x y x y y x a) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida. b) Estudiar la continuidad de f en (0,0) y

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₁ 1.- Dada la función 2 2 2 3 2 2 ( ) ( , ) (0, 0) ( , ) 0 ( , ) (0, 0) xy x y x y f x y yx y y x x y ⎧ − _{∀ ≠} ⎪ =_⎨ − + − ⎪ ₌ ⎩ :

a) Dibujar el conjunto de puntos del plano donde f no está definida. b) Estudiar la continuidad de f en (0,0)

c) Calcular f_x′(0, 0) y f_y′(0, 0) (si es necesario prolongar por continuidad)

d) Estudiar la diferenciabilidad de f en (0,0) (si es necesario prolongar por continuidad) Solución: a) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)( ) xy x y xy x y xy x y yx y y x y x y x y y x y − ₌ − ₌ − − + − − − − − − Por consiguiente D=

{

( , )x y ∈ 2/(y−1)(x2−y2)≠0

}

∪

{

(0, 0)

}

2 2 2 2 1 (y 1)(x y ) 0 y x y x y y x = ⎧ − − _{= ⇔ ⎨} = ⇔ = ⇔ = ± ⎩ y=x y=-x y=1 b) 2 2 2 2 ( ) ( , ) ( 1)( ) 1 xy x y xy x y D y x y y − ∀ ∈ = − − − , entonces:

{

}

( , ) (0, 0) 1 ( , ) 0 ( , ) (0, 0) xy x y D y f x y x y ⎧ _{∀ ∈ −} ⎪ − = ⎨ ⎪ ₌ ⎩

Ahora se analizará la continuidad en el punto (0,0):

( , )x ylim(0,0) ( , ) ( , )x ylim(0,0) ₁ 0 (0, 0)

xy

f x y f f

y

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₂ c) 0 0 0 0 ( , 0) (0, 0) ₁ (0, 0) lim lim 0 x h h f h f f h h → → − − ₋ ′ = = = 0 0 0 0 (0, ) (0, 0) ₁ (0, 0) lim lim 0 y k h f k f _k f k k → → − − ₋ ′ = = =

d) En el punto (0,0) se cumplen las condiciones necesarias para diferenciabilidad, la función es continua y fx′(0, 0) y fy′(0, 0) son finitas, por lo que aplicaremos la condición necesaria y suficiente.

2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) ₁ lim x y lim h k h k hk f h k f h f k f _k h k h k → → ′ ′ − − ⋅ − ⋅ ₋ = = + + 2 (1) (2) 2 2 ( , ) (0,0) 0 0

cos sin cos sin

lim lim lim 0

sin 1 sin 1 1 h k hk k h k ρ ρ ρ θ θ ρ θ θ θ ρ θ ρ ρ θ + + → → → = = = = ∀ − ⋅ − − ⋅ +

Por lo tanto, f es diferenciable en el punto (0,0).

(1) En polares: cos sin x y ρ θ ρ θ = ⎧ ⎨ = ⎩ (2) 0 lim sin 1 1 ρ_→ + ρ θ − =

2.- Dada la siguiente función

3 2 2 si ( , ) (0, 0) ( , ) 0 si ( , ) (0, 0) y x e x y f x y x y x y ⎧ ⋅ ≠ ⎪ =⎨ + ⎪ ₌ ⎩

a) Estudiar la continuidad de f en el plano 2_.

b) Calcular las derivadas parciales de orden uno de f en el plano 2

. a) Analizar la diferenciabilidad de orden uno de la función f en el plano 2

. Solución: a) ∀( , )x y ≠(0,0) f es continua. (0,0) 0 f = 3 3 3 sin 3 sin 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 0 cos

lim ( , ) lim lim lim cos 0

y x y x y x e e f x y e x y ρ θ ρ θ ρ ρ ρ θ _{ρ θ} ρ + + → → → → ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ ⋅ = +

Por lo tanto, f es continua en el punto (0,0). b) ∀( , )x y ≠(0, 0): 4 2 2 2 2 2 ( 3 ) ( , ) ( ) y x x x y e f x y x y + ⋅ ′ = + 2 2 3 2 2 2 ( 2 ) ( , ) ( ) y y x y y x e f x y x y + − ⋅ ′ = +

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₃ 3 2 0 0 ( , 0) (0, 0) (0, 0) lim lim 1 x h h h f h f _h f h h → → − ′ = = = 2 0 0 0 (0, ) (0, 0) (0, 0) lim lim 0 y k k f k f _k f k k → → − ′ = = = c) ∀( , )x y ≠(0,0) f es diferenciable.

Para analizar la diferenciabilidad en el punto (0,0) utilizaremos la condición necesaria y suficiente:

(

)

(

)

(

)

3 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 3 3 sin 3 2 3 2 3/ 2 3 ( , ) (0,0) 2 2 0 3 sin 2 0 ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) lim lim

cos 1 cos sin

( 1)

lim lim

lim cos 1 cos sin s

k x y h k h k k h k h e h f h k f h f k f h k h k h k e h e hk h k e ρ θ ρ ρ θ ρ ρ θ ρ θ θ ρ θ θ θ + + → → → → → ⋅ ₋ ′ ′ − − ⋅ − ⋅ ₊ = = + + ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ − − = = = + = ⋅ − − ⋅ = 2 in θ⋅cosθ ≠0 Por lo tanto f es diferenciable en el punto (0,0).

3.- Sea sin( ) si 0 sin( ) ( , ) 0 si ( ,0), x x y y y f x y x x − ⎧ _≠ ⎪ − = ⎨ ⎪ _∈ ⎩ Estudiar en el punto (0,0): c) La continuidad de f.

d) Las derivadas parciales de f. b) La diferenciabilidad de f.

Solución:

a) f(0,0)=0

Calcularemos los límites direccionales de la función f en el punto (0,0):

( , ) (0,0) 0 lim ( , ) 0 x y y f x y → = = { } ´ ´ ( , ) (0,0) 0 0 0 0 2 ₀ 3 _{( , ) (0,0)}

sin( ) 1 cos( ) 1 sin( )

lim ( , ) lim lim lim

sin( ) cos( ) sin( )

1 1 lim lim ( , ) L H L H x y x x x y mx m x x y x x x x f x y mx mx m m mx m m mx x f x y m mx m → → → → = ∀ ∈ − → → − − = = = − − ⋅ ⋅ = ⇒ ∃ ∼ ∼

Por lo tanto, f no es continua en (0,0). b) 0 0 ( ,0) (0, 0) 0 0 (0,0) lim lim 0 x _{h h} f h f f h h → → − − ′ = = =

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₄

0 0 0

0

0

(0, ) (0, 0) sin( ) 0

(0,0) lim lim lim 0

y k k k f k f k k f k k k → → → − − − ′ = = = =

c) Al no ser f continua en (0,0) no puede ser diferenciable en dicho punto (no cumple la condición necesaria). 4.- Dada la función

(

)

2 2 2 1 L sin ( , ) (0, 0) ( , ) 0 ( , ) (0, 0) y x e x y f x y x y x y ⎧ ⎛ ⎞ + ⋅ ∀ ≠ ⎪ ⎜ ⎟ =⎨ ⎝ + ⎠ ⎪ ₌ ⎩ :

a) Analizar la continuidad de f en el punto (0,0). b) Calcular f_x′(0,0) y f_y′(0, 0).

c) Estudira la diferenciabilidad de f en el punto (0,0).

Solución: a) f es continua en (0,0) ( , )x ylim→(0,0)f x y( , ) f(0,0) ⇔ = (0,0) 0 f =

( , )x ylim→(0,0) f x y( , )=L1 (acotado)⋅ = ⋅0 (acotado)= =0 f(0,0)

Luego, f es continua en (0,0). b)

(

2

)

2 2 2 0 0 0 1 1 L 1 sin sin ( ,0) (0, 0)

(0,0) lim lim lim

x _{h h h} h h f h f h h f h h h → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⋅ _{⎜ ⎟} ⋅ _{⎜ ⎟} − _{⎝ ⎠ ⎝ ⎠} ′ = = ∼ = 2 0 1

lim sin 0 (acotado) 0

h→ h _h ⎛ ⎞ = ⋅ _{⎜ ⎟}= ⋅ = ⎝ ⎠

( )

2 2 2 0 0 0 0 1 1 L sin sin (0, ) (0, 0) 1

(0,0) lim lim lim lim sin

k y _{k k k k} e k f k f k k f k k k k → → → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ _{⎜ ⎟} ⋅ _{⎜ ⎟} − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ′ = = = = _{⎜ ⎟}⇒ ⎝ ⎠ ⇒ ∃f_y′(0, 0)

c) ∃f_y′(0,0) ⇒ f no puede ser diferenciable en (0,0).

5.- Sea la función 2 2 2 si ( , ) (0, 0) ( , ) 0 si ( , ) (0, 0) x y x y f x y x y x y ⎧ ⋅ _≠ ⎪ =⎨ + ⎪ ₌ ⎩ . a) Analizar si f es diferenciable en (0,0).

b) Si u=( ,h h_{1 2}) es un vector unitario, ¿la derivada direccional de f en (0,0) según la dirección del vector u viene dada por la expresión

1 x(0, 0) 2 y(0, 0)

h ⋅f′ + ⋅h f′ ? Razonar la respuesta.

b) Hallar la derivada direccional de f en (0,0) según la dirección del vector (1,1)

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₅ Solución:

a) Condición necesaria para ser diferenciable:

2 0 0 0 ( , 0) (0, 0) (0, 0) lim lim 0 x h h f h f _h f h h → → − ′ = = = 2 0 0 0 (0, ) (0, 0) (0, 0) lim lim 0 y k k f k f _k f h k → → − ′ = = =

Condición necesaria y suficiente:

2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 3 2 3 0 ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) lim lim cos sin lim ( ) 0 no es diferenciable. x y h k h k h k f h k f h f k f _{h k} h k h k ρ ρ θ _{θ ϕ θ} ρ + → → → ⋅ ′ ′ − − ⋅ − ⋅ ₊ = = + + ⋅ ⋅ = = ≠ ⇒ b) Como f no es diferenciable en (0,0) _{1 2} (0,0) (0, 0) (0, 0) x y df h f h f du ′ ′ ⇒ ≠ ⋅ + ⋅

c) Para calcular la derivada direccional en (0,0) debemos usar la definición:

3 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 0 (0,0) ( , ) (0, 0) lim lim ( , ) h h f h h f df h h u h h du λ λ λ λ λ _λ λ λ → → ⋅ ⋅ − = = = ⋅ ∀ = unitario. Haremos u =(1,1) unitario: 1 , 1 2 2 u = ⎜⎛ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ y 2 (0,0) 1 1 1 2 2 2 2 df du ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} ⋅ = ⎝ ⎠ . 6.- Dada la funcioón 3 2 2 si ( , ) (0, 0) ( , ) 2 0 si ( , ) (0, 0) y x y f x y x y x y ⎧ ≠ ⎪ =⎨ + ⎪ ₌ ⎩ :

a) Analizar la continuidad de f en el punto (0,0). b) Calcular f_x′(0,0) y f_y′(0, 0).

c) Estudiar la diferenciabilidad de f en el punto (0,0).

Solución: a) 3 3 3 (polares) 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0 0 sin sin

lim ( , ) lim lim

cos 2 sin cos 2 sin

x y f x y ρ ρ ρ θ _ρ θ ρ θ ρ θ θ θ + + → → → ⋅ = = ⋅ = ⋅ + ⋅ + 0 acotado 0 f(0, 0) f es continua en (0, 0). θ ∀ = ⋅ = = ⇔ b) 2 0 0 0 0 ( , 0) (0, 0) (0, 0) lim lim 0 x _{h h} f h f _h f h h → → − − ′ = = =

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₆ 3 2 0 0 0 (0, ) (0, 0) ₂ 1 (0, 0) lim lim 2 y k h k f k f _k f k k → → − − ′ = = = c) f diferenciable en (0,0) ⇔ 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) lim x y 0 h k f h k f h f k f h k → ′ ′ − − ⋅ − ⋅ ⇔ = + En este caso:

(

)

(

)

3 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 1 2 2 2 2

lim lim lim

2 2 2 2 h k h k h k k k k kh k _{k h} h k h k h k h k h k h k → → → − ⋅ _{− −} ⋅ + ⇔ = = = + + + + +

(

)

3 2 (Polares) 2 2 2 0 sin cos lim ( ) 0 2 cos 2 sin ρ ρ θ θ ϕ θ θ ρ θ θ ρ + → ⋅ ⋅ = = ≠ ∀ ⋅ + ⋅ Luego f no es diferenciable en (0,0). 7.- Dada la función 2 3 3 2 2 sin 2 2 ( , ) (0, 0) ( , ) 0 ( , ) (0, 0) x y x y x x y f x y x y x y x y ⎧ ₊ ⋅ _⋅ ⎛ + ⎞ _{∀ ≠} ⎪ ⎜ ⎟ =_⎨ + _⎝ + _⎠ ⎪ ₌ ⎩ , a) Analizar su continuidad en 2.

b) Calcular sus primeras derivadas parciales en (0,0). c) Analizar su diferenciabilidad en (0,0).

d) Estudiar su derivabilidad en (0,0).

Solución:

a) D= 2 y ∀( , )x y ∈ −D

{

(0, 0)

}

f es continua (composición de funciones continuas) En el punto ( , )x y =(0, 0), ∃f(0, 0)=0

2 3 3 2 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2

( , )x ylim(0,0) ( , ) ( , )x ylim(0,0) sin 0 ( , )x ylim(0,0) sin

x y x y x y x y f x y x x y x y x y x y → → → ⎡ ⋅ ⎛ + ⎞⎤ ⋅ ⎛ + ⎞ = _⎢ + ⋅ _{⎜ ⎟⎥}= + ⋅ _{⎜ ⎟} + _⎝ + _⎠ + _⎝ + _⎠ ⎣ ⎦ Y 2 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) 0

cos sin (cos sin )

lim sin lim sin

x y x y x y x y x y ρ ρ θ θ ρ θ θ ρ ρ + → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ _⋅ + ₌ ⋅ ⋅ _⋅ ⋅ + ₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + _⎝ + _{⎠ ⎝ ⎠}

(

)

[

)

2 3 3 0

lim cos sin sin (cos sin ) 0 0, 2

ρ_→ +ρ θ θ ρ θ θ θ π

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = ∀ ∈

Luego

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₇ b) 2 0 0 0 sin ( , 0) (0, 0) (0, 0) lim lim 1 x h h h h f h f _h f h h → → + ⋅ − ′ = = = 2 0 0 0 sin (0, ) (0, 0) (0, 0) lim lim 0 y k k k f k f _k f k k → → ⋅ − ′ = = =

c) Para analizar la diferenciabilidad en (0, 0) usaremos la condición necesaria y suficiente. Es decir, f es diferenciable en (0, 0) ⇔

2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) lim x y 0 h k f h k f h f k f h k → ′ ′ − − ⋅ − ⋅ ⇔ = + Luego: 2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) sin sin lim lim h k h k h k h k h k h k h h h k h k h k h k h k h k → → ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ + ⋅ + + ⋅ _{⎜ ⎟}− ⋅ _{⎜ ⎟} + _⎝ + _⎠ + _⎝ + _⎠ = = + +

(

)

2 3 3 0

cos sin sin (cos sin )

lim ρ ρ θ θ ρ θ θ ρ + → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + = =

(

0

)

2 3 3 0

lim cos sin sin (cos sin ) 0

ρ + θ θ ρ θ θ

→

→

= ⋅ ⋅ ⋅ + =

Por tanto, f es diferenciable en (0, 0) .

d) f diferenciable en (0, 0) ⇒ f derivable en (0, 0) . 8.- Sea 2 2 2 si ( , ) (0, 0) ( , ) 0 si ( , ) (0, 0) x y x y f x y x y xy x y ⎧ ≠ ⎪ =⎨ + − ⎪ ₌ ⎩ .

a) Estudiar su dominio, continuidad en (0,0) y calcular sus derivadas parciales en (0,0).

b) Explicar si es diferenciable en (0,0).

c) Hallar el gradiente de f en el punto P(2,-1), así como la recta tangente a la curva de nivel que pasa por dicho punto..

Solución: a) Dominio: 2 2 2 3 2 0 2 ( . ) (0, 0) 2 4 0 y x y x y xy x y x y y ⎧ = ⎪ ⎛ ⎞ + − =_⎜ − _⎟ + = ⇔ _⎨ ⇔ = ⎝ ⎠ _{⎪ =} ⎩ Pero (0, 0)f =0 Luego, D= 2

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₈ Continuidad en (0,0):

[

)

2 3 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) 0 2 (*) ( , ) (0,0) 0 cos sin

lim ( , ) lim lim

cos sin cos sin lim 0 0, 2 lim ( , ) (0, 0) 1 cos sin x y x y x y x y f x y x y xy f x y f ρ ρ ρ θ θ ρ ρ θ θ θ θ ρ θ π θ θ + + → → → → → ⋅ = = = + − − ⋅ ⋅ = = ∀ ∈ ⇔ = − ⋅ Luego f es continua en (0,0). (*) 1 cos− θ⋅sinθ ≠0 ∀ ∈θ

[

0, 2π

)

Derivadas parciales en (0,0): 2 0 0 0 0 ( , 0) (0, 0) (0, 0) lim lim 0 x _{h h} f h f _h f h h → → − − ′ = = = 2 0 0 0 0 (0, ) (0, 0) (0, 0) lim lim 0 y k k f k f _k f k k → → − − ′ = = =

b) Para analizar la diferenciabilidad en (0, 0) usaremos la condición necesaria y suficiente: 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) ( , ) (0, 0) (0, 0) (0, 0) lim x y lim h k h k h k f h k f h f k f h k hk h k h k → → ′ ′ − − ⋅ − ⋅ _{+ −} = = + +

[

)

3 2 2 0 cos sin lim ( ) 0 0, 2 (1 cos sin ) ρ ρ θ θ ϕ θ θ π ρ θ θ ρ + → ⋅ = = ≠ ∀ ∈ − ⋅ ⋅ Luego f no es diferenciable en (0,0). c) Como ∀( , )x y ≠(0, 0) f es diferenciable: (2, 1) _x(2, 1) _y(2, 1) f f′ i f′ j ∇ − = − ⋅ + − ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (2 ) 8 ( , ) (0, 0) ( , ) (2, 1) ( ) 49 x x xy x y xy x y x y x y f x y f x y xy + − − − ′ ′ ∀ ≠ = ⇒ − = − + − 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (2 ) 12 ( , ) (0, 0) ( , ) (2, 1) ( ) 49 y y x x y xy x y y x x y f x y f x y xy + − − − ′ ′ ∀ ≠ = ⇒ − = + − 8 12 8 12 (2, 1) , 49 49 49 49 f i j ⎛ ⎞ ⇒ ∇ − = − ⋅ + ⋅ = −_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

Teniendo en cuenta que la recta tangente a la curva de nivel que pasa por P y el gradiente en ese punto son perpendiculares, entonces:

Javier Bilbao; Olatz García; Miguel Rodríguez; Concepción Varela ₉ Vector tangente: 12, 8 8 12, (2, 1) 49 49 49 49 f ⎛_{− −} ⎞ ⎛_{⊥ −} ⎞_{= ∇ −} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Recta tangente: 2 1 2 1 2 7 12 8 _{12 8 3 3} 49 49 x y x y x y − ₌ + _⇔ − ₌ + _{⇔ = −} − −