UNIDAD 4 SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE P. L. de dos dimensiones. especiales.

S

OLUCIÓN

GRÁFICA

DE

PROBLEMAS

DE

P. L.

de dos dimensiones

Introducción

D

espués de construir modelos matemáticos de programación lineal, necesitamos desarrollar métodos que nos permitan encontrar la solución de estos modelos. En esta unidad se resolverán modelos de P. L. de dos variables (2 dimensiones) por el

método gráfico.

Los pasos a seguir en este método son:

Aunque difícilmente se encuentran ejemplos reales de dos dimensiones, nos sirven como antecedente para comprender mejor el método símplex analítico o tabular, el cual se estudiará en la siguiente unidad. Este método se utiliza para resolver problemas de P. L. de n dimensiones. Además realizaremos un análisis de sensibilidad, el cual consiste en estudiar el comportamiento de la solución óptima cuando se cambian los coeficientes de la función objetivo o las cantidades limitantes de las restricciones. Habrá modelos cuya solución no exista o bien no sea única, también analizaremos algunos ejemplos de este tipo, los cuales se presentan continuamente en la realidad.

4.1. Gráfica de rectas y regiones en el plano

Una línea recta es un objeto geométrico. Euclides definió la recta como la distancia más corta entre dos puntos en el plano. Más tarde Descartes asocia a toda línea recta una representación algebraica a través de una ecuación lineal de dos variables. La definición en geometría analítica de la línea recta es:

Decimos que una línea recta que pasa por el punto (x₀, y₀) está formada por todos los puntos del plano cartesiano (x, y) tales que la relación

m y y x x

0

0

permanece constante. A este número se le da el nombre de pendiente de una línea recta y se denota con la letra m.

Geométricamente la pendiente de una línea recta es la tangente del

ángulo que forma la recta con el eje positivo de las abscisas (ángulo de inclinación) medido en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (véase la f igura 4.1.).

Figura 4.1. Gráf ica de una línea recta.

La ecuación general de una línea recta es de la forma Ax + By + C = 0, donde A, B y C son números reales. Ésta es una ecuación de primer orden con dos incógnitas que tiene un grado de libertad, esto quiere decir que podemos dar un valor arbitrario a cualquiera de las incógnitas y después despejar el valor de la otra variable. El conjunto solución de esta ecuación es inf inito y representa todos los puntos que forman la línea recta.

Ejemplo 1

Obtener la gráfica de la ecuación 3x – 2y = 8.

Sabemos que dados dos puntos, sólo existe una recta que pasa por ellos, por lo tanto, basta conocer estos dos puntos que pertenecen a la línea recta para poderla trazar.

1. Damos un valor arbitrario a la variable y que puede ser el valor cero (y = 0), sustituimos en la ecuación: 3x – 2(0) = 8. Se resuelve la ecuación resultante 3x = 8. Despejamos x y obtenemos x 8

3, por lo que el primer punto de la recta es 8

3, 0 .

2. En la ecuación 3x – 2y = 8, damos el valor arbitrario 2 a la variable x (x = 2), sustituyendo en la ecuación se tiene 3(2) – 2y = 8. La ecuación resultante es 6 – 2y = 8. Despejamos y para obtener y 8 6

2 donde y = – 1. Se obtiene así el segundo punto de la recta: (2, – 1).

3. Localizamos estos puntos en un plano cartesiano y trazamos la recta cuya ecuación es 3x 2y 8.

Ejercicio 1

1. La pendiente de una línea recta es ______________________ del ángulo de inclinación.

2. Euclides def inió la línea recta como _____________________ más corta entre dos puntos en el plano.

y y

3. La intersección de la ecuación x – 3y = 10 con el eje de las ordenadas es: a) (0, 10) b) 0 10 3 , c) 0 10 3 , d) 0 3 10 ,

4. La gráf ica de la ecuación x + y = 0 es:

5. La gráfica de la ecuación 2x₁ + 4x₂ = 4 es:

a) b)

c) d)

6. Obtener la gráf ica de la ecuación 6x – 5y = 30

y

x

y

x

y

x

y

x

4.1.1. Gráfica de desigualdades

lineales de dos variables

Una desigualdad lineal de una variable, así como una desigualdad lineal de dos variables, tienen por solución una región del plano cartesiano.

Por ejemplo, si tenemos la desigualdad x + y > 0, el punto (2, 3) pertenece al conjunto solución de esta desigualdad ya que 2 + 3 = 5 > 0 y, en general, el conjunto solución de esta desigualdad está dada por el plano que se encuentra sobre la recta x + y = 0. Gráf icamente se representa como la región sombreada (véase la f igura 4.2.):

Figura 4.2.

En este caso los puntos de la recta no pertenecen al conjunto solución, ya que estos puntos hacen que se cumpla la igualdad y no la desigualdad. En los modelos de I. O. generalmente se permiten ambos, es decir, la igualdad y la desigualdad. Esto lo denotamos uti li zando los símbolos < (menor o igual que) o > (mayor o igual que). En estos casos la línea recta pertenece al conjunto solución y se marca como una línea continua. Si queremos graf icar una desigualdad lineal, se procede como sigue: 1. Graficar la igualdad asociada a la restricción. Con esto obtenemos una línea recta, la cual divide al plano cartesiano en dos regiones.

2. Para saber cuál de las dos regiones satisface la desigualdad, tomamos un punto cualquiera del plano cartesiano. Este punto se sustituye en la desigualdad.

y

3. Si la desigualdad se cumple, entonces la región donde tomamos el punto es la región solución. Si no satisface la desigualdad entonces la región solución es la opuesta a donde tomamos el punto.

Ejemplo 2

Obtener la gráfica de la desigualdad 5x₁ + 3x₂ < 10

1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada: 5x₁ + 3x₂ = 10

2. Se toma un punto, por ejemplo, (5, 10) que está por encima de la recta.

3. Lo sustituimos en la desigualdad 5(5) + 3(10) < 10 y verif icamos que ésta se cumpla:

5(5) + 3(10) < 10 25 + 30 < 10

55 < 10

Observamos que esta expresión es falsa, por lo tanto se toma la región que no incluye al punto seleccionado. Esto quiere decir que la región solución es la sombreada en la siguiente f igura:

Figura 4.3.

Ejemplo 3

Obtener la gráfica de la desigualdad 2x₁ + 3x₂ < 6 1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada 2x₁ + 3x₂ = 6

2. Se elige el punto (0, 0) que está por debajo de la recta. 3. Sustituimos en la desigualdad y verif icamos si se satisface:

2 0 3 0 6 0 0 6 0 6

El origen cumple con la desigualdad, por lo tanto se toma la región que incluye al origen, la gráf ica es la región sombreada en la siguiente f igura:

Figura 4.4.

Ejemplo 4

Obtener la gráfica de la desigualdad 2x₁ + 6x₂ > 12 1. Se traza la gráfica de la igualdad asociada.

2. Se elige el punto (2, 0) que está por debajo de la línea recta.

3. Sustituimos este punto en la desigualdad y verificamos si la satisface: 2(2) + 6(0) > 12

4 + 0 > 12 4 > 12

Esta última expresión es falsa, por lo tanto, se toma la región que no contiene al punto (2, 0). La región es la parte sombreada en la siguiente f igura:

Figura 4.5.

Ejercicio 2

1. La gráfica de la desigualdad 3x₁ – 5x₂ > 15 es:

–3 3

2. Para graficar una desigualdad lineal primero se traza la _______________ asociada.

3. La gráfica de la desigualdad x₁ > 0 es:

a)

b)

4. La gráf ica de la desigualdad x₂ es:

5. Obtener la gráf ica de la desigualdad 3x₁ + 6x₂ < 30 6. Obtener la gráf ica de la desigualdad 2x₁ + 10x₂ > 20

x₂

x₂

x₁ y₁

4.2. Región de soluciones factibles

en maximización

En la sección anterior aprendimos a graficar desigualdades lineales con dos incógnitas, esto nos va a ayudar a obtener la solución de problemas de P. L., los cuales se resuelven primero por método gráf ico; para posteriormente utilizar un método analítico.

Un modelo de maximización de P. L. de dos dimensiones tiene la forma general:

Z_máx = f(x₁, x₂)

Sujeto a las restricciones (s. a.):

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ < b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ < b₂ . . . a_n1x₁ + a_n2x₂ < b_n

con las condiciones de no negatividad:

x₁ > 0

x₂ > 0

Donde:

Z_máx = f(x₁, x₂) es una función lineal de dos variables, la cual queremos

maximizar; un conjunto de desigualdades lineales de dos variables, las

cuales pueden ser de la forma menor o igual que y la condición de no negatividad para las variables.

Lo primero que debemos hacer es buscar la región del plano que contiene los puntos solución de todas las desigualdades, para hacerlo primero debemos graficar cada una de las desigualdades y posteriormente empalmar todas las gráficas, la intersección de todas las regiones solución, es llamada . O bien en un solo sistema

coordenado se grafica al conjunto de restricciones (rectas y regiones) y la intersección será la región de soluciones factibles.

Ejemplo 5

Obtener la región de soluciones factibles del siguiente conjunto de desigualdades.

3x₁ + 2x₂ < 6

x₁ + x₂ > 0

Graficamos por separado cada una de las desigualdades y obtenemos: 3x₁ + 2x₂ < 6

x₁ + x₂ > 0

Si empalmamos estas dos gráficas, podremos observar que se intersectan en una franja, que se forma entre las dos líneas rectas.

Esta zona contiene los puntos solución de ambas desigualdades, por ejemplo, el punto (1, 1) está dentro de esta zona y al sustituirlo en las desigualdades las satisface:

3(1) + 2(1) < 6 1 + 1 > 0 3 + 2 < 6 2 > 0 5 < 6

Sin embargo, el punto (4, 5) sólo está en la zona de la desigualdad x₁ + x₂ > 0, esto quiere decir que solo satisface esta desigualdad. Para verificarlo se sustituye en ambas desigualdades el punto mencionado.

3(4) + 2(5) < 6 4 + 5 > 0 12 + 10 < 6 9 > 0 22 < 6

Falso Verdadero

Por lo tanto este punto no pertenece a la región de soluciones factibles. Nota. La región de soluciones factibles de un conjunto de desigualdades también se llama región factible.

Cuando tenemos varias desigualdades, la zona factible puede ser de dos formas:

Si la región factible es no acotada, quiere decir que se puede extender indefinidamente hacia algún extremo del plano cartesiano. Si es acotada, lo que tenemos es un polígono i rregular que contiene todos los puntos solución del sistema. Es importante añadir que las líneas del

polígono también pertenecen a la zona factible; recordemos que estamos

trabajando con desigualdades donde la igualdad se incluye.

Ejemplo 6

Obtener la región factible del siguiente conjunto de desigualdades. 3x₁ + 2x₂ < 18

x₂ < 6

x₁ < 4

x₁ > 0

x₂ > 0

b) Graficamos la segunda desigualdad que es x₂ < 6

c) Graf icamos la tercera desigualdad que es x₁ < 4

d) Las desigualdades cuarta y quinta nos indican que nos limitamos a valores positivos de x₁ y x₂ dentro del primer cuadrante.

–6 –3 3 6

e) Finalmente, si colocamos todas las gráficas en un mismo plano cartesiano y sombreamos sólo la parte donde se traslapan, obtenemos la zona factible.

En este caso obtuvimos un polígono irregular de 5 lados.

Otro método Podemos graf icar todas las desigualdades sobre un mismo sistema coordenado marcando con una f lecha la región que corresponde a cada una. La intersección es la región factible como se muestra en la f igura 4.6.

Ejemplo 7

Obtener la región factible del siguiente problema de P. L.

s.a.: Z_máx = 3x₁ + x₂ 3x₁ + 2x₂ < 12 x₁ + x₂ > 1 x₂ < 3 x₁ > 0 x₂ > 0

Graficamos cada una de las desigualdades: 3x₁ + 2x₂ < 12

a) Graficamos primero la igualdad 3x₁ + 2x₂=12

x x x 1 2 2 0 3 0 2 12 12 2 6 0 6 ( ) ( , ) x x x 2 1 1 0 3 2 0 12 12 3 4 4 0 ( ) ( , )

b) A hora sustituimos el punto (6, 6) en la desigualdad. 3 2 12 3 6 2 6 12 18 12 12 30 12 1 2 x x ( ) ( )

Como la desigualdad es falsa, se considera la región que no contiene el punto.

x₁ + x₂ > 1

a) Graficamos primero la igualdad asociada x₁ + x₂ = 1

x x x 1 2 2 0 0 1 1 0 1 ( , ) x x x 2 1 1 0 0 1 1 1 0 ( , )

b) A hora sustituimos el punto (2, 2) en la desigualdad.

x₁ x₂ 1 2 2 1 4 1

Como la última expresión es verdadera, entonces el punto es un punto solución de la desigualdad y, por lo tanto, se considera la región que lo contiene.

x₂ < 3, x₁ > 0, x₂ > 0

a) Graf icamos las igualdades asociadas a cada desigualdad. La primera es una línea paralela al eje x₁ al igual que la tercera. La segunda es una línea paralela al eje x₂ que pasa por el origen.

Nota. En este tipo de rectas no es necesario obtener dos puntos para graficarlas.

b) Las desigualdades x₁> 0, x₂ >0 nos limitan al primer cuadrante del plano cartesiano, mientras que la desigualdad x₂ < 3 se satisface con los puntos que están por debajo de la recta asociada, por lo tanto, la zona solución de estas desigualdades es:

A hora colocamos todas las gráficas en un plano cartesiano y obtenemos la región factible del problema de P. L.

Obtenemos un polígono irregular de 5 lados. Cada uno de los segmentos de línea que limitan la región factible, recibe el nombre de fronteras. La intersección de dos fronteras forma un vértice. Decimos que dos vértices

son adyacentes si comparten una frontera.

Se asegura (como resultado de un teorema) que la solución óptima de nuestro problema (al maximizar o minimizar la función objetivo) se

encuentra en uno de los vértices de la región factible.

x₂ x₁ 2 1 4 3 –1 –2 –3 –4 –2 –4 2 4

Para saber cuál de los cinco vértices es el punto solución óptima, tenemos que graf icar la función objetivo. Para hacerlo, tomamos un punto arbitrario de la región factible y lo sustituimos en la función objetivo para obtener un valor inicial. Por ejemplo, tomemos el punto (2, 2).

Z_máx=3x₁ + x₂

Z_{(2, 2)}=3(2) + 2

Z_{(2, 2)}=8

A hora buscamos todos los puntos del plano para los cuales la función objetivo tiene el valor 8. Estos puntos los encontramos graf icando la ecuación 3x₁ + x₂=8

Sólo un segmento de esta recta cae dentro de la región factible, es justamente este segmento el que contiene todos los puntos que son las combinaciones que pueden tomar nuestras variables de decisión, sin embargo, todas ellas dan a nuestra función objetivo el valor constante de ocho. Sabemos que el lado derecho de una ecuación lineal determina la posición de la recta dentro del sistema cartesiano, sin afectar la pendiente de la misma. Se trata de que la función objetivo asuma el máximo

valor posible, entonces tomamos un valor mayor a ocho, digamos 10 y

graficamos dentro del sistema cartesiano, es decir, se grafica la ecuación 3x + x=10

Al darle un valor más grande a nuestra función objetivo, ésta se desplazó hacia la derecha, entonces debemos desplazarla en esta dirección sin

salirnos de la región factible. Esto lo podemos hacer con ayuda de unas

escuadras y unas hojas milimétricas, para poder identif icar el último punto que toca la función objetivo.

Así encontramos que la solución óptima del modelo de P. L. dado es x₁ = 4 y x₂ = 0 con el cual obtenemos un valor máximo de la función objetivo en Z = 12, ya que no existe ningún punto dentro de la región factible que haga que la función objetivo tome un valor mayor a 12.

Ejemplo 8

Recordemos que en la primera unidad se planteó el siguiente problema: La empresa Patito produce dos tipos de detergentes, uno para ropa blanca y otro para ropa de color. El detergente de ropa blanca deja una ganancia de $ 2 por litro vendido, mientras que el de ropa de color deja una ganancia de $ 3. La empresa sólo puede producir 10 litros del de color y 15 del de ropa blanca al día. Los vendedores pueden vender como máximo 15 litros de detergente al día sin importar de cual se trate. ¿Cuál es la combinación que maximiza las ganancias de la empresa?

El modelo de programación lineal asociado es:

Z_máx = 2x + 3y s.a.: x + y < 15 (1) x < 15 (2) y < 10 (3) x > 0 (4) y > 0 (5)

a) Graficamos cada una de las desigualdades sobre un mismo sistema cartesiano para hallar la zona factible.

b) Tomamos un punto arbitrario dentro de l a zona facti bl e y lo sustitui mos en l a f unción obj etivo, para hal l ar un val or y poder graf i carl a. Por ejemplo el punto (5, 5); por l o tanto,

Z_{(5, 5)}= 2(5) + 3(5) = 25, con lo que tenemos que graf icar la ecuación 2x + 3y=25

c) Damos un valor mayor (Z = 28) y graficamos, para ver hacia dónde se mueve la función objetivo.

4 2 y 15 10 20 –5 5 10 15 20 2 1 3 5 x

En general siempre que demos un valor mayor al lado derecho de una ecuación lineal de dos variables, esta se va a desplazar a la derecha sobre el eje horizontal. Si la línea es paralela a este eje, entonces se desplaza hacia arriba.

d) Desplazamos la función objetivo en la dirección de maximización, sin salirnos de la región factible. El último punto que toque es la solución óptima.

Esto quiere decir que debemos producir 5 litros del detergente para ropa blanca y 10 litros de detergente para ropa de color, con esta combinación la empresa va a tener una ganancia de $ 40.

Ejercicio 3

1. Un modelo de P. L. está formado por una función _________________ que se tiene que maximizar o minimizar.

2. El método gráf ico se utiliza para resolver problemas en __________ dimensiones.

3. El área donde coinciden todas las gráf icas de las desigualdades se llama:

a) Solución. b) Región factible. c) Región no factible.

4. Si la región factible es acotada, lo que obtenemos es un: a) Cuadrado.

b) Triángulo.

c) Polígono irregular.

5. Los candidatos a solución del problema son: a) Los puntos interiores.

b) Los puntos exteriores. c) Los vértices.

6. Obtener la región factible del siguiente modelo de programación lineal, además de la solución óptima con el valor de Z_máx:

Z_máx = 4x₁ + x₂ s.a.: 6x₁ + 2x₂ < 12 x₁ + 2x₂ > 1 x₂ < 3 x₁ > 0 x₂ > 0

4.3. Región de soluciones factibles

en minimización

En esta sección resolveremos problemas de P. L. por método gráfico, donde la función objetivo se va a minimizar. Como los pasos a seguir son esencialmente los mismos, vamos a desarrollar el método resolviendo el siguiente problema.

Ejemplo 9

Resolver el siguiente problema de P. L. Z_mín = 3x₁ + x₂ s.a.: 3 2 12 1 3 0 0 1 2 1 2 2 1 2 x x x x x x x

Su región factible ya la calculamos, por lo tanto sólo la dibujamos:

A hora debemos graf icar la función objetivo. La gráf ica queda entonces de la siguiente forma:

La diferencia es que ahora le damos un valor menor a la función objetivo y observamos hacia donde se desplaza. Por ejemplo, con el valor Z = 4 graficamos la línea recta 3x₁ + x₂=4

La recta se desplaza hacia la izquierda, por lo tanto debemos desplazar esta recta paralelamente hasta alcanzar el último punto de la región factible.

De esta manera, la solución óptima se encuentra en el vértice (0, 1), donde la función objetivo toma el valor Z_mín=1.

La única diferencia para resolver un problema de maximizar o de minimizar es la dirección en la que se debe desplazar la línea que representa la función objetivo.

Ejercicio 4

Obtener la región factible de los siguientes modelos de programación lineal, además de la solución óptima

1. Z_mín=4x₁ + x₂ s.a.: 6 2 12 2 1 3 1 2 1 2 2 x x x x x x x 1 2 0 0 2. Z_mín=x₁ + 4x₂ s.a.: 6 2 12 2 2 3 1 2 1 2 1 x x x x x x x 1 2 0 0

4.4. Solución gráfica con propiedades

especiales

Al igual que en los sistemas de ecuaciones lineales, existen tres casos posibles:

En las secciones anteriores estudiamos ejemplos que tenían solución única, sin embargo, existen aplicaciones en las cuales sucede alguno de los otros dos casos posibles. Para poder resolver estos problemas se tienen que hacer algunas modif icaciones al método, las cuales presentamos a continuación.

Cuando la región factible del modelo es no acotada, en ocasiones al desplazar la función objetivo, de tal manera que ésta se optimice, la recta no alcanza un último punto, en este caso decimos que el problema tienen una solución ilimitada.

Ejemplo 10

Resolver por método gráfico el siguiente problema de P. L.

Z x x x x x x m xá s.a.: 2 2 10 3 0 1 2 1 2 2 1 x₂ 0

a) Graf icamos cada una de las desigualdades para hallar la región factible.

máx

En este caso la región factible es no acotada, por lo tanto puede suceder que la solución del problema sea ilimitada.

b) Tomamos un punto arbitrario dentro de la región factible y lo sustituimos en la f unción objetivo, para hallar un valor y graficar. Por ejemplo el punto (20, 2). Z_{(20, 2)} = 2(20) – 2 = 38. Graf icamos entonces la ecuación 2x₁ – x₂ = 38

c) Si desplazamos esta recta hacia la derecha para que tome valores cada vez mayores, tenemos el inconveniente de que la región factible es no acotada. Esto quiere decir que el problema tiene soluciones ilimitadas y que la función puede crecer tanto como queramos.

Cuando las gráficas solución de las desigualdades no tienen regiones en común, no se obtiene región factible, esto es, no existe ningún punto del plano que pueda satisfacer al mismo tiempo a cada una de las desigualdades lineales del modelo de programación lineal. En este caso el modelo de P. L. no tiene solución.

Ejemplo 11

Hallar la solución del siguiente problema de P. L.

Z x x x x x x x m xá 2 2 10 15 0 0 1 2 1 2 1 1 2

Graficamos cada una de las desigualdades para hallar la región factible.

En color gris claro mostramos la región donde se traslapan la solución de la desigualdad x₁ + 2x₂ < 10 y las desigualdades de no negatividad. En color gris oscuro mostramos la región donde se traslapan las soluciones de la desigualdad x₁ > 15 con las desigualdades de no negatividad. En este caso la región solución de las desigualdades no coinciden, por lo tanto no existe región factible, lo que implica que el sistema no tiene solución. Otra posibilidad es que la pendiente de la recta que representa la función objetivo sea igual a la pendiente de alguna de las fronteras del vértice solución, en este caso todo el segmento de dicha frontera es solución del modelo por lo que se tiene una inf inidad de soluciones, las cuales nos dan el mismo valor de Z.

Z_máx

Ejemplo 12

Resolver el siguiente modelo de programación lineal.

Z x x x x x x m xá 8 2 4 10 3 0 1 2 1 2 1 1 x₂ 0 Aplicando el método gráf ico obtenemos:

Al desplazar la función objetivo a la derecha, esta se traslapa con la recta 4x₁ + x₂=15, por lo tanto todos los puntos entre los vértices (0, 15) y (3, 3) son soluciones óptimas del modelo, lo que implica que se tiene una

infinidad de soluciones. Z_máx

Ejercicio 5

1. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.

Z x x x x x x m xá s.a.: 5 2 3 6 12 4 2 8 1 2 1 2 1 2 x x x x 1 2 1 2 1 3 0 ,

2. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.

Z x x x x x x m ní s.a.: 10 8 3 6 12 2 2 14 1 2 1 2 1 2 x x x x x 2 1 2 1 2 5 2 2 8 0 ,

3. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.

Z x x x x x x m xá s.a.: 5 10 3 9 9 2 3 12 1 2 1 2 1 2 4 3 8 0 1 2 1 2 x x x x,

4. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal.

Z x x x x x x x m xá s.a.: 5 10 4 2 8 2 4 5 1 2 1 2 1 2 2 Z_máx Z_máx Z_máx Z_mín

5. Obtener la solución del siguiente modelo de programación lineal. Z x x x x x x x x m xá s.a.: 10 5 2 10 4 6 24 8 1 2 1 2 1 2 1 2 x x₁, ₂ 0

4.5. Análisis gráfico de sensibilidad

Una vez que obtuvimos la solución del modelo de programación lineal, debemos realizar un análisis de sensibilidad, debido a que los sistemas

con los que se trabaja en la realidad son dinámicos y no estáticos. Por

ejemplo, ¿cómo se afecta la solución si cambiamos los coef icientes de la función objetivo? o ¿qué pasa si se varían las cantidades limitantes en las desigualdades? Esto es importante, ya que si la empresa tiene capital para comprar una mayor cantidad de alguna de las materias primas, debemos decidir en cual nos conviene este aumento. El análisis de sensibilidad presentado en esta sección se basa en ideas gráficas, un análisis analítico lo vamos a llevar a cabo en la unidad 5.

Los coef icientes de la función objetivo representan la utilidad unitaria de cada uno de los productos, o bien el costo unitario. En ambos casos una variación en estos datos hacen que la función objetivo cambie. Para llevar a cabo el análisis de sensibilidad en este caso, revisemos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 13

Una empresa fabrica bocinas de 3” y 8” de diámetro. Las bocinas de 3” dejan una utilidad de $ 20, mientras que las de 8” de $ 30. La empresa puede fabricar como máximo 300 bocinas al día, por políticas del departamento de ventas se deben produci r al menos 100 bocinas de 3” y como máximo 150 bocinas de 8”. ¿Cuántas bocinas de cada tamaño se deben producir para maximizar la utilidad?

Las variables de decisión son:

x₁= número de bocinas de tres pulgadas que se deben fabricar.

x₂= número de bocinas de ocho pulgadas que se deben fabricar. El modelo de P. L. asociado a este problema es:

Z x x x x x m xá s.a.: 20 30 300 100 1 2 1 2 1 x x x 2 1 2 150 0 0

Los coeficientes de la función objetivo se obtienen de las ganancias que deja cada tipo de bocinas. Aplicando el método gráfico, obtenemos la siguiente región factible.

En el punto (150, 150) Z_máx tiene un valor de $ 7 500. La pregunta ahora es ¿qué pasa con la solución si la ganancia de la bocina de 3” aumenta a $ 25? Este cambio hace que la función objetivo cambie de coeficientes, sin embargo, no afecta ninguna de las desigualdades, por lo tanto la zona factible se mantiene igual y lo único que cambia es la inclinación de la recta que representa la función objetivo. Lo que nos interesa saber es si debemos seguir produciendo 150 bocinas de cada tipo, o si este cambio realizado afecta nuestra solución. Esto depende de qué tanto cambie la inclinación de la recta. Realicemos un análisis gráfico para determinar el rango en que se puede variar la inclinación de dicha recta sin cambiar el vértice solución.

L a ecuaci ón de l a recta asoci ada a Z_máx en el punto solución es: 20x₁ + 30x₂=7 500, con una pendi ente de m1

20 30

2 3.

Z_máx con la modificación del coef iciente asociado a la bocina de 3” es: 25x₁ + 30x₂=7 500, con una pendiente m2

25 30

5

6. Si graf icamos ambas rectas obtenemos lo siguiente:

La pendiente disminuyó, lo que hizo que la recta se desplazara hacia abajo, por lo que al desplazarla nuevamente hacia arriba llegamos al mismo punto óptimo, pero el valor de Z_máx ahora es $ 8 250.

El vértice no varió, porque el cambio de la pendiente se mantuvo entre las pendientes de las fronteras del vértice solución óptima, esto es, de las rectas x₁ + x₂=300 con pendiente m_a= – 1 y la recta x₂=150 con pendiente

m_b= 0. Por ejemplo, si la ganancia de las bocinas de 3” se incrementa a $ 35 entonces Z_máx toma la forma 35x₁ + 30x₂=9 750 (9 750 porque la evaluamos en el punto (150, 150)), cuya pendiente es m3

35 30

7

6 que se sale del intervalo [–1, 0]. Si graficamos esta recta obtenemos:

En la gráf ica se ve claramente que esta recta giro más allá de la frontera

x₁ + x₂=300, y que, además, podemos seguir moviéndola hacia la derecha sin salirnos de la región factible, y así llegar al vértice (300, 0) que es nuestra nueva solución, con un valor de Z = $ 10 500.

El punto que escogimos hizo que la pendiente fuera negativa, si cambiamos los coeficientes para que la pendiente sea mayor a cero, esto implicaría que una de las bocinas causará pérdidas en lugar de utilidades. Realicemos el análisis, porque en ocasiones esto sucede en la realidad, ya que el introducir un nuevo producto puede reportar pérdidas en lugar de ganancias. Por ejemplo, digamos que nuestras bocinas de 3” dejan una pérdida de $ 20. Con esto la función objetivo toma la forma – 20x₁ + 30x₂=4 200 con una pendiente m₄ 20

30 2

La recta giró más allá de la frontera x₂=150. En este caso para maximizar la función Z_máx debemos desplazar la recta hacia arriba, por lo que la solución pasa a ser el punto (100, 150) con una ganancia de $ 2 500.

Podemos decir entonces que la solución no va a cambiar de vértice, a menos que la pendiente se salga del intervalo [m_a, m_b] que son las pendientes de las fronteras que se intersectan en dicho vértice.

A hora supongamos que la empresa quiere producir 400 boci nas en lugar de las 300 que originalmente consideramos. ¿Cómo afecta esto la solución?

Ésta es la otra posibilidad, cambiar las cantidades limitantes de las desigualdades y mantener constantes los coef icientes de la función objetivo. Vamos a analizar el caso donde sólo varió una de las restricciones, posteriormente se pude generalizar este análisis.

El cambiar la cantidad límite de alguna de las desigualdades implica que la región factible también se modif ique, sin embargo, la función objetivo se mantiene sin cambios, lo importante ahora es determinar nuevamente cómo se afecta el punto óptimo. El cambiar el valor numérico de una ecuación de la forma x₁ + x₂=400 no afecta su pendiente, lo que hace es desplazarla sobre los ejes, moviendo su ordenada al origen. Esto ocasiona que la región factible se haga más grande o más pequeña. En el ejemplo la región factible toma la forma:

En este caso la región factible aumenta de tamaño, el vértice solución óptima se desplaza hacia la derecha, lo que hace que la f unción objetivo pueda tomar un valor mayor.

Lo que debemos cuidar al variar el lado derecho de las desigualdades es no variarlo de tal manera que resulte una región no factible.

Otra pregunta importante es: ¿En cual de las desigualdades me conviene

aumentar o disminuir su cantidad limitante?

Esta pregunta la vamos a contestar cuando realicemos el estudio del problema dual, por el momento sólo debemos tener presente que

pequeños incrementos en las cantidades limitantes de las desigualdades implican pequeños aumentos en la región factible, lo que se traduce en pequeños aumentos de la función objetivo Z_máx.

Ejercicio 6

1. Para tener una solución ilimitada, nuestra zona factible debe ser: a) Acotada.

b) No acotada. c) Cerrada.

d) Un polígono regular.

2. La pendiente de la f unción objetivo depende de: a) Las restricciones.

b) El valor de Z_máx. c) Las desigualdades. d) Los coeficientes de Z_máx. 3. Considera la siguiente gráf ica:

Si la pendiente de la función objetivo varía de – 0.5 a – 1.5, ¿qué pasa con la solución?

4. Si queremos aumentar el tamaño de la región factible, debemos variar:

a) Los coef icientes de la f unción objetivo. b) Cantidades limitantes de las restricciones. c) Los coeficientes de las restricciones. d) El valor de Z_máx.

5. El análisis de ____________________ se realiza para determinar cómo varía la solución ante cambios de los datos del problema.

Ejercicios propuestos

1. Obtener la gráf ica de la ecuación 4x₁ – 7x₂ = 28 2. Obtener la gráfica de la ecuación 2x₁ + 3x₂ = 5

3. Obtener la región factible de las siguientes desigualdades.

x x x x x x 1 2 1 2 1 2 10 2 6 0 0

4. Hallar la solución óptima del modelo de P. L. siguiente:

Z x x x x x x x m xá s.a.: 2 2 8 2 3 6 1 2 1 2 1 2 1 00 0 2 x

5. Indicar el intervalo en que puede variar la pendiente de la función objetivo del problema 4, sin que se cambie de punto vértice. Si el coeficiente de x₁ se mantiene fijo, dar el intervalo en el que puede variar el coeficiente de x₂.

6. Dar la solución del ejercicio 4 si la cantidad limitante de la primera restricción se incrementa hasta 16.

7. Una empresa fabrica dos tipos de radios, el económico que deja una ganancia de $ 24 por unidad y el de lujo, que deja una ganancia de $ 45. La empresa sólo puede fabricar 500 unidades en total. Por disposiciones of iciales debe fabricar por lo menos 40 radios del tipo económico, además, sólo puede vender 250 radios de lujo. ¿Cuál es la combinación óptima?

8. Obtener el punto óptimo del siguiente modelo de P. L. Z x x x x x x m xá s.a.: 2 6 6 4 24 3 1 2 1 2 1 2 33 0 1 2 x x, Z_máx

Autoevaluación

1. El método gráfico se utiliza para resolver modelos de P. L. en: a) Tres dimensiones.

b) Dos dimensiones. c) Cuatro dimensiones. d) n dimensiones.

2. La región del plano que contiene todos los puntos que satisfacen las restricciones del modelo de P. L. se llama:

a) Región factible. b) Semiplano. c) Región infactible. d) Región cerrada.

3. Si la región factible es acotada, entonces la solución del modelo es: a) Única.

b) Ilimitada. c) Finita. d) No acotada.

4. Si la solución óptima de un modelo de P. L. es f inita, entonces la encontramos en:

a) Una frontera.

b) La zona interior del polígono de soluciones.

c) En uno de los vértices del polígono de soluciones factibles. d) En el origen.

5. El primer paso del método gráf ico es: a) Graficar la función objetivo.

b) Dar un valor a la función objetivo.

c) Evaluar la función objetivo en un punto de la región factible. d) Localizar la región factible.

6. Si las desigualdades no coinciden en ningún punto: a) El modelo tiene una inf inidad de soluciones. b) El modelo no tiene solución.

c) El modelo tiene solución ilimitada.

d) El modelo tiene un número f inito de soluciones.

7. Si variamos las cantidades limitantes de las restricciones, entonces variamos:

a) La pendiente de las fronteras. b) La pendiente de la f unción objetivo.

c) La ordenada al origen de la función objetivo. d) La ordenada al origen de las restricciones.

8. Si la pendiente de la función objetivo es igual al de una de las fronteras del vértice solución óptima, entonces:

a) El modelo tiene una inf inidad de soluciones. b) El modelo no tiene solución.

c) El modelo tiene solución ilimitada.

d) El modelo tiene un número f inito de soluciones.

9. Al variar los coef icientes de la f unción objetivo, el vértice solución óptima:

a) Sigue siendo el mismo.

b) Cambia a alguno de los adyacentes. c) No se sabe.

d) Sigue siendo el mismo o bien cambia a alguno de los adyacentes. 10. Para graficar la función objetivo debemos tomar un punto: a) A rbitrario.

b) De la región factible. c) Negativo.

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. La tangente. 2. La distancia. 3. c) 4. b) 5. a) 6.

Ejercicio 2

1. b) 2. Igualdad. 3. b) 4. b) 5.

6.

Ejercicio 3

1. Objetivo. 2. Dos. 3. b) 4. c) 5. c) 6. Z_máx=8 (2, 0)

Ejercicio 4

1.

2. Z_máx=2 (2, 0)

Ejercicio 5

1. Solución (4, 0). 2. Solución (0, 5). 3. Infactible. 4. Ilimitado. 5. Soluciones alternativas (2, 6).

Ejercicio 6

1. b) 2. d)

3. Sigue siendo el mismo vértice. 4. b)

Respuestas a los ejercicios propuestos

1.

2.

4.

Solución en el punto 36 7

10 7

, con un valor para Z de 82 7

5. , 1 ,

2 2 3

La ecuación de la función objetivo es 2x₁ + x₂=82

7 . La pendiente está dada por m

r

2

. Lo que queremos es que 2 1 2

r . Para esta

desigualdad r puede variar en el intervalo [0, 4) y del otro lado lo que queremos es 2

3 2

r . Para esta desigualdad r puede variar en el

intervalo ( – 3, 0]. Por lo tanto el coeficiente de x₂ puede variar en el intervalo ( – 3, 4).

6. La solución se obtiene en el punto 60 7

26 7

, con un valor de la función objetivo Z_máx= 146 7 7. El modelo es: Z x x x x x m xá s.a.: 24 45 500 40 1 2 1 2 1 x x x 2 1 2 250 0 0 Z_máx

8. Su solución es (250, 250) con un valor de la función objetivo Z = 11 250

Respuestas a la autoevaluación

1. b) 2. a) 3. c) 4. c) 5. d) 6. b) 7. d) 8. a) 9. d) 10. b)