Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento Académico de Ingeniería Aplicada

Departamento Acad´emico de Ingenier´ıa Aplicada

CONTROL MODERNO Y ´

OPTIMO (MT 227C)

Clase05-02 Elizabeth Villota Cerna

Semestre_{2010I - UNI 30/04/2010}

El mundo real es no lineal, sin embargo existen un n´umero de razones para investigar sistemas lineales. Los sistemas lineales se usan a menudo para aproximar sistemas no lineales. Muchas veces, esta aproximaci´on es suficiente para el dise˜no del controlador. El conocimiento de la teor´ıa de sistemas lineales ayuda tambi´en a entender la complicada teor´ıa de sistemas no lineales.

En esta parte, analizaremos m´as conceptos b´asicos de sistemas lineales. La forma general del sistema lineal en la forma de espacio de estados, con correspondiente ecuaci´on de salida, es:

dx

dt = Ax + Bu,

y = Cx + Du, (1)

donde A ∈ Rn×n_{, B ∈ R}n×m_{, C ∈ R}p×n_{y D ∈ R}p×m_.

1.

Controlabilidad

Decimos que el sistema din´amico descrito por la ecuaci´on (1) o el par n-dimensional (A, B) es controlable si existe una ley de control u(t) que transfiere cualquier estado inicial xo= x(to) en cualquier tiempo toa un

estado final xf = x(tf) del espacio de estados en un tiempo tf > to. De otra forma, el sistema o par (A, B)

en no controlable.

Teorema 1 Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. El par n-dimensional (A, B) es controlable. 2. La matriz de controlabilidad n × nm

Wc=



B AB ... An−1_{B  = n}

tiene rango de fila completo.

3. Las n filas de la matriz e−At_{B son linealmente independientes para todo t ∈ [0, ∞).}

4. La matriz Vc(t) = Z t 0 e−Aτ_BBT_e−ATτ_{dτ =} Z t 0 e−A(t−τ ) BBT_e−AT(t−τ )_dτ

es no singular para todo t > 0.

⋄ Demostraci´on Probando la implicaci´on 1 → 2; esto es, si el par (A, B) es controlable entonces la llamada matriz de controlabilidad



B AB ... An−1_{B  ∈ R}n×mn

es de rango de fila completo. Probaremos este enunciado por contradicci´on (∼ 2 →∼ 1). Entonces, asumimos que: rango

B AB ... An−1_{B  < n; entonces, existe una vector constante de orden n, q 6= 0 tal que:}

qTB = 0T, qTAB = 0T, ...qTAn−1B = 0T.

Por el teorema de Cayley-Hamilton, la matriz A satisface su propia ecuaci´on caracter´ıstica. Entonces: An= −an−1An−1− ... − a1A − aoIn.

Luego:

qT_An_{B = 0}T _{= q}T_(−a

n−1An−1B − ... − a1AB − aoB) = 0T.

Por inducci´on obtenemos:

qT_Ai_{B = 0}T_{, para i = n + 1, n + 2, ...}

Ahora sea x(0) = 0 y x(tf) = q. Ahora mostraremos que no existe ley de control que transfiera al sistema

de x(0) = 0 a x(tf) = q. De la soluci´on de la ecuaci´on espacio de estados obtenemos:

q = eA(tf−to)_{x(0) +} Z tf to eA(tf−τ)_{Bu(τ )dτ} q = Z tf 0 eA(tf−τ)_{Bu(τ )dτ.}

Ahora premultiplicamos la ecuaci´on resultante por qT _{para obtener:}

0 6= kqk2₌Z tf 0 qT_eA(tf−τ)_{Bu(τ )dτ = 0} porque qTeA(tf−τ)_{B = q}T  B + (tf− τ )AB + (tf− τ2) 2! A 2_{B − ...}  = 0T.

Luego el sistema no puede ser transferido desde x(0) = 0 hasta x(tf) = q, y luego el sistema ˙x = Ax + Bu

es no controlable. ⋄

1.1.

Ejemplo: Motor DC

M´aquinas de corriente cont´ınua son bastante usadas en sistemas de control en lazo cerrado, en particular para el control de velocidad y torque. Existen de diversos tama˜nos comenzando a partir de unos cuantos watts, accionados por amplificadores electr´onicos, a varios cientos de kilowatss, accionados por generadores Ward-Leonard. Servomotores de bajo consumo de potencia se usan a menudo en instrumentaci´on, particularmente en sistemas de control de aviones, donde limitaciones de peso y espacio requieren de motores que provean el m´aximo de potencia por unidad de volumen. Estos son usados para ciclos de trabajo intermitentes o donde se requieran grandes torques en el arranque.

Un conductor que transporta corriente cuando inmerso en un campo magn´etico experimenta una fuerza proporcional a la magnitud del fujo, la corriente y la longitud del conductor, y el ´angulo entre el conductor y la direcci´on del flujo. Cuando el conductor se localiza a una distancia fija de un eje, con respecto al cual puede rotar, se genera un torque proporcional al producto de la fuerza y el radio. En un motor, el torque resultante es la suma de torques producidos por conductores individualmente. Para un rotor dado las ´unicas dos cantidades que se pueden manipular son la corriente de armadura y el flujo. Luego, existen dos modos de operaci´on de un servomotor DC: a)modo por armadura controlada y b) modo por campo controlado.

1.1.1. Control de armadura

En el motor DC de armadura controlada el campo es excitado de forma separada por una corriente constante if a apartir de una fuente DC fija. El flujo puede ser escrito como φ = Kfif, Kf constante. El

torque desarrollado por el motor es proporcional al producto de φ y la corriente en la armadura y la longitud de los conductores. Dado que el campo es asumido constante, el torque desarrollado por el motor se puede expresar como:

τm= Kiia.

El torque del motor es usado para accionar el sistema que posee una inercia total Ieq. Asumiendo el caso

ideal donde el torque entregado es igual a la carga (en la pr´actica no hay 100 % de eficiencia). Entonces:

R_a Ieq e_a if⫽ constant La(negligible) ⫹ ⫺ ␪

Figura 1: Modelo de un motor DC de armadura.

donde θ es la position angular del eje del motor.

A medida que la armadura rota en un campo, ´esta desarrolla un voltaje inducido eben direcci´on opuesta al

suministro de armadura. Este voltaje se llama fuerza contra-electromotriz y es proporcional a la velocidad de rotaci´ontheta y el flujo creado por el campo. Dado que el campo es constante, la fuerza contra-electromotriz˙ puede ser expresada como:

eb = Kb˙θ. (3)

donde Kb es la constante de voltaje del motor.

El control de la velocidad del motor se obtiene ajustando el voltaje aplicado a la armadura. Su polaridad determina la direcci´on de rotaci´on del motor. El diagrama esquem´atico del sistema motor DC de armadura se presenta en la Fig. 1, donde Ra= 1Ω, La ∼ 0H, Kb= 5V/rad/sec, Ki= 5Nm/A, y el momento de inercia

efectivo es Ieq= 0,1kgm2. La fricci´on y la inercia del engranaje son despreciables.

Aplicando la ley del voltaje de Kirchoff al circuito de la armadura resulta:

Raia+ Kb˙θ = ea. (4)

Sustituyendo ia de (1) en la ecuaci´on arriba mostrada y dividiendo ambos lados por Ieq resulta:

¨ θ = Ki Ieq ea− Kb˙θ Ra ! = KiKb IeqRa ˙θ + Ki IeqRa ea.

Sea x1 = θ, x2 = ˙θ y u = ea. Luego tomando en cuenta los par´ametros del sistema, representamos la

ecuaci´on arriba mostrada en la forma de espacio de estados.  ˙x1 ˙x2  =  0 1 0 −250   x1 x2  +  0 50  u.

Primero formamos la matriz de controlabilidad del sistema: Wc= B AB  =  0 50 50 −12500  , y verificamos que el sistema es controlable.

Ahora encontraremos un control u que transfiere el sistema desde un estado inicial x(to) =  10 1  T

al estado final x(2) =

0 0 T

. Recuerde que la soluci´on del sistema controlado tiene la forma: x(t) = eA(t−to)_x(t

o) +

Z t

to

eA(t−τ )_{Bu(τ )dτ.}

Nuestro objetivo es encontrar u tal que:

0 = x(2) = e2A_{x(0) +}Z 2 0

Se puede verificar que u tiene la forma: u(t) = −BT_eA(2−t) Z 2 0 eA(2−τ )_BBT_eAT_{(2−τ )} dτ −1 e2A_x(0), donde: eAt_{= L}−1_{{(sI − A)}−1_{} =} 1 ₂₅₀1 (1 − e−250t) 0 e−250t  . Entonces: Z 2 0 eA(2−τ )BBTeAT(2−τ )dτ −1 = Z 2 0  1 ₂₅₀1 (1 − e−250(2−τ )) 0 e−250(2−τ )   0 50   0 50   1 0 1 250(1 − e −250(2−τ )_{) e}−250(2−τ )  dτ =  0,07976 0,02 0,02 5 

La inversa de la matriz arriba es:

=  12,5502 −0,0502 −0,0502 0,2002  . Entonces: u(t) = − 0 50   1 0 1 250(1 − e −250(2−τ )_{) e}−250(2−τ )   12,5502 −0,0502 −0,0502 0,2002  e2A  10 1  u(t) = 50,22e250t−500− 25,11. La estrategia de control arriba mostrada transfiere el sistema de x(0) =

10 1 T

a x(2) =

0 0 T . Gr´aficas de x1 y x2 versus tiempo son mostradas en la Fig. 2. Una gr´afica de u versus tiempo est´a dada

en la Fig. 3. x₁ x₂ 12 10 8 6 4 2 0 0 0.5 ⫺2 ⫺4 ⫺6 1 Time (sec) 1.5 2

Figura 2: Variables de estado versus tiempo.

1.1.2. Control de campo

La Fig. 4 muestra el diagram esquem´atico del motor DC de campo controlado donde la corriente de la armadura es mantenida constante y el campo es suministrado a partir de un voltaje ajustable ef.

El torque τ desarrollado por el motor es proporcional al flujo creado por la corriente de armadura, la corriente del campo y la longitud de los conductores. Para un motor dado, y dado que la corriente de armadura es constante, el torque puede ser expresado como:

30 20 0 0.5 ⫺30 ₁ Time (sec) u 1.5 2 10 0 ⫺10 ⫺20

Figura 3: Acci´on de control versus tiempo.

donde KT es la constante de torque. Este torque es usado para mover yba carda de inercia total J y para

vencer la fricci´on viscosa. Eso puede ser expresado, despreciando la constante de rigidez K, como:

τ = J ¨θm+ B ˙θm. (6)

Aplicando la ley de volatje de Kirchoff en el circuito del campo se obtiene:

ef = Rfif+ Lf˙if. (7)

La representaci´on espacio de estados se obtiene considerando a la posici´on angular y sus derivada como los primeros estados, x1= θm, x2= ˙θm, la corriente de campo como el tercer estado, x3= if, y al voltaje del

campo como la entrada u = ef donde la posici´on angular se considera como la salida y = θm= x1. Luego

las matrices correspondientes son:

A =   0 1 0 0 −B/J KT/J 0 0 −Rf/Lf  , b =   0 0 1/Lf  , c =  1 0 0  , donde KT =

1.2.

Sistema no controlable

Teorema 2 El sistema ˙x = Ax+Bu es no controlable si y s´olo si existe una transformaci´on de similaridad z = T x tal que: ˜ A = T AT−1₌  A1 A2 0 A4  , , B = T B =˜  B1 0 

donde el sistema ˙xr = A1xr + B1u es controlable, A1 ∈ Rr×r, B1 ∈ Rr×m, y el rango de la matriz de

controlabilidad del sistema ˙x = Ax + Bu es igual a r.

540 INTRODUCTION TO CONTROL ENGINEERING

+ ef if Lf Rf Ia= Const. m J B

Fig. A.19

Field controlled DC motor

1.2.1. Ejemplo de sistema no controlable Para el modelo del sistema:

˙x =     −1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 4 0 1 1 −1 2     x +     1 1 0 0 0 0 0 1     u,

construir la transformaci´on de las variables de estado tal que en el nuevo sistema coordenado la parte controlable sea separada de la parte no controlable.

Primero formamos la matriz de controlabilidad del sistema:

Wc= B AB A2B A3B  =     1 1 −1 0 3 4 −1 4 0 0 1 1 0 1 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 2 7 7 19     .

Usando el comando del MATLAB [Q,R]=qr(W_c) para obtener:

Q =     −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 1 0 −1 0 0     , R =     −1 −1 1 0 −3 −4 1 −4 0 −1 −1 −3 −2 −7 −7 −19 0 0 −1 −1 0 −1 −3 −5 0 0 0 0 0 0 0 0     .

donde las matrices Q y R satisfacen Wc= QR, donde Q es una matriz ortogonal y R es una matriz triangular

superior tal que el rango R=rango Wc. Entonces, premultiplicando la matriz de controlabilidad, Wc, por

Q−1 _{reduce esta matriz a una matriz de filas triangular superior R porque Q}−1_W

c = R. Sea z = Q−1x

la transformaci´on de las variables de estado. Entonces en el nuevo sistema coordenado las matrices A y B toman la forma: Q−1_{AQ =}     −1 1 1 0 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 4     , and Q−1_{B =}     −1 −1 0 −1 0 0 0 0     .

La dimensi´on de la parte no controlable es 1.

1.3.

Estabilizabilidad

Si los autovalores de la parte no controlada de un sistema ˙x = Ax + Bu est´an todo en el semiplano complejo izquierdo abierto- esto es, que la parte no controlada es asint´oticamente estable- luego el sistema

˙x = Ax + Bu es estabilizable.

Fuente: Cap´ıtulo 3 del libro Systems and Control de Stanislaw H. Zak (2002).

Fuente: Cap´ıtulo 6 del libro Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J. ˚

Astr¨om y Richard M. Murray.