2012 -II. Solucionario. Matemática. Examen de admisión TEMA P. PREGUNTA N. o 1. Análisis y procedimiento. Tema: Promedio.

Matemát

2012

_-II

Examen de admisión

Matemática

TEMA P

PREGUNTA N.

o

₁

Sean a, b ∈ N y

MA (a, b) la media aritmética de a y b. MG (a, b) la media geométrica de a y b. MH (a, b) la media armónica de a y b.

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:

I. Si MA (a, b)=MG (a, b), entonces MG (a, b)=MH (a, b).

II. Si MG (a, b)=MH (a, b), entonces MA (a, b)=MG (a, b).

III. Si MA (a, b) – MG (a, b) > 0, entonces MG (a, b) – MH(a, b) > 0. A) VVF B) VFV C) VVV D) VFF E) FVF

R���������

Tema:

Promedio Sean a; b ∈N.

• Si a=b, entonces MA(a; b)=MG(a; b)=MH(a; b) • Si a ≠ b, entonces MA(a; b) > MG(a; b) > MH(a; b)

Análisis y procedimiento

I. Verdadera Si MA a b( ; )=MG a b( ; ), entonces a=b. Luego MG a b MH a b a a a a a a ( ; ) ( ; )    =   × = 2× ×₊ (cumple) II. Verdadera Si MG a b( ; )=MH a b( ; ), entonces a=b. Luego MA a b MG a b a a _{a a} ( ; ) ( ; )    =   × _{= ×} 2 (cumple) III. Verdadera Si MA a b( ; )−MG a b( ; )> 0, entonces a ≠ b. Luego MG(a; b) – MH(a; b) > 0

∴ MG(a; b) > MH(a; b) (cumple)

R��������

VVV

Alternativa

C

) la media armónica de a y b.

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según

), entonces ), entonces ) > 0, entonces ) > 0. MG a b a b a a a a a a ( ;a b ( ;a b)) MHMH ; )((a ba b; )                     ))=        (( × = a a× = a a × ×× ×a aa a + a a+ a a 2 II. Verdadera Si MG a b( ;( ;a ba b))))=MHMH ; )((((a ba ba b; ) Luego MA a b a b a a _{a a} ( ;a b ( ;a b)) MGMG ; )((a ba b; )                     ))=        (( × a a× a a = × = a a× = a a× 2 III. Verdadera

PREGUNTA N.

o

₂

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:

I. La diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional es igual al interés simple que gana el descuento racional.

II. Valor actual de un descuento, es igual al valor nominal más el descuento.

III. Descuento es la rebaja que sufre el valor nominal de una transacción comercial, al ser efectiva, antes de la fecha de vencimiento.

A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF

R���������

Tema:

Regla de descuento

Análisis y procedimiento

I. Verdadera

Recordemos que el cálculo del D_c y D_r de una y un mismo tiempo es hoy V_ac V_ar t Dc D_r V_n • Dc=r % Vn t (I) • Dr=r % Var t (II)

Restando las expresiones (I) y (II).

Tenemos D_c D_r r V_n V_ar t Dr − = %

(

−

)

   ∴ Dc – Dr=r % Dr II. Falsa Recordemos que hoy V_a V_n D Entonces D=V_n – V_a ∴ Va=Vn – D III. Verdadera

El descuento es la rebaja que se realiza al valor nominal (V_n) de un documento comercial al cancelarla antes de la fecha de vencimiento.

R��������

VFV

Alternativa

C

antes de la fecha de vencimiento.

hoy Entonces D=V_n D=V_n D=V – V – V – V_aa ∴ VVV =Vaa=V=V – Dnn

PREGUNTA N.

o

₃

Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:

I. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia acumulada del i-ésimo intervalo y el número total de datos.

II. La mediana de un conjunto de n datos, es el valor que más veces se repite.

III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviación estándar es mayor que 1,7.

A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF

R���������

Tema:

Estadística descriptiva

Análisis y procedimiento

I. Falsa

Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-ésimo intervalo y el número total de datos.

h f

n

i= i

II. Falsa

Porque la mediana de un conjunto de n datos es el valor que divide al conjunto de datos, previa-mente ordenados, en dos partes iguales.

III. Verdadera Porque σ =

∑

= − ( )x n x i i n 2 1 2 desviación estándar y tenemos x=18 19 16 17 14+ + ₅+ + =16 8, σ σ = + + + + − = = 18 19 16 17 14 5 16 8 2 96 1 72046 2 2 2 2 2 2 ( , ) , , Donde σ > 1,7

R��������

FFV Alternativa

D

PREGUNTA N.

o

₄

Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el número esperado E de bombillas seleccionadas. A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5

R���������

Tema:

Función de la probabilidad

Tenga en cuenta que para calcular la esperanza matemática es necesario reconocer la variable aleatoria y calcular su respectiva probabilidad.

x x₁ x₂ x₃ ... x_n P_(x) P₁ P₂ P₃ P_n E_x x P_{i x} i n i ( ) _{( )} = =

∑

⋅ 1 Estadística descriptiva

Análisis y procedimiento

Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-ésimo intervalo y el número total de datos.

PREGUNTA N.

PREGUNTA N.

oo

₄₄

Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 están defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el número esperado E de bombillas seleccionadas.

A) 0,5 B) 1 C) 1,5

Análisis y procedimiento

En una casa se tienen 8 bombillas, de las cuales 3 son defectuosas (D) y 5 son no defectuosas (B).

3 D

5 B _{Se extrae una bombilla de la caja.}

Si sale defectuosa, se prueba otra hasta seleccionar una no defectuosa.

Definimos la variable aleatoria x.

x: número de bombillas extraídas (una a una) hasta

obtener una bombilla no defectuosa.

x 1 2 3 4 P(x) B 5 8 D B 3 8 5 7 15 56 × = D D B 3 8 2 7 5 6 5 56 × × = D D D B 3 8 2 7 1 6 5 5 1 56 × × × = Piden E_x x P_{i x} i i ( ) _{( )} = =

∑

⋅ 1 4 E_{( )x} = ⋅ + ⋅1 5 + ⋅ + ⋅ 8 2 15 56 3 5 56 4 1 56 E_(x)=1,5

R��������

1,5 Alternativa

C

PREGUNTA N.

o

₅

Sea N n = 11 1... ₂ dígitos( ) 

Determine la suma de los dígitos de N×N en base 2, donde n ≥ 2.

A) n – 2 B) n – 1 C) n

D) n+1 E) n+2

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Tema:

Multiplicación

Tenga en cuenta que los numerales con cifras máximas se pueden representar como una sustracción.

Ejemplos • 999=1000 – 1 • 888₉=1000₉ – 1 • 6666₇=10000₇ – 1 • 1111₂=10000₂ – 1

Análisis y procedimiento

Se tiene que N n = 1111 11... ₂ cifras    Calculamos N×N. N×N=(111...11₂)×(111...11₂) = × − ( ... ) ( ... ) ceros 111 11₂ 1000 00 1 2 n    =111...11000...000₂ – 111...111₂ 111 10000 001 2 2 ... ... ceros cifras n n     Por lo tanto, la suma de cifras es

1 1 1+ + + + =... 1 veces n n 

R��������

n Alternativa

C

4 5 56 = D D D B 3 8 2 7 1 6 5 5 1 56 × × × × × × = + ⋅ 5 56+ ⋅+ ⋅44 1 56

Análisis y procedimiento

Se tiene que N n = 1111 11... ₂ cifras                     Calculamos N×N. N×N=(111...11₂)×(111...11 = × ( =( × = ... × = ... × = ) (× = ) (× = 111 × = 111 × = 11 × = 11 × = 2 × 1 = 2 × = × =111...11000...000 111...111

PREGUNTA N.

o

₆

Se tiene un número capicúa de seis cifras cuya última cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho número entre 1000 y M el cociente. Si N – M=99, calcule el valor máximo que puede tomar la suma de las cifras del número capicúa.

A) 24 B) 26 C) 28

D) 30 E) 32

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Tema:

Cuatro operaciones

Análisis y procedimiento

Del enunciado, se tiene lo siguiente:

• 2abba2 1000 M N divisor cociente residuo dividendo (I) • N – M=99 (II)

Realizamos la división en (I)

2abba2 2000 abba 1000 2ab bba2 ba2 N b000 a000 M En (II) ba2 – 2ab=99 99b – 198=99 b=3 → amáx=9

Luego, el dividendo es 293 392; entonces la suma de sus cifras es 28.

R��������

28

Alternativa

C

PREGUNTA N.

o

₇

Se tiene un número de 3 cifras, múltiplo de 30, que tiene un total de 24 divisores. Al multiplicarlo por 10 se forma un nuevo número cuya cantidad de divisores es Dc Dr r Vn Var t

Dr − = %

(

−

)

  

de la cantidad de divisores del número original.

Calcule la suma de las cifras del menor número que cumple las condiciones indicadas.

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11 E) 12

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Tema:

Clasificación de los enteros positivos

Análisis y procedimiento

Del enunciado del problema, se tiene lo siguiente

• N abc= = 30o =2x_×3y_×5z_{×k (I)}

• 10N=2x+1×3y×5z+1×k (II)

• CD(N)=24 (III)

• CD(10N)=45 (IV)

De (II) y (IV) se deduce que N tiene 3 divisores primos. Luego abc_{=30 2}o ₌ x_×3y_×5z_{... DC} En (II) CD(N)=24 → (x+1)(y+1)(z+ =1) 24 2 4 33 42   

Análisis y procedimiento

Del enunciado, se tiene lo siguiente:

(I)

=99 (II)

por 10 se forma un nuevo número cuya cantidad de divisores es DDDcc de la cantidad de divisores del DDDrr

número original.

Calcule la suma de las cifras del menor número que cumple las condiciones indicadas.

A) 8 B) 9 C) 10

D) 11 E) 12

R���������

Tema:

Clasificación de los enteros positivos

Análisis y procedimiento

En (III) CD(10N)=45 → (x+2)(y+1)(z+ =2) 45

3

5 33 53

   Luego, se tiene que

x=3; y=2; z=1 o x=1; y=2; z=3

Entonces

abc=23×32×51=360 (cumple)

abc=21×32×53=2250 (no cumple) Luego

abc=360 (único caso)

Entonces, la suma de cifras es 9.

R��������

9

Alternativa

B

PREGUNTA N.

o

₈

Determine las veces que aparece el número cinco al efectuar la suma:

72+(77)2+(777)2+(7777)2+(77777)2.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

R���������

Tema:

Cuatro operaciones Tenga en cuenta que por inducción

1 1 11 121 111 12321 1111 1234321 111 11 2 2 2 2 2 = = = = =    ... 9 cifras 112345678987654321

Análisis y procedimiento

Sea E=72+772+7772+77772+777772 E=72×

(

1+112+1112+11112+111112

)

E=72_×

(

₁₊₁₁2₊₁₁₁2₊₁₁₁₁2₊₁₁₁₁₁2

)

124701085 1234543211234321 12321121 1+ Luego E=72_×124701085 E=6110353165

Por lo tanto, el número 5 aparece 2 veces.

R��������

2

Alternativa

B

Entonces, la suma de cifras es 9.

Alternativa

B

B

E=72+772+7772+7777 E=72×

(

1+112+1112 E=72_×

(

₁₊₁₁2₊₁₁₁ 124701085 123454321

PREGUNTA N.

o

₉

Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Sea el conjunto

C=

{

(x, y) ∈ R2 _{/ x}2_+y2_{≤ 4}

}

Si (– 18; 18) ∈ C, entonces (1; 1) ∈ C II. Sea A ⊂ R un conjunto vacío y

f: A → R una función tal que existe

m=mín

{

f(x) / x ∈ A

}

,

S_α(f)=

{

x ∈ A / f(x) ≤ α

}

con α ∈ R. Si λ < m, entonces Sλ(f)=∅.

III. Sean los conjuntos A_k, k=1, ..., m, tales que A_k ⊂A_k+1. Si x₀ ∈ A1, entonces x A_K k m C 0 1 ∈        =



. A) VVF B) VFF C) FVF D) FFV E) FFF

R���������

Tema:

Números reales y teoría de conjuntos Recuerde que

• Reducción al absurdo consiste en negar la tesis para conseguir una contradicción con alguna de las hipótesis. • m=mín

{

f(x) / x ∈ A

}

↔ m ≤ f(x) ∀ x ∈ A. • M=máx

{

f(x) / x ∈ A

}

↔ M ≥ f(x) ∀ x ∈ A. • x ∈ B ↔ x ∉ BC

Análisis y procedimiento

I. Verdadero En efecto Si (– 18; 18) ∈ C → (1; 1) ∈ C (F) (V) (V) II. Verdadero

En efecto, por reducción al absurdo supóngase que S_λ(f) ≠ φ

→ ∃ x0∈ A, tal que x0∈ Sλ(f)

→ Por definición del conjunto

S_λ(f): f(x₀) ≤ λ (I) Además como m es el mínimo y x₀ ∈ A → m

≤

f(x₀) (II) Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se tiene que m ≤ λ, el cual contradice la hipótesis (λ < m).

∴ Sλ(f)=φ

III. Falso

En efecto, del siguiente diagrama

A₁ x₀ A₂A3_...Am se observa que x₀ ∈ A1 ∧ x0 ∈ A2 ∧ x0 ∈ A3 ∧ ... ∧ x0 ∈ Am entonces x A_k x A k m k k m C 0 1 0 1 ∈ ↔ ∉        = =





Por lo tanto, es falso afirmar que x A_k

k m C 0 1 ∈        =



}

con α ∈ R. f)= f)= f ∅. k=1, ..., m, tales A₁, entonces

→ Por definición del conjunto

S_λ(f(f(): f): f f(x₀) ≤ λ (I) Además como m es el mínimo y

→ m

≤

f(x₀) (II) Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se tiene que m≤ λ, el cual contra

(λ < m). ∴ Sλ(f(f()=f)=f φ

III. FalsoFalsoF

R��������

VVF

Alternativa

A

PREGUNTA N.

o

₁₀

Cuál de las alternativas es la función cuadrática f, cuyo gráfico se muestra a continuación, sabiendo que x₀2 y 02 34 + = . 0 b 2 3 x0 X Y y₀ f A) x2 – 6x+2 B) x2_+6x+2 C) 2x2 – 6x+2 D) 2x2 _{– 12x+2} E) 2x2+12x+2

R���������

Tema:

Función cuadrática

Sea f_(x) una función cuadrática, cuya gráfica es

m n x₁ x₂ P X Y f_(x) x₁ x_{2 m} 2 + ₌ f₍₀₎=P x₁; x₂ son raíces de f_(x)

Análisis y procedimiento

Piden la función cuadrática f_(x). Del gráfico, x₀; y₀

son raíces de f_(x)

entonces f_(x)=a(x2 – (x₀+y₀)x+x₀y₀) (I)

Por dato x₀2+y₀2=34 y del gráfico x0 y0 2 3 + ₌ entonces (x₀+y₀)2=62 x₀2 y x y 02 2 0 0 36 + + = 34+2x₀y₀=36 entonces x₀y₀=1 En (I) f_(x)=a(x2 – 6x+1)

Pero del gráfico, f₍₀₎=2 → f(0)=a=2 ∴ f(x)=2(x2 – 6x+1)

R��������

2x2 – 12x+2 Alternativa

D

X y₀ f entonces fff((x)=a(x 2 _{– (x} 0+y Por dato xxxxxxx₀2₀2++++yyyyyyy₀0₀222====34 y del gráfico xxx00 yyy00 2 3 + x +y x y x₀ y₀ x +y x₀ y₀ x y = entonces (x₀+y₀)2=62 x₀ y x y x₀ y x2 y x2 y x y₀2 0 0 x y_{0 0} x y 2x y 3 2x y_{0 0} 3 2x yx y_{0 00 0} 3 2x yx y_{0 0} 3 + + x +y + x ++y₀022++22 =33 34+2x₀y₀=36 entonces x₀y₀=1

PREGUNTA N.

o

₁₁

Respecto a la función f: A → R tal que

f x x x A ( )= + − = 3 5 2 y 〈2; ∞〉

Indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. f es inyectiva

II. f es sobreyectiva

III. f * existe, donde f * indica la inversa de f.

A) VVV B) VFV C) VFF D) FFV E) FFF

R���������

Tema:

Funciones Función inyectiva

f es inyectiva si f _(a)=f_(b) → a=b Función sobreyectiva

f: A → B es sobreyectiva ↔ Ranf=B

f tiene inversa ↔ f es biyectiva (sobreyectiva e inyectiva)

Análisis y procedimiento

Dominio=A=〈2; +∞〉 Graficando f x x x x ( )=3 ₋+₂5= 11₋₂+3 2 3 Y X f_(x) I. Verdadera

f es estrictamente decreciente; por lo tanto, es

inyectiva. II. Falsa

Como f: A → R y del gráfico Ranf=〈3; +∞〉 → R ≠ 〈3; +∞〉; por lo tanto, no es sobreyectiva. III. Falsa

Como f * es la función inversa y f no es sobreyec-tiva, entonces f * no existe.

R��������

VFF

Alternativa

C

PREGUNTA N.

o

₁₂

El gráfico del polinomio

P(x)=x4_+ax3_+bx2_{+cx+d es tangente en (1; 1) a la}

recta y=1. Además la recta y=1 interseca al gráfico cuando x=2, x=4, siendo P(2)=P(4) ≠ 0. Determine P(x) – 1. A) x2(x – 2)(x – 4) B) (x – 1)2_{(x – 3)(x – 5)} C) (x+1)2(x – 1)(x – 3) D) (x – 1)2_{(x – 2)(x – 4)} E) (x+1)2(x – 2)(x – 4)

R���������

Tema:

Gráfica de funciones polinomiales Si tenemos X Y –1 0 4 y=f(x) entonces X Y –1 –3 1 f(x)–3 → a=b es sobreyectiva ↔ Ranf Ranf Ran =B

es biyectiva (sobreyectiva e

VFF

PREGUNTA N.

PREGUNTA N.

oo

₁₂

₁₂

El gráfico del polinomio

P(x)=x_{xx +ax}44 _{axax +bx}33 2_+cx+

recta y=1. Además la recta cuando x=2, x=4, siendo Determine P(x) – 1.

Análisis y procedimiento

Interpretamos las condiciones para P_(x) en el plano cartesiano. X Y 1 (1; 1) (2; 1) (4; 1) 1 2 4 P(x)=x4_+ax3_+bx2_+cx+d (gráfica aproximada) Entonces P(x) – 1 X Y 1 (1; 0) (2; 0) (4; 0)

raíz de multiplicidad par

Luego para “P_(x) – 1” se tiene que sus raíces son 1; 1; 2; 4. → P(x)=(x – 1)2(x – 2)(x – 4)

R��������

(x – 1)2(x – 2)(x – 4) Alternativa

D

PREGUNTA N.

o

₁₃

Luego de resolver la inecuación 31−x<3

x, se obtiene

que x pertenece al intervalo.

A) 〈0, ∞〉 B) 〈1, ∞〉 C) 〈2, ∞〉 D) 〈3, ∞〉 E) R \ {0}

R���������

Tema:

Gráfica de funciones

Recuerde que si b > 0, entonces bx > 0; ∀ x ∈R.

Análisis y procedimiento

Se tiene la inecuación 31− 3 + < x x 

Luego, x debe ser positivo (x > 0) y es equivalente a

x f x g x x ( ) ( ) <  3 1 1 3 9 2 y=x Y X y=3x

Notamos que f_(x) < g_(x) si y solo si x > 0. ∴ x ∈〈0; +∞〉

R��������

〈0;+∞〉 Alternativa

A

P(x) – 1 X (4; 0)

raíz de multiplicidad par

– 1” se tiene que sus raíces son 1;

Se tiene la inecuación 31− 3 + < x x 

Luego, x debe ser positivo (x debe ser positivo (x x f x g x gx x gx ( ) f( ) f( )_xxxx ( )( )_xxxx <  3 3 9 Y

PREGUNTA N.

o

₁₄

Las siguientes operaciones elementales:

c₁↔ c2; 3f3; f2 – f3, en este orden, transforman la

matriz A en 1 5 2 4 6 8 6 3 9 − − −       

, la cual se puede expresar como (RPQ)A, donde RPQ son matrices de orden 3×3 no singulares. Determine A. A) 2 3 1 1 5 2 2 −1 3         B) 1 2 5 1 3 1 2 1 1 − −         C) − − −         2 5 1 3 4 1 1 3 1 D) 2 1 4 4 3 1 1 2 1 − − −         E) 4 3 5 1 1 2 2 0 3 − −        

R���������

Tema:

Matrices

Operaciones elementales fila

Análisis y procedimiento

Del enunciado tenemos

Af1 f2A 3f3 A f2 f3 RPQ A 1 5 2 4 6 8 6 3 9 ↔ − − − −         = ' '' ( )· Entonces A''= −         1 5 2 2 3 1 6 3 9 es obtenido de (RPQ A) f2+f3A'' → A' = −         1 5 2 2 3 1 2 1 3 es obtenido A A f '' ' · 1 3 3 → A = −         2 3 1 1 5 2 2 1 3 es obtenido de A'f1↔f2A Observación

En la resolución del problema, hemos considerado los siguientes datos: f1 ↔ f2; 3f3; f2 – f3.

R��������

2 3 1 1 5 2 2 −1 3         Alternativa

A

PREGUNTA N.

o

₁₅

En los siguientes sistemas cada ecuación representa un plano.

I) x – 3y+z=1 II) x – 3y+4z=2 – 2x+6y – 2z=– 2 – 4x+y+z=3 – x+3y – z=– 1 – 3x – 2y+5z=5 → A' =                           1 5 2 2 3 1 2 −1 2 −1 3 es obtenido → A =                           2 3 1 1 5 2 2 −1 2 −1 3 es obtenido de Observación

En la resolución del problema, hemos considerado los siguientes datos: fff ↔ f11 ff ; 3f22; 3f; 3ff33

R��������

Denotando por P, Q y R los correspondientes planos, la interpretación geométrica de la solución de los sistemas I y II es dada respectivamente por:

1) 2) 3) Q P P,Q,R Q P R R A) 2 y 1

B) 2 interpreta ambos sistemas C) 1 y 3

D) 2 y 3

E) 3 interpreta ambos sistemas

R���������

Tema:

Geometría analítica

Análisis y procedimiento

I. P: x – 3y+z=1 Q: – 2x+6y – 2z=– 2 r: – x+3y – z= –1 Luego P: x – 3y+z=1 Q: + x – 3y+z=1 → P,Q,R r: x – 3y+z=1 II. P: x – 3y+4z=2 Q: – 4x+y+z=3 r: – 3x –2y+5z=5 Luego P ∩ Q: –11y+17z=11 P ∩ R: –11y+17z=11 → R R Q Q P P Q ∩ R: –11y+17z=11 Nota Considerando Q y R diferentes.

R��������

2 y 1 Alternativa

A

PREGUNTA N.

o

₁₆

Si la solución de Máx{ax+by} se encuentra en x=3, sujeto a

x ≥ 0

y+x ≤ 4

y – x ≥ – 2

determine en qué intervalo se encuentra a /b.

A) 〈– ∞; –1] B) 〈– ∞; 1] C) [ – 1; 1] D) [ – 1; ∞〉 E) [1; ∞〉

R���������

Tema:

Programación lineal

La función objetivo f_{(x; y)} se optimiza en uno de los vértices de la región factible.

Análisis y procedimiento

Graficamos las restricciones

x y x y x ≥ + ≤ − ≥ −     0 4 2 1 –2 2 3 4 y+x=4 y –x=–2 solución Función objetivo: f_{(x; y)}=ax+by E) 3 interpreta ambos sistemas

→ PPPP,,PP,PP QQ,,QQ,QQ RRR

E) [1; ∞〉

R���������

Tema:

Programación lineal

La función objetivo fff_{((x; y)} se optimiza en uno de los vértices de la región factible.

Análisis y procedimiento

Graficamos las restricciones

x y x ≥ + ≤ y x+ ≤ y x          0 4

Como (3; 1) es solución de f_máx, se cumple que

f_{(0; – 2)}≤ f(3; 1)

↔ – 2b ≤ 3a+b ↔ – a ≤ b

f_{(0; 4)} ≤ f(3; 1)

↔ 4b ≤ 3a+b ↔ b ≤ a

Intersecando – a ≤ b ≤ a (se deduce a > 0) − ≤ ≤1 b 1 _ ≠0_ a b a pero − ≤ ≤1 b 0 ∨ 0< ≤1 a b a    − ≥1 ∪ ≥1 a b a b ∴ _ba∈ − ∞ −; 1

]

∪_1;+ ∞

R��������

a b∈ − ∞ −; 1

]

∪1;+ ∞ No hay clave

PREGUNTA N.

o

₁₇

Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F): I. El límite de 2 2 1 3 1 2 n n n n + − − +       ( )( ) es 2. II. Los valores de la sucesión S

n n n n = −( )1 + −( )1 pertenecen al intervalo 〈– 1; 1〉. III. La serie 4 2 1n n n= ( + ) ∞

∑

converge y su suma es 3. A) VFF B) FVF C) VFV D) FVV E) FFF

R���������

Tema:

Sucesiones y series Recuerde que •

{ }

a_n =

{

a a a1; 2; 3; ...;a_n; ...

}

• líma_n lím a n n = → +∞ * lím1 lím 1 0 n=n→ +∞n= • a_n a a a a_n n = + + + + + = ∞

∑

1 2 3 1 ... ...

Análisis y procedimiento

I. Verdadera lím2 2 1 lím 3 1 2 2 1 2 3 1 1 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n + − − + = + −

(

)

− −

(

)

× × →+∞ ( )( ) = + − − − →+∞ lím n n n n n 2 2 1 1 2 3 2 2 = 2 II. Falsa S_n S S S S

{ }

=

{

1; 2; 3; 4; ... , donde

}

S n n n n = −( )1 + −( )1 Si n es par, S n n= + >1 1 1. Si n es impar, S n n= − − < −1 1 1.

Luego, S_n∉ 〈– 1; 1〉 para todo n. III. Verdadera 4 2 4 1 3 4 2 4 4 3 5 4 4 6 4 5 7 1n n n ( ) ... + = × + × + × + × + × + = ∞

∑

∪ ≥ 1 ∪ ≥1 1 ∪ ≥1 ∞ No hay clave No hay clave

Análisis y procedimiento

I. Verdadera límmmmmm22 22 11 llllll 3 1 2 2 2 2 2 2 m n n l m22n 22n l m2 2 l m n n l m2 2 l m2222n22 2222n l 3 1 n 3 n 1 n + − m + − l m22nn ++22nn−− l m n n l m + − l m n n l m2222nn +2222nn− l m2 2 l m n n l m2 2 l m + − l m2 2 l m n n l m2 2 l m l 3 1 −33 +11 n−33 n+11 n 3 n 1 m = l m l →+ ( 3) 1 (n 3)n 1 (nn 33)nn 11 (n−33)n+11 ( −−33) ++11 (nn−−33)nn++11 (nnnn−−3333)nnnn++1111 (nnnnnnnn−−−−−3333333333333333333333)(((((nnnnnnnn+++++1111111111111111111111))))) = = 2 II. Falsa

=_2− _+_ − _+_ − _ 1 2 3 2 2 2 4 2 3 2 5 +_42 −₆2_+_₅2 −₇2_+... =2+1 =3

R��������

VFV Alternativa

C

PREGUNTA N.

o

₁₈

Determine el conjunto solución de

x x x x + + + + < 1 8 14 12 0 3 2 A) x ∈ 〈– 2; 1〉 B) x ∈ 〈– 6; – 1〉 C) x ∈ 〈– 3; – 1〉 D) x ∈ 〈– 2; 3〉 E) x ∈ 〈1; 6〉

R���������

Tema:

Inecuación fraccionaria Recuerde que ax2+bx+c > 0; ∀ x ∈ R ↔ i. a > 0 ii. ∆=b2 – 4ac < 0

Análisis y procedimiento

En la inecuación fraccionaria x x x x + + + + < 1 8 14 12 0 3 2

Al factorizar el denominador, se tiene que

pues x2_{+2x+2 > 0; ∀ x ∈ R} x x _{x x} + +

(

_{+ +}

)

< + 1 6 1 2 2 0 2 ( )· ( )    entonces la inecuación equivale a

x x + + < 1 6 0

Luego, por criterio de los puntos críticos, se tiene que

–6 –1 –∞ +∞ + – + ∴ CS=〈– 6; –1〉

R��������

x ∈ 〈– 6; – 1〉 Alternativa

B

PREGUNTA N.

o

₁₉

Sea la sucesión a

{ }

_n donde

a n n n n= + − ₊ + 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1                               , para todo n ∈ N. Diga a qué valor converge la sucesión a

{ }

_n .

A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

R���������

Tema:

Sucesiones Recuerde que x n n n x n

 

= ↔ ∈Z ∧ ≤ < +1 Determine el conjunto solución de

∴ CS=〈– 6; –1〉

R��������

x∈ 〈– 6; – 1〉

PREGUNTA N.

PREGUNTA N.

oo

₁₉

₁₉

Sea la sucesión

{ }

{ }

{ }

aa_nn donde

a_n= 3 1 1 2 1 1 1    

Análisis y procedimiento

Se tiene el término enésimo de la sucesión

a a n n n n= + + + 3 1 2 1 1 1 1 1 1                           · · ·     Basta analizar el tercer factor de a_n Como n ∈ N → n ≥ 1 0 1 ₁ < ≤ n 0 1 1 2 < + ≤_n 1 2 1 1 1 1 ≤ +_n< invirtiendo sumando uno invirtiendo Luego 1 1 1 0 +_n =          

Es decir a_n=0 (sucesión constante)

Por lo tanto, la sucesión converge a 0.

R��������

0

Alternativa

B

PREGUNTA N.

o

₂₀

Halle el conjunto solución en la siguiente inecuación: log₃|3 – 4x| > 2 A) 〈– ∞, – 3/2〉 B) 〈3, ∞〉 C) 〈– 3/2, 3〉 D) [– 3/2, 3] E) 〈– ∞, – 3/2〉 ∪ 〈3, ∞〉

R���������

Tema:

Inecuaciones logarítmicas Propiedad I

Si |a| > b → a > b ∨ a < – b Propiedad II

Si a > 1 y log_aM > log_aN, entonces M > N ∧ M > 0 ∧ N > 0

Análisis y procedimiento

Como log₃|3 – 4x| > 2 → log3|3 – 4x| > log39 |3 – 4x| > 9 3 – 4x > 9 ∨ 3 – 4x < – 9 − > ∨ <3 2 x 3 x Interpretando geométricamente – 3/2 3 –∞ +∞ → x ∈ 〈– ∞; – 3/2〉 ∪ 〈3; +∞〉 ∴ CS= − ∞ −; 3/2 ∪ 3;+ ∞

R��������

− ∞ −, 3 2/ ∪ 3, ∞ Alternativa

E

invirtiendo =0 (sucesión constante) Por lo tanto, la sucesión converge a 0.

M > M > M N N N ∧ M > 0 ∧ N

Análisis y procedimiento

Como log₃|3 – 4x|3 – 4x|3 – 4 | > 2 → log3|3 – 4x|3 – 4x|3 – 4 | > log39 |3 – 4x |3 – 4x |3 – 4 | > 9 3 – 4x 3 – 4x 3 – 4 > 9 x > 9 x ∨ 3 – 4x 3 – 4x 3 – 4 − > ∨ <3 2 >>xxxx ∨∨ 333<<xxxx Interpretando geométricamente

PREGUNTA N.

o

₂₁

Sobre los catetos de un triángulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y

BC=3m, calcule el valor de AP CQ⋅ en m. A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5

D) 5/3 E) 5/2

R���������

Tema:

Semejanza de triángulos Recuerde α A C B a b c  M N m n α L

Según el gráfico, ABC ∼ MNL → _ma = =b_n c 

Análisis y procedimiento

Piden AP CQ⋅ . α α θ Q θ P3b 3a 2a 2 2 D B G F 3 2b C A E Según el gráfico: ABQ ∼ FCQ BQ CQ= 2 3 → CQ=3a y BQ=2a EAP ∼ CBP AP BP= 2 3 BP=3b y AP=2b Luego AP=2b y QC=3a Además 5 2 2 5 b= → =b 5 3 3 5 a= → =a → AP=4 y QC= 5 9 5 ∴ AP CQ⋅ =6₅

R��������

6 5 Alternativa

C

PREGUNTA N.

o

₂₂

En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm. Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).

M D A O B C R A) 12 7π B) 12 5π C) 12 3π D) 24 3 3 π E) 24 55 π  M N m n α L MNL G → AP= = → AP= → =4 y QC 5 9 5 ∴ AP CQ⋅⋅CQCQ==6 5

R��������

6 5

PREGUNTA N.

PREGUNTA N.

oo

₂₂

₂₂

En la figura adjunta OC=6 cm,

R���������

Tema:

Relaciones métricas en el triángulo rectángulo Recuerde que por relaciones métricas en el

b a _h 1 1 1 2 2 2 h =a =b

Análisis y procedimiento

Piden



C.

C

B O C M D A r r r 12 8 ₆ Se sabe



_C=2πr AO=OB y AD // OC → AD=2(OC)=12

Por relaciones métricas en el DAB 1 8 1 12 1 2 2= 2+_{( )r}2 → r=12 5 5



_C= 24 5 5 π

R��������

24 5 5 π Alternativa

E

PREGUNTA N.

o

₂₃

En un triángulo ABC se tiene que mC=2mA. Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B (P exterior a AB). Si mPAB=1₂ mC y AP=12 u, determine el valor de BC (en u).

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

R���������

Tema:

Aplicaciones de la congruencia

Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa. m m B A C M m

Análisis y procedimiento

Piden x. Dato: AP=12 6 6 12 12 P B Q C M A x 6 2α α α α 2α

C

B r r

R���������

Tema:

Aplicaciones de la congruencia

Recuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa. m B A m

Análisis y procedimiento

Piden x

Se prolongan AC y PB hasta Q.

En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es isósceles. → AP=AQ=12

En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ.

→ AM=MQ=BM=6.

El MBC es isósceles, por lo tanto, x=6

R��������

6

Alternativa

D

PREGUNTA N.

o

₂₄

Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros

AB y CG que intersecan a la circunferencia menor

en M, N y F respectivamente, AM<AN, AM=a,

BN=b, CF=c. Determine la medida del radio de la

circunferencia mayor. A) ab a b c− + B) b a b c+ − C) ab a b c+ + D) ab a b c+ − E) a a b c+ +

R���������

Tema:

Relaciones métricas en la circunferencia Teorema de cuerdas y x b a ab=xy

Análisis y procedimiento

Piden la longitud del radio x.

De la figura, por los datos se tiene que

FO=x – c OG=x OM=a – x ON=b – x G O b a C F M N A c _x x x–c b–x B

Por teorema de cuerdas: FO · OG=ON · OM (x – c)x=(a – x)(b – x) → x2 _{– cx=ab – ax – bx+x}2 x ab a b c = _{+ −}

R��������

ab a b c+ − Alternativa

D

PREGUNTA N.

o

₂₅

En un cuadrilátero convexo ABCD, la mediatriz de

AD pasa por C. Si mCBD=30º, mBDA=40º y

mDAB=70º, calcule la mCDB. A) 8º B) 10º C) 12º

D) 15º E) 17º

Alternativa

D

D

Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los diámetros que intersecan a la circunferencia menor respectivamente, AM<AN, AM=a, . Determine la medida del radio de la

b a b c+ − a b+ − a b C) ab a b c+ + a b+ + a b a C F N A c bbb–xxx

Por teorema de cuerdas: FO (x – x – x c)x=(a – x)(b – x) →

x ab

a b c

=_{a ba b+ −+ −}

R��������

R���������

Tema:

Aplicaciónes de la congruencia

Observación α θ B a Q A a O Si AQ=QB → α=θ

Análisis y procedimiento

L

C 30º 70º M a A B a D N a 2a 60º xx x+40ºx+40º 40º 40º 70º 70º Piden mCDB=x.

Como L



mediatriz de AD, entonces

AM=MD=a

BDA isósceles se cumple que AD=BD=2a.

BND, Not(30º y 60º), se cumple que DN=a.

Por observación anterior mMDC=mNDC=x+40º BND se cumple que x+x+40º=60º ∴ x=10º

R��������

10º Alternativa

B

PREGUNTA N.

o

₂₆

¿Cuál es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante? ak a α α θ A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R���������

Tema:

Teorema de correspondencia Recuerde Teorema de correspondencia β ω x y si β<ω → x<y

Análisis y procedimiento

Piden el menor valor entero de k. Dato: a es una constante

α α θ ak a agudo C D a E B A a D N a 60º xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx x+40ºx+x+x+x+x+40ºx+40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º 40º , entonces A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R���������

Tema:

Teorema de correspondencia Recuerde

Teorema de correspondencia

ω

x

Por teorema de la bisectriz de un ángulo, entonces

DC=DE=a

En el BED, por teorema de correspondencia, como agudo < recto, entonces

a<ak

1<k

Por lo tanto, el menor valor entero de k es 2.

R��������

2

Alternativa

B

PREGUNTA N.

o

₂₇

Si ABCD es un cuadrado y CEF un triángulo equilátero, entonces el valor de área

área CEF ABCD es igual a: B F A C D E A) 2 1− B) 3 1− C) 2 3 3− D) 1 2 E) 1 3

R���������

Tema:

Área de regiones planas Recordemos que

a. Área de la región triangular equilátera

 



A =



2 3 4

b. Área de la región cuadrada en función de su diagonal a d a A =d2 2

Análisis y procedimiento

Del gráfico nos piden área área CEF ABCD.   3 a D C 30º 30º _15º 15º a a a 45º 45º 45º A M E B F

Como AC



es mediatriz de EF, sea EM=MF=a → MC=a 3 y en el EAF: AM=a.

Luego, AC=a+a 3=a 3 1

(

+

)

Alternativa

B

B

es un cuadrado y CEF un triángulo equilátero, entonces el valor de área

área CEF CEF CE ABCD es C diagonal dd a

Análisis y procedimiento

Del gráfico nos piden área área



Ahora calculamos las áreas solicitadas. área CEF=( )2 3 4 2 a =a2 3 área ABCD=(AC)2 a( ) 2 2 3 1 2 =

(

+

)

= + = + a a 2 2 2(4 2 3) (2 3)

→ _área área _ABCDCEF a

a = + = + = − 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 3 ( ) ( )

R��������

2 3 3− Alternativa

C

PREGUNTA N.

o

₂₈

Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

A) arc tan( 2) B) arc sen( 2) C) arc cos( 3) D) arc cos( 2 ) E) arc cot( 3)

R���������

Tema:

Razones trigonométricas para ángulos agudos

B A C hh D a

En un tetraedro regular se cumple que

h=a₃6

Análisis y procedimiento

B A C H H D a θθ 33 33 aa

Del tetraedro regular de arista lateral a

la altura DH=a 6 3 . En el AHD AH=a 3 3 tanθ = a a 6 3 3 3 tanθ = 2 ∴ θ = arc tan 2

R��������

arc tan 2 Alternativa

A

Alternativa

C

C

Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

A

θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ 333333 3333333333

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Del tetraedro regular de arista lateral la altura DH=a 6

3 . En el AHD

AH=a 3 3

PREGUNTA N.

o

₂₉

Dado el punto (– 3; 2; 4), determine sus simetrías res-pecto del eje Z y resres-pecto del plano z=0. Determine el área del rectángulo cuyos vértices son justamente los puntos generados.

A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13

D) 13 13 E) 12 13

R���������

Tema:

Geometría analítica

Recuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.

Análisis y procedimiento

Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son los generados. –2 –2 –3 –3 4 (–3;2;4)P Q Q 33 00 4 4 J X Y –1 –1 –1 –1 –2 –2 M M –3 –4 –5 S 11 11 22 33 44 4 22 34 –3 –3––44 13 13 13 13 N P'(3;–2;4) (–3;2;0) (–3;2;0) P'' Z (–3;2;–4) 13 13

Sea P ‘ el simétrico de P respecto de Z



, entonces

P ‘=(3; – 2; 4)

Sea P ‘’ el simétrico de P respecto del plano Z=0, entonces P ‘’=( – 3; 2; – 4) En el plano Z=0: M=( – 3; 2; 0) → OM= 22+32 = 13 Luego, PN NP= '= 13 En el punto P=( – 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4

Con los puntos P, P ‘, P ‘’ se determina el rectángulo

PP ‘JP ‘’, además, PP '= 2 13 y PP ‘’=8.

Por lo tanto, el área del rectángulo PP ‘JP ‘’ es 8 2 13 16 13× =

R��������

16 13

Alternativa

A

PREGUNTA N.

o

₃₀

Se tiene un prisma exagonal regular

ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ cuyos lados de la base y la altura miden

2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados E’D’D’’E’’, luego por las aristas AB y D’’E’’ pasa un plano formando un sólido ABD’’E’’A’B’. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.

A) 3 3 1( + a) 3 B) 3 3 1( − a) 3 C) 2 3 1( + a) 3 D) 2 3 1( − a ) 3 E) 4 3 3 1 3 ( − a)

R���������

Tema:

Prisma h BB V: volumen V=B h

Nos piden el área del rectángulo cuyos vértices son

222222 _QQQQQQQQQQ 3333333333 4 4 X – 333333– 44444444444444444444444444444444444444444444444444444 13 P '(3; – 2; 4)

PREGUNTA N.

PREGUNTA N.

oo

₃₀

₃₀

Se tiene un prisma exagonal regular

A’B’C’D’E’F’ cuyos lados de la base y la altura miden

2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados

por las aristas AB y D’’E’’ pasa un plano formando un sólido ABD’’E’’A’B’. Calcule el volumen de la parte del sólido exterior al prisma exagonal.

Análisis y procedimiento

Piden V.

V: volumen del prisma PE’E’’ – QD’D’’

B B 3 2a 3 4a 3 30º E' E'' h D'' D' A' F' M N C' B' Q D C B F E P A 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 2a 60º 60º R Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah → V=2a2h (I) RMN ∼ AA’N h a MN A N 2 = ' h a a a _a 2 4 3 3 4 3 3 4 = + → h a=

(

3 1−

)

Reemplazando en (I) ∴ V=2 3 1

(

−

)

a3

R��������

2 3 1

(

−

)

a3 Alternativa

D

PREGUNTA N.

o

₃₁

El volumen de un cilindro es oblicuo 40π cm3 _{y la}

proyección de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su sección recta mide 2 cm, calcule el área de la base en cm2.

A) 2 3 π B) 4 3 π _C) 6 3 π D) 8 3 π _E) 10 3 π

R���������

Tema:

Cilindro

Análisis y procedimiento

Piden A _base Dato: v oblicuo cilindro=40π g

H

H

5 30º 30º 22 22 10 10 sección recta base • Sabemos que v A oblicuo cilindro recta sección =

(

)

⋅ g A recta sección

(

)

g=40π π(2)2_g=40π → g=10 • Pero A A recta

sección=

(

base

)

cos30º

4 3 2 π =

(

A_base

)

_ _ ∴ A_base=8 3 π B B B B E'' N 2a ah (I)

Tema:

Cilindro

Análisis y procedimiento

Piden A _base Dato: v oblicuo ci vci v lindro=40π g 30º 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 sección recta

R��������

8 3 π Alternativa

D

PREGUNTA N.

o

₃₂

Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-do al rotar la región sombreada alredegenera-dor del eje X.

2π R R O X Y 2π A) πR3 B) πR3 3 C) πR3 4 D) πR3 6 E) πR3 9

R���������

Tema:

Anillo esférico

A B

h a

Recuerde que

Volumen del anillo esférico

V esférico anillo = πa h 2 6 a: longitud de la cuerda AB h: longitud de la proyección de AB

Análisis y procedimiento

O A Y R R B X 2 R

Piden V_RS (volumen del sólido generado).

Se observa V_RS=V esférico anillo Por teorema V_RS=π

(

R 2

)

R 6 2 ∴ V_RS= πR₃3

R��������

πR3 3 Alternativa

B

2π X O A R

Piden VVV_RSRS (volumen del sólido generado). Se observa

PREGUNTA N.

o

₃₃

La figura representa un recipiente regular, en donde a y



son dados en cm y el ángulo θ es variable. Deter-mine el volumen máximo de dicho recipiente en cm3.

θ



θ a a A) 2a2



B) 3 2 2 a



C) 2 2 a



2 D) 1 2a2



E) 3 2₂ a2



R���������

Tema:

Sólidos - Prisma Recuerde h B B V_prisma=B h

Análisis y procedimiento

θθ B B



θ a a _a a

Piden el volumen máximo

V=b h=a2 2



⋅ senθ

Para que el volumen sea máximo, senθ=1. ∴ v=a₂2



R��������

1 2 2 a



Alternativa

D

PREGUNTA N.

o

₃₄

En la siguiente ecuación trigonométrica cos4 cos 2 1 8 2 7 8 x x    − ( )=

El número de soluciones en [0; 2π] es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R���������

Tema:

Ecuaciones trigonométricas • cos2θ=2cos2_{θ –1}

• 2cos2_θ=1+cos2θ

• cosθ=1 → θ=2nπ; n ∈ Z

Análisis y procedimiento

Piden el número de soluciones en [0; 2π] de la ecuación cos4 cos 2 1 8 2 7 8 x x    − = 2 2 2 2 7 2 2 cos x cos x    − =

PREGUNTA N.

PREGUNTA N.

oo

₃₄

₃₄

En la siguiente ecuación trigonométrica cossss44 ccoscc 2 1 8 7 8 x  s  c s _ c s _ c s c s  c s _ c s  c s _ c s  c s _ c s  c s _ c s _ c s _ c s _ c s c s  c s _ c s  c s _ c s  c s _ c s  c s  c s  c s _ c s _ c s c s  c s _ c s  c s _ c s  c s _ c s  c s _ c s _ c s _ c s _ c s c s  c s _ c s  c s _ c s  c s _ c s  c s c s − c s c ( )( )( )22xx = El número de soluciones en [0; 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R���������

2(1+cosx)2 – cos2x=7 2(1+2cosx+cos2x) – cos2x=7

2+4cosx+2cos2x – (2cos2x – 1)=7

cosx=1 → x=0; 2π

Por lo tanto, el número de soluciones de la ecuación es 2.

R��������

2

Alternativa

B

PREGUNTA N.

o

₃₅

Sea f una función definida por

f(x)=|arc senx|+|arc tanx|

Determine el rango de f. A) 0 2 ; π    B) 0 2 ; π   C) 0 3 4 ; π    D) 0 3 4 ; π   E) [0; π〉

R���������

Tema:

Funciones inversas π 2 y=|arcsenx| X 1 –1 Y π 2 y=|arctanx| Y X

Análisis y procedimiento

f(x)=|arc senx|+|arc tanx| f₁(x)=|arc senx| → –1≤ x ≤ 1

f₂(x)=|arc tanx| → x ∈ R → x ∈ [– 1; 1]

Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la función y=|arc senx|+|arc tanx|

3π 4 y=f(x) X 1 0 –1 Y ∴ Ran f ∈ 0 ; π3₄  

R��������

0 3 4 ; π    Alternativa

C

una función definida por

f₁ f₁ f (x)=|arc senx| → –1 f₂ f₂ f (x)=|arc tanx| → → x ∈ [– 1; 1]

Por suma de funciones obtenemos la gráfica de la función y=|arc senx|+|arc tan

3 4

PREGUNTA N.

o

₃₆

Cuál de los gráficos mostrados representa a la función

y=cos(2x – π), en un intervalo de longitud un periodo.

A) –π/2 π/2 B) –π/2 π/2 C) –π/2 π/2 D) π/2 π –π/2 –π E) –π/2 π/2

R���������

Tema:

Funciones trigonométricas directas

Análisis y procedimiento

Piden la gráfica de la función y=cos(2x – π).

y=cos(2x – π) y=cos( – (π – 2x)) y=cos(π – 2x) y= – cos2x Graficando y= – cos2x y=cos2x y=–cos2x 0 Y – 1 1 X –π/2 π/2 π –π

R��������

–π/2 π/2 Alternativa

C

PREGUNTA N.

o

₃₇

De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el área de las regiones

EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si L_AB= 4 unidades, calcule L_CD+ 3L_EF.

A

B

C

D

E

F

O

A) 2 2 B) 3 2 C) 4 2 D) 5 2 E) 6 2 –π/2π/2π

PREGUNTA N.

PREGUNTA N.

oo

₃₇

₃₇

De la figura mostrada,

sectores circulares, donde el área de las regiones

EOF, COD y AOB son: s; 3 L_AB= 4 unidades, calcule

R���������

Tema:

Área de un sector circular

S S O A B L θrad

S

: área del sector circular AOB

S

=L_2θ2

Análisis y procedimiento

Piden x+ 3 .y 2S 2S S S yy xx 33SS F O A C D E B 4 θrad •

S

=y2 ∧

S

= 2 2 6 4 2 θ θ ( ) → 6_ _{ =} → = 2 16 2 3 2 2 2 y _y θ θ • 3 2 6 4 2 2 2

S

=x ∧

S

= θ θ ( ) → 6_ _{ =} → = 6 16 2 2 2 2 x x θ θ ∴ +x 3y=4 2

R��������

4 2 Alternativa

C

PREGUNTA N.

o

₃₈

En la figura mostrada, el valor de tanφ · tanβ es

β φ X Y A) – 2 B) – 1 C) – 1/2 D) 1/2 E) 1

R���������

Tema:

Ángulos en posición normal Si AO=OA’ X O Y A(–m; n) A (–' n; –m)

Análisis y procedimiento

Del gráfico β φ X Y P(–a; b) P (–' b; –a) Por definición tanφ⋅tanβ= − −    −  a b b a ∴ tanφ · tanβ= – 1

R��������

– 1 Alternativa

B

3333SSSS xxxxxx A C D B 4

Tema:

Ángulos en posición normal

Si AO=OA’ Y A(– m; n) A (– n; – m)'

Análisis y procedimiento

Del gráfico Y

PREGUNTA N.

o

₃₉

Si tan 5 4 1 3 5 π   = x+ , cot 3 2 4 π   = −y , calcule x+y. A) – 4/5 B) – 3/4 C) – 3/5 D) 5/3 E) 8/3

R���������

Tema:

Reducción al primer cuadrante sen(π+θ)= – senθ cos(π+θ)= – cosθ tan(π+θ)=tanθ

Análisis y procedimiento

De tan 5 4 1 3 5 π   = x+ tan_π+π_= + 4 1 3x 5 tan π 4 1 3 5   = x+ 1 1 3 5 = + x 3x+5=1 → x= −4 3 De cot 3 2 4 π   = −y 0=y – 4 → y=4 Nos preguntan x y+ = − +4 3 4 ∴ x y+ =8 3

R��������

8 3 Alternativa

E

PREGUNTA N.

o

₄₀

Al determinar la forma compleja de la ecuación (x – 1)2+(y – 1)2=1 obtenemos

A) zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0 B) zz+(1+i)z – (1+i)z+1=0 C) 3zz+(1 – i)z+(1+i)z+1=0 D) 2izz – (1 – i)z – (1+i)z+1=0 E) 4zz – 2(1+i)z+(1 – i)z+1=0

R���������

Tema:

Números complejos • ∀ z ∈ C: |z|2_{=z · z} • Ecuación de la circunferencia (x – x₀)2+(y – y₀)2=r2 o |z – z₀|=r con z=x+yi ∧ z0=x0+y0i

Análisis y procedimiento

Tenemos que (x – 1)2_{+(y – 1)}2₌₁2 → |z – (1+i)|2₌₁2_{; z=x+yi} →

(

z – (1+i)

)(

z – (1+i)

)

=1 →

(

z – (1+i)

)(

z – (1+i)

)

=1 →

(

z – (1+i)

)(

z – (1 – i)

)

=1

→ z · z – (1 – i)z – (1+i)z+(1+i)(1 – i)=1 → z · z – (1 – i)z – (1 – i) · z+12 _{– i}2₌₁ → z · z – (1 – i)z – (1 – i)z+1

/

– ( – 1)=1

/

∴ zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0

R��������

zz – (1 – i)z – (1 – i)z+1=0 Alternativa

A

Análisis y procedimiento

Tema:

Números complejos

• ∀ z ∈C: |z|2_{=z ·z} • Ecuación de la circunferencia (x – x – x x₀)2+(y – y₀)2=rrr22 o |z – z₀|=r con r con r z

Análisis y procedimiento

Tenemos que (x – 1)x – 1)x 2_{+(y – 1)}2₌₁2 → |z – (1+i)|2₌₁2_{; z=} →

(

z – (1+i)

)(

z – (1+i)

)

=1