DISE ˜
NO DE CONTROLADORES PID EN FRECUENCIA
Roberto Sanchis Llopis (rsanchis@tec.uji.es) Julio A. Romero P´erez (romeroj@tec.uji.es)
Universitat Jaume I Departamento de Tecnolog´ıa
Resumen
En el presente trabajo se propone un m´etodo muy sencillo de dise˜no de controladores PID en frecuen-cia, que se basa en la utilizaci´on de un ´unico pa-r´ametro de ajuste. Ese par´ametro es la relaci´on entre la frecuencia de cruce de ganancia final y el cero del controlador. Los m´etodos cl´asicos de di-se˜no que se encuentran en la literatura b´asica de control son similares al propuesto, pero fijando ese par´ametro en un valor predeterminado. Los ejem-plos muestran que ese valor prefijado no es el mejor en general, pudiendo obtener un comportamiento mejor si se ajusta de forma adecuada ese par´ ame-tro. Se ha realizado tambi´en una herramienta in-teractiva de dise˜no, muy ´util para realizar el dise˜no y para ense˜nar el m´etodo propuesto a estudiantes de asignaturas b´asicas de control.
Palabras clave:PID, dise˜no en frecuencia.
1.
INTRODUCCI ´
ON
Una de las ´areas m´as prol´ıficas de investigaci´on dentro del Control Autom´atico es el desarrollo de m´etodos de ajuste de controladores PID. Sobre es-te es-tema se han escrito numerosos libros y art´ıculos. En unos, de car´acter acad´emico, se aborda el pro-blema desde un punto de vista m´as te´orico. Otros, m´as orientados a la ayuda de t´ecnicos e ingenieros que no tiene una preparaci´on espec´ıfica en control autom´atico, se limitan a dar recetas para el c´ alcu-lo de alcu-los par´ametros. Dos ejemplos de unos y otros son [4] y [5].
En general, para el c´alculo de los par´ametros de un controlador PID se pueden seguir dos m´etodos: M´etodo directo: A partir de la respuesta del sistema se calculan directamente los par´ ame-tros del controlador. El m´etodo de Ziegler-Nichols y sus variantes pertenecen a este tipo. M´etodo indirecto: A partir de la respuesta del sistema se obtiene un modelo, en base al cual se calculan los par´ametros del controla-dor aplicando alguna t´ecnica de dise˜no.
Una de las t´ecnicas de dise˜no aplicables en este ´
ultimo m´etodo, es la de respuesta de frecuencia. Entre algunas de sus ventajas est´an las siguien-tes: 1) La respuesta de frecuencia de un sistema tiene una interpretaci´on f´ısica relativamente f´acil de comprender. 2) El dise˜no en el dominio de la frecuencia es simple, y al basarse en la interpre-taci´on de informaci´on gr´afica, se pueden llegar a desarrollar habilidades intuitivas que facilitan el dise˜no.3) Permite tener en cuenta durante el di-se˜no el comportamiento del sistema ante ruidos y perturbaciones y la robustez frente a errores de modelado.
La idea general en la que se basa el dise˜no en fre-cuencia es modificar la respuesta de frefre-cuencia de la funci´on de transferencia de bucle abierto, para cumplir las especificaciones de dise˜no, seleccionan-do los par´ametros de ajuste del controlaseleccionan-dor que se est´a dise˜nando. Esta idea ha sido utilizada en [1, 2] para el dise˜no de compensadores.
En este trabajo se presenta una metodolog´ıa sim-ple para el ajuste de controladores PID mediante la respuesta en frecuencia. La principal ventaja de los m´etodos propuestos es que s´olo se necesita ajustar un par´ametro de dise˜no a partir del cual el c´alculo del controlador se obtiene de forma direc-ta mediante la realizaci´on de algunas operaciones sencillas.
La estructura del art´ıculo es como sigue: prime-ro se abordar´an los m´etodos de ajuste para los controladores PI, PD y PID. Despu´es se mostrar´a mediante algunos ejemplos la incidencia de los pa-r´ametros de dise˜no. Con posterioridad se comen-tar´a de forma breve las principales caracter´ıstica de una herramienta interactiva desarrollada para facilitar el dise˜no y el aprendizaje del m´etodo. Fi-nalmente se presentar´an las conclusiones del tra-bajo.
2.
M ´
ETODOS DE DISE ˜
NO
Los m´etodos propuestos en este art´ıculo se basan en la utilizaci´on del diagrama de Bode del pro-ceso, y de la modificaci´on de dicho diagrama por la contribuci´on en magnitud y en fase del contro-lador. Se trata de elegir el controlador de forma
que el sistema con el controlador tenga el compor-tamiento adecuado, expresado en t´erminos de las siguientes especificaciones de dise˜no:
- Error de posici´on epo de velocidad ev.
- Margen de fase Mf.
- Ancho de banda de bucle cerrado:wa.
- Tiempo de establecimiento:ts.
A continuaci´on se detallan los m´etodos de dise˜no propuestos para los controladores PI, PD y PID. 2.1. Controlador PI
La funci´on de transferencia de un controlador con acci´on proporcional e integral es:
C(s) =Kp 1 + 1 Tis =Kp s+zi s (1)
En el diagrama de Bode del controlador PI, (figura 1), se puede comprobar que la pendiente m´axima de la curva de fase se da en zi, y vale
aproxima-damente 60o/decada.
Figura 1: Diagrama de bode del controlador PI El procedimiento de dise˜no que se propone para este controlador parte de la especificaci´on del mar-gen de fase requerido,Mf, y es como sigue:
1. Se elige la relaci´on entreziy la frecuencia de
cruce de ganancia final del sistema con con-trolador:a=wg/zi, que es el par´ametro
fun-damental de ajuste. Valores razonables habi-tuales para este par´ametro van desde a = 1 hastaa= 3.
2. Se busca la frecuencia en la que la fase del sistema es:
−180 +Mf−∠C(jazi) =
−180 +Mf−(arctan(a)−90) (2)
Esta ser´a la nueva frecuencia de cruce de ga-nancia del sistema m´as el controlador,wg. Se
definezi=wg/a.
3. Se calculaKppara que la magnitud total a esa
wgsea 1 (0 db). Para ello se mide la magnitud
del sistema:
|G(jwg)H(jwg)|db+|C(jwg)|db= 0 (3)
4. Se calcula el ancho de banda en bucle cerra-do, o se calcula o mide el tiempo de estable-cimiento. Si la respuesta del sistema no es sa-tisfactoria se puede modificar el par´ametro de ajusteay repetir los c´alculos. En general, si se aumenta mucho el valor de a el ancho de banda aumenta, pero el tiempo de estableci-miento y la respuesta ante perturbaci´on em-peoran (por el aumento del tiempo integral). Si el reajuste deano permite obtener la res-puesta deseada, se necesita incluir el t´ermino derivativo (PID).
5. Se comprueba el error. Si no es lo bastante bajo se puede probar con a˜nadir el t´ermino derivativo (PID).
2.1.1. Comentarios
En elpaso 1 se elige la relaci´on entre la frecuen-cia de cruce de gananfrecuen-cia y la frecuenfrecuen-cia del cero del controlador (a = wg/zi). Esta relaci´on es el
par´ametro fundamental de dise˜no en la metodo-log´ıa propuesta. Para seleccionar el valor de a es importante tener en cuenta lo siguiente: si a=∞
el controlador ser´a uno proporcional, que garanti-zar´a el m´aximo ancho de banda posible, pero nula correcci´on del error en r´egimen permanente; por el contrario, si a = 0 el controlador ser´a un in-tegrador, que permitir´a una r´apida correcci´on del error pero un ancho de banda muy limitado. En [1, 2] la relaci´on entre wg y zi se fija entre 8 y
10 con el objetivo de evitar que el retardo de fase que produce el controlador se introduzca cerca de la frecuencia de cruce de ganancia, y reduzca el margen de fase del sistema. De esta forma se bus-ca obtener un buen ancho de banda. Sin embargo este criterio, como se ver´a m´as adelante mediante algunos ejemplos, no asegura un comportamien-to adecuado en lo que respecta a la velocidad de correcci´on de error de r´egimen permanente, espe-cialmente ante perturbaci´on.
En la mayor´ıa de casos, valores del par´ametroa
entre 1 y 3 dan lugar a un buen compromiso entre ancho de banda y respuesta ante perturbaci´on. La excepci´on se da cuando la pendiente de ca´ıda de la fase del sistema a la frecuencia de cruce de ga-nancia final es menor que la pendiente de subida
de la fase del controlador (que es de 60o/dcadasi
a = 1). En ese caso al aumentar a se mejora la respuesta ante referencia y ante perturbaci´on. El c´alculo de la fase del controlador (∠C(s)) que se realiza en elpaso 2 s´olo depende del valor de
a, que ha sido asignado en el paso 1. Es la fase de C(s) a la frecuencia que ser´a la frecuencia de cruce de ganancia,s=jazi. De esta forma se
ob-tiene exactamente el valor de la fase del sistema
∠G(s) que garantiza el margen de fase deseado y se determina lawg deseada.
2.2. Controlador PD con filtro
C(s) =Kp 1 +Tds 1 +Td Ns =Kp 1 + s zd 1 + s N zd (4)
Figura 2: Diagrama de bode del controlador PD
wm=zd √ N = 1 Td √ N
El procedimiento de dise˜no que se propone para este controlador es como sigue:
1. Se decide el par´ametro del filtro, N (y por tanto el adelanto de fase m´aximofm) en
fun-ci´on de las caracter´ısticas del ruido del sensor. Valores t´ıpicos pueden estar entre 14 y 20 (fm
entre 60 y 65o).
2. Se decide la relaci´on entre el cero y la frecuen-cia de cruce de gananfrecuen-cia final: a = wg/zd.
Este ser´a el par´ametro fundamental de ajus-te del controlador. Valores adecuados de esajus-te par´ametro suelen estar entre 1 y 3.
3. Se busca la frecuencia en la que la fase del sistema es:
−180 +Mf −∠C(jazd) =
−180 +Mf−arctan(a) + arctan(a/N)
(5) Esa frecuencia ser´a la nueva frecuencia de cruce de ganancia, wg. De aqu´ı se obtiene
zd=wg/ay por tantoTd.
4. Se calcula Kp para que la magnitud total a
esa frecuenciawg sea 1 (0db):
|G(jwg)H(jwg)|db+|C(jwg)|db= 0 (6)
5. Se calcula el error y se comprueba. Si no es lo bastante bajo, se puede a˜nadir un t´ermino integral.
6. Se calcula el ancho de banda resultante en bu-cle cerrado (o el tiempo de establecimiento). Si la respuesta del sistema no es satisfactoria se puede modificar el par´ametro de ajusteay repetir los c´alculos. En general el mayor an-cho de banda se consigue cona=√N, pero la respuesta ante perturbaci´on no es necesa-riamente la mejor con este ajuste.
2.2.1. Comentarios
En elpaso 2 se elige la relaci´on entre la frecuencia de cruce de ganancia y la frecuencia del cero del controlador (a = wg/zd). Esta relaci´on es el
pa-r´ametro fundamental de dise˜no en la metodolog´ıa propuesta.
En [1, 2] la relaci´on entrewg yzd se fija para que
el controlador tenga la fase m´axima a la frecuencia de cruce de ganancia, lo cual es equivalente a elegir
a=√N. Esta elecci´on tiende a dar el mayor ancho de banda, pero el comportamiento ante referencia y especialmente ante perturbaci´on puede no ser el m´as adecuado, tal y como se mostrar´a en los ejemplos.
2.3. Controlador PID con filtro
C(s) =Kp 1 +Tds+ 1 Tis 1 + Tds N ≈K (1 + s zi )(1 + s zd ) 1 + s N zd (7) donde:
Kp=K zd+zi zdzi (8) Td= 1 zd+zi (9) Ti= zd+zi zdzi (10)
Figura 3: Diagrama de bode del controlador PID En la figura 3 se muestra el diagrama de bode del controlador PID. La pendiente m´axima de la curva de fase se da aproximadamente en el punto medio entreziyzd, y depende deN. El valor es la
suma de las pendientes de los t´erminos PI y PD, es decir, para N > 20 es de unos 120o/decada,
mientras paraN = 10 es de unos 112o/decada.
El procedimiento de dise˜no que se propone para este controlador es como sigue:
1. Se decide el par´ametro del filtro, N (y por tanto el adelanto de fase m´aximofm) en
fun-ci´on de las caracter´ısticas del ruido del sensor. Valores t´ıpicos pueden estar entre 14 y 20 (fm
entre 60 y 65o).
2. Se fijan los dos ceros iguales (zd = zi) , y
se elige la relaci´on entre dichos ceros y la fre-cuencia de cruce de ganancia final:a=wg/zd.
Este ser´a el par´ametro fundamental de ajus-te del controlador. Valores adecuados de esajus-te par´ametro suelen estar entre 1 y 3.
3. Se busca la frecuencia en la que la fase del sistema es:
−180 +Mf−∠C(jazd) =
−180+Mf−(−90+2 arctan(a)−arctan(a/N))
(11)
Esa frecuencia ser´a la nueva frecuencia de cruce de ganancia, wg , del sistema con el
controlador. De aqu´ı se obtienen los ceros:
zd=zi=wg/a.
4. Se calcula Kp para que la magnitud total a
esa frecuencia sea 1 (0db):
|G(jwg)H(jwg)|db+|C(jwg)|db = 0 (12)
5. Se comprueba el error. Si no se cumple, no se puede conseguir con un controlador PID. 6. Se calcula el ancho de banda en bucle
cerra-do, o se calcula o mide el tiempo de estable-cimiento. Si la respuesta del sistema no es sa-tisfactoria se puede modificar el par´ametro de ajusteay repetir los c´alculos. En general, si se aumenta el valor de a el ancho de banda aumenta, pero el tiempo de establecimiento y la respuesta ante perturbaci´on empeoran (por el aumento del tiempo integral).
2.3.1. Comentarios
En elpaso 2 se elige la relaci´on entre la frecuencia de cruce de ganancia y la frecuencia de los ceros del controlador (a = wg/zi). Esta relaci´on es el
par´ametro fundamental de dise˜no en la metodolo-g´ıa propuesta. En [1, 2] la relaci´on entre wg yzi
se fija entre 8 y 10 con el objetivo de evitar que el retardo de fase que produce el controlador se introduzca cerca de la frecuencia de cruce de ga-nancia, y reduzca el margen de fase del sistema. De esta forma se busca obtener un buen ancho de banda. Sin embargo este criterio, con se ver´a m´as adelante mediante algunos ejemplos, no asegura un comportamiento adecuado en lo que respecta a la velocidad de correcci´on de error de r´egimen permanente, especialente ante perturbaci´on. En la mayor´ıa de casos, valores del par´ametro a
entre 1 y 3 dan lugar a un buen compromiso entre ancho de banda y respuesta ante perturbaci´on. La excepci´on se da cuando la pendiente de ca´ıda de la fase del sistema a la frecuencia de cruce de ganan-cia final es menor que la pendiente de subida de la fase del controlador (que es aproximadamente de 110o/decada sia= 1). En ese caso al
aumen-tarase mejora la respuesta ante referencia y ante perturbaci´on.
La elecci´on de zd = zi no es un requisito
indis-pensable para la aplicaci´on del m´etodo. Se podr´ıa aplicar de forma similar si se fija a priori una rela-ci´on distinta entre los ceros (por ejemplozd= 2zi).
´
Unicamente cambiar´ıa la ecuaci´on de la fase en el paso 3. Sin embargo, haciendo los ceros distintos no se consigue en general una diferencia significa-tiva en el comportamiento final.
2.4. Comentarios generales
En el caso de que no se disponga de un modelo del proceso, sino ´unicamente de la gr´afica de res-puesta en frecuencia, se puede utilizar un m´etodo heur´ıstico muy simple para ajustar el valor del pa-r´ametroa, que suele dar buenos resultados en los 3 tipos de controladores. Consiste en buscar el valor de a que da lugar a un m´aximo del punto me-dio entre los ceros (zd, zi) y la frecuencia de cruce
de ganancia, es decir, del factor√ziwg =zi√a ´o
√z
dwg = zd√a. Esta estrategia corresponde con
un compromiso entre ancho de banda y rapidez de correcci´on del error. Se podr´ıa, por ejemplo empe-zar con un valor a = 1, e ir aumentando dicho par´ametro hasta que el punto medio entre los ce-ros del controlador (zd, zi) y la frecuencia de cruce
sea a la m´axima frecuencia posible.
3.
EJEMPLOS
Los siguientes ejemplos pretenden ilustrar c´omo afecta la elecci´on del par´ametroa en los resulta-dos del dise˜no, tanto en la respuesta ante cambios en la referencia como ante perturbaci´on y por tan-to la necesidad de hacer una correcta elecci´on del mismo. Tambi´en se demuestra la facilidad de ajus-te del controlador al modificar un ´unico par´ ame-tro. Adem´as se comparan los resultados obtenidos por los m´etodos propuestos en este trabajo, con los que se obtienen siguiendo los criterios de dise-˜
no que aparecen en [1]. En todos los ejemplos se ha considerado como criterio de dise˜no un margen de fase de 50o.
3.1. Ejemplo 1
Para un sistema con funci´on de transferencia:
G(s) = 2
(s+ 1)(s+ 2) (13) se realiz´o el dise˜no de varios controladores PI, con-siderando diferentes valores dea.
En la figura 4 se muestran las respuestas ante cam-bios en la referencia y perturbaci´on del sistema controlado. Para el dise˜no con a = 10 se consi-gue el m´ınimo tiempo de subida, pero el tiempo de establecimiento y el tiempo de correcci´on de la perturbaci´on es excesivo comparado con el que se obtiene dise˜nando el controlador cona= 1. Para este ´ultimo valor de a, sin embargo, la amplitud de la respuesta ante perturbaci´on es pr´ acticamen-te el doble de la que se consigue con a= 10. Un comportamiento m´as adecuado se obtiene con el controlador dise˜nado para a = 2. Con este valor dease reducen los tiempos de establecimiento an-te cambios en la referencia y perturbaci´on respecto
de los conseguidos cona= 1 y a= 10.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 tiempo (seg.) y(t) a=1 a=2 a=10
Figura 4: Respuestas ante cambios en la referencia y perturbaci´on del sistema G(s) controlado con controladores PI dise˜nador con distintos valores dea.
Paraa = 10 el cero resultante del controlador es menor que el correspondiente al caso en quea= 2, como se puede ver en la figura 5. En consonancia, el tiempo integral paraa= 2 es menor y por tan-to la correcci´on del error de estado estable m´as r´apida. Esto es a costa de una disminuci´on del an-cho de banda del sistema respecto de a= 10. En la gr´afica se puede notar que el punto medio en-tre el cero del controlador y la frecuencia de cruce de ganancia es mayor para el caso en quea = 2, correspondiendo con un mejor comportamiento de la respuesta temporal tal como se muestra en la fi-gura 4. −50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 50 Magnitude (dB) 10−2 10−1 100 101 102 −180 −135 −90 −45 Phase (deg) Bode Diagram Frequency (rad/sec) o o a=10 a=2
Figura 5: Diagramas de bode de las funciones de transferencia de bucle abierto para los dise˜nos con
a = 10 (l´ınea discontinua) y a = 2 (l´ınea conti-nua).o representa las frecuencias de los ceros de los controladores.
La excesiva sobreoscilaci´on ante referencia se pue-de reducir pue-de forma consipue-derable si se introduce un factor de ponderaci´on de la referenciab= 0,75, en la parte proporcional del PI (figura 6).
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 tiempo (seg.) y(t)
Figura 6: Respuesta del sistema con el controlador dise˜nado para a=2. L´ınea gruesa: con ponderaci´on de la referencia, b=0.75. L´ınea fina: sin pondera-ci´on de la referencia.
3.2. Ejemplo 2
En este caso se dise˜naron varios controladores PD para un sistema con funci´on de transferencia:
G(s) = 2
s(s+ 1)(s+ 2) (14) Se toma como par´ametro del filtro del derivador
N = 15. La estructura del controlador PD coinci-de con la coinci-de un compensador coinci-de acoinci-delanto coinci-de fase. Teniendo en cuenta esto se ha realizado un dise˜no cona=√N, valor para el cual el m´aximo aporte de fase del controlador PD tiene lugar a la fre-cuencia de cruce de ganancia. Este es el criterio seguido en [1]. Adem´as de han dise˜nado contro-ladores para a = 1 y a = 2, obteni´endose para este ´ultimo valor los mejores resultados tanto de respuesta ante referencia como ante perturbaci´on, figura 7. El dise˜no cona=√N es el que presenta el peor comportamiento ante perturbaci´on.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 tiempo (seg.) y(t) a=2 a=1 a=sqrt(N)=3.87
Figura 7: Respuestas ante cambios en la referencia y perturbaci´on del sistema G(s) controlado con controladores PD dise˜nador con distintos valores dea.
En la figura 8 se muestran los diagramas de bode de las funciones de transferencia de bucle abierto para los dise˜nos cona=√Nya= 2. En la gr´afica se puede notar que paraa= 2 el punto medio entre
el cero del controlador y la frecuencia de cruce es mayor que paraa=√N, lo cual se traduce en un mejor comportamiento de la respuesta temporal, tal como se muestra en la figura 7.
10−2 10−1 100 101 102 103 −270 −225 −180 −135 −90 −45 Phase (deg) −150 −100 −50 0 50 Magnitude (dB) Bode Diagram Frequency (rad/sec) o o x x a=sqrt(15) a=2 a=2 a=sqrt(15)
Figura 8: Diagramas de bode de las funciones de transferencia de bucle abierto para los dise˜nos con
a = √N (l´ınea discontinua) ya = 2 (l´ınea con-tinua). o y x representan las frecuencias de los ceros y polos distintos de 0 de los controladores respectivamente.
El exceso de sobreoscilaci´on ante referencia se pue-de reducir utilizando un factor pue-de ponpue-deraci´on en el t´ermino derivativo del controlador, tal y como se muestra en la figura 9. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 tiempo (seg.) y(t)
Figura 9: Respuesta del sistema con el controlador dise˜nado para a=2. L´ınea gruesa: con ponderaci´on de la derivada, c=0.75. L´ınea fina: sin ponderaci´on de la derivada.
3.3. Ejemplo 3
En este ´ultimo ejemplo se han dise˜nado varios con-troladores PID con diferentes valores deapara el sistema con funci´on de transferencia:
G(s) = 2
s(s+ 1)(s+ 2) (15) En la figura 10 se muestran las respuestas del sis-tema controlado. Paraa= 1 se tiene el peor tiem-po de establecimiento tanto ante referencia como
ante perturbaci´on. Con a = 2 se mejoran ambas respuestas, reduci´endose los tiempos de estableci-miento y la amplitud de respuesta ante perturba-ci´on. Un incremento dea hasta 4 provoca nueva-mente un incremento de los tiempos de estableci-miento. 0 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 tiempo (seg.) y(t) a=1 a=4 a=2
Figura 10: Respuestas ante cambios en la referen-cia y perturbaci´on del sistemaG(s) controlado con controladores PID dise˜nador con distintos valores dea.
Si se introduce una ponderaci´on de la referencia en el t´ermino proporcional, se consigue disminuir la sobreoscilaci´on ante cambios en la referencia, como se muestra en la figura 11. En esa misma figura se muestra la respuesta del sistema con un controlador dise˜nado siguiendo los criterios pre-sentados en [1]: frecuencia del cero de la red de atraso (zi) a 1/10 de la frecuencia de cruce de
ga-nancia, y el m´aximo aporte de fase de la red de adelanto que tenga lugar a la frecuencia de cruce de ganancia. Como se puede ver, siguiendo estos criterios para el dise˜no del controlador la respues-ta del sistema se hace inicialmente m´as r´apida pe-ro el tiempo de establecimiento se incrementa de forma considerable, tanto ante perturbaci´on como ante referencia. Analizando la figura 12 se puede comprobar que para este dise˜no el ancho de ban-da es mayor, sin embargo, la presencia de un cero del controlador en ω = 0,15rad/seg hace que la correcci´on del error sea m´as lenta que para el di-se˜no cona= 2, en el que los ceros del controlador se ubican enω= 0,4rad/seg.
4.
HERRAMIENTA
INTERACTIVA PARA EL
DISE ˜
NO
En los m´etodos antes expuestos para el dise˜no del controladores PID, la selecci´on de a yN son los dos puntos que demandan el criterio del dise˜nador. Una vez que estos par´ametros han sido selecciona-dos, el m´etodo se reduce a la realizaci´on de los c´alculos para determinar los par´ametros del con-trolador. Esto ha motivado el desarrollo de una herramienta para el dise˜no. La herramienta ha
si-0 10 20 30 40 50 60 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 tiempo (seg.) y(t)
Figura 11: Respuesta del sistema con el contro-lador dise˜nado para a=2. L´ınea gruesa: con pon-deraci´on de la referencia, b=0.75. L´ınea fina: sin ponderaci´on de la referencia. En l´ınea discontinua la respuesta del sistema con el controlador dise˜ na-do siguienna-do los criterios propuestos en [1].
10−3 10−2 10−1 100 101 102 103 −270 −225 −180 −135 −90 Phase (deg) −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 Magnitude (dB) Bode Diagram Frequency (rad/sec) x o o o x Ogata a=2 Ogata a=2
Figura 12: Diagramas de bode de las funciones de transferencia de bucle abierto para los dise˜nos con los criterios que aparecen en [1] (l´ınea discontinua) y con el m´etodo propuesto en este trabaja siendo
a= 2 (l´ınea continua). oyx representan las fre-cuencias de los ceros y polos distintos de 0 de los controladores respectivamente.
do desarrollada mediante el entorno Easy Java Si-mulations, y se puede colgar directamente en una p´agina web. La herramienta se puede utilizar de 2 formas diferentes. En la primera forma, la aplica-ci´on realiza de forma autom´atica los c´alculos del controlador elegido (PI, PD ´o PID) cada vez que el usuario modifica alg´un par´ametro (como mar-gen de fase deseado,N, o el par´ametro fundamen-tal de dise˜no, a). Este modo autom´atico permite ver de forma muy directa el efecto de modificar
a sobre el comportamiento del sistema. En par-ticular, se puede ver en tiempo real el diagrama de bode y la respuesta temporal ante referencia escal´on y ante perturbaci´on. El criterio heur´ısti-co de cambiar a hasta que el punto medio entre
zi y wg sea m´aximo es muy sencillo de aplicar,
simplemente arrastrando el dial. La segunda for-ma de utilizar la aplicaci´on es en modo manual,
en el que el usuario tiene que modificar a mano cada uno de los par´ametros de dise˜no, y de los pa-r´ametros del controlador, siguiendo los pasos de los m´etodos descritos. El diagrama de bode mues-tra en tiempo real la informaci´on necesaria para poder aplicar esos pasos sin necesidad de resolver la ecuaci´on manualmente. Es decir, cada paso del dise˜no consiste en arrastrar el dial del par´ametro que corresponda (por ejemplozi) hasta que en la
gr´afica se observe que se cumple la ecuaci´on reque-rida. Esta forma de realizar el dise˜no refuerza los conceptos m´as que las f´ormulas exactas del m´eto-do.
En la figura 13 se muestra la ventana principal de la herramienta. El panel de la derecha aparecen los diagramas de bode del sistema a controlar, de bucle abierto, del controlador y, opcionalmente, de bucle cerrado. En el de la izquierda aparecen los controles para fijar los par´ametros y realizar el dise˜no de forma manual o autom´atica. La figura 14 muestra la ventana de respuesta temporal que incluye la herramienta.
Figura 13: P´agina principal de la herramienta para el dise˜no de controladores PID en frecuancia.
5.
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha propuesto un m´etodo muy sencillo para dise˜nar controladores PID mediante la respuesta en frecuencia. El m´etodo se basa en la utilizaci´on de un ´unico par´ametro principal de ajuste, que es la relaci´on entre la frecuencia de cruce de ganancia y los ceros del controlador. Los m´etodos cl´asicos de dise˜no que se encuentran en la literatura b´asica de control son similares al propuesto, pero fijando ese par´ametro en un valor predeterminado (a= 10 para el PI). Los ejemplos
Figura 14: Ventana que muestra el comportamien-to temporal del sistema controlado.
muestran que ese valor prefijado no es el mejor en general, pudiendo obtener un comportamiento mejor si se ajusta de forma adecuada ese par´ ame-tro. Diversos ejemplos muestran que valores razo-nables habituales para este par´ametro van desde
a= 1 hastaa= 3.
Se ha propuesto una estrategia heur´ıstica para el ajuste del par´ametro fundamental de dise˜no, con-sistente en lograr un valor m´aximo del punto me-dio entre los ceros del controlador y la frecuencia de cruce de ganancia final. Dicha estrategia pue-de aplicarse sin necesidad pue-de obtener la respuesta temporal del sistema.
Se ha desarrollado tambi´en una herramienta inter-activa de dise˜no, basada en Easy Java Simulations, muy ´util para realizar el dise˜no y para que estu-diantes de asignaturas b´asicas de control puedan entender f´acilmente el m´etodo propuesto.
Referencias
[1] Ogata, K., (2003) Modern Control Enginee-ring.
[2] D’azzo-Houpis, (1992) Sistemas de Control Realimentados.
[3] Ziegler, J.G., Nichols, N.B., (1942) Optimun setting for automatic controller. Transactions of the American Society of Mechanical Engi-neers, 64, 759-768.
[4] Yu, C.C., (1999) Autouning of PID contro-llers.
[5] Clair, D.W., (1990) Controller tuning and control loop performance. PID without the math.
