1 ‘Relatividad y Cosmolog´ıa’ 4o
2 Malentendidos y leyendas urbanas sobre la relatividad general
En gran parte las leyendas urbanas sobre la relatividad general son las que rodean tambi´en a la relatividad especial. Pero tienen alg´un car´acter distintivo.
• Es una teor´ıa casi puramente matem´atica, cuyos efectos observables son despreciables
Hasta 1960 muchos f´ısicos podr´ıan suscribir esta frase. Aunque tres efectos la confirmaban en el sistema solar, la concordancia era buena pero no mucho m´as. En los ultimos 40 a˜nos esta situaci´on ha dado un cambio radical, y actualmente hay muchos m´as efectos observados, y la concordancia entre algunas predicciones y algunas observaciones astron´omicas es impresionante
• Es una teor´ıa irrelevante por completo para la vida cotidiana Actualmente falso. Las
correcciones gravitatorias al GPS son mucho mayores que las debidas a la RE, y por tanto la Relatividad General es necesaria alli.
•Como su nombre indica, es una teor´ıa m´as general que la relatividad espacial Ambiguo, y
f´ısicamente incorrecto. La relatividad Especial establece un marco de c´omo es el espacio-tiempo, y a este marco deben atenerse las teor´ıas que describen interacciones concretas: electromagnetismo, gravitaci´on, etc. La relatividad general es una teor´ıa relativista (compatible con la relatividad especial) de la gravitaci´on.
• Si Einstein no la hubiera encontrado en 1915, no lo habr´ıa hecho ninguna otra persona
en los siguientes 20 o 30 a˜nos Predecir el pasado no tiene m´erito. Pero, a diferencia de la Relatividad Especial, parece casi seguro que de no haberse embarcado Einstein entre 1908 y 1915 en encontrar una teor´ıa relativista de la gravitaci´on, podr´ıan haber pasado 20, 30 o 40 a˜nos hasta que alg´un otro lo hubiera hecho.
3 Hechos ‘probados’ sobre la relatividad general
•En 1915 no hab´ıa ninguna discrepancia importante entre las observaciones astron´omicas
y las predicciones de la gravitaci´on newtoniana Cierto. La unica discrepancia rese˜nable era la de la precesi´on an´omala del perihelio de Mercurio, que es extremadamente peque˜na (43 segundos de arco/siglo an´omala, frente a la precesi´on total del orden de 5500 arcseconds/siglo, de los cuales los restantes se explican correctamente por la teor´ıa newtoniana.
• Es una teor´ıa especulativa, en la que apenas pueden hacerse experimentos Cierto,
des-graciadamente, es la Naturaleza quien determina que experimentos pueden hacerse y cuales no. Simplemente, no es posible crear en el laboratorio un campo gravitatorio ‘a medida’. De manera que en la mayor´ıa de los casos dependemos s´olo de observaciones.
?Pero las observaciones pueden falsar la teor´ıa Popper ...
• Las matem´aticas necesarias para enunciar esta teor´ıa son extremadamente
complica-das y no es posible evitarlas Es cierto que para un estudio completo, el c´alculo diferencial absoluto es imprescindible. Entender bien todos los objetos matem´aticos que describen el campo gravitatorio (m´etrica, conexi´on, tensor de curvatura) es perfectamente posible pero no es cosa que pueda hacerse en un plis plas. Varios libros de texto recientes (Hartle, Schutz) exploran una in-teresant´ısima v´ıa, que reduce mucho los requerimientos puramente matem´aticos sin comprometer demasiado la comprensi´on f´ısica. En este (semi)curso seguiremos esta v´ıa.
• Actualmente se trata de una teor´ıa cuyas predicciones est´an corroboradas por
4 ¿Es absoluto el Tiempo? No, seg´un las Relatividades (Especial y General) de Einstein
• Einstein (1905) Relatividad Especial y Einstein (1915) Relatividad General. El Tiempo
en la Naturaleza no es absoluto en el sentido Newtoniano.
• Si no hay campo gravitatorio entonces
? El valor m´aximo posible para este tiempo propio τ0 corresponde al observador que se
muevesin aceleraci´on, entre los sucesos inicial y final.
?Cualquier otro observador que se mueva de otra manera, registra un tiempo propio τ ,
menor que τ0 y dado por:
dτ =p1 − v2/c2dτ
0 ≈ (1 −
v2 2c2) dτ0
• Si adem´as hay campo gravitatorio entonces
? El valor m´aximo posible para este tiempo propio τ0 corresponde al observador que se
mueveen ca´ıda libre entre los sucesos inicial y final.
?Ademas del efecto debido a la velocidad, dos observadores en reposo relativo en un campo gravitatorio registran valores diferentes de tiempo propio entre dos sucesos dados, dependiendo de qu´e posici´on ocupen. Estar m´as arriba en un campo gravitatorio da un tiempo propio mayor
dτ2 ≈ r 1 + 2Φ21 c2 dτ1 ≈ (1 + gh21 c2 )dτ1
?Cuestion conceptualmente fundamental La existencia de un campo gravitatorio conduce tambieninevitablemente a la abolici´on del Tiempo absoluto.
5 Panorama de la Teor´ıa de la Relatividad General (1915)
• Gravitaci´on Newtoniana Exitos repetidos y abrumadores
?Necesitaba aceptar dos molestos fantasmas: acci´on a distancia y Espacio absoluto. ? Aceptaci´on lenta; ´exitos impresionantes: Mareas, precesi´on de los equinocios, ´orbitas
planetarias, descubrimiento de Neptuno, . . .
• Einstein comenz´o a preocuparse del efecto de la gravedad sobre la luz tras establecer la
relatividad Especial. Se refer´ıa a la idea que se le ocurri´o en 1908 como ‘la idea m´as feliz de mi vida’: Un cuerpo en ca´ıda libre no siente su peso
?Principio de equivalencia Gu´ıa para la estructura matem´atica de una teor´ıa de la gravitaci´on ?Incorpora el Principio de Galileo La proporcionalidad exacta de mI y mG pasa a ser una
consecuencia del principio de equivalencia, y no una propiedad f´ısica sin raz´on aparente.
• El tiempo propio que mide un reloj en reposo depende tambi´en de su posici´on cuando
hay un campo gravitatorio
?En un campo gravitatorio, el Espacio-Tiempo es curvo Analog´ıa con una esfera. • Relaci´on b´asica
∆τ2 ≈
r
1 + 2∆Φ21 c2 ∆τ1
donde interviene la diferencia de potencial gravitatorio Newtoniano en los dos puntos.
• ¿C´omo se mueve un objeto en ca´ıda libre en un campo gravitatorio entre dos sucesos
6 Panorama y Tests de la Teor´ıa de la Relatividad General
• Tres Tests cl´asicos
?Desplazamiento gravitatorio hacia el rojo
?Precesi´on del perihelio de las orbitas planetarias
?Deflexi´on de la luz en un campo gravitatorio
• Durante los primeros 50 a˜nos (entre 1915 y 1965) no hubo posibilidad real de ir en las
comprobaciones experimentales m´as all´a de estas tres predicciones b´asicas
•Otras predicciones eran de efectos cuya cuant´ıa les colocaba m´as all´a de las posibilidades experimentales. Retraso del eco de radar, Precesi´on geod´esica, Precesi´on de Lense–Thirring (arrastre de los sistemas inerciales), Ondas gravitatorias.
• Ahora la situaci´on ha cambiado radicalmente
• A partir de 1970, los avances tecnol´ogicos llegaron al borde de la regi´on en que estos
efectos pueden ser observados. As´ı
? Comprobaciones directas de los efectos gravitatorios de ‘dilataci´on’ del tiempo:
Experimentos de Hafele-Keating, Vessot-Levine, . . .
?Retraso del Eco de Radar Medido en Venus, en la Viking (Shapiro); comprobaci´on reciente en el paso de la Huygens/Cassini por J´upiter y por Saturno (en 2003).
• En otras predicciones que conceptualmente son importantes, en 2009 creemos estar
cerca de la comprobaci´on directa Precesi´on Geod´esica y de Lense-Thirring de un gir´oscopo en ´orbita (Gravity Probe B, en curso), Ondas gravitatorias, . . .
7 ¿Cual es el nivel de comprobaci´on experimental de las ideas b´asicas?
• Igualdad de Masa Inercial y Masa Gravitatoria Discrepancia relativa
Galileo (1610, p´endulo) < 2 × 10−3
Newton (1680, p´endulo) < 10−3
E¨otv¨os (1890, 1908, balanza de torsi´on) < 5 × 10−8, < 3 × 10−9 Dicke (1964, balanza de torsi´on, Sol) < 3 × 10−11 Braginski (1971, balanza de torsi´on, Sol) < 9 × 10−13 Koester (1976, caida libre de neutrones) < 3 × 10−4
Adelberger (2000, E¨ot-Wash), < 10−13
Experiencias en curso o previstas
APOLLO (Lunar Laser ranging), 10−14?
8 ¿Cual es el nivel de comprobaci´on experimental de las ideas b´asicas?
• Dilatacion ‘gravitatoria’ del tiempo ∆νexp/∆νteor
Adams, Moore (1925, desplazamiento al rojo de las lineas del H en Sirio) entre 0,2 y 0,5 Popper (1954, desplazamiento al rojo de las lineas del H en 40 Eridani B) 1,2 ± 0,3 Pound y Rebka (1960, desplazamiento al rojo de rayos γ, M¨ossbauer) 1,05 ± 0,1 Hafele y Keating (1972, relojes de cesio en un avi´on) 0,9 ± 0,1 Alley (1979, relojes de cesio en un avi´on) 1 ± 0,02 Vessot y Levine (1979, reloj de maser de H en un cohete) 1 ± 0,002
• Deflexi´on de la luz por el campo gravitatorio del Sol Desviaci´on predicha: 1.75”
Eddington (1919, Sobral y Principe) 1,98 ± 0,16, 1,16 ± 0,4
Univ de Texas (1973, Mauritania) 1,66 ± 0,19
• Deflexi´on de ondas de radio de 3C279 por el campo gravitatorio del Sol θexp/θteor
Radiotelescopio de Owens Valley (1970, Linea de base 1.07 km), 1,01 ± 0,11
Westerbork (1975, 1Km) 1,04 ± 0,03
9 ¿Cual es el nivel de comprobaci´on experimental de las ideas b´asicas?
• Retraso de la luz (retraso del eco de radar) ∆τexp/∆τteor
Shapiro (1968, 1971; eco en Mercurio y Venus) 1,02 ± 0,05 Reasenberg y Shapiro (1979, eco en la Viking) 1,00 ± 0,02 Bertotti et al. (2003, paso de la Cassini-Huygens por Jupiter) 1,00000 ± 10−5
• Precesi´on del perihelio Valor observado vs. Valor Predicho en arcsec/siglo
Valor residual descontado el efecto de la precesi´on de los equinocios (≈ 5000 arcsec/siglo para Mercurio) y de las perturbaciones de los dem´as planetas (≈ 500 arcsec/siglo para Mercurio)
Mercurio 43,1 ± 0,1 42, 98
Venus 8,65 8,62
Tierra 3,85 3,84
10 ¿Cual es el nivel de comprobaci´on experimental de las ideas b´asicas?
• La evolucion temporal de la verificaci´on experimental de algunos aspectos b´asicos
durante el S. XX
?a) El principio de equivalencia d´ebil
? b) Algunas predicciones de la Relatividad General: la deflexi´on de la luz y el retraso del eco de radar
11 El sistema de Posicionamiento Global GPS
• El sistema de Posicionamiento Global GPS
?Veinticuatro sat´elites en 6 ´orbitas exc´entricas
Altitud media: ≈ 20000 km Velocidad media: ≈ 14000 km/h.
• Desde cada punto de la Tierra, en cualquier
ins-tante deben verse al menos 4 de estos sat´elites.
• Cada sat´elite lleva un reloj at´omico y un emisor
que emite se˜nales codificadas de manera espec´ıfica que contienen el instante de la emisi´on.
?El receptor recibe estas se˜nales con un retraso que depende de su posici´on (desconocida) y de las posi-ciones de los sat´elites en el momento de la emisi´on (conocidas con mucha precisi´on).
?Los retrasos relativos entre las se˜nales procedentes de cuatro sat´elites son suficientes para determinar la posici´on del receptor.
• ¿Es necesario tener en cuenta los efectos de la Relatividad para el funcionamiento del
12 El sistema de posicionamiento Global GPS
• Discrepancia relativa entre las medidas de duraci´on propia entre los relojes at´omicos a
bordo de los sat´elites y los de la Tierra es debida a dos causas:
Efecto de altitud (gravitatorio): discrepancia relativa 5,3 × 10−10 Efecto de velocidad (relatividad especial): ” −0,8 × 10−10
Efecto neto total: ” 4,6 × 10−10 (38 µs por d´ıa) ? Estas discrepancias son muy superiores a la precisi´on de los relojes at´omicos que se usan
en los propios sat´elites, y a los de las estaciones terrestres de contraste.
• En 1 µs la luz recorre 300 m
? Para mantener la precisi´on espacial que se requiere de este sistema (determinar la posici´on con error del orden de 1 m o menos), las correcciones relativistas son
imprescindibles, y deben hacerse muy frecuentemente.
? Cuando se dise˜n´o el sistema la necesidad de efectuar correcciones relativistas no era apreciada por todos. Perocuando se realizaron las primeras pruebaslos esc´epticos hubieron de rendirse a la evidencia.
13 Algunas predicciones de la RG sin comprobaci´on directa a´un
•Actualmente hay en curso varios proyectos para la comprobaci´on de algunas predicciones
de la Relatividad General Dos ejemplos, ambos importantes:
• Ondas Gravitatorias Consecuencia inevitable de las ecuaciones de Einstein. Muy dif´ıciles de detectar.
? Muy d´ebiles Explosi´on de una supernova en el centro de la Galaxia producir´ıa una onda gravitatoria cuyo efecto en la Tierra ser´ıa modificar la distancia entre dos masas test separadas 1 km en 10−16 m, que es una distancia subnuclear!.
? La potencia total que el sistema Sol-J´upiter emite al espacio en forma de ondas gravi-tatorias se estima del orden de unos 2 Kw.
•La RG predice dos tipos de precesi´on del momento angular de una esfera perfecta situada
en un campo gravitatorio. (La teor´ıa Newtoniana predice que en un campo gravitatorio externo, el momento angular de un s´olido rotante que sea perfectamente esf´erico no muestra ninguna precesi´on)
?De Sitter Precesi´on geod´esica, debida a la curvatura del 3-espacio. Est´a presente aunque la fuente del campo no rote. (De Sitter propuso (1917) observarla en el movimiento de la Luna, lo que se lleva haciendo con los datos del eco de radar, con precisi´on 2 %).
?Lense-Thirring Precesi´on adicional que se produce s´olo cuando la fuente del campo rota. A veces se denomina arrastre de los sistemas inerciales por el cuerpo que rota.
?Ambos efectos son muy peque˜nos Valores esperados para la precesi´on:
