OPCIONES
La opción es "un contrato que da derecho a su poseedor o titular (el que compró la opción), a comprar o vender un activo determinado y a un precio determinado, durante un periodo o una fecha prefijada; y obliga al lanzador de la opción (el que vendió la opción), a vender o comprar el activo, cuando el titular de la opción así lo requiera". Vencido el plazo de vigencia de la opción el derecho y la obligación expiran.
Términos y Nomenclatura
a.- Activo subyacente (S): es el activo sobre el que se instrumenta la opción (para efecto de este apunte, y a menos que se indique lo contrario, el activo subyacente siempre va a ser una acción).
b.- Precio de ejercicio (K): es el precio al que debe efectuarse la compra o venta del activo subyacente, según corresponda, en caso de ejercerse el derecho otorgado por la opción.
c.- Titular o Comprador de la Opción: inversionista que adquiere el derecho a comprar/vender el activo subyacente.
d.- Lanzador o Vendedor de la Opción: inversionista que crea o emite la opción, y a través e ella asume la obligación de vender/comprar el activo subyacente si así lo requiere el comprador de la opción.
e.- Prima (Ct o Pt): es el precio al cual se transa la opción y se determina en el mercado
(rueda). La prima la paga el comprador por los derechos que otorga la opción y el vendedor la recibe por las obligaciones que ella genera.
f.- Ejercicio de la opción: operación a través de la cual el titular ejerce el derecho de comprar o vender el activo subyacente, según corresponda, al precio prefijado.
g.- Fecha actual (t): cualquier fecha antes del vencimiento de la opción.
h.- Vencimiento (*): es el día en que expira el derecho a ejercer la opción.
i.- Cierre de posición: es la operación realizada en algún momento previo al vencimiento, donde el titular de una opción efectúa una venta de una opción de la
misma serie, o el lanzador de una opción efectúa una compra de una opción de la misma serie.
j.- Márgenes: cantidad de dinero (o valores) que el lanzador de la opción debe depositar en la Cámara de Compensación. Este depósito tiene el objetivo de servir como garantía de que el vendedor cumplirá con las obligaciones asumidas en caso de ser requerido por el titular de la opción.
En un contrato de opción, los derechos y obligaciones son distintas para el comprador que para el vendedor, por lo tanto, el riesgo que ellos asumen también son distintos. El comprador de la opción sólo posee derechos, en cambio, el lanzador de la opción sólo posee obligaciones, entonces, ¿por qué un agente económico vende una opción?: porque estima que la compensación monetaria (prima) que recibe de parte del comprador justifica el riesgo que asume.
Clasificación de las opciones
Opciones de compra (Call): opción que otorga a su titular, por un plazo establecido, el derecho a comprar el activo subyacente a un precio prefijado. Y el lanzador de la Call, asume la obligación a vender el activo si el titular ejerce su derecho.
Opciones de venta (Put): opción que otorga a su titular, por un plazo establecido, el derecho de vender el activo subyacente a un precio prefijado. Y el lanzador de la Put, asume la obligación a comprar el activo si el titular ejerce su derecho.
Resumen de los derechos y obligaciones para los compradores y lanzadores de opciones
Los derechos y obligaciones que tienen los titulares y lanzadores de opciones Call y Put son las siguientes:
Tiene el derecho a comprar el activo subyacente Comprador Tiene que pagar una prima
No tiene que constituir márgenes Opción Call
Tiene la obligación de vender el activo subyacente Vendedor Recibe la prima
Debe constituir márgenes
Tiene el derecho a vender el activo subyacente Comprador Tiene que pagar una prima
No tiene que constituir márgenes Opción Put
Tiene la obligación de comprar el activo subyacente Vendedor Recibe la prima
Debe constituir márgenes Opciones según fecha de ejercicio
Dependiendo de la fecha cuando una opción puede ser ejercida, éstas se clasifican en: Opciones Americanas: es aquella opción que puede ejercerse en cualquier momento desde el día siguiente a la fecha de compra y hasta la fecha de vencimiento.
Opciones Europeas: este tipo de opción sólo se puede ejercer en su fecha de vencimiento.
Valor de una opción Call al vencimiento
El valor de una opción es la prima que está dispuesta a pagar por ella los inversionistas. ¿Cuánto vale una opción al vencimiento?, o dicho de otro modo, una opción al vencimiento ¿tiene algún valor para su titular?. Como la opción es un derecho, esta sólo se va a ejercer si resulta conveniente para su titular:
La Opción Call: sólo se ejerce al vencimiento si el valor del activo subyacente es mayor que el precio de ejercicio, es decir, si S* > K y el valor de la opción será: C* = S* - K, en caso contrario, no tendrá valor alguno (cuando S* ≤ K, ya que la opción no se ejercerá).
Ejemplo N° 1
El día 04/enero la acción CTC-A tiene un precio de $3.115. Se transan opciones Call sobre ella, con vencimiento el día 25/marzo, a un precio de ejercicio es $3.225.- Un inversionista compra una opción Call y paga $20. ¿Cuánto vale la opción Call al vencimiento?
Datos: 04/enero: St = $3.115 K = $3.225 Ct = $20 C* = ¿ ?
Claramente el día 04/enero la opción Call tiene un valor de $20, por ello el inversionista está dispuesto a pagar esa cantidad y el emisor de la opción queda conforme con recibir esos $20 por la obligación que asume.
Al vencimiento, 25/marzo: el valor de la opción Call depende del precio, que en ese instante, tenga la acción CTC-A en el mercado; si la acción vale más que $3.225, entonces la opción Call conviene ejercerla, y por lo tanto, tendrá un valor positivo para su titular (ya que se pude comprar en $3.225 una acción que en el mercado vale más que esa cantidad); en cambio, si la acción vale menos o igual que $3.225, entonces, la opción no se ejercerá, y por lo tanto, tendrá un valor de $0 (ya que resulta más barato comprar la acción directamente en el mercado accionario que en vez de pagar los $3.225 en caso de ejercer la opción).
Si S* = 3.250 entonces la opción vale C* = 3.250 - 3.225 = $25. En este caso, si el titular ejerce la opción estará comprando en $3.225 "algo" que vale $3.250, y con ello estará obteniendo un beneficio de $25 (que corresponde al valor de la opción Call al vencimiento). El valor de la opción Call al vencimiento no es el beneficio neto para este inversionista, ya que habría que restarle los $20 que pagó el 04/enero cuando adquirió la opción Call.
Si S* = 3.220 entonces la opción vale C* = $0. En este caso, el titular no ejerce la opción, ya que estaría comprando en $3.225 "algo" que en el mercado accionario puede comprarlo a $3.220.
Entonces, en términos generales, el valor de la opción Call al vencimiento es: K)
S max(
C* = 0 , * −
En el caso de una opción Put, esta sólo se ejerce si el valor del activo subyacente es menor que el precio de ejercicio, es decir, si: S* < K y el valor de la opción será: P* = K - S*, en caso contrario, no tendrá valor alguno (cuando S* ≥ K, ya que la opción no se ejercerá).
Valor de una opción Put al vencimiento
Si en ejemplo N° 1 también se transan opciones Put a $15, con un precio de ejercicio de $3.220, ¿cuánto vale la Put al vencimiento?
Datos: 04/enero: St = $3.115 K = $3.220 Pt = $15 P* = ¿ ?
Al igual que en caso de la opción Call, el 04/enero el valor de la opción Put es de $15, que es precio vigente en el mercado de opciones.
Al vencimiento, 25/marzo: el valor de la opción Put depende del precio, que en ese instante, tenga la acción CTC-A en el mercado; si ella vale menos que $3.220, entonces la opción Put conviene ejercerla, y por lo tanto, tendrá un valor positivo; en cambio, si la acción vale $3.220 o más, entonces la opción no se ejercerá, y por lo tanto, tendrá un valor de $0.
Si S* = 3.200 entonces la opción vale P* = 3.220 - 3.200 = $20. En este caso, si el titular ejerce la opción estará vendiendo en $3.220 "algo" que vale $3.200, y con ello estará obteniendo una ganancia de $20 (que corresponde al valor de la opción Put al vencimiento). El valor de la Put al vencimiento no es el beneficio neto para este inversionista, ya que habría que restarle los $15 que pagó el 04/enero cuando adquirió la opción Put.
Si S* = 3.225 entonces la opción vale P* = $0. En este caso, el titular no ejerce la opción, ya que estaría vendiendo en $3.220 "algo" que en el mercado accionario puede venderlo a $3.225.
Entonces, en términos generales, el valor de la opción Put al vencimiento es: )
, K-S max(
P* = 0 *
Diagrama de los beneficios netos de una opción al vencimiento
a.- Comprar una opción Call (gráfico N° 1): por ejemplo, si se compra una opción Call en Ct = $10 y con un precio de ejercicio de K = $50.
En este caso, mientras la acción tenga un precio menor o igual a $50, la opción no se va a ejercer. Y la ganancia será de $0, y a ello habría que restarle los $10 que se pagaron cuando se adquirió la opción, por lo tanto, el beneficio neto será de -$10 (como los $10 iniciales están en distinto instante del tiempo, habría que agregarle los costos financieros, pero para simplificar los cálculos, y siguiendo la misma metodología usualmente usada en este caso, se pasará por alto esa situación).
A partir, de un precio del activo superior a $50 resultará conveniente ejercer la opción. Así por ejemplo, si el precio es $51, se ejerce la opción y se obtiene un beneficio, por ese hecho, de $1, pero por otro lado, se había desembolsado $10 al comprar la opción, con lo que el beneficio neto será de -$9.
Tal como lo indica el gráfico N° 1, las pérdidas están acotada a un nivel máximo de $10 (esto ocurre cuando la opción no se ejerce); pero a partir de un precio de $50, por cada $1 en que aumente el precio del activo, los beneficios también aumentan en $1, no existiendo ninguna cota superior, es decir, los beneficios pueden aumentar hasta el infinito (la pendiente de la línea de beneficios netos es de 45°).
GRAFICO N° 1 C O M P R A D E U N A O P C IO N D E C O M P R A Ct = $1 0 K = $ 5 0 -10 -5 0 5 10 15 20 25 0 5 1 0 1 5 20 25 3 0 3 5 40 45 50 55 6 0 6 5 70 75 80 85 P R EC IO A C C IO N (S * ) BENEFI C IO NETO ( $
b.- Vender una opción Call (gráfico N° 2): por ejemplo, vender una opción Call en Ct = $10 y con un precio de ejercicio de Kt = $50.
El invertir en opciones es un "juego de sumas cero", es decir las ganancias de un inversionista (por ejemplo, el que compró la opción Call) constituyen la pérdida del que tomó la posición contraria (del emisor de la opción Call. Lo mismo ocurre con las opciones Put como se verá más adelante).
Mientras el activo tenga un precio inferior a $50 el poseedor de la opción Call no la va a ejercer, y por lo tanto, el emisor por este concepto tendrá una pérdida de $0, a la que habría que agregarle los $10 que recibió al vender la opción Call, con ello su beneficio neto será de $10.
A partir de un precio del activo superior a $50, la opción Call la van a ejercer. Por ejemplo, si el precio es de $51, por este concepto el emisor perderá $1 (ya que está vendiendo en $50 "algo" que vale en el mercado accionario $51), y al sumarle los $10 recibidos al inicio, su beneficio neto es de $9.
Como se aprecia en el gráfico N° 2, para el emisor de la opción Call, las ganancias netas están acotadas a un nivel máximo de $10, en cambio las pérdidas pueden llegar hasta infinito. GRAFICO N° 2 VE N T A D E U N A O P C IO N D E C O M P R A Ct = $10 K = $50 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 P RECIO ACCIO N (S * ) BENEFI C IO NETO ( $
c.- Comprar una opción Put (gráfico N° 3): por ejemplo, comprar una opción Put en Pt = $10 y con un precio de ejercicio de Kt = $50.
El tenedor de la opción Put la ejerce sólo si el precio del activo es menor que el precio de ejercicio, en este caso, si es menor que $50. En el caso extremo, que el activo tuviese un valor de $0, obtendría un beneficio por este concepto de $50 (estaría vendiendo en $50 "algo" que en el mercado accionario no tiene valor), y si a ello se le resta los $10 que pagó al adquirir la opción, su beneficio neto será de $40. De allí para adelante, por cada $1 de aumento en el precio del activo, su beneficio neto disminuirá en $1.
Cuando el activo tiene un precio de $45, por ejercer la opción gana $5 y al restarle los $10 pagados, el beneficio neto es de -$5. A partir de un precio del activo de $50, la opción ya no la va a ejercer, y con ello, el beneficio neto será una pérdida de $10, que corresponde al monto pagado al inicio.
Tal como se aprecia en el gráfico N° 3, en este caso, tanto los beneficios como las pérdidas están acotadas.
GRAFICO N° 3 C O M P R A D E U N A O P C IO N D E V E N T A Pt = $10 K = $50 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 P RECIO ACCIO N (S * ) BENEFI C IO NETO ( $ )
d.- Vender una opción Put (gráfico N° 4): por ejemplo, vender una opción Put en Pt = $10 y con un precio de ejercicio de Kt = $50.
Mientras el precio del activo sea menor que $50, le van a ejercer la opción Put y estará obligado a comprar en $50 "algo" que en el mercado accionario vales menos que $50, con lo que tendrá una pérdida. A ello habría que agregarle los $10 que recibe al inicio cuando emite la Put. Por lo tanto, las pérdidas netas alcanzarán un nivel máximo de $40 e irán disminuyendo en $1 por cada $1 en que aumente el precio del activo.
Cuando el activo tiene un precio igual o superior a $50, la opción no se la van a ejercer, y por lo tanto su beneficio neto alcanzará a los $10, que corresponden al pago recibido al inicio. GRAFICO N° 4 VE N T A D E U N A O P C IO N D E VE N T A Pt = $10 K = $50 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 P RECIO ACCIO N (S * ) BENEFI C IO NETO ( $ )
Factores a considerar en la valoración de la prima de una opción
Los precios de ejercicios lo fija la Bolsa donde se transa la opción al momento de abrir una nueva serie de opciones. Los precios de ejercicios se fijan en función de un porcentaje que define la Bolsa, el cual estará en directa relación con la variabilidad histórica del precio del activo.
Con esto, lo que determinan los inversionistas, es el valor de la prima que deberá pagar el comprador de la opción al vendedor de la opción.
Los factores que influyen en la prima de una opción:
FACTORES CALL PUT
Precio activo subyacente (S)
∂∂S > 0 Ct 0 < ∂ ∂ S Pt Exógenos Volatilidad ( σ) ∂ > 0 ∂
σ
Ct > 0 ∂ ∂σ
Pt Tasa de interés (r) ∂∂Crt > 0 ∂∂Prt < 0 Dividendos (D) ∂∂CDt <0 ∂∂DPt >0 Endógenos Plazo (T) ∂ > 0 ∂ T Ct 0 <=> ∂ ∂ T Pt Precio de ejercicio (K) ∂∂CKt < 0 ∂∂KPt >0a.- Precio activo subyacente
Si hoy día una acción tiene un precio de $60, será más probable que dentro de tres meses tenga un precio de $70 que si hoy el precio se situara en $30. Por lo tanto, ceteris paribus mientras mayor sea el precio del activo hoy día, mayor es la probabilidad de ejercer una opción Call (con lo que la prima será más alta), y menor es la probabilidad de ejercer una opción Put (con lo que la prima será más baja).
b.- Volatilidad del precio del activo subyacente
En el caso que el activo subyacente sea una acción, la volatilidad se refiere a la dispersión del rendimiento, definiendo como rendimiento a las variaciones del precio. A mayor volatilidad mayor es la variación que puede tener el precio del activo subyacente. Si la variación de precio del activo subyacente se produce en un sentido favorable (aumento en el caso de las opciones Call o disminución en el caso de las
opciones Put), mayor valor intrínseco se tendrá al vencimiento. Pero si la variación de precios es en un sentido desfavorable (disminución de precios en el caso de las opciones Call y aumento de precios en el caso de las opciones Put) se perderá una parte o bien no habrá pérdida de valor intrínseco. Por lo tanto, una mayor volatilidad es atractiva tanto para los tenedores de opciones Call como de opciones Put.
c.- Precio de ejercicio
Ceteris paribus, mientras menor sea el precio de ejercicio, mayor es la probabilidad que el precio del activo subyacente lo supere, y por tanto, mayor es la probabilidad de ejercer la opción Call, y por ende, menor es la probabilidad de ejercer la opción Put. d.- Tasa de interés
Dado que el precio de ejercicio está expresado en moneda futura, a mayor tasa de interés, menor será el precio de ejercicio expresado en valor presente. Por lo tanto, mayor valor tendrá una opción Call y menor valor tendrá una opción Put.
e.- Plazo
A mayor plazo una opción tendrá mayor valor, ya que habrá mayor posibilidad de variación del precio del activo subyacente, y tal como se analizó en el caso de la volatilidad, si el precio cambia en un sentido favorable aumenta el valor intrínseco, pero si cambia en un sentido desfavorable se pierde parte del valor intrínseco en algunos casos y en otros casos, no pasa nada.
Pero el tiempo también tiene efecto en el valor presente del precio de ejercicio: a mayor tiempo, menor será el valor presente, por lo tanto, esto contribuye a un mayor valor de las opciones Call, en cambio, en las opciones Put, apunta a una disminución de su valor. Por ello, en este último caso no es tan claro cual debería ser el efecto final: ¿un aumento o una disminución del valor de la opción Put?.
f.- Dividendos (o cualquier pago que realiza el activo subyacente)
Cada vez que una acción paga dividendos disminuye su precio en un monto similar al dividendo repartido, por lo tanto, el pago de dividendos tiene un efecto negativo para el tenedor de la opción Call y positivo para el tenedor de la opción Put.
Paridad Put-Call para opciones europeas
Si se emiten opciones de tipo europeas Call y Put sobre el mismo activo subyacente, con el mismo precio de ejercicio y con el mismo vencimiento, entonces debe haber un equilibrio entre los valores de ambas:
) ( ) (K VP D VP S C Pt = t − t + +
VALORACIÓN DE LAS OPCIONES
Los modelos más conocidos para valorar opciones son:
a.- El Modelo de Black & Scholes (B&S), del año 1973, que sirve para valorar opciones de tipo europeas, y
b.- El Modelo Binomial, de Cox-Ross-Rubinstein, del año 1979, que sirve para valorar opciones de tipo americanas (aunque también se puede usar para opciones de tipo europeas).
Antes de aplicar estos modelos expliquemos exactamente qué debería reflejar el valor (o prima) de una opción: "debería reflejar el valor esperado de los beneficios futuros actualizados que la opción podría generar". Veamos esto a través de un ejemplo sencillo, que lo único que pretende es reflejar la idea del valor de la opción.
Ejemplo N° 1
Existen opciones Call de tipo europeas sobre una acción. El precio de ejercicio es de $500, el vencimiento dentro de 6 meses. Si la tasa de interés es 10% anual y la distribución de probabilidades para los precios de la acción dentro de seis meses es la siguiente, calcule el valor o prima a pagar por una opción Call de tipo europea.
Precio de la acción dentro de 6 meses Probabilidad de ocurrencia 450 10% 480 15% 510 25% 540 25% 570 15% 600 10% Solución:
Precio en T ¿Ejecuta la opción? Beneficio
450 no 0 480 no 0 510 si 10 540 si 40 570 si 70 600 si 100 Beneficio esperado = 0,25(10) + 0,25(40) + 0,15(70) + 0,10(100) = $33
Es decir, si sólo se pudiesen dar los resultados que indica la distribución de probabilidades, el tenedor de la opción Call esperaría obtener un beneficio de $33. Como ese beneficio esperado está dentro de 6 meses, el beneficio esperado actualizado es: 33(1,1)-0,5 = $31,46.
Por lo tanto, esa opción Call se debería transar en el mercado opcionario en $31,46. Tanto el modelo de B&S como el modelo Binomial, rescatan la misma idea, la diferencia está en el supuesto de la distribución de probabilidades del precio futuro del activo subyacente.
Modelo de Black & Scholes
Se basa en los siguientes supuestos:
a) La opción sólo puede ser ejecutada en la fecha de expiración.
b) No existe requerimientos de márgenes, impuestos o costos de transacción. c) La tasa de interés es constante.
d) La volatilidad del precio del activo subyacente es constante.
e) Sólo pueden haber cambios pequeños en el precio del activo subyacente en cortos períodos de tiempo.
Si: Ct = valor teórico de la prima de una opción Call. St = precio de mercado del activo subyacente. K = precio de ejercicio de la opción.
r = tasa de interés continua anual libre de riesgo. σ = volatilidad anual del precio del activo subyacente.
N(d1) = probabilidad acumulada hasta el índice superior d1 de una distribución normal estandarizada.
N(d2) = probabilidad acumulada hasta el índice superior d2 de una distribución normal estandarizada.
Entonces, la prima de una opción Call es: t tx x rT
x
e
d N K d N S C = ( 1)− ( 2) − donde, T T r K S Ln d x tσ
σ
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = 2 2 1 y d2 =d1−σ
x TEjemplo N° 2
Calcular la prima de una opción Call y de una opción Put a seis meses sobre una acción cuyo precio contado es $245, precio de ejercicio de $270 y volatilidad anual de 30%. La tasa de interés continua anual es 10%.
Datos: St = $245 K= $270 σ = 30% T = 0,5 año r = 10% 1165 , 0 5 , 0 3 , 0 5 , 0 2 3 , 0 1 , 0 270 245 2 1 =− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = x Ln d d2=−0,1165−0,3x 0,5=−0,3286 N(-0,1165) = 0,4550 N(-0,3286) = 0,3720 93 , 15 $ ) 372 , 0 ( 270 ) 455 , 0 ( 245 − 0,1(0,5) = =
e
− t CUsando la paridad Put-Call: Pt =15,93−245+270
e
−0,1(0,5) =$27,76Por lo tanto, la opción Call se debería transar en $15,93 y la opción Put en $27,76.
Modelo Binomial: sirve para Opciones de tipo Americana El modelo binomial se basa en los siguientes supuestos:
1.- la tasa de interés es positiva y constante en todos los períodos. 2.- no existen costos de transacción.
3.- mercados de opciones y del activo subyacente competitivos.
Este modelo supone que el precio del activo subyacente, en cada período, puede aumentar a u veces con una probabilidad de q%, o bien, puede disminuir a d veces con una probabilidad de (1-q)%. Y esto se repite período a período.
Así por ejemplo, si el precio del activo subyacente es $200, u = 1.2 , d = 0.9 y q = 60%, entonces, para el próximo período existe un 60% de probabilidad que el precio aumente a $200x1,2 = $240 y un 40% de probabilidad que el precio disminuya hasta $200x0,9 = $180.
En términos generales, el precio del activo subyacente para los siguientes dos períodos sería:
0 1 2 q S 1-q q uS dS 1-q q 1-q 2 2 u S udS d S
Si: r = 1+ tasa de interés; u d d r q − − = u d r u q − − = − ) 1 ( 0 1 2 t q C 1-q 2 2 ( ) (1 ) 0; ; ( ) (1 ) 0, ; ud u u ud d d q C q C q C máx uS K r C q C q C máx dS K r + − ⎧ ⎫ = ⎨ − ⎬ ⎩ ⎭ + − ⎧ ⎫ = ⎨ − ⎬ ⎩ ⎭ 1-q q 1-q 2 2 2 2 (0; ) (0; ) (0; ) u ud d C máx u S K C máx udS K C máx d S K = − = − = −
Esto significa que en cada período y estado de la naturaleza el valor de la opción Call es el máximo entre:
- cero,
- el valor intrínseco, o
- el valor esperado de la opción Call si esta se mantiene hasta el próximo período, expresado en valor presente.
Lógicamente, si el valor intrínseco es mayor que el valor esperado, conviene ejecutar de inmediato la opción.
Ejemplo N° 3
Sobre una acción que hoy día tiene un precio de $1.000, se emiten opciones Call, con un precio de ejercicio de $1.100 y con vencimiento dentro de tres períodos. La tasa de interés por período, es de 10%. En cada período es posible que el precio de la acción aumente en un 30% o bien, disminuya en un 30%. Determine el valor de la opción Call hoy día.
Cálculo de las probabilidades: 6667 , 0 7 , 0 3 , 1 7 , 0 1 , 1 = − − = q 1−q =1−0,6667 = 0,3333
Cálculo del precio del activo subyacente para los próximos dos períodos:
0 1 2 1.000 S = 1.300 700 uS dS = = 2 2 1.690 910 490 u S udS d S = = =
Cálculo del valor de la opción Call:
0 1 2 216,72 t C = 0,6667(590) 0,3333(0) 0;1.300 1.100; 357,58 1,1 0,6667(0) 0,3333(0) 0,700 1.100; 0 1,1 u d C máx C máx + ⎧ ⎫ = ⎨ − ⎬= ⎩ ⎭ + ⎧ ⎫ = ⎨ − ⎬= ⎩ ⎭ 2 2 (0;1.690 1.100) 590 (0;910 1.100) 0 (0;490 1.100) 0 u ud d C máx C máx C máx = − = = − = = − =
En este caso, opción la Call no se va a ejercer en forma anticipada, ya que siempre el valor esperado es mayor que su valor intrínseco. Y el valor teórico de la opción Call sería $216,72 72 , 216 1 , 1 ) 0 ( 3333 , 0 ) 58 , 357 ( 6667 , 0 + = = t C
En forma análoga se puede determinar el valor de una opción Put de tipo americana (recuerde que la paridad Put-Call sólo es válida para opciones de tipo europeas). En cada período y en cada estado de la naturaleza, el valor de la opción Put será el máximo entre cero, su valor intrínseco, o el valor esperado de la opción Put expresado en valor presente.
Ejemplo Nº 4
Con los mismos datos del ejemplo Nº 3, calcule el valor de la opción Put, suponiendo que estas se emiten con un precio de ejercicio de $1.100
Datos: St = $1.000 K = $1.100 r = 1,1 u = 1,3 d = 0,7 q = 0,6667 1-q = 0,3333
Cálculo del valor de la opción Put:
0 1 2 156,09 t P = 0,6667(0) 0,3333(190) 0;1.100 1.300; 57,57 1,1 0,6667(190) 0,3333(610) 0, ; 400 1,1 1.100 700 u d P máx P máx + ⎧ ⎫ = ⎨ − ⎬= ⎩ ⎭ + ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬= ⎩ − ⎭ 2 2 (0;1.100 1.690) 0 (0;1.100 910) 190 (0;1.100 490) 610 u ud d P máx P máx P máx = − = = − = = − =
En este caso, si el precio de la acción baja a $700, resultará conveniente ejercer en el período 1 la opción Put, ya que tendrá un valor intrínseco de $400, mayor que el valor esperado si se mantiene por un período más ($300).
El valor teórico de la opción Put sería $156,09 09 , 156 1 , 1 ) 400 ( 3333 , 0 ) 57 , 57 ( 6667 , 0 + = = t P
