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Simetrías de ecuaciones diferenciales en tres lecciones Autor: Mikhail Malakhaltsev

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Academic year: 2021

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(1)

en tres lecciones

Autor: Mikhail Malakhaltsev

UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA

(2)

lecciones

*

Mikhail Malakhaltsev Ph.D

**

Mayo 27 2014

Resumen El programa del cursillo es:

Clase 1. Descripci´on geom´etrica de ecuaciones diferenciales or-dinarias (E.D.O.): la definici´on cl´asica de E.D.O; la distribuci´on de Cartan; el espacio de E.D.O; soluciones generalizadas; ejem-plos. Descripci´on geom´etrica de ecuaciones diferenciales parcia-les (E.D.P): espacio de E.D.P., la distribuci´on de Cartan sobre el espacio de E.D.P., las soluciones generalizadas, ejemplos. Clase 2. Simetr´ıas de ecuaciones diferenciales: simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan en R3; simetr´ıas de E.D.O.; ejemplos. Clase 3. La descripci´on de simetr´ıas de la distribuci´on de Car-tan, transformaciones de contacto, la transformaci´on de Legen-dre. Ejemplo: la ecuaci´on de Clairault ¿c´omo encontrar la solu-ci´on usando transformaciones de contacto?. Un algoritmo para encontrar las simetr´ıas de EDP. Ejemplo: las caracter´ısticas de EDP de primer orden y su soluci´on.

Palabras clave: E.D.O, distribucion de Cartan, Simetr´ıas de E.D.O., transformaciones de contacto.

*Presentado como cursillo en el XIX Congreso Colombiano de Matem´aticas 2013 **Universidad de los Andes Email: mikarm@uniandes.edu.co

(3)

Abstract The program of the course is:

Lecture 1. Geometric description of Ordinary Differential Equa-tions (O.D.E.): the classic definition of O.D.E.; Cartan´s dis-tribution, the space of O.D.E. Generalized solutions, examples. Geometric description of Partial Differential Equations (P.D.E), space of P.D.E., generalized solutions, examples.

Lecture 2. Simetries of differential equations: simmetry of Car-tan´s distribution in R3; simmetries of O.D.E.; examples. Lecture 3. The description of simmetries of Cartan´s distribu-tion, contact transformations, Legendre´s transformation. Exam-ple: Clairaut´s equation. How to find the solution by using con-tact transformations?. An algoritm to find the simmetries of P.D.E. Example: the characteristics of P.D.E. of first order and its solution.

Key words : O.D.E., Cartan´s distribution; Simmetries of O.D.E., Contact transformations

(4)

´Indice

Prerrequisitos 2

1. Clase 1: Geometr´ıa de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer

orden 3

Programa 3

1.1. Definici´on cl´asica de ecuaci´on diferencial ordinaria 3 1.2. Descripci´on geom´etrica de E.D.O. de primer orden. La distribuci´on de Cartan 3 1.3. Descripci´on geom´etrica de E.D.P. de primer orden 6

Resumen de la clase 1 8

2. Clase 2. Simetr´ıas de ecuaciones diferenciales ordinarias 9

Programa 9

2.1. Simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan en R3 9

2.2. Derivada de Lie 9

2.3. Simetr´ıas infinitesimales de la distribuci´on de Cartan 10

2.4. Simetr´ıas de E.D.O. de primer orden 10

2.5. Simetr´ıas infinitesimales de E.D.O. de primer orden 11 2.6. Algoritmo para hallar simetr´ıas infinitesimales de E.D.O. de primer orden 11

Resumen de la clase 2 12

3. Clase 3. Simetr´ıas de ecuaciones diferenciales parciales 13

Programa 13

3.1. Simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan en R2n+1 13 3.2. Simetr´ıas infinitesimales de la distribuci´on de Cartan en R2n+1 14

3.3. Simetr´ıas de E.D.P. de primer orden 14

3.4. Simetr´ıas infinitesimales de E.D.P. de primer orden 15 3.5. Algoritmo para hallar simetr´ıas infinitesimales de E.D.P. de primer orden 15 3.6. Simetr´ıas caracter´ısticas de E.D.P. de primer orden 16

Resumen de la clase 3 18

Respuestas 20

Prerrequisitos. C´alculo vectorial, ecuaciones diferenciales.

(5)

1. Clase 1: Geometr´ıa de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de primer orden

Programa.

la definici´on cl´asica de ecuaci´on diferencial ordinaria; la distribuci´on de Cartan;

el espacio de ecuaciones diferenciales ordinarias; soluciones generalizadas;

ejemplos.

1.1. Definici´on cl´asica de ecuaci´on diferencial ordinaria. Una ecuaci´on diferen-cial ordinaria de primer orden es una relaci´on

g(x, y, y0) = 0 (1)

Una soluci´on de la ecuaci´on (1) es una funci´on y = y(x) que satisface la ecuaci´on. Ejemplo 1. La funci´on y(x) = ex es una soluci´on de la ecuaci´on y0− y = 0.

1.2. Descripci´on geom´etrica de E.D.O. de primer orden. La distribuci´on de Cartan. Vamos a construir una descripci´on geom´etrica de E.D.O. de primer orden. To-memos el espacio R3 con las coordenadas (x, y, p), y la superficie E ⊂ R3 dada por la ecuaci´on

F (x, y, p) = 0. (2)

Pero en R3 las coordinadas x, y, p son equivalentes, entonces se puede intercambiar p y x, por ejemplo por una transformaci´on lineal (un isomorfismo del espacio R3). Entonces tenemos que tener algo que expresa el hecho de que p es la derivada. Hacemos un c´alculo:

p = dy

dx ⇒ dy − pdx = 0. (3)

¿Qu´e es el sentido geom´etrico de la ecuaci´on dy − pdx = 0? La ecuaci´on determina una distribuci´on C en R3, es decir un campo de planos. En cada punto (x

0, y0, z0) fijamos el plano que consista de vectores (a, b, c) tal que b − p0a = 0. Este distribuci´on se llama la distribuci´on de Cartan o la distribuci´on de contacto. La distribuci´on de Cartan se puede tambi´en definir como el n´ucleo de 1-forma de Cartan:

ω = dy − pdx. (4)

Entonces un vector V = (a, b, c) en un punto Q(x, y, p) pertenece al plano de la distribu-ci´on de Cartan C(Q) en este punto si y solo si ωQ(V ) = 0.

Por lo tanto el espacio de E.D.O. de primer orden es (R3, C), es decir el espacio tres dimensional R3 con la distribuci´on de Cartan C.

(6)

Figura 1. La distribuci´on de Cartan en R3

Definici´on 1. Una ecuaci´on diferencial ordinaria es una superficie E en el espacio de E.D.O de primer orden.

Ahora ¿qu´e es la soluci´on de E.D.O. de primer orden?

Sea y = f (x), x ∈ (a, b), una funci´on. Recuerden que el gr´afico Γf de la funci´on f (x) es la curva (x, f (x)) en R2. Definamos 1-gr´afico de la funci´on y = f (x) como la curva Γ1

f : (a, b) → R3 dada por las ecuaciones x = x, y = f (x), z = f

0(x). El 1-gr´afico Γ1 f est´a tangente a la distribuci´on de Cartan pues el vector tangente dtdΓ1

f a la curva Γ1f tiene coordenadas: dx dt = 1, dy dt = f 0 (t), dp dt = f 00 (t), (5) entonces ω(d dtγ) = f 0(t) − f0(t) · 1 = 0. (6)

Una curva tangente a una distribuci´on se llama una curva integral de la distribuci´on. Entonces un 1-gr´afico es una curva integral de la distribuci´on de Cartan.

Teorema 1. Una curva

γ : (a, b) → R3, t 7→ (x(t), y(t), z(t)) (7) tal que x0(t) 6= 0 (en este caso x : (a, b) → (x(a), x(b), t 7→ x(t) es un difeomorfismo), es el 1-gr´afico de una funci´on si y solo si γ es una curva integral de la distribuci´on de Cartan.

Ejercicio 1. Probar el teorema.

Observaci´on 1. En general una curva integral de la distribuci´on de Cartan no es un 1-gr´afico. Por ejemplo, la recta vertical x = 0, y = 0, p = t es una curva integral de C pero se proyecta a un punto en R2 entonces no es ning´un 1-gr´afico (ver Figure 2). Tambi´en la curva x = t2/2, y = t3/3, p = t es una curva integral de la distribuci´on de Cartan, pero se proyecta a la curva 8y2− 9x3 = 0 y tampoco es un gr´afico (ver Figure 2).

(7)

Figura 2. La recta negra es tangente a la distribuci´on de Cartan pero no es un 1-gr´afico; la curva verde tampoco es un gr´afico.

Definici´on 2. Una soluci´on generalizada de una ecuaci´on diferencial E ⊂ R3 es una curva γ tal que

γ es una curva integral de la distribuci´on de Cartan; γ pertenece a E .

La distribuci´on de Cartan se encuentra con el plano tangente de la superficie E por una recta (en un punto de posici´on general). Entonces, la distribuci´on C determina una distribuci´on CE sobre la superficie E (en casi todo punto de E ). Las soluciones generalizadas

C

CE

E TpE

Figura 3. La distribuci´on de Cartan sobre E , la soluci´on generalizada

son las curvas integrales de la distribuci´on CE.

Ejercicio 2. Si y = f (x) es una soluci´on de una ecuaci´on diferencial F (x, y, y0) = 0, entonces su 1-gr´afico es una soluci´on generalizada de la ecuaci´on E : F (x, y, p) = 0. Ejercicio 3. Hay una biyecci´on entre las soluciones cl´asicas y las soluciones generalizadas de una ecuaci´on de la forma F (x, y, y0) = y0− h(x, y) = 0.

Ejemplo 2. Consideremos la ecuaci´on (y0)2+ y2− 1 = 0. La soluci´on cl´asica es

(y0)2+y2−1 = 0 ⇒ dy

p1 − y2 = ±dx ⇒ arcsin y = ±x+c ⇒ y(x) = sin(c+x) y y(x) = sin(c−x). (8) ◦

(8)

Figura 4. Las soluciones generalizadas y las soluciones cl´asicas. Las rectas son soluciones singulares

La soluci´on geom´etrica. La superficie E es el cilindro: p2+ y2 = 1. Tomamos las coorde-nadas locales (u, v) en la superficie E : x = u, y = cos v, p = sin v. Entonces la distribuci´on de Cartan CE tiene ecuaci´on,

dy − pdx = d cos v − sin vdu = − sin v(dv + du) = 0. (9) Tenemos dos casos.

El caso no singular : sin v 6= 0. Entonces

dv + du = 0 ⇒ v + u = a (10)

y la soluci´on generalizada es la curva γ dada con respecto a las coordenadas locales por las ecuaciones u = t, v = a − t, y en las coordenadas x, y, p por las ecuaciones:

x = a − t, y = cos t, p = sin t. (11)

Entonces la proyecci´on de γ al plano XOY nos da una familias de curvas y = cos(a − x). Si a = π/2 − c, tenemos y = sin(c + x); si a = c − π/2, tenemos y = sin(c − x). Vemos que una soluci´on generalizada nos trae f´acilmente una formula para dos soluciones cl´asicas.

El caso singular : sin v = 0. Entonces cos v = ±1 y llegamos a la soluci´on y(x) = ±1. Ahora miremos el problema de Cauchy.

El punto x = 0, y = 0 es cubierto por dos puntos en E ⊂ R3: A(0, 0, −1) con u = 0, v = π/2, y B(0, 0, 1) con u = 0, v = 3π/2. Por lo tanto la soluci´on generalizada que pasa por A es u = t, v = π/2 − t, entonces tiene ecuaciones x = t, y = sin t, p = cos t, y la soluci´on generalizada que pasa por B es u = t, v = 3π/2 − t, entonces tiene ecuaciones x = t, y = − sin t, p = − cos t. As´ı, obtenemos dos soluciones y = sin x y y = − sin x que pasan por el punto (0, 0) (ver Figura 5 por la izquierda).

El punto x = 0, y = 1 es cubierto por el punto A(0, 1, 0) (u = 0, v = 0) en E ⊂ R3. Por lo tanto la soluci´on generalizada que pasa por A tiene ecuaciones u = t, v = −t, o x = t, y = cos t, p = − sin t, y la soluci´on generalizada singular que pasa por A tiene ecuaciones u = t, v = 0, o x = t, y = 1, p = 0. As´ı, hay dos soluciones y = cos x y y = 1 que pasan por el punto (0, 1) (ver Figura 5 por la derecha).

Ejercicio 4. Consideren la ecuaci´on (y0)2 + x2 = 1 y resuelvan la ecuaci´on usando el m´etodo cl´asico y el m´etodo geom´etrico.

1.3. Descripci´on geom´etrica de E.D.P. de primer orden. Una ecuaci´on diferen-cial pardiferen-cial (E.D.P.) de primer orden es una relaci´on

g(x1, x2, · · · , xn, u, ∂1u, ∂2u, · · · , ∂nu) = 0. (12)

(9)

Figura 5. Soluci´on del problema de Cauchy

Una soluci´on de la ecuaci´on (12) es una funci´on u = u(x1, · · · , un) que satisface la ecua-ci´on.

Pasemos ahora a la descripci´on geom´etrica. El espacio de E.D.P. de primer orden es (R2n+1, C) donde R2n+1 tiene coordenadas (x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) y C es la distribuci´on de Cartan dada por la ecuaci´on

du − p1dx1− p2dx2− · · · − pndxn = 0. (13) Una ecuaci´on diferencial parcial es una superficie E en (R2n+1, C). La distribuci´on de Cartan C determina una distribuci´on CE = T E ∩ C sobre la superficie E .

El 1-gr´afico Γ1ϕ de una funci´on u = ϕ(x

1, · · · , xn) es una superficie parametrizada n-dimensional en (R2n+1, C) dada por las ecuaciones

u = ϕ(x1, · · · , xn), p1 = ∂ϕ ∂x1 (x1, · · · , xn), pn= ∂ϕ ∂xn (x1, · · · , xn). (14)

La superficie Γ1ϕ ⊂ (R2n+1, C) es una superficie integral maximal de la distribuci´on de Cartan. La dimensi´on de Γ1ϕ es igual a n.

Una soluci´on de E.D.P. E es una superficie integral maximal (n-dimensional) de CE. Ejemplo 3. Considere la ecuaci´on u + ∂u

∂x1 ∂u ∂x2 − 1 2(x1 + x2) 2 = 0. Una soluci´on es u = ϕ(x, y) = x2 1/2 + x22/2.

La superficie E es u + p1p2 − 12(x1 + x2)2 = 0. Podemos tomar x, y, p1 y p2 como coordenadas locales sobre E , entonces u = 12(x1+ x2)2− p1p2. Tenemos,

du = (x1+ x2)(dx1+ dx2) − (p1dp2+ p2dp1) = (x1+ x2)dx1+ (x1+ x2)dx2− p2dp1− p1dp2, (15) y la distribuci´on CE tiene la ecuaci´on

du − p1dx1− p2dx2 = (x1+ x2 − p1)dx1+ (x1+ x2− p2)dx2− p2dp1− p1dp2 = 0. (16) El gr´afico Γ1ϕ es 2-dimensional y tiene ecuaciones param´etricas:

x1 = v1, x2 = v2, u = v12/2 + v 2

2/2, p1 = v1, p2 = v2. (17) Se puede verificar que Γ1ϕ ⊂ E :

u + p1p2− 1 2(x1+ x2) 2 = (v2 1/2 + v 2 2/2) + v1v2− 1 2(v1+ v2) 2 = 0, (18)

y tambi´en que Γ1ϕ es una superficie integral de la distribuci´on de Cartan: du − p1dx1− p2dx2 = d(v12/2 + v

2

2/2) − v1dv1− v2dv2 = 0. (19) ◦

(10)

Ejemplo 4. Considere una ecuaci´on algebraica g(x1, · · · , xn, u) = 0 como una E.D.P. de primer orden. Entonces los n-planos x1 = a1, . . . , xn= an, u = b donde a1, . . . , an, b son constantes tal que g(a1, · · · , an, b) = 0, son soluciones de la E.D.P.

Resumen de la clase 1.

El espacio de E.D.O. es R3 = {(x, y, p)} con la distribuci´on de Cartan C dada por la ecuaci´on dy − pdx = 0.

Una E.D.O. es una superficie E en el espacio (R3, C).

Las soluciones (generalizadas) de la ecuaci´on E son curvas integrales de la distribu-ci´on C que pertenecen a la superficie E .

El espacio de ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.) es R2n+1 = {(x

1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn)} con la distribuci´on de Cartan C dada por la ecuaci´on du − p1dx1− · · · − pndxn= 0.

Una E.D.P. es una superficie E en el espacio (R2n+1, C). Las soluciones (generaliza-das) de la ecuaci´on E son superficies integrales de la distribuci´on C que pertenecen a la superficie E .

(11)

2. Clase 2. Simetr´ıas de ecuaciones diferenciales ordinarias Programa.

Simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan; Simetr´ıas de E.D.O.;

Algoritmo para hallar simetr´ıas infinitesimales de E.D.O.; Ejemplos.

2.1. Simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan en R3.

Definici´on 3. Sean U y V regiones abiertas en R3. Una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan es un difeomorfismo f : U → V tal que dfpC(p) = C(f (p)) para cada p ∈ U . Teorema 2. Un difeomorfismo f : U → V es una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan si y solo si f∗ω = λω donde λ es una funci´on.

Ejercicio 5. Probar el Teorema 2. Ejemplo 5. Consideremos

f (x, y, p) = (x0, y0, p0) donde x0 = x + c, y0 = y, p0 = p (20) Aqu´ı c es una constante. Entonces,

f∗ω = f∗(dy − pdx) = dy0 − p0dx0 = dy − pdx = ω (21) y f es una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan.

Ejemplo 6. Consideremos la transformaci´on de Legendre:

f (x, y, p) = (x0, y0, p0) donde x0 = p, y0 = xp − y, p0 = x. (22) Entonces,

f∗ω = f∗(dy − pdx) = dy0 − p0dx0 = d(xp − y) − xdp = −dy + pdx = −ω. (23) y f es una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan.

2.2. Derivada de Lie. La derivada de Lie con respecto a un campo vectorial X es una aplicaci´on de ´algebra de campos tensoriales LX : T → T tal que

LX(t1+ t2) = LXt1+ LXt2; LX(t1⊗ t2) = LXt1⊗ t2+ t1⊗ LXt2; LXf = Xf = Xi∂if ; LX∂u∂i = − ∂Xk ∂ui ; LXdui = dXi = ∂X i ∂ujdu j.

Observaci´on 2. La derivada de Lie es un operador important´ısimo, especialmente para hallar simetr´ıas de algunos objetos. Se puede encontrar una descripci´on detallada de la derivada de Lie por ejemplo en [?].

(12)

2.3. Simetr´ıas infinitesimales de la distribuci´on de Cartan.

Definici´on 4. Una simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan C es un campo vectorial X tal que su flujo consiste de simetr´ıas de la distribuci´on.

Ejemplo 7. El campo vectorial ∂x∂ es una simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan C pues su flujo consiste de difeomorfismos ft(x, y, p) = (x + t, y, p) (vean el ejemplo 5). Teorema 3. Sea C una distribuci´on dada por la ecuaci´on ω = 0. Entonces un campo vectorial X es una simetr´ıa infinitesimal de C si y solo si LXω = λω donde λ es una funci´on.

Hallemos las simetr´ıas infinitesimales de la distribuci´on de Cartan C. Sea X = a∂x∂ + b∂y∂ + c∂p

LXω = LX(dy − pdx) = db − Xp dx − pda. (24) Tomemos una base de la distribuci´on C: E1 = ∂x∂ + p∂y∂, E2 = ∂p∂ . Desde Teorema 3 tenemos el sistema,

LXω(E1) = λω(E1) = 0, LXω(E2) = λω(E2) = 0. (25) Hacemos el c´alculo,

LXω(E1) = (db − Xp dx − pda)(∂x∂ + p∂y∂ ) = ∂x∂b + p∂b∂y− c − p∂x∂a − p2 ∂a∂y = 0. LXω(E2) = (db − Xp dx − pda)(∂p∂ ) = ∂p∂b − p∂a∂p = 0.

(26)

y ponemos u = ω(X) = b − pa, entonces ∂u ∂x = ∂b ∂x − p ∂a ∂x, ∂u ∂y = ∂b ∂y − p ∂a ∂y, ∂u ∂p = ∂b ∂p − a − p ∂a ∂p, (27)

ahora el sistema (26) toma la forma ∂u ∂x + p ∂u ∂y − c = 0, ∂u ∂p + a = 0. (28)

Entonces hemos encontrado la soluci´on,

a = −∂u ∂p, b = u − p ∂u ∂p, c = ∂u ∂x + p ∂u ∂y. (29)

El resultado el lo que la soluci´on depende de una funci´on arbitraria u(x, y, p) que sea llamada la funci´on generadora de la simetr´ıa infinitesimal X.

Ejemplo 8. Para la simetr´ıa infinitesimal del ejemplo 7 la funci´on generadora es u = ω(X) = −p.

2.4. Simetr´ıas de E.D.O. de primer orden.

Definici´on 5. Sea E ⊂ (R3, C) una ecuaci´on diferencial. Sean U y V regiones abiertos en R3. Una simetr´ıa de la ecuaci´on E es un difeomorfismo f : U → V tal que

1. f es una simetr´ıa de la superficie E ⊂ R3, es decir f (E ) = E ; 2. f es una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan C.

(13)

Ejemplo 9. El difeomorfismo f (x, y, p) = (x + c, y, p) es una simetr´ıa de la ecuaci´on (y0)2+ y2 = 1 para cada constante c. Ya sabemos que f es una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan C (vean el ejemplo 5). Tambi´en E es dada por la ecuaci´on p2+ y2 = 1, entonces g(x, y, p) = p2+ y2− 1 y g ◦ f (x, y, p) = g(x + c, y, p) = p2+ y2− 1 = g(x, y, p), por lo tanto f es una simetr´ıa de la superficie E .

Teorema 4. Sea E ⊂ (R3, C) una ecuaci´on diferencial y E tenga ecuaci´on g(x, y, p) = 0. Un difeomorfismo f : U → V es una simetr´ıa de la ecuaci´on E si y solo si

1. f∗ω = h ω donde h es una funci´on.

2. f∗g = g ◦ f = m g donde m es una funci´on.

Teorema 5. Sean f una simetr´ıa de ecuaci´on diferencial E y γ una soluci´on generalizada de E . Entonces, f (E ) tambi´en es una soluci´on generalizada de E .

Ejercicio 6. Probar el teorema.

Ejemplo 10. El difeomorfismo f (x, y, p) = (x + c, y, p) es una simetr´ıa de la ecuaci´on (y0)2 + y2 = 1 para cada constante c (vean el ejemplo 9). La ecuaci´on tiene soluci´on x = −t, y = cos t, p = sin t, entonces para cada c la curva x = −t + c, y = cos t, p = sin t tambi´en es una soluci´on (comparen con el ejemplo 2).

2.5. Simetr´ıas infinitesimales de E.D.O. de primer orden.

Definici´on 6. Sea E ⊂ (R3, C) una E.D.O. de primer orden. Una simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on E es un campo vectorial X tal que su flujo consiste de simetr´ıas de E . Teorema 6. Sea E ⊂ (R3, C) una ecuaci´on diferencial y la superficie E tenga ecuaci´on g(x, y, p) = 0.

Un difeomorfismo f : U → V es una simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on E si y solo si 1. Xg = h g donde h es una funci´on.

2. LXω = m ω donde m es una funci´on.

Ejemplo 11. El campo vectorial X = ∂x∂ es una simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on (y0)2+ y2 = 1 pues X es una simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan C (vean el ejemplo 7) y Xg = 0 donde g = p2+ y2.

2.6. Algoritmo para hallar simetr´ıas infinitesimales de E.D.O. de primer or-den. Usando Teorema 6 y la descripci´on de simetr´ıas infinitesimales de la distribuci´on de Cartan (29) obtenemos la siguiente ecuaci´on diferencial parcial para la funci´on generadora u de simetr´ıas infinitesimales de una E.D.P. E : g(x, y, p) = 0, es

−∂u ∂p ∂g ∂x +  u − p∂u ∂p  ∂g ∂y +  ∂u ∂x + p ∂u ∂y  ∂g ∂p = hg. (30)

Ejemplo 12. Hallemos simetr´ıas infinitesimales de la ecuaci´on y0x = y. La funci´on g(x, y, p) = xp − y, entonces la ecuaci´on diferencial parcial (30) nos da la ecuaci´on

−∂u ∂pp −  u − p∂u ∂p  + ∂u ∂x + p ∂u ∂y  x = h(xp − y) ⇒ −u + ∂u ∂x + p ∂u ∂y  x = h(xp − y). (31) ◦

(14)

Figura 6. Simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on y0x − y = 0

Figura 7. Simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on y0x−y = 0 correspondiente a la funci´on generadora u = x + y

Si ponemos u = y − px, entonces ∂u∂x + p∂u∂y = 0, y entonces la funci´on u es una soluci´on de (30) con h = 1. La simetr´ıa infinitesimal correspondiente es

X = x ∂ ∂x + y

∂y. (32)

El flujo del campo X consiste de homotecias x0 = etx, y = ety, p0 = p, geom´etricamente es obvio que el flujo preserva la ecuaci´on y la distribuci´on de Cartan (ver Figura 6). Ejercicio 7. Demostrar que u = ax + y, donde a es una constante, es una soluci´on de la ecuaci´on (31) (¿con qu´e h?), y hallar la simetr´ıa infinitesimal correspondiente (ver Figura 7).

Ejercicio 8. Hallar simetr´ıas infinitesimales de la ecuaci´on y0 = q(yx) donde q = q(s) es una funci´on.

Resumen de la clase 2.

Existe una descripci´on concreta y completa de las simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan en t´erminos de una funci´on generadora.

Las simetr´ıas de una E.D.O. de primer orden E son simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan y la superficie E .

Las simetr´ıas de una E.D.O. de primer orden E mandan las soluciones de la E.D.O a las soluciones de la misma ecuaci´on.

(15)

3. Clase 3. Simetr´ıas de ecuaciones diferenciales parciales Programa.

Simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan sobre el espacio de E.D.P.; Simetr´ıas de E.D.P.;

Algoritmo para hallar simetr´ıas infinitesimales de E.D.P.;

Aplicaciones de las simetr´ıas de E.D.P.: soluci´on de la ecuaci´on de Clairault, la integral completa de E.D.P., soluci´on del problema de Cauchy para E.D.P. de primer orden.

3.1. Simetr´ıas de la distribuci´on de Cartan en R2n+1.

Definici´on 7. Sean U y V regiones abiertos en R2n+1. Una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan (transformaci´on de contacto) es un difeomorfismo f : U → V tal que dfpC(p) = C(f (p)) para cada p ∈ U .

Teorema 7. Un difeomorfismo f : U → V es una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan (transformaci´on de contacto) si y solo si f∗ω = λω donde λ es una funci´on.

Ejemplo 13. Para constantes arbitrarias c1, . . . , cn, la transformaci´on

f (x1, · · · , xp, u, p1, · · · , pn) = (x1+ c1, · · · , xn+ cn, u, p1, · · · , pn) (33) es una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan C (una transformaci´on de contacto).

Ejercicio 9. Probar el teorema 7.

Ejemplo 14. Consideremos la transformaci´on de Legendre L:

f (x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = (p1, · · · , pn, p1x1+ · · · + pnxn− u, x1, · · · , xn). (34) Ejercicio 10. Demostrar que la transformaci´on de Legendre L es una transformaci´on de contacto.

Ejercicio 11. Demostrar que la transformaci´on de Legendre es inversa a su misma: L = L−1.

Ejemplo 15 (Aplicaci´on de la transformaci´on de Legendre). Consideremos la siguiente E.D.P.  ∂u ∂x1 2 + ∂u ∂x2 2 + x1 ∂u ∂x1 + x2 ∂u ∂x2 − u = 0, (35)

entonces la superficie E tiene la ecuaci´on

p21+ p22+ x1p1+ x2p2− u = 0. (36) Aplicamos la transformaci´on de Legendre

x1 = q1, x2 = q2, u = v + y1q1+ y2q2, p1 = y1, p2 = y2, (37) por la dicha transformaci´on la ecuaci´on E pasa a la ecuaci´on E0:

y21+ y22− v = 0 (38)

que no contiene derivadas, entonces es una ecuaci´on algebraica. Pero para cada colecci´on de n´umeros (a1, a2, b) tal que a21+ a22− b = 0 la ecuaci´on (38) tiene la soluci´ on generalizada

(16)

S0 (vean el ejemplo 4) dada por las ecuaciones param´etricas y

1 = a1, y2 = a2, v = b, q1 = t1, q2 = t2. Aplicamos ahora la transformaci´on de Legendre inversa (coincide con la transformaci´on inicial (37)) a S0 y llegamos a la soluci´on S:

x1 = t1, x2 = t2, u = b + a1t1 + a2t2, p1 = a1, p2 = a2, (39) entonces la soluci´on de la ecuaci´on (35) es u = b + a1x1+ a2x2 donde b = a21 + a22.

Ejercicio 12. Resolver la ecuaci´on de Clairault : g(u − x1 ∂u ∂x1 − · · · − xn ∂u ∂xn , ∂u ∂x1 , · · · , ∂u ∂xn ) = 0. (40)

Ayuda. Usen la transformaci´on de Legendre.

3.2. Simetr´ıas infinitesimales de la distribuci´on de Cartan en R2n+1.

Definici´on 8. Una simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan C es un campo vectorial X tal que su flujo consista de simetr´ıas de la distribuci´on.

Teorema 8. Un campo vectorial X es una simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan C si y solo si existe una funci´on f (x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) tal que

X = − n X i=1 ∂f ∂pi ∂ ∂xi + f − n X i=1 pi ∂f ∂pi ! ∂ ∂u + n X i=1  ∂f ∂xi + pi ∂f ∂u  ∂ ∂pi . (41)

Observaci´on 3. Denotaremos la simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan C co-rrespondiente a una funci´on f por Xf. Entonces, ω(Xf) = f .

Observaci´on 4. El corchete de Lie [ , ] induce un corchete de las funciones { , } tal que

[Xf, Xg] = X{f,g}. (42)

Ejercicio 13. Probar que los campos vectoriales Xpi = −

∂xi son simetr´ıas infinitesimales

de la distribuci´on de Cartan.

3.3. Simetr´ıas de E.D.P. de primer orden.

Definici´on 9. Sea E ⊂ (R2n+1, C) una ecuaci´on diferencial. Sean U y V regiones abiertos en R3. Una simetr´ıa de la ecuaci´on E es un difeomorfismo f : U → V tal que

1. f es una simetr´ıa de la superficie E ⊂ R2n+1, es decir f (E ) = E ; 2. f es una simetr´ıa de la distribuci´on de Cartan C.

Teorema 9. Sea E ⊂ (R2n+1, C) una E.D.P. y la superficie E tenga ecuaci´on g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0.

Un difeomorfismo f : U → V es una simetr´ıa de la ecuaci´on E si y solo si 1. f∗ω = h ω donde h es una funci´on.

2. f∗g = g ◦ f = m g donde m es una funci´on.

Ejercicio 14. El difeomorfismo f (x1, x2, u, p1, p2) = (x1+c, x2+c, u, p1, p2) es una simetr´ıa de la ecuaci´on u∂x∂u

1 +

∂u

∂x2 − x1+ x2 = 0 para cada constante c. Demostrar.

Teorema 10. Sean f una simetr´ıa de ecuaci´on diferencial E y γ una soluci´on generalizada de E . Entonces, f (E ) tambi´en es una soluci´on generalizada de E .

Ejercicio 15. Probar el teorema 10.

(17)

3.4. Simetr´ıas infinitesimales de E.D.P. de primer orden.

Definici´on 10. Sea E ⊂ (R2n+1, C) una ecuaci´on diferencial. Una simetr´ıa de la ecuaci´on E es un campo vectorial X tal que

1. f es una simetr´ıa infinitesimal de la superficie E ⊂ R2n+1, es decir cada transfor-maci´on del flujo de X manda E a E ;

2. f es una simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan C.

Teorema 11. Sea E ⊂ (R2n+1, C) una E.D.P. y la superficie E tenga ecuaci´on g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0.

Un difeomorfismo f : U → V es una simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on E si y solo si 1. Xg = hg donde h es una funci´on.

2. LXω = mω donde m es una funci´on. Ejemplo 16. Cada campo vectorial∂x

i es una simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on g(u, p1, · · · , pn) =

0.

Ejemplo 17. El campo vectorial X = ∂x

1+

∂x2 es una simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on

u∂x∂u

1 +

∂u

∂x2 − x1+ x2 = 0 pues X es una simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan

C (vean el ejemplo 13) y Xg = 0 donde g = up1+ p2− x1+ x2.

Ejercicio 16. Demostrar que el campo vectorial X = x1∂x1 + x2∂x2 + u∂u∂ es una simetr´ıa infinitesimal de la ecuaci´on u + x1∂x∂u1 + x2∂x∂u2 = 0.

3.5. Algoritmo para hallar simetr´ıas infinitesimales de E.D.P. de primer or-den. Usando el teorema 11 y la descripci´on de simetr´ıas infinitesimales de la distribuci´on de Cartan (29) obtenemos la ecuaci´on diferencial parcial para la funci´on generadora f de simetr´ıas infinitesimales de una E.D.P. E dada por una ecuaci´on g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0: − n X i=1 ∂f ∂pi ∂g ∂xi + f − n X i=1 pi ∂f ∂pi ! ∂g ∂u + n X i=1  ∂f ∂xi + pi ∂f ∂u  ∂g ∂pi = hg. (43)

Ejemplo 18 (integral completa de E.D.P. de primer orden). Consideremos la E.D.P.

u = ∂u ∂x1

∂u ∂x2

. (44)

Tenemos una soluci´on particular u = ϕ0(x1, x2) = x1x2 de la ecuaci´on (44). Pero ya tenemos un flujo 2-dimensional de simetr´ıas de ´esta ecuaci´on (vean el ejemplo 16):

¯

x1 = x1+ t1, ¯x2 = x2+ t2, ¯u = u, ¯p1 = p1, ¯p2 = p2. (45) entonces desde la soluci´on particular obtenemos la integral completa de la ecuaci´on (44): V (x1, x2, t1, t2) = u − (x1− t1)(x2− t2). (46)

(18)

3.6. Simetr´ıas caracter´ısticas de E.D.P. de primer orden.

Definici´on 11. Sea E : g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0 una E.D.P. de primer orden. Una simetr´ıa caracter´ıstica de E es una simetr´ıa infinitesimal X de E cuyas valores en los puntos de E pertenecen a la distribuci´on de Cartan, es decir, para cada A ∈ E , X(A) ∈ C(A). Observaci´on 5. As´ı como X es una simetr´ıa infinitesimal, entonces X(A) ∈ CE(A) = TAE ∩ C(A).

Teorema 12. Cada simetr´ıa caracter´ıstica es tangente a cualquier soluci´on de la ecuaci´on E.

Demostraci´on. Sea S una soluci´on de E , entonces S ⊂ E es una superficie integral n-dimensional de C (CE). Sea ψt el flujo de X y considere ¯S = ∪

t ψt(S).

La superficie ¯S pertenece a E y tambi´en es tangente a C. Pero si X es transversal a S, entonces dim ¯S = n + 1 que sea imposible pues una soluci´on tiene dimensi´on igual a n.  X E C(A) TAE A

Figura 8. Simetr´ıa caracter´ıstica

Teorema 13. Sea E : g(x1, · · · , xn, u, p1, · · · , pn) = 0 una E.D.P. de primer orden. El campo vectorial Yg = Xg− g ∂ ∂u = − n X i=1 ∂g ∂pi ∂ ∂xi − n X i=1 pi ∂g ∂pi ∂ ∂u + n X i=1  ∂g ∂xi + pi ∂g ∂u  ∂ ∂pi (47)

es una simetr´ıa caracter´ıstica.

Demostraci´on. El campo vectorial Xg es una simetr´ıa infinitesimal de la distribuci´on de Cartan C, y g∂u∂ = X1 tambi´en. Adem´as, ω(Yg) = ω(Xg) − ω(g∂u∂ ) = g − g = 0, entonces los valores de Yg pertenecen a C. Finalmente,

Ygg = − n X i=1 ∂g ∂pi ∂g ∂xi − n X i=1 pi ∂g ∂pi ∂g ∂u + n X i=1  ∂g ∂xi + pi ∂g ∂u  ∂g ∂pi = 0, (48)

entonces Yg es tangente a la ecuaci´on E . 

(19)

Ejemplo 19 (Simetr´ıas caracter´ısticas y el problema de Cauchy para E.D.P. de primer orden). Consideremos nuevamente la ecuaci´on (44)

u = ∂u ∂x1

∂u ∂x2

. (49)

y vamos a buscar una soluci´on u = u(x1, x2) tal que u(x1, 0) = x21 (resolver un problema de Cauchy).

Tenemos la superficie E : g(u, p1, p2) = u − p1p2 = 0. La idea es aplicar el flujo del campo Yg a la curva que represente la data de Cauchy.

Tomemos una parametrizaci´on de la recta L : x2 = 0 que sea x1 = s, x2 = 0, entonces a lo largo de la recta tenemos u = u(s, 0) = s2 y p1 = ∂x∂u1(s, 0) = 2s. Para encontrar los valores de p2 en los puntos de la recta L usamos la ecuaci´on inicial (49):

s2 = 2sp2 ⇒ p2 = s/2. (50)

Entonces la data de Cauchy es la curva γ en (R5, C) dada por las ecuaciones

x1 = s, x2 = 0, u = s2, p1 = 2s, p2 = s/2. (51)

Ahora usamos (47) y calculamos

Yg = p2 ∂ ∂x1 + p1 ∂ ∂x2 + 2p1p2 ∂ ∂u + p1 ∂ ∂p1 + p2 ∂ ∂p2 . (52)

Entonces, para hallar la imagen de la curva γ bajo el flujo de Yg resolvemos el sistema

˙x1 = p2 ˙x2 = p1 ˙u = 2p1p2 ˙ p1 = p1 ˙ p2 = p2 (53)

con la condici´on inicial x1(0) = s, x2(0) = 0, u(0) = s2, p1(0) = 2s, p2(0) = s/2. La soluci´on es

x1 = s(et+ 1)/2, x2 = 2s(et− 1), u = s2e2t, p1 = 2set, p2 = set/2. (54)

Entonces, 4x21+ x22/4 = 2s2(e2t+ 1) x1x2 = s2(e2t− 1) ⇒ ⇒ 2x21+ x22/8 + x1x2 = 2s2e2t ⇒ x21+ x 2 2/16 + x1x2/2 = s2e2t. (55) Por lo tanto la soluci´on del problema de Cauchy es

u = s2e2t = x21/2 + x22/16 + x1x2/2 = (4x1+ x2)2/16. (56) ◦

(20)

Resumen de la clase 3.

Simetr´ıas infinitesimales de la distribuci´on de Cartan sobre el espacio de E.D.P. se determinan por una funci´on;

Existe un algoritmo para hallar simetr´ıas infinitesimales de E.D.P.;

Las simetr´ıas nos ayudan resolver algunos tipos de E.D.P., por ejemplo la ecua-ci´on de Clairault, resolver el problema de Cauchy para E.D.P., y hallar la integral completa de E.D.P de primer orden.

(21)

Respuestas

1 Si x′(t) ̸= 0, podemos tomar la parametrizaci´on x = t, y = f(t), p = p(t). Entonces el

vector tangente a la curva es dtdγ = (1, f′(t), p′(t)) y ω(dtdγ) = 0 implica p(t) = f′(t).

2 Comparen las definiciones.

3 E es el gr´afico de la funci´on p = h(x, y). Entonces hay una biyecci´on entre las curvas en

E y las curvas en el plano xy.

4 La soluci´on cl´asica: dos funciones y(x) =±12x√1− x2+1

2 arcsin (x)

La soluci´on geom´etrica: curvas u = t, v = 12t−14 sin 2t + C sobre la superficie x = cos u, y = v, p = sin u.

5 Usen la formula f∗ω(X) = ω(df X).

6 Directamente viene de la definici´on de soluci´on y la definici´on de simetr´ıa.

7 h = 1, la simetr´ıa infinitesimal es (ax + y)

∂y + (a + p) ∂p. 8 x ∂x+ y ∂y. 9 Usen la formula f∗ω(X) = ω(df X). 10 Usen el teorema 7.

12 u = a1x1+· · ·+anxn+ b donde a1, . . . , an, b son constantes tal que g(b, a1,· · · , an) = 0.

13 El flujo de Xp1 =

∂x1 es ¯x1 = x1 + t, ¯x2 = x2, . . . , ¯xn = xn, ¯u = u, ¯p1 = p1, . . . ,

¯

pn= pn.

14 Tenemos g = up1 + p2− x1+ x2, entonces f∗g = g◦ f = g. Tambi´en f∗ω = ω.

15 Usen las definiciones.

16 Si ω = du−p1dx1−p2dx2, entonces LXω = ω. Si g = u + x1p1+ x2p2, entonces Xg = g. Referencias

[1] Ibragimov, N. H.: Transformation groups in mathematical physics. 1983.

[2] Krasilshchik, I. S. y A.M. Vinogradov (editores): Symmetries and conservation laws for differential

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[3] Olver, P. J.: Applications of Lie Groups to Differential Equations. 2000.

(22)

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