Funciones trigonométricas de un ángulo agudo

CAPITULO

3

Funciones trigonométricas de un ángulo agudo

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO. Al trabajar con un

triángulo rectángulo cualquiera, es conveniente (véase Fig. 3-A) designar los vértices

de los ángulos como A, B, C, los ángulos de los triángulos como A, B, C

=

90" y los

lados opuestos a los ángulos, a, b, c, respectivamente. Con relación al ángulo A, el

lado a recibe el nombre de cateto opuesto

y

b

el de cateto adyacente; con relación al ángulo

.

B, el cateto adyacente es a, y el cateto opuesto es

b.

Al lado c se llama siempre hipotenusa.

Si ahora

se

coloca el triángulo en un sistema de coordenadas

(véase

la Fig.

3-B)

de tal manera que el ángulo A quede en posición normal, las coordenadas del punto B,

en el lado terminal del ángulo A, son (b, a) y su distancia es c

=

d v .

En estas

condiciones, las funciones trigonométricas del ángulo A, pueden definirse en términoa

de los lados del triángulo rectángulo, como sigue:

Fig. 3-A Fig. 3-B

a

cateto opuesto

senA

= - =

c

hipo tenusa

b

cateto adyacente

C O ~ A

= - =

a

cateto opuesto

b

cateto adyacente

c

hipotenusa

cos A

= - =

sec A

= - =

c

hipotenusa

b

cateto adyacente

a

cateto opuesto

tanA

= - =

b

cateto adyacente

C

csc A

= - =

hipo tenusa

a

cateto opuesto

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS. Los án-

gulos agudos A y B del triángulo rectángulo ABC son complementarios, es decir,

A

+

B

=

90". En la Fig. 3-A se tiene que

;

_{sen B}

₌

_b/c

₌

_cos

_A

_{cot B}

₌

_a/b

₌

_{tan A}

cos B

=

a/c

=

sen A

sec B

=

c/a

=

cac A

t a n B

=

b/a

=

c o t A

csc B

=

c/b

=

sec A

Estas relaciones asocian las funciones en pares-seno y coseno, tangente y cotan-

L

gente, secante y cosecante, de modo que cada una de

las

funciones de un par es

la

cofunción de la otra.

Así,

cualquier función de un ángulo agudo es igual a la corres-

pondiente cofunción de un ángulo complementario.

,

19

20

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS D E UN ANGULO AGUDO

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

DE

30°,

45"

y

60".

En los problemas 8-9 se obtienen

loa resultados siguientes:

EN

LOS PROBLEMAS

10-16

se

presentan algunas aplicaciones sencillas de las funciones

trigonométricas; en eilas

se

utilizará la siguiente tabla:

A n d o 0

30"

1

sen

0

COS

0

sen 0

+

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Encontrar los valores de las fun+nes trigonométricas de los dnguios agudos del triángulo rectángulo

ABC, dados

b

= 24 y c = 25.

*

Pueeto que d = E

-

b2

= (25)2

-

(24)z = 49, a = 7. Entonces

cos

0

4 1 3 -

cateto opuesto

-

_-

_-

7 cateto adyacente =

2

mn A =

bipotenuea 25 cot A = cateto opuesto 7

B

cateto adyacente 24

cos A = hipotenusa =

-

25 sec

A

= cateto Epotenusa adyacente =

o

24

4..

,

A

b - 2 4

C

t a n A = cateto opuesto =

1

csc A = hipotenusa 25

cateto adyacente 24 cateto opuesto =

7

tan

0

+&

sen B = 24 /25 cos

B

= 7/25 tan B = 24 /7 cot B = 7/24 sec B = 25 /7, csc B = 25 /24

cot

0

f l

sec

0

wf

csc

8

2

F U N C Í O N E S T R I G O N O M E T R I C M DE 'UN ANGULO AGUDO

2. Encontrar los valores de laa funcionee trigonom6tricaa de loa dngulos

agudos del triángulo rectángulo ABC, dados a = 2,

c

= 2@.

B

Puesto que

bf

= 6

-

a2 = ( 2 t / 5 ) *

-

(2)' = 20

-

4 = 16, b = 4. Entonces

s e n A = 2 / 2 f l = & / 5 = c o s B c o t A = 4 / 2 = 2 = t a n B A

3. Encontrar los valores de las funciones trigonom6tricas del dngu- lo agudo A , dado een A = 3 / 7 .

Constrúyase u n triángulo rectángulo A B C , tal que

a

= 3 ,

c

= 7 y b =

-

4

= 2.\/rO. Entonces

sen A = 3 / 7 cot A = 2 m / 3

A

b = 2 f i

cos A = 2 m / 7 s e c A = 7 / 2 m = 7 2 / m / 2 0

tan^

= 3 / 2 0 = 3 0 / 2 0 C E C A = 7 / 3

4. Encontrar los valores de las funciones tngonom6tricas del dngulo agudo B. dada t a n B = 1,5.

Constrúyase u n triángulo rectángulo ABC (v6ase la Fig. ( a ) ) tal que b = 15 y a = 10 unidades. '(Obsérvese que 1,5 = 3 / 2 con lo que podríamos utilizar un triángulo donde b = 3, a = 2 ) .

Entonces

c

= -ad = d i @

+

152 = 5 f l y sen B = 1 5 / 5 0 = 3 0 / 1 3 cos B = 1 0 / 5

m

= 2 0 / 1 3 tan B = 15/10 = 3 / 2 cot B = 2 / 3 eec B = 5 0 / 1 0 = m / 2 csc B = 5 a / 1 5 = a / 3 .

Fig.(a) Prob. 4 Fig.(b) Prob. 5 Fig.(c) Prob. 6

5. S i A es agudo y sen A = 2 x / 3 , determínense los valores de las otras funcionee.

Constrúyase u n triángulo rectángulo ABC tal que a = 2x

<

3 y c = 3, como e n la Fig. (b).

Entonces b =

d

m

=

4-

y 2x sen A = -8 coa A = 2x t a n A S - = - cot A = sec A = 3 3 3 3 2x

--

3 cec A = - e 2x

6. S i A es agudo y t a n A = x = x / l , determínense loe valores de las otras funciones. Constrúyase u n t d n g u l o rectángulo ABC tal que a = x y b = 1, como e n la Fig. (e).

Entonces,

c

=

4%-

y

X

sen A = -1 coa A =

-

t a n A = x , cot A = 1 - 9 sec A =

d m ,

csc A =

m .

7. Si

A

es un dngulo agudo: a ) ¿Por qut? sen A

<

l ? d) ¿Por qut? sen A

<

tan A? b ) ~ C u d n d o sen A = cos A? e) ¿Cuándo sen A

<

coa A? C) ¿Por qut? sen A

< csc

A? f ) ~ C u d n d o tan A

>

l ? En todo tridngulo rectdngulo ABC:

a ) El lado a

<

el lado c; por tanto, sen A = a / c

<

1.

b) Sen A = coa A cuando a / c = b / c ; entonces a = b, A = B y A = 45O. c ) Sen A

<

1 (según a ) y csc A = l / s e n A

>

1.

l _{d) Sen A = a / c , tan A = a / b , y b}

<

_{c; por tanto a / c}

<

_{a / b o sen A}

<

_{t a n A .} e) Sen A

< coa

A cuando a

<

b; entonces A

<

B o A

<

90'

-

A , y A

<

45O.

'

₁

f ) Tan A = a / b

>

1 cuando a

>

b; entonces, A

>

B

y A

>

45O.

I

8. Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de 46'.

-1

E n todo tridngulo rectdngulo isósceles A B C , A =

B

= 45' y a = b. Sea a = b = 1; entonces c =

m

=

@

y

sen45O =

1/@=+-

cot 45O = 1 a = l

¡

COS 45O = 1 / d = * d sec 46O =

f l

1

tan450 = 1 / 1 = 1 csc 450 =

fl.

A 45O

Í b = 1

9. Encontrar los valores de las funciones trigonom6tricas de 30' y 60'.

1

E n todo triángulo equilátero A B D , cada dngulo mide 60°. La bisec-

S,/

triz de un dngulo cualquiera, (por ejemplo, de B ) es la medistriz del lado

1

opuesto. Supóngase que la longitud de los lados del triángulo equilátero es de dos unidades. Entonces en el triángulo rectángulo A B C , A B = 2,

1

A C = l , y B C = - - i z = . \ / 5 .

1

sen 30° = 1 / 2 = coa 60° cot 30° =

.\/5

= tan 60'

coa 30' = .\/5/2 = sen 60° s e c 3 O 0 = 2 / @ = 2 @ / 3 = c s c 6 O 0 A

D

l tan 30' = 1

/

.\/5

= .\/5/3 = cot 60' csc 30° = 2 = sec 60°;

10. ¿Cutí1 es la longitud de la sombra proyectada por un edificio de 160 m de altura cuando el Sol se ha eleva-

!

do 20° sobre el horizonte?

E n la Fig.,(d), A = 2 0 ° y C B = 150. Entonces cot A = A C / C B y AC = CB

B

cot A = 150 cot 20' = 150(2,7) = 405 m.

i

1

1

l

/

120'

C

l

Fig.(d) Prob. 10 Fig.(e) Prob. 11 Fig.( f ) Prob. 12

* ,-

l 11. Un edificio de 100 m de altura proyecta una sombra de 120 m de longitud. Encontrar el dngulo de ele-

t

vación del Sol.

1 E n la Fig. (e), CB = 100 y AC = 120. Entonces t a n A = C B / A C = 100/120 = 0.83 y A = 40'.

12. Una escalera de mano estd apoyada contra la pared de un edificio, de modo que del pie de la escalera al edificio hay doce unidades. ¿A qué altura del suelo se encuentra el extremo superior de la escalera, y c d l es la longitud de la misma, si forma un dngulo de 70' con el suelo?

Según la Fig. ( f ), t a n A = C B / A C ; entonces CB = AC tan A = 12 tan 70' = 12(2,7) = 32,4. El extremo superior de la escalera está a 32 unidades del suelo.

.

Sec A = A B / A C ; entonces A B = A C sec A = 12 sec 70"

--

12(2,9) = 34,8. La longitud de la escalera es de 35 unidades.

FUNCIONES T R I G O N O M E T R I C A S DE U N ANGULO AGUDO

23

13. Desde lo alto de u n faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120 pies, el ángulo de depresi6n de una embarcaci6n es de 15'. ¿A qu6 distancia del faro está la embarcacicin?

E n el triángulo ABC de la Fig. ( g ) , A = 15' y C B = 120; entonces cot A = A C / C B y AC = C B cot A = 120 cot 15O = 120(3,7) = 444 pies.

Fig.(g) Prob. 13 Fig.(h) Prob. 14

14. Encontrar la longitud de la cuerda subtendida por u n dngulo central de 150° e n una circunferencia de 20 c m de radio.

E n la Fig. ( h ) , OC es bisectriz del LAOB. Entonces BC 6 AC y OAC es u n triángulo rectángulo.

E n AOAC, sen LCOA = A C / O A y AC = O A sen LCOA = 20 sen 75' = 20(0,97) = 19.4. Por tanto E A = 38,8 y la longitud de la cuerda es de 39 cm.

15. Encontrar la altura de u n árbol si el dngulo de elevaci6n de su extremo superior crece desde .20° hasta 40' cuando u n observador avanza 75 m hacia el pie del drbol. VBase la Fig. (

i

).

E n el triángulo rectángulo ABC, cot A = A C / C B ; entonces AC = C B cot A o DC

+

75 = C B cot 20°.

E n el triángulo rectángulo DBC, cot D = D C / C B ; entonces DC

-

C B cot 40°.

Por consiguiente: DC = C B cot 20'

-

75 = C B cot 40'. CB(cot 20°

-

cot 40°) = 75, CB(2,7

-

1,2) = 75, y C B = 75/1,5 = 50 m .

Fig.(

i

) Prob. 15 Fig.(j ) Prob. 16

r .

16. U n a torre está situada e n u n terreno llano directamente al norte del punto A y al oeste de u n punto B. La distancia entre los puntos A y B es de c metros. S i los dngulos de elevación del extremo superior de la torre medidos desde A y E , son a y @ respectivamente, encontrar la altura h de la torre.

E n el triángulo rectángulo ACD de la Fig.

0.)

cot a = A C / h ; y e n el triángulo rectángulo BCD, cot @ = B C / h . Entonces, AC = h cot a y BC = h c o t 8.

Como ABC es u n triángulo rectángulo, (AC)'

+

(BC)' = cl = ha(cot a)'

+

ha(cot (3)' y

C

h =

d ( c o t a)'

+

(cot p)a

17. Sobre una circunferencia se abren agujero8 separados entre sí por arcos iguale^. Demostrar que la die- tancia d , entre los centros de dos agujeros sucesivos, viene dada por d = 2r sen 180°/n, donde r = radio de la circunferencia y n = número de agujeros. Encontrar d cuando r = 20 c m y n = 4.

24

FUNCIONES FIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO

Sean A y B los centros de dos agujeros consecutivos en una circunferencia de radio r y centro O. Trácese la bisectriz del dngulo

O del triángulo AOB, y sea C el punto de intersección de la bisec- triz con la cuerda A B . E n el tridngulo rectángulo AOC.

sen LAOC = AC / r = j d / r = d / 2 r .

Entonces d = 2r sen LAOC = 21- a e n r L 4 0 ~

180'

= 2r sen4(36o0 / n ) = 2r een

-

-

n

Cuando r = 20 y n = 4 , d = 2-20 sen 45O = 2.20

e=

20 &cm.

2

PROBLEMAS PROPUESTOS

18. Encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo

A B C , dados a ) a = 3, b = 1; b) a = 2, c = 5; c) b =

fl,

c = 4.

19. Cuál es el mayor y por qué: a ) jsen 55' o cos 55O? c ) ¿tan 15' o cot 15O?

b) jsen 40' O cos 40°? d ) jsec 55' O csc 55O?

Sugerencia: Considérese un triángulo rectángulo tal que uno de sus dngulos agudos sea igual al dngulo dado. Resp. a ) sen 55O, b ) cos 40°, c ) cot 15O, d ) sec 55'

20. Encontrar el valor de cada una de las siguientes expresiones:

a ) sen 30'

+

tan 45O tan 60°

-

tan 30'

b ) cot 45O

+

cos 60° e ) 1

+

tan 60' tan 30'

c ) sen 30' cos 60'

+

cos 30' sen 60° _{csc 30'}

+

_{csc 60'}

+

_{csc 90°}

d ) coa 30' cos 60'

-

sen 30' sen 60° f ,

sec O0

+

sec 30"

+

sec 60'

Resp. a ) 3 / 2 . b) 3 / 2 . c ) 1, d ) O, e ) 1 / & ,

f )

1

21. Un hombre recorre 500 m a lo largo de un camino que tiene una inclinación de 20° respecto a la hori- zontal. jQu6 altura alcanza respecto al punto de partida? Resp. 170 m

22. Un drbol quebrado por el viento. forma un triángulo rectángulo con el suelo. ¿Cuál era la altura deldrbol, ei la parte que ha caldo hacia el suelo forma con éste un dngulo de 50°, y si la parte del tronco que ha quedado en pie tiene una altura de 20 m? Resp. 56 m

-. .

23. Dos caminos rectos que se cortan, forman un dngulo de 75O. En uno de los caminos y a 1000 m del cru- ce, hay una estación de gasolina. Encontrar la menor distancia desde la estación hasta el otro camino.

Resp. 970 m

24. La distancia entre 2 edificios de tejado plano es de 60 m. Desde la azotea del menor de los edificios, cuya altura es de 40 m se observa la azotea del otro con un dngulo de elevación de 40'. ¿Cuál es la altura del edificio m4s alto? Resp. 90 m

25. Una escalera de mano, cuyo pie está en la calle, forma un dngulo de 30' con el suelo cuando su extrem6 superior se apoya en un edificio situado en uno de los lados de la calle, y forma un dngulo de 40' cuando se apoya en un edificio eituado en el otro lado de lacalle. Si la longitud de la escalera es de 50 m, jcuál es el ancho de la calle? Resp. 82 m

26. Encontrar el perímetrode un triángulo isósceles cuya base mide 40 cm si los dngulos de la base miden 70'.