CAPÍTULO 3. LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO.

CAPÍTULO 3. LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO.

FUERZAS EN LOS FLUIDOS GEOFÍSICOS.

Existen muchas fuerzas diferentes que pueden afectar el movimiento de un fluido, pero se puede dividir en dos clases básicas.

Fuerzas de volumen: son aquellas que afectan a todo el volumen de la parcela

de fluido, son de acción a distancia. Ejemplos: eléctricas, magnéticas, gravitacionales.

Fuerzas de superficie: son aquellas que afectan la superficie de una parcela de

fluido y surgen cuando la parcela está en contacto con otras con las cuales interactúa. Ejemplos: fuerzas de presión, tensión tangencial (viscosas), fricción.

En nuestro estudio de fluidos la única fuerza de volumen que consideraremos será la gravitacional, y de superficie las fuerzas de presión y viscosas, pero estas últimas sólo en forma muy básica.

Fuerza gravitacional. Es la atracción mutua entre cuerpos con masa, dirigida

a lo largo de la línea que une sus centros de masa, de magnitud inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros.

Si m y M son las dos masas, y r la distancia entre sus centros, la magnitud de la fuerza de gravitación Fg es.

₂ r M m G F_g = ⋅

donde G es la constante de gravitación universal de Newton.

Para una parcela de fluido geofísico, podemos considerar M la masa de la Tierra, que denotamos por Me. En principio podemos obviar la rotación de la Tierra y suponemos que es una esfera homogénea con centro de masa en su centro geométrico, que se puede elegir como origen de un sistema de coordenadas.

En la figura, la posición de P está dada por el vector rr=r∇r, el vector fuerza gravitacional será :

r r mM G F e g =− 2 ∇ r con ∇r vector unitario, opuesto a Fg.

Generalmente se escribe la fuerza de gravitación por unidad de masa ga,

que es la aceleración de gravedad absoluta, en la forma:

rg G

r r

a

e

= − ₂ ∇

donde Ge= G Me se llama la constante gravitacional de la tierra. Los valores

de estas constantes son :

G = 6.673 x 10-11 Nm2/kg2 Me = 5.983 x 1024 kg

Ge = 3.992 x 1014 Nm2/kg

La fuerza de gravedad es conservativa, por lo que existe una función Φa escalar tal que rga = −∇Φa, entonces

r r G a = ∇ Φ ∇ ₂

El trabajo realizado por la fuerza gravitacional para mover una masa unitaria una distancia dr en el campo gravitacional es:

r d g dW a r r ⋅ =

Cuando se deja la unidad de masa en el campo gravitacional, se debe hacer trabajo contra la fuerza de gravedad

a a a dr dr d g dW =− ⋅ =∇Φ ⋅ = Φ − r r r

por lo tanto el trabajo produce un cambio dΦa en la función Φa. Para hacer este trabajo se requiere energía, que está almacenada en la unidad de masa. Esta energía almacenada se llama energía potencial, y por unidad de masa se llama sólo potencial. Como esta energía es consecuencia de la posición de la unidad de masa en el campo gravitacional, Φa se llama geopotencial absoluto.

La forma de Φa se obtiene de :

      + − = Φ ⇒       + ∇ − = ∇ = Φ ∇ = − c r G c r G r r G g e a e e a a 1 1 2 r

Por convención, el Φa se toma igual a cero en la superficie de la tierra, donde r = a, así a c c a G 1 1 0 → =−      + − = entonces : Φ_a G_{e a} r a G a r = −  −    = −     1 1 1 1

Las superficies de geopotencial absoluto Φa = cte son esferas concéntricas con centro en el centro de la tierra.

Un volumen V de una parcela de fluido aislada que se mueve en forma arbitraria se conoce como volumen de control. Se desea conocer la fuerza total ejercida sobre V.

Si M es la masa total, y dm un elemento de masa, la fuerza de volumen sobre M contenida en V es

fuerza total de volumen = g dm

M a

∫

r

Si ρ es la densidad de dm en el elemento de volumen dV, se tiene dm = ρ dV, y fuerza total de volumen =

_∫

V

adV

gr

ρ

Fuerzas de tensión.

Considerando ahora las fuerzas de superficie correspondientes a las tensiones. Las tensiones se pueden descomponer en componentes normales y tangenciales. Si el fluido está completamente en reposo, las tensiones tangenciales se anulan y existen sólo las normales. Una tensión normal se define como aquella que se reduce a la presión hidrostática cuando el fluido está en reposo.

Para un volumen de control V arbitrario, limitado por una superficie A, trataremos la presión como hidrostática y como una tensión normal.

ESQUEMA pag 3-5

En el área dA de normal nˆ , la fuerza de presión dp actúa opuesta a nˆ , hacia el interior del volumen. Así

dA nˆ p P dr =−

donde p es la presión normal.

La fuerza de presión total en todo el volumen V es

dA nˆ p P A

∫

− = r

Los fluidos reales son viscosos y siempre están presente las fuerzas de fricción viscosas. Esas fuerzas viscosas surgen de las interacciones moleculares y dan origen a las tensiones sobre la superficie de la parcela de fluido. Las tensiones superficiales por viscosidad molecular se denotan por el vector T. No las discutiremos en detalle, pero mencionaremos que las tensiones viscosas dependen de la orientación del elemento de superficie. Es posible expresar las tensiones de superficie en términos de 9 componentes a lo largo de los ejes (fig 3-6) de coordenadas por medio del tensor de tensiones viscosas Γ. La tensión superficial T es igual a la componente normal del tensor de tensiones Γ Υ ⋅ = nˆ Tr FIGURA           γ γ γ γ γ γ γ γ γ = Υ zz zy zx yz yy yx xz xy xx

Entonces, la fuerza de fricción sobre el elemento dA es la integral de T sobre toda la superficie A

fuerza de fricción = TdA nˆ dA A A Υ ⋅ =

_∫

∫

r

Resumiendo, se deben considerar las siguientes fuerzas significativas que actúan sobre el volumen arbitrario V:

Fuerza de gravitación:

∫

ρ V adV gr Fuerza de presión: - pnˆdA A

∫

Fuerza de fricción: nˆ dA A γ ⋅

∫

LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO ABSOLUTO.

Se obtiene a partir de la ley de conservación del momentum (absoluto), que se deduce de la segunda ley de Newton, expresada en la forma :

( )

MV dt d dt V d M F a M i i r r r r₌

_∑

_{= =}

Se debe tener presente que esta ley es válida sólo en un sistema de referencia inercial.

Un sistema de referencia inercial podría ser un sistema con origen en el centro de gravedad del sistema solar y fijo con respecto a las estrellas. Para fines prácticos en los fluidos geofísicos, se puede tomar el centro de la Tierra como origen de un SRI absoluto. Cuando el movimiento se refiere a este sistema se habla de movimiento absoluto. Un sistema de coordenadas que está en movimiento relativo al sistema inercial, se llama sistema de coordenadas relativo, y cuando el movimiento es referido a este sistema, se habla de

movimiento relativo. El movimiento de los fluidos geofísicos es referido a un

punto fijo sobre la superficie de la Tierra, por lo tanto es siempre relativo. Sean vr y Da vr /Dt la velocidad y la aceleración con respecto al sistema a

es considerado en el SRI. El cambio de momentum de la parcela de fluido de densidad ρ y masa dm es Dt v D dV dm a a r r _=ρ

y el cambio de momentum del volumen V es

∫

ρ V a _dV Dt v Dr

Por la segunda ley de Newton, el cambio de momentum debe ser igual a la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el volumen V:

dA nˆ dV g dA nˆ p dV Dt v D A V a V A a =− + ρ + ⋅γ ρ

_∫

_∫

∫

r

∫

r

Por los teoremas de Gauss y de la divergencia, las integrales de superficie se pueden transformar en integrales de volumen:

∫

∫

∫

∫

= ∇ ⋅γ = ∇⋅γ V V A A dV dA nˆ ; pdV dA nˆ p

Ahora la ecuación de momentum se puede escribir como una única integral de volumen

∫

 =     _{ρ +∇ −ρ −∇⋅γ} V a a _{p g dV} Dt v D 0 r r

0 = γ ⋅ ∇ − ρ − ∇ + ρ a a _{p g} Dt v Dr _r

De aquí se obtiene la ecuación de movimiento absoluto, por unidad de masa si se divide por ρ

γ ⋅ ∇ ρ + + ∇ ρ − = 1 _a 1 a _{p g} Dt v Dr _r

Se observa que la fuerza de fricción es proporcional a la divergencia del tensor de tensiones viscosas.

Para extender la hipótesis de Navier- Stokes que dice que las tensiones viscosas son proporcional a la tasa de deformación de una parcela de fluido, se puede escribir la fuerza de fricción en la forma:

(

)

_  _{∇ + ∇ ∇⋅} ν = γ ⋅ ∇ ρ va va r r 3 1 1 2 donde ρ µ =

ν se llama la viscosidad cinemática y µ es la viscosidad dinámica, ambos son moleculares.

Denotando por FrR la fuerza de fricción:

R a a _{p g F} Dt v Dr _r r + + ∇ ρ − = 1

Algunos valores típicos de ν y µ en moleculares son:

Atmósfera océano

ν (m2_{/s) 1.46 x 10}-5 _{1.4 x 10}-6 µ (Ns/m2_{) 1.7 x 10}-10 _{1.4 x 10}-3

Los valores turbulentos, que son los que más importan, pueden ser muy diferentes.

LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO RELATIVO.

La ecuación de movimiento es válida solo en un sistema de referencia inercial. Sin embargo, el movimiento de una parcela de fluido geofísico se mide con respecto a la superficie de la tierra que gira, que es un sistema de referencia no inercial.

Sea VrPa la velocidad de un punto fijo P en el SRA, y

r

Vr la velocidad relativa

de la parcela con respecto al punto P. Entonces, la velocidad absoluta Vr_a es:

_{r r r}

Va =Vr+VPa

Se ve que aunque la parcela este en reposo, Vr_r = 0, tiene velocidad con respecto al centro de la Tierra.

Como P es fijo sobre la superficie de la tierra, esta rotando junto con esta, y su velocidad lineal es:

r r _r r r

V_Pa =Ω× =r Ω×R

con Ωr velocidad angular de la Tierra, rr posición desde el centro de la Tierra y

r

R posición desde el eje de rotación al punto P. La Tierra gira de oeste a este con Ω constante, igual a 7.292 x 10-5 _{rad/s. Fig. 3-12}

La velocidad absoluta se puede escribir como:

r r r r

V_a =V_r+ ×Ω R

Analizaremos que vé un observador en un sistema de referencia que rota en torno a un eje, considerando un disco en rotación con Ωr , tomado como SRA (xa, ya), y un punto fijo sobre el disco que gira , considerando como SRR (x,

y).

ESQUEMA 3-12

Supongamos que se suelta un globo en P0 fijo a y a Rrde O, y a rr =rr_P de Oa en t=0. El globo se mueve a P1 en ∆t, cambiando la posición en ∆r respecto de Oa, y P0 se ha movido desde rr= rrP un ∆rp durante el giro.

Se usará el símbolo ∆ para indicar cambios por el observador inicial y δ para el observador rotante. Respecto de O P0 no se ha movido y el globo ha cambiado su posición un δRr. Observar que para el observador rotando δRr =δrr

De acuerdo a todos estos cambios, de la figura se tiene que r rP R rP r r r r r r _{=∆ +δ =∆ +δ} ∆

El tiempo medido por ambos observadores es el mismo, ∆t = δt, así

t r t r t r P ∆ ∆ + δ δ = ∆ ∆r r r Para ∆t ÷ 0, se obtiene: Dt r D dt r d Dt r D p r r r + =

donde D/Dt indica derivación con respecto al SRI Oa y d/dt respecto al sistema rotante O. La tasa de cambio de rr en el SRA es igual a la tasa de cambio de rr en el sistema en rotación más la tasa de cambio del punto inicial en el SRA, esto es:

r V V V Va r pa r r r r r r r × Ω + = + =

Se puede escribir entonces:

r dt r d Dt r Dr r r _r × Ω + =

que es una identidad general, válida para cualquier vector Ar_a en un SRA, así:

a a a _A dt A d Dt A Dr r r r × Ω + =

Retomemos el globo y supongamos que no hay fuerzas externas actuando sobre él. Entonces Dva/Dt =0 y el globo se mueve en línea recta,

El observador rotante vé que el globo sigue una trayectoria curva, y que la velocidad VrH del globo cambia de valor y gira a la derecha. Según la 2

a _Ley de Newton, el observador en rotación concluye que hay fuerzas actuando, y por lo tanto también aceleraciones. Esas son fuerzas aparentes, no reales, y surgen del hecho que el movimiento es observado desde un sistema de referencia en rotación. Esa fuerza es real para el observador en rotación.

Para determinar esa fuerza aparente, se expresa la aceleración absoluta en términos del sistema de referencia en rotación:

a a a _V dt V d Dt V D r r r r × Ω + =

(

)

₍

_{V r}

₎

dt r V d Dt V D r r a r r r r r r r × Ω + × Ω + × Ω + =

(

r

)

V dt r d r dt d dt V d = Dt V D r r a r r r r r r r r r r r × Ω × Ω + × Ω + × Ω + × Ω + R V dt V d = Dt V D r r a r r r r r r r × Ω × Ω + × Ω + 2

Desarrollando el último término:

(

) ( ) (

)

R -= R R R R R R 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r r Ω × Ω × Ω ⇒ Ω ⋅ Ω − Ω ⋅ Ω = Ω − Ω ⋅ Ω = × Ω × Ω

corresponde a la aceleración centrípeta, dirigida hacia el eje de rotación. Así, la aceleración absoluta queda:

R V dt V d Dt V D r r a r r r r r 2 2Ω× −Ω + =

donde:

dt V

d r

r

es la aceleración relativa, medida en el sistema en rotación,

r

Vr

r × Ω

2 se llama aceleración de Coriolis (en 1844 ),

Rr

2 Ω

− es la aceleración del sistema de referencia mismo.

Retomemos otra véz el globo, que tiene DVa/Dt = 0, entonces:

R V dt V d R V dt V d r r r r r r r r r r r r 2 2 2 0 2 Ω + × Ω − = ⇒ = Ω − × Ω +

ecuación que es semejante a la 2a Ley de Newton. Las fuerzas aparentes (pero reales para el observador en rotación) son las fuerzas de Coriolis Vr

r r × Ω − 2 y la fuerza centrífuga +Ω2Rr_.

Reemplazando ahora la aceleración absoluta DVa/Dt en la ecuación de

movimiento absoluto, se tiene:

r a R r _{V R p g F} dt V d r r r r _r r + + ∇ ρ − = Ω − × Ω +2 2 1

que se puede escribir en la forma:

r a R r _{p V g R F} dt V d r _{∇ − Ω}r _× r _{+ r +Ω} r₊ r ρ − = 1 ₂ 2

que es una ecuación similar a la 2a Ley de Newton.

Para una masa unitaria en reposo relativo sobre la superficie terrestre, sobre la que sólo actúa la fuerza de gravedad, la ecuación se reduce a:

R g dt V d a r r r r 2 Ω + =

es decir la masa unitaria no puede permanecer en reposo, ya que hay aceleraciones. En particular, la fuerza centrífuga actúa sobre toda la masa de la superficie terrestre, que es un cuerpo plástico, por esto no puede ser esférica, sino elipsoidal, achatada en los polos y alargada en el ecuador.

Suponemos que la Tierra tiene una forma en equilibrio tal que una tangente a su superficie en un punto es siempre perpendicular a la línea de acción del vector ga R

r

r _+Ω2 _{, como en la figura:}

FIGURA pag.3-18

No se puede medir la fuerza de gravitación ga, pero se puede medir la

resultante g ga R

r r

r = +Ω2 _{. A g se le llama gravedad aparente, fuerza de} gravedad o aceleración de gravedad. La línea de acción de g define la vertical local.

Reemplazando g en la ecuación de movimiento se obtiene la ecuación

de movimiento relativo, o simplemente la ecuación de movimiento:

R r r _{p V g F} dt V d r _{∇ − Ω}r _× r _{+ r +} r ρ − = 1 2

La fuerza de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad, ya que

(

−2Ωr ×Vr

)

⋅Vr=0, por esta razón no se realiza trabajo y existe sólo si hay movimiento, y actúa desviando el movimiento, de cualquier cuerpo que se mueve sobre la superficie de la Tierra, hacia la izquierda (derecha) en el HS (HN). Juega un rol importante en la dirección del movimiento de las grandes masas de aire, como ciclones, anticiclones, huracanes, etc.

GEOPOTENCIAL.

La fuerza de gravitación se puede expresar en términos del geopotencial absoluto:       − = Φ r a Ge a 1 1

donde se supone que la tierra es una esfera homogénea. Sin embargo no es esférica, pero si se supone que es un esferoide ovalado homogéneo, se le puede determinar un geopotencial absoluto de la forma:

( )

r

a a =Φ

Φ

La fuerza centrífuga también se puede representar por un geopotencial Φc tal que:

c

R=−∇Φ

Ω v2

Como la fuerza centrífuga es función de la posición, es conservativa, entonces

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 R R R R R R R c c Ω − = Φ ⇒       Ω ∇ = Φ −∇ ⇒       Ω ∇ =       Ω = ∇ Ω = Ω r

Las superficies equipotenciales Φc = cte. son cilindros paralelos a las

superficies de R= cte.

La fuerza de gravedad se puede escribir ahora como: Φ −∇ = Φ ∇ − Φ −∇ = Ω + = g_a R _{a c} gr r 2r de donde 2 2 2 1 1 1 R r a Ge c a Ω −       − = Φ ⇒ Φ + Φ = Φ

Φ se llama potencial del campo de gravedad o simplemente geopotencial. Las superficies geopotenciales (obtenidas de la suma de superficies esféricas más cilíndricas) son elipsoidales alargadas en el ecuador. La superficie de la tierra es la superficie geopotencial Φ = 0.

Una parcela de fluido sobre una superficie geopotencial es afectada sólo por la fuerza de gravedad en ausencia de otras fuerzas. Además una parcela de fluido que se mueve a lo largo de un geopotencial conserva su energía potencial (geopotencial representa energía).

LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS RECTANGULARES.

Como ya se definió, se usan como coordenadas x hacia el este e y hacia el norte. Se sigue considerando la tierra como una esfera homogénea, por lo que la fuerza de gravedad g apunta hacia el centro de la tierra, así la línea de acción de g define la vertical local z en el punto de tangencia. El origen O en este punto rota con la Tierra.

Esta suposición es razonable, ya que el radio ecuatorial es sólo 21 km más largo que el polar, cantidad muy pequeña comparada con el radio terrestre medio que vale 6367,47 km. Como se ha visto, g es función de la latitud φ y de la altura sobre la superficie, g = g(z,φ). Además el ángulo máximo entre ga

y g es de 11’40’’ a 45º de latitud y R gra

r <<

Ω2 _{. Para los fluidos geofísicos,} las variaciones de g son menores que 0,5 %, por lo que se considera constante, igual en magnitud a 9,8 m/s2. En la tabla se dan valores de g.

φ (º) z (km) g (m/s2₎ 0 0 9,78036 45 0 9,80616 90 0 9,83208 45 5 9.79074 45 10 9,77536 45 20 9,74469 DIBUJO pag3-22

Escribiendo g en coordenadas rectangulares, se tiene: kˆ g gr =− kˆ sen jˆ cosφ +Ω φ Ω = Ωr

La aceleración de Coriolis se puede escribir ahora en componentes rectangulares como:

(

2 vsen -2 wcos

)

iˆ usen jˆ ucos kˆ w v u sen cos 0 kˆ jˆ iˆ v =− Ω φ Ω φ = Ω φ Ω φ − Ω φ + Ω φ × Ω −2r r 2 2 2

La fuerza de roce también se puede escribir en componentes rectangulares de la forma kˆ F jˆ F iˆ F Fr_R = _RX + _RY + _RZ

Reemplazando estas expresiones en la ecuación de movimiento, sus componentes en coordenadas cartesianas son:

Rz Ry Rx F cos u g z p dt dw F sen u y p dt dv F cos w sen v x p dt du + φ Ω + − ∂ ∂ ρ − = + φ Ω − ∂ ∂ ρ − = + φ Ω − φ Ω + ∂ ∂ ρ − = 2 1 2 1 2 2 1 Ejemplo:

Como ejemplo supongamos que una parcela de aire en Concepción se mueve hacia el este con una rapidez de 10 m/s, ¿cuanto se desvía la parcela y

hacia donde por la acción de la fuerza de Coriolis, después de moverse a lo largo de 50 km?

Como ac = -2Ω × v se puede escribir en términos de sus componentes

cartesianas de la forma:

(

)

φ Ω =       φ Ω       φ Ω φ Ω       + + = φ Ω + φ Ω − φ Ω − φ Ω = cos u dt dw usen -2 = dt dv wcos 2 -vsen 2 = dt du kˆ a jˆ a iˆ a kˆ cos u jˆ sen u iˆ cos w sen v a C C C Cz Cy Cx C 2 2 2 2 2

Para encontrar la desviación integramos dv/dt)C:

2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 0 t sen u y tdt sen u y vdt dy dt dy v t sen u v dt sen u dv t t y y t v φ Ω − = ∆ ∴ φ Ω − = ∆ ⇒ = → = φ Ω − = ⇒ φ Ω − =

∫

∫

∫

∫

∫

En Concepción: φ = -36.8º S, uo = 10 m/s, ∆x = 50 km, Ω = 7.292 x 10-5 rad/s

(

,

) (

s

)

km sen s / m s , y s s / m m u x t t x u 11 5000 8 36 10 10 292 7 10 5 10 10 50 2 1 5 3 3 0 0 + = × − × × ⋅ − = ∆ ⋅ = ⋅ = ∆ = ∆ ⇒ ∆ ∆ = − −

LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFÉRICAS.

Para propósitos de análisis teórico y de predicción numérica, es conveniente expresar la ecuación de movimiento en coordenadas esféricas, considerando que la tierra tiene esa forma. En fluidos geofísicos se define un sistema derecho con coordenadas (λ, φ, z) donde λ es la longitud medida desde el meridiano de Grenwich hacia el este, φ es la latitud positiva hacia el norte y negativa hacia el sur y z la vertical (distinto al común (r, θ, φ)).

Ahora se toman vectores unitarios i∧ hacia el este, ∧j hacia el norte y k∧

hacia arriba, y la velocidad es

kˆ w jˆ v iˆ u Vr= + +

Las direcciones de los vectores unitarios no son constantes, sino que son funciones de su posición sobre la Tierra. Esta variación se debe tener en cuenta cuando se calcula la aceleración:

dt kˆ d w dt jˆ d v dt iˆ d u dt dw kˆ dt dv jˆ dt du iˆ dt V d r _{= + + + + +}

Entonces se debe evaluar la tasa de cambio de los vectores unitarios. Para el caso de i que cambia sólo en dirección del eje x, se tiene:

x iˆ u z iˆ w y iˆ v x iˆ u t iˆ dt iˆ d ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = DIBUJOS 3-24

De las figuras se ve que :

(

sen jˆ cos kˆ

)

cos r x iˆ cos r x iˆ x iˆ lim x φ − φ φ = ∂ ∂ φ = ∂ ∂ = δ δ → δ 1 1 0

De manera análoga se tratan dj/dt y dk/dt, encontrándose:

jˆ r v iˆ r u dt kˆ d kˆ r v iˆ r tan u dt jˆ d + = − φ − =

Reemplazando en la ecuación de movimiento y escribiendo sus componentes se tiene: Dirección λ: _∂ + Ω φ− Ω φ+ λ ∂ ρ − = + φ − vsen wcos FR x p r uw r uvtan dt du 2 2 1 Dirección φ: − Ω φ+ _φ ∂ ∂ ρ − = + φ − usen F_R y p r vw r tan u dt dv 2 1 2 Dirección z: g ucos F_Rz zx p r v u dt dw ∂ _{− + Ω φ+} ρ − = + − 1 2 2 2

Los términos proporcionales a 1/r, es decir uv tanφ/r etc, se llaman

no lineales, son muy difíciles de tratar matemáticamente. Los términos de d/dt también son no lineales.