ESCUELA DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA 1. EL PLANO CARTESIANO. (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2.

(1)

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Semestre 2019-2 Andrés Merino

1. EL PLANO CARTESIANO

DEFINICIÓN1

El plano cartesiano es la representación gráfica del conjunto R2_{= {(}x, y₎: x, y_∈R_}.

DEFINICIÓN2: Distancia DEFINICIÓN2: Distancia

Para(x₁, y1),(x2, y2) ∈R2, se define la distancia entre estos puntos por d((x₁, y1),(x2, y2)) =

q

(x2−x1)2+ (y2−y1)2. DEFINICIÓN3: Pendiente

DEFINICIÓN3: Pendiente

Para(x1, y1),(x2, y2) ∈R2puntos diferentes, con x16=x2, si llamamos A= (x1, y1) y B= (x2, y2),

se define la pendiente formada por estos puntos por m_A,B= y2−y1

x2−x1.

Si x1=x2, se dice que los puntos forman una pendiente infinita. TEOREMA1: Área de un triángulo

TEOREMA1: Área de un triángulo

Si los vértices de un triángulo son(x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) ∈R2, entonces el área del triángulo es el valor absoluto de

1 2 x₁ y₁ 1 x2 y2 1 x₃ y₃ 1 .

(2)

DEFINICIÓN4: Segmento DEFINICIÓN4: Segmento

Para(x₁, y1),(x2, y2) ∈R2, si llamamos

A= (x1, y1) y B= (x2, y2), los puntos de la forma

A+t(B−A) = (x1+t(x2−x1), y1+t(y2−y1)), con t∈ [0, 1], son puntos del segmento que une a A y B.

o

Si tomamos t=1/2 en la definición anterior, el punto A+1₂(B₋A) =1 2(A+B) = x1+x2 2 , y₁+y2 2

es el punto medio entre A y B.

2. PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES

DEFINICIÓN5

Dados dos conjunto A y B se define el producto cartesiano de A y B por el con-junto

A×B= {(x, y): x∈ A ∧ y∈B}. DEFINICIÓN6: Relaciones

DEFINICIÓN6: Relaciones

Dados dos conjunto A y B, se dice que R es una relación de A en B si R_⊆A_×B.

o

Una relación de R en R es un subconjunto de R2, por lo tanto, tiene una

representación gráfica en el plano cartesiano.

o

Una relación de R2 en R o de R en R2 es un subconjunto de R3, por lo

(3)

3. LUGAR GEOMÉTRICO

DEFINICIÓN7: Lugar geométrico

El lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que cumplen una deter-minada condición. Por lo general, esta condición está dada por una ecuación, a esta se la llama, la ecuación del lugar geométrico.

o

Un lugar geométrico en R2es una relación de R en R.

4. TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS

DEFINICIÓN8: Traslaciones en el eje x

Sea h ∈ R. Para realizar una traslación en el eje x de h unidades hacia la derecha se debe realizar la siguiente transformación:

(x, y) 7→ (x+h, y). DEFINICIÓN9: Traslaciones en el eje y

DEFINICIÓN9: Traslaciones en el eje y

Sea k∈ R. Para realizar una traslación en el eje y de k unidades hacia arriba se debe realizar la siguiente transformación:

(x, y) 7→ (x, y+k). DEFINICIÓN10: Reflexiones respecto al eje x DEFINICIÓN10: Reflexiones respecto al eje x

Para realizar una reflexión respecto al eje x se debe realizar la siguiente trans-formación:

(x, y) 7→ (x,−y). DEFINICIÓN11: Reflexiones respecto al eje y

DEFINICIÓN11: Reflexiones respecto al eje y

Para realizar una reflexión respecto al eje y se debe realizar la siguiente trans-formación:

(x, y) 7→ (−x, y). DEFINICIÓN12: Reflexiones respecto al origen

DEFINICIÓN12: Reflexiones respecto al origen

Para realizar una reflexión respecto al origen se debe realizar la siguiente transformación:

(4)

5. TRANSFORMACIONES DEL LUGAR GEOMÉTRICO

DEFINICIÓN13: Traslaciones en el eje x

Sea h ∈ R. Para realizar una traslación en el eje x de h unidades hacia la derecha se debe realizar la siguiente transformación en la ecuación del lugar geométrico:

(x, y) 7→ (x−h, y). DEFINICIÓN14: Traslaciones en el eje y

DEFINICIÓN14: Traslaciones en el eje y

Sea k∈R. Para realizar una traslación en el eje y de k unidades hacia arriba se debe realizar la siguiente transformación en la ecuación del lugar geométrico:

(x, y) 7→ (x, y−k). DEFINICIÓN15: Reflexiones respecto al eje x

DEFINICIÓN15: Reflexiones respecto al eje x

Para realizar una reflexión respecto al eje x se debe realizar la siguiente trans-formación en la ecuación del lugar geométrico:

(x, y) 7→ (x,−y). DEFINICIÓN16: Reflexiones respecto al eje y

DEFINICIÓN16: Reflexiones respecto al eje y

Para realizar una reflexión respecto al eje y se debe realizar la siguiente trans-formación en la ecuación del lugar geométrico:

(x, y) 7→ (−x, y). DEFINICIÓN17: Reflexiones respecto al origen

DEFINICIÓN17: Reflexiones respecto al origen

Para realizar una reflexión respecto al origen se debe realizar la siguiente transformación en la ecuación del lugar geométrico:

(x, y) 7→ (−x,−y).

6. CRITERIOS DE SIMETRÍA

DEFINICIÓN18

Dado un lugar geométrico, se dice que es

• simétrico respecto al eje x si al realizar una reflexión respecto a este eje, el lugar geométrico no cambia.

(5)

• simétrico respecto al eje y si al realizar una reflexión respecto a este eje, el lugar geométrico no cambia.

• simétrico respecto al origen si al realizar una reflexión respecto a este punto, el lugar geométrico no cambia.

7. LA RECTA

DEFINICIÓN19: Recta

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos cuya pendiente entre ellos es contante.

o

Dada una rectaℓ_{, se denota por mℓ}_{a la pendiente entre cualquier para de}

puntos de la recta. Si mℓes igual a 0 se dice que es una recta horizontal y si es igual a infinito, es una recta vertical.

PROPOSICIÓN2. La ecuación de una recta horizontal es de la forma

y=c,

con c∈Ry la de una recta vertical es de la forma x =c,

con c∈R.

o

En general, la ecuación de una recta es una ecuación de primer grado. TEOREMA3

TEOREMA3

Sea m ∈ Ry ₍_x₀, y₀_{) ∈} R2. La ecuación de la recta que pasa por el punto

(x0, y0)y tiene pendiente m es

y−y0=m(x−x0). TEOREMA4

TEOREMA4

(6)

que pasa por los puntos(x1, y1)y(x2, y2)es y−y1= y_x2−y1

2−x1(x−x1). PROPOSICIÓN5. Seaℓuna recta con ecuación

y=mx+b,

se tiene que m es la pendiente de la recta y(0, b)es el punto donde la recta corta el eje y.

DEFINICIÓN20

Seanℓ₁_yℓ₂_{dos rectas cuyas pendientes son m}₁_{y m}₂_{, respectivamente. Se dice}

que

• las rectas son paralelas si m1=m2; y

• las rectas son perpendiculares si m1m2= −1.

PROPOSICIÓN6. Seanℓuna recta y₍u, v_{) ∈} R2un punto en el plano. Si la

ecuación de la rectaℓes

Ax+By+C=0,

con A, B, C∈R, se tiene que la distancia entre el punto₍u, v₎y la rectaℓestá

dada por |Au+Bv+C| √ A2+B2 .

8. LA CIRCUNFERENCIA

DEFINICIÓN21: Circunferencia DEFINICIÓN21: Circunferencia

Dados un punto(h, k) ∈R2y r>_{0, una circunferencia es el lugar geométrico}

de todos los puntos cuya distancia al punto(h, k)es igual a r. El punto(h, k)es llamado centro de la circunferencia y a r se lo llama radio de la circunferencia.

(7)

TEOREMA7 TEOREMA7

La ecuación de una circunferencia puede ser de la forma

(x₋h)2+ (y₋k)2=r2, con h, k∈Ry r>0, donde • su centro es el punto(h, k); y • su radio es r. TEOREMA8 TEOREMA8

La ecuación de una circunferencia puede ser de la forma x2+y2+Dx+Ey+F=0, con D, E, F∈Rtales que D2₊_E2₋4F>0, donde

• su centro es el punto−D2,−E2 ; y • su radio es 1₂√D2+E2−4F.

9. LA PARÁBOLA

DEFINICIÓN22: Parábola DEFINICIÓN22: Parábola

Dados un punto(x0, y0)y una rectaℓ, una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia al punto(x₀, y0)es igual a la distancia a la rectaℓ.

El punto es llamado foco de la parábola y la recta es llamada directriz de la parábola.

A la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco se la llama eje de la parábola y al punto en el que esta recta corta la parábola se la llama vértice de la parábola.

o

Dados el punto(x0, y0)y la rectaℓde ecuación Ax+By+C =0, la ecua-ción de la parábola de foco(x0, y0)y directrizℓ_es

q

(x−x0)2+ (y−y0)2= |Ax√+By+C| A2+B2 .

(8)

Si la ecuación de una parábola es de la forma

(x₋h)2=4p(y₋k),

con h, k ∈ Ry p > 0, se dice que la parábola se abre hacia arriba y se tiene

que • su vértice es(h, k); • su foco es(h, k+p); • su directriz es y=k−p; y • su eje es x=h. TEOREMA10 TEOREMA10

(x−h)2= −4p(y−k),

con h, k∈Ry p>_{0, se dice que la parábola se abre hacia abajo y se tiene que}

• su vértice es(h, k); • su foco es(h, k−p); • su directriz es y=k+p; y • su eje es x=h. TEOREMA11 TEOREMA11

(y₋k)2=4p(x₋h),

con h, k∈Ry p>0, se dice que la parábola se abre hacia la derecha y se tiene

que • su vértice es(h, k); • su foco es(h+p, k); • su directriz es x=h−p; y • su eje es y=k. TEOREMA12 TEOREMA12

(y−k)2= −4p(x−h),

con h, k ∈ Ry p > _{0, se dice que la parábola se abre hacia la izquierda y se}

tiene que

• su vértice es(h, k); • su foco es(h−p, k);

• su directriz es x=h+p; y • su eje es y=k.

(9)

La ecuación de una parábola vertical puede ser de la forma x2+Dx+Ey+F=0

y la de una horizontal puede ser de la forma y2+Dx+Ey+F=0, con D, E, F∈R.

o

En una parábola, la reflexión de cualquier recta perpendicular a la directriz,

sobre la parábola, pasa por el foco.

10. LA ELIPSE

DEFINICIÓN23: Elipse

Dados dos puntos (x₁, y1) y (x2, y2), diferentes, una elipse es el lugar geo-métrico de todos los puntos cuya suma de la distancia al punto(x1, y1)y la distancia al punto(x2, y2)es constante.

Los puntos (x1, y1) y (x2, y2) son llamados focos de la elipse. El punto medio entre estos es llamado centro de la elipse.

La recta que pasa por los focos es llamada eje mayor de la elipse y los puntos en los cuales el eje mayor corta la elipse son llamados vértices de la elipse; la mitad de la distancia entre estos puntos es llamado radio mayor.

La recta que perpendicular a eje mayor que pasa por el centro de la elipse es llamada eje menor y la mitad de la distancia entre los puntos en los que corta a la elipse el llamado radio mejor.

o

Dados los puntos(x1, y1)y(x2, y2), diferentes, y a>0, la ecuación de una elipse es

q

(x−x1)2+ (y−y1)2+ q

(x−x2)2+ (y−y2)2=2a. Aquí, a es el radio mayor de la elipse.

(10)

Si la ecuación de una elipse es de la forma

(x−h)2

a2 +

(y−k)2

b2 =1,

con h, k∈Ry a, b >_{0 tales que a}>_{b, se dice que es una elipse horizontal y}

se tiene que• su centro es(h, k);

• sus vértices son(h_±a, k); • su radio mayor es a;

• su radio menor es b; y • sus focos son(h±c, k),

donde a2₌_b2₊_c2_. TEOREMA15

TEOREMA15

Si la ecuación de una elipse es de la forma

(x₋h)2

b2 +

(y₋k)2

a2 =1,

con h, k∈ Ry a, b>0 tales que a> b, se dice que es una elipse vertical y se

tiene que• su centro es(h, k);

• sus vértices son(h, k±a); • su radio mayor es a;

• su radio menor es b; y • sus focos son(h, k±c),

donde a2₌_b2₊_c2_.

o

En una elipse, la reflexión de cualquier recta que pase por un foco, sobre la_{elipse, pasa por el otro foco.}

11. LA HIPÉRBOLA

DEFINICIÓN24: Hipérbola

Dados dos puntos(x₁, y1)y(x2, y2), diferentes, una hipérbola es el lugar geo-métrico de todos los puntos cuya diferencia entre la distancia al punto(x1, y1) y la distancia al punto(x₂, y2)es constante.

Los puntos (x1, y1) y (x2, y2) son llamados focos. El punto medio entre estos es llamado centro de la hipérbola.

La recta que pasa por los focos es llamada eje de la hipérbola y los puntos en los cuales el eje mayor corta la hipérbola son llamados vértices.

(11)

o

Dados los puntos(x1, y1)y(x2, y2), diferentes, y a>0, la ecuación de una hipérbola es q (x−x1)2+ (y−y1)2− q (x−x2)2+ (y−y2)2 =2a. TEOREMA16 TEOREMA16

Si la ecuación de una hipérbola es de la forma

(x−h)2

a2 −

(y−k)2

b2 =1,

con h, k∈Ry a, b>_{0, se dice que es una hipérbola horizontal y se tiene que}

(tomando c2₌_a2₊_b2₎ • su centro es(h, k);

• sus vértices son(h_±a, k); • sus focos son(h_±c, k); y

• sus asíntotas son y=k_±b a(x− h).

TEOREMA17

Si la ecuación de una hipérbola es de la forma

(y−k)2

a2 −

(x−h)2

b2 =1,

con h, k ∈ Ry a, b > 0, se dice que es una hipérbola vertical y se tiene que

(tomando c2₌_a2₊_b2₎ • su centro es(h, k);

• sus vértices son(h, k±a);

• sus focos son(h, k±c); y • sus asíntotas son y=k±_ba(x−

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LÓGICA DELDISEÑOGRÁFICO • RESUMENNO. 01

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Semestre 2019-2 Andrés Merino

1. T

RANSFORMACIONES DEL PLANO

DEFINICIÓN1 DEFINICIÓN1

Una transformación del plano es cualquier función T : R2→R2_. DEFINICIÓN2: Traslaciones

DEFINICIÓN2: Traslaciones

Sea(h, k) ∈R2_{. La traslación del plano mediante el vector}₍_{h, k}₎_es T : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (x+h, y+k). DEFINICIÓN3: Homotecia de centro en el origen DEFINICIÓN3: Homotecia de centro en el origen Sea α∈R. La homotecia de factor α respecto al origen es

T : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (αx, αy). DEFINICIÓN4: Escalado

DEFINICIÓN4: Escalado

Sea α, β∈R. El escalado de razón α en el eje x y β en el eje y es T : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (αx, βy). DEFINICIÓN5: Rotación

DEFINICIÓN5: Rotación

Sea θ∈R. La rotación de un ángulo de θ es T : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (x cos(θ) −y sen(θ), x sen(θ)y cos(θ)). DEFINICIÓN6: Reflexión

DEFINICIÓN6: Reflexión

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de inclinación θ es T : R2 −→ R2

(x, y) 7−→ (x cos(2θ) +y sen(2θ), x sen(2θ) −y cos(2θ)). DEFINICIÓN7: Transformación rígida

DEFINICIÓN7: Transformación rígida

Se dice que una transformación es rígida si no altera la distancia entre los puntos.

Las únicas transformaciones rígidas del plano son las traslaciones, rotaciones, reflexiones y composiciones de estas.

Toda transformación rígida del plano es traslación seguida de una rotación o una traslación seguida de una reflexión.

DEFINICIÓN8: Simetrías DEFINICIÓN8: Simetrías

Se llama simetrías de una figura a toda transformación que deja invariante a la figura.

2. M

ATRICES DE ROTACIÓN Y REFLEXIÓN

o

Toda imagen en escala de grises es una matriz cuyas componentes son nú-meros entre 0 y 1.

Toda imagen a color en formato RGB es un conjunto de 3 matrices cuyas componentes son números entre 0 y 1.

DEFINICIÓN9 DEFINICIÓN9

Sea θ∈R, se definen las siguientes matrices:

rot(θ) = cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ)

!

y ref(θ) = cos(2θ) sen(2θ) sen(2θ) −cos(2θ)

!

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3. G

RUPOS DE SIMETRÍA

DEFINICIÓN10: Simetrías DEFINICIÓN10: Simetrías

El conjunto de todas las simetrías de un objeto es llamado grupo de simetrías. Este grupo cumple que la composición de cualquier dos simetrías es otra si-metría.