si existen las derivadas parciales en r 0 lim = 0

Universidad Diego Portales

Facultad de Ingeniería. Asignatura: Cálculo III Instituto de Ciencias Básicas

Laboratorio N° 6, Funciones de varias variables, Derivadas.

Introducción.

En este laboratorio vamos a estudiar la diferenciabilidad de las funciones vectoriales y algunas de las propiedades más importantes de las derivadas.

Decimos que la función vectorial f U: ⊂ ℜ → ℜn m es diferenciable en r₀∈U si existen

las derivadas parciales en r0y se cumple:

( )

( )

( )(

)

0 0 0 0 0 lim 0 r r f r f r Df r r r r r → − − − = −

Donde Df r

( )

se denomina “matriz de derivadas parciales” y cuyos elementos son las derivadas parciales i

j f dx

∂

con i=1…m y j=1…n. En la práctica para demostrar que una función vectorial

es diferenciable en un punto dado basta con comprobar que posee derivadas parciales continuas en dicho punto.

Ejercicios Resueltos:

1. Dada la función 2 2

:

f ℜ → ℜ definida por f =

(

ex y+ +y y x, 2

)

calcule Df x y

( )

,

a. Evalúe la matriz de derivadas parciales en el punto

( )

1,1 .

Solución

Para resolver este ejercicio vamos a definir una función de usuario, que permite encontrar la matriz de derivadas parciales para funciones 2

: m

f ℜ → ℜ . Denominamos la función de

usuario por “Df2_m” y está definida de la manera siguiente:

Define library\Df2_m(a,b,c)=listToMat(diff(a,b),diff(a,c))

Aquí “a” representa la función vectorial, “b” es la primera variable y “c” la segunda variable. En la figura 1 se muestra la aplicación esta función a f arriba definida. La figura 2 muestra la

evaluación de la matriz de derivadas parciales en el punto

( )

1,1 , Df

( )

1,1 .

2. Dadas las funciones f , g y h f g

= (con g ≠0) se cumple que Dh Df g ₂g Df g ⋅ − ⋅

= .

Verifique esta propiedad de la derivada en el caso que 2 2

f =x +y y g =x2 +1.

En las figuras 3 y 4 se muestran los cálculos correspondientes. En este caso las funciones son del tipo 2

:

f ℜ → ℜ y para poder emplear la función de usuario “Df2_m” escribimos la

función entre llaves.

3. Sea g:ℜ → ℜn m y f :ℜ → ℜm s, supongamos que la función compuesta

: n s

f g ℜ → ℜ está definida, que g es diferenciable en r₀∈ℜn y f es diferenciable en

( )

0 0

m

g =g r ∈ℜ , entonces se cumple la siguiente propiedad denominada regla de la cadena D f

(

g

)( )

r0 =Df g

( ) ( )

0 Dg r0 .

a. Verifique la regla de la cadena para el caso de una función 2 2

:

g ℜ → ℜ definida

por

( )

(

2 2

)

, ,

g x y = x y y , la función f :ℜ → ℜ2 definida por

( )

2 2

, f u v =u +v y la función compuesta 2 : f g ℜ → ℜ. Solución:

Los cálculos para verificar la regla de la cadena se muestran en la figura 5. El procedimiento empleado se indica a continuación:

ƒ Definimos las funciones vectoriales: Figura 4

{

2 2

}

, x y y ⇒g

{

2 2

}

, u v ⇒ f Figura 5

ƒ Calculamos la derivada D f

(

g

)

mediante el empleo de la función de usuario “Df2_m” de la manera siguiente:

El resultado es

(

)( )

3 2 4 3

, 4 , 2 4

D f g x y =⎡_⎣ x y x y+ y ⎤_⎦

ƒ Calculamos por separado las matrices Df g

(

[1], [2]g

)

y Dg x y

( )

, mediante los

comandos:

Los resultados son guardados en las variables 2 2

1 2 , 2 D = ⎣⎡ x y y ⎤_⎦ y 2 2 2 0 2 xy x D y ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

ƒ Finalmente calculamos el producto matricial 2 2 2 2 3 2 4 3 1 2 2 , 2 4 , 2 4 0 2 xy x D D x y y x y x y y y ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⋅ =_{⎣ ⎦⎜ ⎟}=_⎣ + _⎦ ⎝ ⎠

4. Determine la derivada parcial

(

f T

)( )

1, 0

s ∂

∂ dadas las funciones vectoriales

( )

, cos sen

( )

f u v = u v y T s t

( )

, =

(

cos

( )

t s2 , ln 1+s2

)

Solución

Empleamos la regla de la cadena para calcular D f T

(

)( )

1, 0 el primer componente de la

matriz obtenida es justamente

(

f T

)( )

1, 0

s ∂

∂ . Los resultados se muestran en las figuras 6 y 7

ƒ Definimos las funciones vectoriales:

ƒ Calculamos Df T

( )

y D T

( )( )

s t, ƒ Calculamos el producto Df T

( ) ( )( )

⋅D T s t, Df2_m(f|u=g[1]|v=g[2],x,y) Df2_m(f,u,v)|u=g[1]|v=g[2]⇒ D1 Df2_m(g,x,y)⇒D2

( )

{

cos senu v

}

⇒ f

( )

{

2 2

}

cos t s , ln 1+s ⇒T Df2_m(f,u,v)|u=T[1]|v=T[2]⇒ D1 Df2_m(T,s,t)⇒ D2 Figura 6

( )

ln 2

( )

cos 1 cos 2 1 2 , 0 2 D D ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⋅ _{= ⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

ƒ El primer componente de esta matriz es

(

f T

)( )

1, 0

s ∂ ∂ :

(

)( )

( )

( )

ln 2 cos 1 cos 2 1, 0 2 f T s ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∂ _{⎣ ⎦} = ∂

5. Construya una función de usuario para calcular la derivada implícita de una función en la forma F x y

( )

, =0

a. Utilice la función para calcular las derivadas dy

dx y dx dy

si F x y

( )

, = ⇒ −0 y exy+cos

( )

xy =0

Solución:

La figura 8 muestra los cálculos y resultados para dy

dx y dx dy

respectivamente.

Nota: Observe que la función de usuario “DerImpl” también se puede emplear para calcular las derivadas parciales z x ∂ ∂ y z y ∂

∂ de la función z=z x y

( )

, dada de manera implícita

(

, ,

)

0

F x y z = . La figura 9 muestra un ejemplo. En general la función puede emplearse para el caso de funciones F x x

(

1, 2,…x zn,

)

=0 para calcular las derivadas

i z x ∂ ∂ , con i=1, 2…n y

(

1, 2, , n

)

z=z x x … x . Figura 7 Define library\DerImpl(p,q,r)=-((diff(p,r))/(diff(p,q))) Figura 8 Figura 10 _{Figura 11} Figura 9

6. Utilice la función de usuario “DerImpl” para demostrar que si F x y z

(

, ,

)

=0entonces se cumple z x y 1 x y z ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ = − ∂ ∂ ∂ . Solución

En la figura 10 se muestran los cálculos correspondientes.

7. Dadas las relaciones F x y u v

(

, , ,

)

=0 y G x y u v

(

, , ,

)

=0 determine las derivadas

parciales u x ∂ ∂ , u y ∂ ∂ , v x ∂ ∂ y v y ∂ ∂ . Solución

Las fórmulas para calcular estas derivadas son las siguientes:

v x v x u v u v F F G G u F F x G G ∂ ₌ ∂ , v y v y u v u v F F G G u F F y G G ∂ ₌ ∂ , u x u x u v u v F F G G v F F x G G ∂ ₌ ∂ , u y u y u v u v F F G G v F F y G G ∂ ₌ ∂

Con la calculadora definimos

Y aplicamos las fórmulas:

8. Aplique las fórmulas anteriores para calcular la derivada u

y ∂ ∂ , si

(

)

2 2 2 2 , , , 0 F x y u v =u −uv v− +x +y −xy= y G x y u v

(

, , ,

)

=uv−x2+y2 =0. Solución

En la figura 11 se muestra el resultado de los cálculos. 9. Calcule el determinante del Jacobiano de transformación:

a. De las coordenadas cartesianas a polares. b. De las coordenadas cartesianas a cilíndricas. c. De las coordenadas cartesianas a esféricas. Solución. {F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)}⇒m

(

)

(

)

(

)

(

)

det Df2_m , , det Df2_m , , m v x u x m u v ∂ ₌ ∂

(

)

(

)

(

)

(

)

det Df2_m , , det Df2_m , , m v y u y m u v ∂ ₌ ∂

(

)

(

)

(

)

(

)

det Df2_m , , det Df2_m , , m u x v x m u v ∂ ₌ ∂

(

(

(

₍

₎

)

)

)

det Df2_m , , det Df2_m , , m u y v y m u v ∂ ₌ ∂

a. Dada la transformación cos sen x r y r θ θ = ⎧ ⎨ =

⎩ , el determinante del jacobiano se calcula como se indica en la figura 12 aplicando el comando.

b. Para resolver este ejercicio introducimos una nueva función de usuario que denominamos “Df3_m” dada por:

Las transformaciones son

cos sen x r y r z z θ θ = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎩

. En la figura 13 mostramos los resultados del calculo para este caso.

c. Las transformaciones son

( )

( )

( )

cos sen sen sen cos x r y r z r ϕ θ ϕ θ θ = ⋅ ⎧ ⎪ = ⋅ ⎨ ⎪ = ⎩

. En la figura 14 se muestran los cálculos correspondientes. simplify(det(Df2_m(m,r,θ))) Figura 12 Define library\Df3_m(a,b,c,e)=listToMat(diff(a,b),diff(a,c),diff(a,e)) simplify(det(Df3_m(m,r,θ ,z))) Figura 13 Figura 14 simplify(det(Df3_m(m,r,θ,ϕ)))

( )

( )

( )

{

rcosϕ⋅sen θ , senr ϕ⋅sen θ , cosr θ

}

⇒m