Dimensión de álgebras y anillos noetherianos

Dimensi´on de ´algebras y anillos noetherianos

Para motivar la noci´on de dimensi´on de Krull de un anillo, comenzamos con

la versi´on algebraica de la dimensi´on geom´etrica de una variedad af´ın1 _que

ori-ginalmente se defini´o usando el grado de trascendencia del anillo de coordenadas

K[V]asociado a la variedadV (que es unaK-´algebra), y comenzamos con el

aspec-to algebraico considerando unaK-´algebra arbitrariaA, contrapunteando el aspecto

geom´etrico cuando as´ı sea posible.

Grado de trascendencia deK-´algebras afines.SiKes un campo, unaK-´algebra af´ın es una K-´algebra de tipo finito sobre K que adem´as es un dominio entero. El grado de trascendenciasobreK de unaK-´algebra af´ın Aes igual al grado de

trascendencia sobreKde su campo de fraccionesK(A). Como motivaci´on para los

resultados acerca de la dimensi´on de estasK-´algebras, examinamos primero el caso

cuando se tiene una variedad af´ınV=V_!f1, . . . ,fm" ⊆ Kn, conKalgebraicamente

cerrado y con los fj∈K[x1, . . . ,xn]polinomios lineales homog´eneos:

fj=fj(x1, . . . ,xn) =a1jx1+···+an jxn ai j∈K

de tal forma que la variedadV ⊆Kn_{es un subespacio vectorial. El ´algebra lineal}

nos dice entonces que la dimensi´on delK-espacio vectorialV esn−r, donderes

el rango de la matriz del sistemaM= (ai j). La traducci´on a la geometr´ıa algebraica

del resultado anterior es:

Proposici´on 6.1 Si f1, . . . ,fm∈K[x1, . . . ,xn]son polinomios lineales homog´eneos,

la K-´algebra A=K[x1, . . . ,xn]/!f1, . . . ,fm"es un dominio entero de tipo finito sobre

K tal que

grtrKA=dimKV

donde la variedad af´ın V =V_!f1, . . . ,fm" ⊆Kn_{es vista como un subespacio}

vecto-rial de Kn_.

Demostraci´on.SiM= (ai j)es la matriz del sistema de ecuaciones lineales que

de-fineV, entonces su rangores el n´umero de renglones linealmente independientes

1_{V´ease la secci´on sobre conjuntos algebraicos afines en la p´agina 17 del cap´ıtulo 1.}

deMy, renumerando si hiciera falta, podemos suponer que los primerosr

renglo-nes son linealmente independientes, i.e., los polinomios f1, . . . ,fr son

linealmen-te independienlinealmen-tes. SeaI=_!f1, . . . ,fr" ⊆K[x1, . . . ,xn]y seanxi1, . . . ,xin−r tales que

{f1, . . . ,fr,xi1, . . . ,xin−r}es una base del subespacio vectorial de polinomios lineales homog´eneos enK[x1, . . . ,xn]. Entonces,

(_∗) K[x1, . . . ,xn]/I'K[xi₁, . . . ,xin−r]

ya que si las funciones lineales f1, . . . ,fr sonx1, . . . ,xr la afirmaci´on (∗) es obvia.

En el caso general, como_{x1, . . . ,xn} y{f1, . . . ,fr,xi1, . . . ,xin−r} son ambas bases

del espacio vectorial de formas lineales enK[x1, . . . ,xn], cada uno de los elementos

de una base se puede expresar como combinaci´on lineal de los elementos de la otra base y por lo tanto

K[x1, . . . ,xn] =K[f1, . . . ,fr,xi1, . . . ,xin−r] y as´ı

K[x1, . . . ,xn]/I=K[f1, . . . ,fr,xi1, . . . ,xin−r]/I'K[xi1, . . . ,xin−r]

lo cual prueba (∗). Finalmente, note que

!f1, . . . ,fm"=_!f1, . . . ,fr"=I

lo cual termina la demostraci´on. ()

Proposici´on 6.2 Si f _∈K[x1, . . . ,xn]es un polinomio irreducible, entonces la

K-´algebra K[x1, . . . ,xn]/!f"tiene grado de transcendencia n−1.

Demostraci´on. ComoK[x1, . . . ,xn]es un DFU, entonces!f"es un ideal primo y

as´ıK[x1, . . . ,xn]/!f"es un dominio entero. Escribamos

K[α1, . . . ,αn] =K[x1, . . . ,xn]/!f" conαi=xi+!f"

y seaK(α1, . . . ,αn)el campo de fracciones deK[α1, . . . ,αn]. Como f no es el

poli-nomio cero, alg´unxiocurre en f y, renumerando si hiciera falta, podemos suponer

quexnocurre enf. Entonces,xnocurre en todo m´ultiplo no nulo def y por lo tanto

ning´un polinomio no nulo enx1, . . . ,xn−1pertenece a!f". Se sigue queα1, . . . ,αn−1

son trascendentes algebraicamente independientes sobreKporque si un polinomio

se anula en estas αi entonces el polinomio pertenece a !f"por la definici´on de

αi=xi+!f". Por otro lado, comoxnaparece en f, escribiendo a f como

f =

∑

∑

conh∈K(α1, . . . ,αn−1)[xn] un polinomio no nulo. Se sigue queαn es

algebrai-co sobreK(α1, . . . ,αn−1)y por lo tantoα1, . . . ,αn−1 es una base trascendente de

K[α1, . . . ,αn−1]sobreK. ()

Proposici´on 6.3 Si A es una K-´algebra de tipo finito que es dominio entero, enton-ces para todo ideal primo no nulopde A se tiene que

grtrK(A/p)<grtrK(A).

Demostraci´on.EscribamosA=K[α1, . . . ,αn] =K[x1, . . . ,xn]/I conαi=xi+I. Si

f ∈A, sea f su imagen enA/py as´ıA/p=K[α1, . . . ,αn]. Sead =grtrK(A/p)y

numeremos lasxide tal forma queα1, . . . ,αdson algebraicamente independientes

sobreK. Mostraremos que, para todo 0+=f ∈p, losd+1 elementosα1, . . . ,αd,f

son algebraicamente independientes sobreKy por lo tanto grtrK(A)≥d+1, como

se quer´ıa. Para demostrar lo requerido, supongamos que es falso, i.e., supongamos que existe una relaci´on algebraica no trivial

(_∗) am(α1, . . . ,αd)fm+am−1(α1, . . . ,αd)fm−1+···+a0(α1, . . . ,αd) =0

con losai∈K[x1, . . . ,xd]yam+=0. ComoAes un dominio entero, si hiciera falta

podemos cancelar potencias de f de tal manera quea0(α1, . . . ,αd)+=0. Aplicando

el morfismoA!A/pa ambos lados de (∗) y recordando que f ∈p, se obtiene que

a0(α1, . . . ,αd) =0

lo cual contradice la independencia algebraica deα1, . . . ,αd. ()

Proposici´on 6.4 Si A es una K-´algebra de tipo finito que esDFU, entonces para todo ideal primo pde A tal que grtr_K(A/p) =grtr_K(A)₋1 se tiene quep=_!f_", para alg´un f ∈A.

Demostraci´on.Note primero quep₊=0 porque de lo contrario se tendr´ıa queA/p=

A/0=Ay as´ı ambos tendr´ıan el mismo grado de trascendencia. Se sigue que existe

un 0+=f ∈py podemos suponer que f es irreducible porquepes un ideal primo.

ComoAes un DFU, entonces!f"es un ideal primo contenido enp. Si sucediera que

!f"!p, entonces 0+=p=p/_!f_{" ⊆}A/_!f_"=:A,es un ideal primo de laK-´algebra af´ınA,_{y as´ı, por 6.3,}

grtr_K(A,/p)<grtr_K(A,) =grtr_K(A/!f") donde observamos queA,_{/p= (A/!f")/(p/!f")'A/py por lo tanto}

grtrK(A/p) =grtrK(A,/p)<grtrK(A,) =grtrK(A/!f") =grtrK(A)−1

donde la igualdad es por 6.2. Hemos obtenido as´ı una contradicci´on con la hip´otesis.

( )

Teorema 6.5 Si A es una K-´algebra de tipo finito que es dominio entero, y si f∈A no es cero ni unidad ypes un primo de A, m´ınimo entre los que contienen a!f",

entonces

grtrK(A/p) =grtrK(A)−1.

Demostraci´on.(J. Tate). Escribamos!!f"=p1∩ ··· ∩pr como intersecci´on

irre-dundante de ideales primos pi⊇ !f". Entonces, V(!f") =V(p1)∪ ··· ∪V(pr)es

la descomposici´on deV(f)en sus componentes irreducibles. As´ı, existe un punto

P0∈V(p1)que no est´a en todos los otrosV(pi), porque de lo contrario la

descom-posici´onV(f) =V(p1)_{∪ ··· ∪}V(pr)ser´ıa redundante. Note que, comoV(pi)son

cerrados, existe una vecindad abiertaU=D(h)deP0que s´olo intersecta aV(p1)y

es disjunta con las otrasV(pi). Ahora, el anilloAhes un dominio entero con el

mis-mo campo de fracciones queAy por lo tanto tiene el mismo grado de trascendencia

sobreK. Por el mismo argumento, el anilloAh/S−1ptiene el mismo grado de

tras-cendencia queA/p. Observe ahora que enAhse tiene que!f/1=√f Ah=p1Ah.

Por lo tanto, despu´es de reemplazarAconAhpodemos suponer que√f es un ideal

primo deA, digamos igual ap.

Por otra parte, comoAes un dominio entero y como es unaK-´algebra

finitamen-te generada, por el finitamen-teorema de normalizaci´on de Noether 2.16 exisfinitamen-ten elementos y1, . . . ,yd∈Aalgebraicamente independientes sobreK tales queAes entera sobre

K[y1, . . . ,yd]yK(y1, . . . ,yd)→K(A)es una extensi´on finita de campos, dondeK(A)

es el campo de fracciones deA. Si Nm :K(A)_→K(y1, . . . ,yd)es la norma de esta

extensi´on, para f ∈K(A)sea f0=Nm(f)_∈K(y1, . . . ,yd). Por 2.15 se tiene que

f0∈K[y1, . . . ,yd]. Mostraremos que

(1) p_∩K[y1, . . . ,yd] =!!f0".

Antes de probar lo anterior, observe que (1) implica que el morfismo inducido por la inclusi´onK[y1, . . . ,yd]!→Aal pasar a los cocientes

(2) K[y1, . . . ,yd]/!!f0"=K[y1, . . . ,yd]/"p∩K[y1, . . . ,yd]#"A/p

es inyectivo. M´as a´un, comoAes finitamente generada comoK[y1, . . . ,yd]

-m´odu-lo, entonces en (2) se tiene queA/pes finitamente generada como m´odulo sobre

K[y1, . . . ,yd]/!!f0". Se sigue que

grtr_KA/p=grtr_KK[y1, . . . ,yd]/!!f0"=d−1,

donde la ´ultima igualdad es por 6.2 ya que f0 es irreducible. Notamos que como

f +=0 entonces f0+=0 yf0∈pimplica que f0no es constante.

Resta probar la afirmaci´on (1). Como ya observamos, por el teorema de

norma-lizaci´on de NoetherAes entero sobreK[y1, . . . ,yd]y como la norma Nm :K(A)→

K(y1, . . . ,yd) manda elementos enteros (por ejemplo, f) de K(A) en enteros de

K(y1, . . . ,yd)y comoK[y1, . . . ,yd]es integralmente cerrado ya que es DFU,

enton-ces estos elementos enteros est´an enK[y1, . . . ,yd], i.e., f0=Nm(f)∈K[y1, . . . ,yd].

Se sigue que f divide a f0enA y por lo tanto f0∈ !f" ⊆p y consecuentemente

!

!f0" ⊆p∩K[y1, . . . ,yd]

porque p es primo y por lo tanto es radical. Para la inclusi´on faltante, sig∈p∩

K[y1, . . . ,yd] entonces g∈p=!!f"y por lo tanto gm ∈ !f", i.e, gm= f h para

alg´unh∈Ay alg´unm≥1. Tomando normas en esta igualdad, recordando que si

e= [K(A):K(y1, . . . ,yd)]comogm∈K[y1, . . . ,yd]se tiene que que Nm(gm) =gme,

se obtiene que

gme_{=Nm(f h) =Nm(f)Nm(h) =f0Nm(h)} ∈ !f0"

por lo queg_∈!_!f0_", lo cual prueba la inclusi´on que faltaba. ₍₎

Corolario 6.6 Si A es una K-´algebra de tipo finito que es dominio entero ypes un ideal primo m´ınimo no nulo de A, entoncesgrtr_K(A/p) =grtr_K(A)−1.

Demostraci´on.Sea 0+=f∈p; entoncesf no es unidad ypes un primo m´ınimo entre

los que contienen a f. Aplique entonces el teorema previo. ()

El resultado principal es:

Teorema 6.7 Si A es una K-´algebra de tipo finito que es dominio entero, entonces grtrK(A)es igual a la longitud m´axima n de las cadenas de ideales primos de A

(_∗) p0_!p1_!···!pn.

Demostraci´on. Como se tiene un epimorfismoK[x1, . . . ,xn]!A, por el ejercicio

10 del cap´ıtulo 4 se sigue queAes noetheriano, por lo que las cadenas de primos

(_∗) anteriores son finitas. Supongamos entonces que la cadena de primos (_∗) del

enunciado es de longitud m´axima, en particularp0=0 yp1+=0 y es primo m´ınimo

no nulo deA. Del corolario anterior se sigue que

grtrK(A) =grtrK(A/p1) +1

y comop2=p2/p1es un primo m´ınimo no nulo enA/p1(por la correspondencia

entre ideales primos de A/p1 e ideales primos deA que contienen ap1) y como

(A/p1)/(p2/p1)_'A/p2, aplicando de nuevo el corolario anterior se tiene que grtrK(A/p1) =grtrK(A/p2) +1

y procediendo de esta manera obtenemos que

grtr_K(A) =grtr_K(A/p1) +1=grtr_K(A/p2) +2=_···=grtr_K(A/pn) +n

dondepnes un ideal m´aximo por la maximalidad de (∗), y por lo tantoA/pnes un

campo y comoAes unaK-´algebra de tipo finito, entonces la extensi´on de campos

K→A!A/pnes finita y as´ı es algebraica, en particular grtrK(A/pn) =0 y

Dimensi´on de Krull de un anillo.Si Aes un anillo conmutativo, una cadena de

longitud n de ideales primos deA es una sucesi´on finita de ideales primos deA

incluidos propiamente uno en otro:

p0!p1!···!pn.

Ladimensi´on de Krull de un anillo A, a la que denotaremos por dimA, es el supremo

de las longitudes de las cadenas de ideales primos deA. As´ı, el teorema anterior

dice que el grado de trascendencia de unaK-´algebra de tipo finitoAque es dominio

entero es igual a la dimensi´on de Krull del anilloA.

Ejemplo1. Un campoKtiene dimensi´on de Krull dimK=0.

Ejemplo2. Para el anillo de enterosZsus ideales primos son!0"y!p"=pZ, para

p>0 un entero primo. Por lo tanto las cadenas m´as largas de ideales primos enZ

son todas de la forma 0!!p"y as´ı dimZ=1.

Ejemplo 3. En general, cualquier DIP que no sea un campo tiene dimensi´on de

Krull dimA=1 porque sus primos son m´aximos. En particular, para el anillo de

polinomiosK[x]con coeficientes en un campo, dimK[x] =1.

Ejemplo4. SiKes cualquier campo, para el anillo de polinomios enn indetermina-dasK[x1, . . . ,xn]se tiene que!0"!!x1"!!x1,x2"!···!!x1, . . . ,xn"es una cadena

de ideales primos de longitudny por lo tanto dimK[x1, . . . ,xn]≥n. De hecho, por

el teorema 6.7 se tiene que dimK[x1, . . . ,xn] =n, ya que el grado de trascendencia

del campo de fracciones correspondienteK(x1, . . . ,xn)esn.

La altura de un ideal.SiAes un anillo conmutativo yp∈SpecA, laaltura h(p)

depes el supremo de las longitudesnde las cadenas ascendentes de ideales primos

contenidos enp:

p0_!p1_!···!pn=p.

As´ı, la dimensi´on de Krull deAes el supremo de las alturash(p)variandopen todos

los primos deA. Por convenci´on, si 0 es ideal primo deApondremosh(0) =₋∞. Si

Ies cualquier ideal, sualtura h(I)es el ´ınfimo de las alturas de los ideales primos

que contienen aI.

Proposici´on 6.8 Sea A un anillo conmutativo. (1) dimA=dim(A/nilA).

(2)Sipes un ideal primo de A, entoncesdimAp=h(p).

(3) dimA=sup{dimAm : mes ideal m´aximo deA}.

Demostraci´on.(1): Como nilAes la intersecci´on de todos los ideales primos deA,

entonces todos los primos deAcontienen a nilAy por lo tanto se tiene una

corres-pondencia biun´ıvoca entre los primos deAy los primos deA/nilAy esta

corres-pondencia preserva inclusiones. Para (2), los primos deApcorresponden

todo ideal propiop(primo o no) est´a contenido en un m´aximomy as´ıh(p)≤h(m)

por lo que dimA=sup{h(m)}y por la parte (2),h(m) =dimAm. ()

El teorema del ideal principal de Krull. Para una variedad af´ın linealV ⊆Kn

(i.e., definida por polinomios lineales), a la cual podemos pensar que pasa por el

origen de tal forma queV es un subespacio vectorial deKn_{, descrita por un sistema}

de ecuaciones lineales ennvariables y de rango r, el ´algebra lineal nos dice que

dimV=n−r. M´as a´un, cualquier variedad lineal de dimensi´ondse puede describir

porn₋decuaciones lineales. Para variedades algebraicas, afines o proyectivas, i.e.,

ceros de sistemas de ecuaciones polinomiales de grado arbitrario, los resultados correspondientes son m´as dif´ıciles de obtener y comenzamos con el teorema del ideal principal de Krull, una de cuyas consecuencias es una cota inferior para el n´umero de generadores de un ideal en un anillo noetheriano, que al ser aplicado

a un ideal del anillo polinomialK[x1, . . . ,xn] se traduce en una cota inferior para

el n´umero de ecuaciones necesarias para describir una variedad algebraica. Para demostrar este teorema de Krull necesitaremos los dos lemas siguientes:

Lema 6.9 Sean I=$n_i=1qiuna descomposici´on primaria m´ınima del ideal I⊆A y

pi=√qi. Entonces,%ni=1pi={x∈A : (I:x)+=I}. En particular, si el ideal0⊆A

tiene una descomposici´on primaria y D=%_x+=0(0 :x)es el conjunto de divisores de cero de A, entonces D=%_p∈Ass(0)pi.

Demostraci´on. SiI⊆Aes descomponible, entonces el ideal 0 es descomponible en el anillo cocienteA/I, ya que siI=$n_i=1qi, entonces 0=$ni=1qi, dondeqies

la imagen deqienA/I, y notamos que cadaqi es primario, ya que sixy∈qi con

x_+∈qi, entoncesxy∈qi y x+∈qi y por lo tanto yk∈qi, por ser ´este primario, y

as´ıyk

∈qi. Se sigue que basta probar el lema para el ideal cero, suponiendo que ´este

es descomponible. Ahora, comoD=%_x+=0(0 :x), entonces√D=&%_x+=0(0 :x) =

%

x+=0!(0 :x), y si x∈√Dentonces xr∈Dpara alg´unr≥1 y as´ı existey+=0

tal quexr_{y=0 y por lo tantox(x}r−1_{)y=0 y as´ıxz=0 para alg´unz+=0 por lo}

quex∈D, i.e,√D⊆D; y como D⊆√D, entoncesD=√D=%x+=0!(0 :x). Finalmente, recordemos que en la demostraci´on del primer teorema de unicidad,

3.21, para el idealI=0, mostramos que!(0 :x) =$x+∈qipi⊆pi y por lo tanto

D⊆%pi∈Ass(0)pi. Pero, por el mismo teorema de unicidad, cadapies de la forma

!

(0 :x), para alg´unx∈Ay por lo tanto%pi∈Ass(0)pi⊆D. ()

Lema 6.10 Si I ⊆p_⊆q son ideales de A con q primo y p primo m´ınimo de I, entoncespAqes primo m´ınimo de IAq.

Demostraci´on.Recordemos que el morfismo can´onicoρ:A_→Aqinduce una

biyec-ci´on entre los ideales primos deAqy los ideales primos deAcontenidos enq, por lo

quepprimo implica quepAqes primo deAq. Ahora, sipAqno fuera primo m´ınimo

deIAq, existir´ıa un primoPdeAqtal queIAq⊆P!pAq, y comop=ρ−1(pAq)

es primo yρ−1_{(P)+=pporqueP+=pA}

q(y la biyecci´on citada), entonces

lo que contradice la minimalidad dep. ()

Teorema 6.11 (Teorema del ideal principal de Krull) Sean A un anillo noethe-riano y!x"!A un ideal principal propio. Entonces, para todo primo m´ınimop de!x"se tiene que h(p)_≤1. M´as a´un, si x no es un divisor de cero de A, entonces h(p) =1.

Demostraci´on.La segunda afirmaci´on se sigue de la primera parte. En efecto,

co-moAes noetheriano el ideal 0 es descomponible y por el lema 6.9 el conjunto de

divisores de cero deAesD=%_pi∈Ass(0)pi. Por lo tanto, sixno es divisor de cero,

x_+∈pi, para todopi∈Ass(0)y as´ı, sip⊇ !x"conpprimo,pno podr´ıa ser alguno de

lospi, i.e., no ser´ıa primo m´ınimo deAy por lo tanto contiene propiamente un ideal

primop,!py as´ıh(p)≥1, lo que implica la segunda afirmaci´on.

Para probar la primera afirmaci´on, observe primero que, por el lema 6.10,pAp

es un ideal primo m´ınimo de!x"Ap, y por la biyecci´on inducida por el morfismo de

localizaci´onϕ:A→Ap entre los ideales primos deApy los ideales primos deA

contenidos enp(dondeq!pcorresponde aqAp!pAp) se sigue que basta probar

el teorema para!x"Ap⊆pAp, o lo que es lo mismo, suponer que Aes un anillo

noetheriano local con ideal m´aximopque es adem´as primo m´ınimo de!x".

Asumiendo lo anterior, si q_!pes cualquier otro ideal primo debemos probar

queh(q) =0. Antes de proceder, note quex+∈qporque de lo contrario, comopes

primo m´ınimo de!x"se tendr´ıa queq=p. Observe ahora que, comopes primo

m´ınimo de_!x_", entonces el anilloA/_!x_"tiene un ´unico primo, a saberp/_!x_"(ya que

sip,_∈Spec(A/_!x_"), entoncesp,_{⊇ !}x_"conp,_∈SpecAy comopes el ´unico ideal

m´aximo deA, entoncesp,_⊆py comopes m´ınimo entre los primos que contienen a

!x", entoncesp,=p) y por lo tanto dimA/_!x_"=0 y como es noetheriano, entonces

por 4.37 es artiniano. Ahora, para demostrar queh(q) =0, considere las potencias

qiAqy sus im´agenes inversas bajo el morfismo de localizaci´onρ:A→Aqa las que

se denota porq(i)_{y se conocen como laspotencias simb´olicasdeq. Observe ahora}

que las inclusionesqi+1Aq⊆qiAqinducen inclusionesq(i+1)⊆q(i) y comoA/!x"

es artiniano la cadena descendente de ideales "

!x"+q(1)#/_!x_{" ⊇}"_!x_"+q(2)#/_!x_{" ⊇}"_!x_"+q(3)#/_!x_{" ⊇ ···}

se estaciona, i.e., existen_≥1 tal que

(1) !x"+q(n)=!x"+q(n+1)=···

Veremos que lo anterior implica que

(2) q(n)=!x"q(n)+q(n+1).

En efecto, siz∈q(n), entoncesz∈ !x"+q(n)=_!x"+q(n+1) y as´ız=ax+q, con a∈A,q∈q(n+1)_{, y comoq}n+1_⊆qn_entoncesq(n+1)_⊆q(n)_{y as´ıq∈q}(n)_{por lo que} ax=z−q∈q(n) _{conx+∈q. Observe ahora que comoqA}

qes el ideal m´aximo de

AqentoncesqnAqesqAq-primario por 4.17, y as´ı por 4.18 su imagen inversaq(n)es

y consecuentementez=ax+q∈ !x"q(n)+q(n+1)por lo queq(n)⊆ !x"q(n)+q(n+1)y

la inclusi´on contraria es obvia porqueq(n+1)⊆q(n), lo cual prueba (2). Ahora, como

!x" ⊆p=J(A), por el lema de Nakayama de la igualdad (2) se sigue que

(3) q(n)=q(n+1)

y la igualdad anterior junto con la biyecci´on entre ideales mencionada anteriormente

implican que qnAq=qn+1Aq, y de nuevo, por el lema de Nakayama esta ´ultima

igualdad implica queqnAq=0, es decir, el ideal m´aximoqAqdeAqes nilpotente y

as´ı un producto de ideales m´aximos es cero y comoAqes noetheriano, por 4.36 se

sigue queAqes artiniano. De 4.37 se sigue que dimAq=0, como se quer´ıa. ()

NOTA. Antes de generalizar el teorema del ideal principal de Krull, observemos que

en t´erminos de la altura y de la dimensi´on de Krull, en 6.5 se prob´o que siAes una

K-´algebra de tipo finito (que es dominio entero) y sip_⊆Aes un primo de altura h(p) =1, entonces

(1) dim(A/p) =dimA−1.

En particular, si f ∈Ano es cero ni unidad yp∈SpecAes un ideal primo m´ınimo

que contiene a!f", por el teorema del ideal principal de Krull,h(p) =1 y se tiene

la igualdad (1).

Para extender el teorema del ideal principal de Krull al caso de ideales finitamen-te generados, necesitaremos el lema siguienfinitamen-te:

Lema 6.12 Sean A un anillo noetheriano,pun ideal primo de A y S=_{q1, . . . ,qs}

un conjunto finito de ideales primos de A tales quep_+⊆qi, para todo i.

(1)Si existe una cadena de ideales primosp0!p1!p, entonces existe una cadena p0!p,₁!pconp₁, +⊆qi, para todo i=1, . . . ,d−1.

(2)En general, si existe una cadena de ideales primosp0!p1!···"pd−1!p, entonces existe una cadena p0_!p,_1!···"p,_d−1!pconp,_j+⊆qi, para todo i=

1, . . . ,d−1y todo j.

Demostraci´on.Note primero quep+⊆%iqi por 1.3, y por lo tanto existe una∈p,

a+∈p0,a+∈qi, para todoi. Comop⊇ !a"+p0, entoncespcontiene a un ideal primo

m´ınimop,₁de !a"+p0 y as´ıp,₁/p0 es un ideal primo m´ınimo del ideal principal (!a"+p0)/p0enA/p0y por el teorema del ideal principal de Krull,h(p,₁/p0) =1.

Sin embargo, la cadenap0/p0!p1/p0!p/p0muestra queh(p/p0)≥2 y

conse-cuentementep,₁+=p, i.e.,p,₁!p. M´as a´un,p,₁+⊆qiporquea∈p,1ya+∈qi, para todo

i. Tambi´en,a∈p,₁−p0por lo quep0!p,₁. Se tiene as´ı quep0!p,₁!pconp,₁+⊆qi,

para todoi.

(2): En el caso general,p0_!p1_!···!pd−1!p, aplicando la parte (1) a la cadena

pd−2!pd−1!pexiste otra cadenapd−2!p,_d−1!p conp,_d−1+⊆qi, para todoi.

Luego, aplicando la parte (1) a la cadenapd−3!pd−2!p,d−1vemos que existe otra

cadenapd−3!p,d−2!p,d−1!pconp,d−2+⊆qi, para todoi. Repetimos estos pasos

Teorema 6.13 (Teorema generalizado del ideal principal de Krull) Si A es un ani-llo noetheriano e I=!a1, . . . ,am"!A es un ideal propio generado por m elementos, entonces, para cualquier ideal primo m´ınimopde I, su altura es h(p)_≤m. Demostraci´on.Param=1, ´este es el teorema del ideal principal de Krull. Podemos

entonces suponer quem≥2 y que el teorema ha sido probado para ideales generados

por a lo m´asm−1 elementos. Seapun primo m´ınimo de I=_!a1, . . . ,am"y sean

q1, . . . ,qslos primos m´ınimos de!a1, . . . ,am−1". Por hip´otesis de inducci´onh(qi)≤

m₋1. Si sucediera quepest´a contenido en alg´unqi, entonces se tendr´ıa queh(p)≤

h(qi)≤m−1≤my ya habr´ıamos acabado. As´ı, podemos suponer quep+⊆qi, para

todoi. Poniendod=h(p), queremos probar qued_≤m. Ahora, comod=h(p), se tiene una cadena

(∗) p0!···!pd−1!pd=p

con d≥2, porque si d=1, entonces h(p) =1≤m y no hay nada que probar.

Podemos entonces aplicar el lema anterior a la cadena (∗) y suponer quep,_i=pi+⊆qj,

para todo 1≤i≤d y todo j, i.e.,pi+⊆%qj. En particular,p,1=p1+⊆qi para todo

i y por lo tanto existeb∈p1−%qi. Mostraremos quep es un primo m´ınimo de

!a1, . . . ,am−1,b". Para comenzar,p contiene un primo m´ınimo p, de este ideal y comop,_{⊇ !a1, . . . ,am−1", entoncespcontiene uno de losqi, pero comob∈p−qi}

para todoi, entoncespno puede ser igual a esteqi. Sip+=p,, entoncesqi!p,!p

y as´ıp:=p/_!a1, . . . ,am−1"tiene altura≥2 enA:=A/!a1, . . . ,am−1". Peropes un ideal m´ınimo enAdel ideal principal_!a1, . . . ,am"/!a1, . . . ,am−1"y as´ıh(p)≤1 por

el teorema del ideal principal, lo cual es una contradicci´on. Se sigue quep=p,y

por lo tantopes un primo m´ınimo de_!a1, . . . ,am−1,b". Pero entoncesp/!b"es un primo m´ınimo de_!a1, . . . ,am−1,b"/!b"enA/!b", que est´a generado por las clases de a1, . . . ,am−1y as´ıh(p/!b")≤m−1 por hip´otesis de inducci´on. Finalmente, como se tiene la cadena de primos distintos

p1/!b"!···!pd−1/!b"!pd/!b"=p/!b"

entoncesd−1≤h(p/!b")≤m−1 y por lo tantod≤m. ()

El teorema generalizado del ideal principal de Krull tiene un rec´ıproco:

Teorema 6.14 Sean A un anillo noetheriano e I!A un ideal propio de altura h(I) =n. Entonces, existen n elementos a1, . . . ,an∈I tales que para cada i≤n

el ideal!a1, . . . ,ai"tiene altura i.

Demostraci´on.Sin=0, se toma el conjunto vac´ıo notando que_!/0_"=0. Podemos

as´ı suponer quen_≥1. Note entonces que s´olo hay un n´umero finito de primos de

altura 0 porque un tal ideal es un primo m´ınimo de Ass(0)y ninguno de estos primos

puede contener aIporqueh(I)≥1. Por 1.3 se sigue que existe una1∈I−%h(p)=0p.

Por construcci´on!a1"tiene alturah≥1 y as´ı por el teorema del ideal principal de

Krull se sigue que tiene alturah!a1"=1. Esto completa la demostraci´on cuandon=

finito de primos de altura 1 y que contienen a !a1" porque un tal primo est´a en Ass!a1", y ninguno de estos primos puede contener aIporque estamos suponiendo queh(I)_≥2. Por 1.3 existe una2∈I−%h(p) =1 yp⊇ !a1"p. Por construcci´on!a1,a2"

tiene alturah≥2 y as´ı por el teorema generalizado del ideal principal de Krull se

sigue queh!a1,a2"=2. Esto completa la demostraci´on en el caso cuandon=2.

Continuando de esta manera se termina la demostraci´on. ()

Anillos locales regulares y espacios tangentes.SiAes cualquier anillo,m_⊆Aes

un ideal m´aximo yk=A/mes su campo residual, hemos visto en la observaci´on

an-tes de 4.8 quem/m2es unk-espacio vectorial. Ahora, si(A,m)es un anillo local, por

6.8 (3) se tiene que dimA=h(m)y si adem´asAes noetheriano ym=_!a1, . . . ,an"

conn el n´umero m´ınimo de generadores, por 4.8 dimk(m/m2) =n y por 6.13 la

alturah(m)≤n.

Lema 6.15 Si(A,m)es un anillo noetheriano local, entonces dimA≤dimk(m/m2).

Aqu´ı, en la izquierda es la dimensi´on de Krull de A y en el lado derecho es la

dimensi´on delk-espacio vectorialm/m2.

Demostraci´on.El argumento previo al lema nos dice que

dimA=h(m)_≤ n´umero m´ınimo de generadores dem=dimk(m/m2).

( )

Elk-espacio vectorialm/m2es elespacio cotangente de ZariskideAenm. Su

dual _"

m/m2#∨:=Homk(m/m2,k)

es elespacio tangente de ZariskideAenm.

Si se tiene la igualdad dimA=dimk(m/m2), se dice queAesregularenmo que

eslisoenmo que esno singularenmy queAes unanillo local regular. Si se tiene

la desigualdad estricta se dice queAessingularenm.

Si Aes un anillo noetheriano arbitrario ypes un ideal primo deA, por 4.6 el

anillo localApes noetheriano, y se dice queAesregularolisoono singularenp

siApes un anillo local regular. SiAes regular en todos sus primos, diremos queA

es unanillo regular.

Ejemplo5. Sea(A,m)un anillo noetheriano local. Si dimA=0, entoncesAes

re-gular si y s´olo sim2=my por Nakayama esto sucede si y s´olo sim=0, i.e., si

y s´olo siAes un campo porque en este caso las unidadades son todoA_{− {}0_}. En

particular,Aes un dominio entero. El teorema siguiente muestra que, en general, un

anillo regular es un dominio entero. Para demostrarlo necesitaremos los dos lemas siguientes

Lema 6.16 Sea(A,m)un anillo noetheriano local con campo residual k=A/m.

Sea c∈m−m2. Considere el epimorfismo can´onico A!A,:=A/!c"y denote sus im´agenes mediande a4→a,_{. Entonces,}

dimk(m/m2) =dimk(m,/m,2) +1

dondem,:=m/_!c"es el ideal m´aximo de A,_.

Demostraci´on.Seanα1, . . . ,αn∈mtales queα1,, . . . ,αn, ∈m,/m,2es una base

co-mok-espacio vectorial. Mostraremos queα1, . . . ,αn,ces base dem/m2. En

efec-to, por 4.8, α1, . . . ,αn es un conjunto m´ınimo de generadores de m, =m/!c" y

as´ı m=_!α1, . . . ,αn"+!c", lo que implica que α1, . . . ,αn,c generan m/m2. Pro-baremos ahora que son linealmente independientes. En efecto, si se tiene una com-binaci´on lineal

(1) a1α1+···+anαn+an+1c≡0 (m´odm2)

con losai∈A(recordando quek=A/m), reduciendo (1) m´odulo!c"queda

a,

1α1,+···+a,nαn,≡0 (m´odm,2)

y la independencia lineal de losα_i,_{implica quea},

1, . . . ,a,nson cero enk=A/m, es

de-cir, sus representantesa1, . . . ,an∈my (1) queda de la formaan+1c≡0 (m´odm2),

i. e.,an+1c∈m2. Si sucediera quean+1+∈m entonces ser´ıa unidad enAy

conse-cuentementec_∈m2, lo cual contradice la elecci´on de c_∈m₋m2. Se sigue que

an+1∈my por lo tanto en (1) todos los coeficientes son cero, i.e.,α1, . . . ,αn,cson

una base dem/m2. ₍₎

Lema 6.17 Sea(A,m)un anillo noetheriano local. Si A es regular, entonces para todo c∈m−m2el cociente A/!c"tambi´en es regular. M´as a´un,

dimA=dimA/!c"+1.

Demostraci´on.El ejercicio 9 de este cap´ıtulo dice que siA,_=A/!c"ym,_=m/!c", entonces

(1) h(m) =h(m/_!c")_≤h(m)_≤h(m/_!c") +1=h(m,) +1

porque!c"es generado porn=1 elemento. Por lo tanto,

dimk"m,/m,2#≥h(m,)≥h(m)−1=dimk"m/m2#−1=dimk"m,/m,2#

donde la primera desigualdad es por 6.15, la segunda desigualdad es (1), la primera

igualdad es porque(A,m)es regular y la segunda igualdad por 6.16. Se sigue que

todas las desigualdades son igualdades, en particular

y por lo tantoA/!c"es regular de dimensi´on dimA−1. ()

Teorema 6.18 Sea(A,m)un anillo noetheriano local. Si A es regular, entonces es un dominio entero.

Demostraci´on.Por inducci´on sobred=dimA=dimk(m/m2). Sid=0, es el

ejem-plo 5. Supongamos ahora qued≥1 y que el teorema es cierto para anillos regulares

de dimensi´on≤d−1. Antes de hacer la inducci´on observemos que siAcontiene

idealesp_!!c", conpprimo, entoncesAes un dominio entero. En efecto, seaa∈p

y supongamos quea_{∈ !}c_"n_=!cn_{"para alg´unn≥1. Entonces,a=bc}n_conb∈A.

Comoc_+∈p, se debe tener queb_∈p!_!c_"y as´ıa_{∈ !}cn+1_". Continuando de esta

manera vemos quea_{∈ !}cm

"para todom≥1, es decir,a∈$!cm"=0 (por 4.10) y

as´ıp=0 y como es primo, entoncesAes un dominio entero, como se quer´ıa.

Regresando ahora a la inducci´on, seac∈m−m2. ComoA/!c" es regular de

dimensi´ond−1 por 6.17, la hip´otesis de inducci´on implica que es un dominio entero

y por lo tanto!c"es un ideal primo. Sih(!c") =1, por la observaci´on de p´arrafo

anterior se sigue queAes dominio entero. Podemos entonces suponer queh(!c") =0

y por lo tanto es primo m´ınimo deA. SeaS el conjunto de primos m´ınimos deA

(sabemos queSes finito porque sus elementos son los primos m´ınimos de Ass(0)).

Hemos as´ı mostrado que para todoc∈m−m2,!c" ∈Sy por lo tanto

m₋m2_⊆'

p∈S

p

y consecuentementem⊆m2∪"%p∈Sp#. Por el ejercicio 12 de este cap´ıtulo (que

generaliza 1.9) se sigue quem⊆m2 ´o mest´a contenido en alguno de los primos

m´ınimosp∈Sy por lo tanto es igual a uno de ´estos. Sim⊆m2, entoncesm=m2

y por el lema de Nakayama se sigue quem=0, lo cual contradice el queh(m) =

dimA≥1. Sim∈S, entoncesh(m) =0, lo cual tambi´en contradice el queh(m) =

dimA≥1. Se sigue queh(!c") =0 no es posible y as´ıh(!c") =1 y como observamos

antes, ´esto implica queAes dominio entero. ()

Corolario 6.19 Sea(A,m)un anillo noetheriano local. Si A es regular de dimen-si´on1, entonces A es unDIPcon un ´unico ideal primo no nulo.

Demostraci´on.SeaIcualquier ideal propio no nulo deA. Por 6.14,I es principal,

digamosI=_!a_", y se tiene que√I=mporquemes el ´unico primo que contiene

aIya queh(m) =1. As´ı, por 4.12,mr_⊆Ipara alg´unr_≥1. Se sigue queA/mres

noetheriano local de dimensi´on 0 y por lo tanto es artiniano local. Por 4.39 todos los ideales deA/mrson principales, en particularI=_!as_"para alg´uns_≥1. Por lo

tanto,I=!as_"+mr_{y consecuentementeI=!a}s_{", por Nakayama. ()}

Ejemplo 6. Si(A,m) es un anillo noetheriano local de dimensi´on 1, entoncesA

es regular si y s´olo si A es un anillo de valuaci´on discreta. En efecto, ´esto es la

Ejercicios

6.1.Demuestre que un dominio entero de dimensi´on cero es un campo.

6.2.SiL/Kes una extensi´on algebraica de campos yα1, . . . ,αn∈L, demuestre que

K[α1, . . . ,αn] =K(α1, . . . ,αn).

6.3.SiKes un campo,A=K[α1, . . . ,αn]es un dominio entero,r=grtrK(A)yr>0,

demuestre queAno es un campo.

6.4.SiKes un campo yAes unaK-´algebra de tipo finito sobreKeI!Aes un ideal

propio, demuestre que _√

I= (

m⊇I

m

dondemrecorre los ideales m´aximos deAque contienen aI.

6.5.En el ejercicio anterior concluya que todo ideal primo deAse puede escribir

como intersecci´on de ideales m´aximos.

6.6.Si Aes un anillo noetheriano, demuestre que todo ideal primo p de alturan

aparece como un primo m´ınimo de un ideal generado pornelementos.

6.7.SiA⊆Bson anillos conBentero sobreA, demuestre que dimA=dimB.

6.8.SeanA_⊆Banillos que satisfacen las hip´otesis del teorema de bajada 2.26. Si

q⊆Bes primo yp=q∩A, demuestre queh(q)≥h(p).

6.9.Si Aes un anillo noetheriano e I!A es un ideal generado pornelementos,

demuestre que para todo ideal primopque contiene aIse tiene que

h(p/I)_≤h(p)_≤h(p/I) +n.

6.10.SeaK un campo. Demuestre que todaK-´algebraA⊆K[x]es de tipo finito

sobreKy siK!A, entonces dimA=1. Vea el ejercicio 24 del cap´ıtulo 3.

6.11.Si K es un campo algebraicamente cerrado y f _∈K[x1, . . . ,xn] es un

poli-nomio irreducible, un punto P_∈V_!f_" es liso si y s´olo si no todas las

deriva-das parciales formales ∂f/∂xi se anulan en P. Sea A=K[x1, . . . ,xn]/!f" y sea

m el ideal m´aximo correspondiente al puntoP, i.e., si P= (a1, . . . ,an), entonces

m=!x1−a1, . . . ,xn−an". Demuestre quePes liso si y s´olo siAmes un anillo local

regular, i.e., dimk(m/m2) =dimAm. Note que por 4.14,m/m2'mAm/(mAm)2.

6.12.(Una generalizaci´on de 1.9). Seana,p1, . . . ,pnideales de un anilloA, con los

piprimos. SiIes un ideal deAtal que

I⊆a_∪"

n

'

i=1

pi#