segunda derivada de la función.

( )

x 12x 12 f x 12 x 4 x f 4 x 6 x x f 2 3 2 4 − = ′′ − = ′ + − =

Número crítico Punto crítico f′′

( )

x _Concavidad

3 x=−

(

)

(

3, 5

)

3 f , 3 − − − − f′′

(

− 3

)

=12

(

− 3

)

2−12=24

(

3

)

>0 f′′− Cóncava hacia abajo 0 x=

(

₍

( )

₎

)

4 , 0 0 f , 0 f′′

_{( )}

0 =12

_{( )}

02−12=−12

( )

0 <0 f′′ Cóncava hacia arriba 3 x=

(

₍

( )

₎

)

5 , 3 3 f , 3 −

( )

3 12

( )

3 12 24 f′′ = 2− =

( )

3 >0 f′′ Cóncava hacia abajo

Ahora hay que obtener los puntos de inflexión, para ello, se debe resolver la ecuación f′′

( )

a =0.

( )

1 x ó 1 x 1 x 1 x 12 x 12 0 12 x 12 0 12 x 12 x f 2 2 2 2 = − = ± = = = = − = − = ′′

Como antes y después de x=−1 la función sufrió un cambio de concavidad, así como antes y después de x=1, debido

a la información que se proporcionó en la tabla, se puede decir que estos dos establecen puntos de inflexión. Para mayor claridad, se mostrará la siguiente tabla:

(4)

3

x=− x=−1 x=0 x=1 x= 3

( )

3 >0

f′′ f′′

( )

−1 =0 f′′

( )

0 <0 f′′

( )

1 =0 _f′′

( )

₃ _>₀

(

− 3,−5

)

(

− ,1−1

)

(

0,4

)

(

,1−1

)

(

₃_,−₅

)

Cóncava hacia arriba

(Mínimo) Punto de inflexión Cóncava hacia abajo (Máximo) Punto de inflexión Cóncava hacia arriba (Mínimo)

Al graficar la función, se comprueban los resultados anteriores.

El valor mínimo que toma la función es −5, y los puntos críticos que lo establecen son mínimos absolutos. No existe un máximo absoluto debido a que la función crece infinitamente, pero en el punto ( 0, 4) se estableció un máximo relativo, porque se debe definir el intervalo donde no exista ningún valor más alto que él, para que sea máximo absoluto.

Sitios Web recomendados:

Ingresa a los siguientes sitios para que visualices las derivadas.

http://www.walter-fendt.de/m14s/deriv12_s.htm

http://www.geogebra.org/en/upload/files/SSBBNITRA/03_Graficas_derivada.ht ml

(5)

En equipo, desarrollen lo que se solicita.

I. Bosquejen la gráfica de cada una de las siguientes funciones, que cumplen con los requisitos descritos. 1. Punto crítico o de Punto crítico o de Punto crítico o de Punto crítico o de inflexión inflexión inflexión

inflexión f′

( )

x f′′

( )

x ClasificaciónClasificaciónClasificaciónClasificación

(

0,0

)

f′

( )

0 =0 f′′

( )

0 =0 _{Punto de inflexión}

(

2,−16

)

f′

( )

2 <0 f′′

( )

2 =0 _{Punto de inflexión}

(

3,−27

)

f′

( )

3 =0 f′′

( )

3 >0 _{Mínimo absoluto} 2. Punto crítico o de Punto crítico o de Punto crítico o de Punto crítico o de inflexión inflexión inflexión

inflexión f′

( )

x f′′

( )

x ClasificaciónClasificaciónClasificaciónClasificación

(

0,0

)

f′

( )

0 =∃ f′′

( )

0 =∃ _{Mínimo relativo}

(

₄_,₂3₄

)

_f_′

_{( )}

₄ ₌₀ _f_′′

_{( )}

₄ ₌₀ _{Máximo relativo}

(6)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 2 Producto: Gráficas. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimental ProcedimentalProcedimental ActituActituActituActitudinaldinaldinaldinal Reconoce los puntos críticos o de

inflexión de una función.

Elabora la gráfica de una función a partir de la obtención de los puntos críticos o de inflexión de una función.

Es respetuoso con las

aportaciones de sus compañeros y se interesa por expresar su opinión.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente

II. Dada la siguiente gráfica, complementen la tabla posterior, tomando en cuenta los siguientes aspectos:

1. Determinen los puntos críticos e inflexión.

2. Clasifiquen en máximos o mínimos (absolutos o relativos).

3. Para cada punto crítico o de inflexión encontrado, determinen el valor de la primera y segunda derivada.

Punto crítico o de

inflexión f′

( )

x f′′

( )

x Clasificación

(7)

$

Cierre

En equipo, realicen lo que se solicita.

I. Encuentren los puntos críticos de las siguientes funciones, clasifíquenlos utilizando la segunda derivada de la función.

II. Auxíliense de la primera y segunda derivada de la función, para calcular los puntos de inflexión, si es que existen.

1. T(x)=2x3−6x2+3

2. Q(x)=

(

x−4

)

23 4x

3. P(x)=−

(

x+3

)

4−1

(8)

4. g(x)=xLn x 5. 1 x x 1 x ) x ( U ₂ + + + = 6. x 16 x ) x ( L ₌ 2₋

Actividad: 3 (continuación)

(9)

8. W(x)₌x4₊4x3 ₊2x₊2

9. K(x)₌5x3

(

4₋x

)

10. (fx)₌x2₊6x₊8

(10)

II. Escriban en la línea la función que corresponde a cada gráfica, auxiliate de los resultados que obtuviste en la sección anterior.

___________________________ __________________________ ___________________________ ___________________________ __________________________ ___________________________

Actividad: 3 (continuación)

(11)

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad: 3 Producto: Ejercicios. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Reconoce los criterios de la

primera y segunda derivada para encontrar los puntos críticos o de inflexión de una función.

Aplica los criterios de la primera y segunda derivada, para calcular los puntos críticos o de inflexión de una función.

Es respetuoso con las

aportaciones de sus compañeros y se interesa por expresar su opinión.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el _docente

Sitios Web recomendados:

Ingresa a los siguientes sitios para que visualices los puntos críticos, entre otras cosas.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node8.html

http://www.mathresource.iitb.ac.in/applet/Derivative/index.html http://webs.ono.com/vimanmon/mat/funciones.html