Ángulo de desfase en un circuito RC Fundamento

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Ángulo de desfase en un circuito RC

Fundamento

En un circuito de corriente alterna, están situados en serie una resistencia variable RV y un condensador. Debido a que las caídas de tensión en cada elemento no están en fase, la resistencia y la reactancia capacitiva XC del condensador se pueden representar por el diagrama de la Fig.1

.

En el diagrama Z es la impedancia total del circuito y  el ángulo de desfase entre la resistencia y la impedancia. De la observación de la figura se deduce.

C X tag R  Como XC 1 C

 . Resulta que se mantiene constante la reactancia capacitiva mientras no varíe la frecuencia.

Dado que en este circuito R=RV es variable, y la reactancia capacitiva XC constante para una cierta frecuencia, el ángulo depende del valor de RV. Por tanto:

CtagRV

1

Si en un circuito colocamos distintas RV y medimos los ángulos, podemos representar 1/RV frente a tag  y a partir de la pendiente de la recta obtenida calcular el producto C·. Si también conocemos la frecuencia de la corriente, podemos calcular la capacidad C del condensador, que es el objetivo que nos proponemos en este experimento.

En el experimento, fig.2, se monta un circuito de corriente alterna con RV variable y un condensador en serie.

Fig.1

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Los valores de RV son conocidos y el ángulo  se mide a partir de la figura de Lissajous que se obtiene con un osciloscopio de doble haz, mediante el siguiente método:

Supongamos que tenemos dos corrientes senoidales de la misma amplitud y frecuencia pero que entre ellas existe un ángulo de desfase . Las ecuaciones que las representan son

YA sen t; XAsen

 t

Escojamos un ejemplo particular en el que A = 2 y  = 10 en unidades del sistema S.I. Y2 sen10t ; X2sen 10t 0,40

Si hacemos en un mismo gráfico la representación de ambas funciones en función de la variable t obtenemos las siguientes gráficas:

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 X=A sen10t Y=Asen(10t+0,40) Y=Asen(10t+0,40)

Si representamos la función Y en el eje de ordenadas y la función X en el eje de abscisas se consigue la siguiente figura, denominada de Lissajous.

b1 b2 a1 a2 c1 c2 O Fig.3

c1 y c2 son los cortes de la elipse sobre el eje X, además b1b2 y a1a2 son rectas tangentes a la

elipse y paralelas al eje de las Y.

X Y

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A partir de esta elipse se puede calcular el ángulo de desfase aplicando la ecuación. 1 2 2 2 c c sen a b  

En el circuito, de la fig.2 una de las entradas del osciloscopio se conecta mediante una sonda a la resistencia y la otra sonda a la resistencia y al condensador, esto es, abarcando todo el circuito a la impedancia total Z. El osciloscopio, mediante una tecla de función, lleva ambas señales a unos ejes de coordenadas perpen-diculares y en pantalla aparece la composición de las dos señales perpendiculares, que es una elipse como se ve en la fig.4. La elipse real obtenida en la pantalla del osciloscopio, fig.4, tiene un cierto grosor y es como si hubiese dos curvas elípticas, una interior y otra exterior, fig.5.

b1 b2 a1 a2 c1

O

c2 B1 B2 A2 A1 C1 C2 Fig. 5 Fig.4

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La distancia c1c2 de la fig. 3, es en la realidad (según observamos en la fig.5) la media

aritmética de

1 2

1 2

m c

c c elipse int erior C C elipse exterior

c I

2

 

Ic es la incertidumbre en la medida y su valor es tal que restado del valor medio cm nos abarque el

valor c1c2 (interior) y sumado, nos abarque C1C2 (exterior).

Para medir las distancias c1c2, C1C2, a2b2, A2B2 se pueden utilizar dos métodos:

a) Sobre una fotocopia, por ejemplo de la fotografía de la fig.4 de la elipse obtenida en el osciloscopio, se miden las distancias indicadas anteriormente, teniendo en cuenta que la dimensión real de cada lado de un cuadrado de la cuadrícula que aparece en el osciloscopio es un centímetro.

b) Sobre la misma fotocopia se pueden medir con una regla las anteriores distancias que ahora se expresaran en cm de la fotocopia (ahora las distancias no son reales, ya que dependen del tamaño con que se haya hecho la fotocopia). Dado que lo que se pretende es calcular el seno de un ángulo, a partir del cociente entre dos distancias, el número resultante es adimensional, y, por tanto, da lo mismo hacerlo con medidas reales que con medidas en fotocopia. Aconsejamos este último método por ser más cómodo para apreciar las distancias.

Ejemplo de aplicación

c1c2 (interior) = 12,3 cm en fotocopia C1C2 (exterior) = 12,9 cm en fotocopia

    m 12,3 12,9 c 12,6 0,3 2

La distancia a2b2 es la media aritmética de

2 2 2 2

m c

a b elipse int erior A B elipse exterior

a I

2

 

a2b2 (interior) = 16,7 cm en fotocopia A2B2 (exterior) = 17,2 cm en fotocopia am 16,7 17,22 16,95 0,25 17,0 0,3  

Veamos cómo se calcula el seno y su incertidumbre sen  12,6 0,741 17,0

Error relativo del numerador 0,3 ·100 2,4 % 12,6

Error relativo del denominador 0,3 ·100 1,8 % 17,0

Error del sen = 2,4+1,8 = 4,2 %

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Ángulo menor al que corresponde el seno de valor 0,71, menor45,2º Ángulo mayor al que corresponde el seno de valor 0,77, mayorr50,4º Tangente del ángulo menor = 1,01 ; Tangente del ángulo mayor =1,21

Valor de la tangente con su incertidumbre 1,01 1,21 1,1 tag 1,1 0,1

2

Análisis del circuito

En nuestro experimento montamos un circuito serie como se indicó en la fig.2, siendo RV una resistencia variable. En la fig.6 puede verse una fotografía del circuito real.

Durante el experimento la frecuencia elegida en el dial del generador señala 10000 Hz y se va a mantener constante durante todo el experimento. La frecuencia anterior es preciso convertirla al valor real (véase la práctica, calibrado del generador de frecuencias).

En caso de no haberse realizado ese experimento se debe utilizar la siguiente ecuación de conversión.

real leida

f =0,9426 · f +1654

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En las siguientes fotografías solamente se ve la pantalla del osciloscopio con la correspondiente figura de Lissajous. También se ha impreso el correspondiente valor de la resistencia.

En cada una de las fotografías se ha de calcular la tangente del ángulo de desfase con su incertidumbre siguiendo el método expuesto en el fundamento.

Fotografías para toma de medidas

A partir de la fotografía 1, completa los datos siguientes:

c1c2 interior C1C2 exterior a2b2 interior A2B2 exterior m C cI amIm senI menor

mayor tag menor tagmayor

Tangente  con su incertidumbre tag  =

Resistencia 300 frecuencialeídaf  ; frecuencia corregida, f = Fotografía 1

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A partir de la fotografía 2, complete los datos siguientes: c1c2 interior C1C2 exterior a2b2 interior A2B2 exterior m C cI amIm senI menor

mayor tag menor tagmayor

Tangente  con su incertidumbre tag  =

Resistencia 400 frecuencialeídaf  ; frecuencia corregida, f = Fotografía 2

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A partir de la fotografía 3, complete los datos siguientes: c1c2 interior C1C2 exterior a2b2 interior A2B2 exterior m C cI amIm senImenor

mayor tag menor tagmayor

Tangente  con su incertidumbre tag  =

Resistencia 500 frecuencialeídaf  ; frecuencia corregida, f = Fotografía 3

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A partir de la fotografía 4 complete los datos siguientes: c1c2 interior C1C2 exterior a2b2 interior A2B2 exterior m C cI amIm senImenor

mayor tag menor tagmayor

Tangente  con su incertidumbre tag  =

Resistencia 600 frecuencialeídaf  ; frecuencia corregida, f = Fotografía 4

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A partir de la fotografía 5, complete los datos siguientes: c1c2 interior C1C2 exterior a2b2 interior A2B2 exterior m C cI amIm senI menor

mayor tag menor tagmayor

Tangente  con su incertidumbre tag  =

Resistencia 700 frecuencialeídaf  ; frecuencia corregida, f = Fotografía 5

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A partir de la fotografía 6, complete los datos siguientes: c1c2 interior C1C2 exterior a2b2 interior A2B2 exterior m C cI amIm senI menor

mayor tag menor tagmayor

Tangente  con su incertidumbre tag  =

Resistencia 800 frecuencialeídaf  ; frecuencia corregida, f =

Complete la tabla 1

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Tabla 1 Resistencia R/ Tangente menor Tangente mayor Tangente  con su incertidumbre 1/R en -1 300 400 500 600 700 800 Gráficas Opción 1)

Considere los valores de la tangente sin incertidumbre y represente en el eje de las Y los valores de las tangentes, y en el de las X, los inversos de las resistencias Halle la ecuación de la recta y determine el valor de la capacidad del condensador considerando que la frecuencia ha permanecido constante.

Opción 2)

Represente en un mismo gráfico: a) La tangente del ángulo menor (eje Y) frente al inverso de la resistencia (eje X). b) La tangente del ángulo mayor (eje Y) frente al inverso de la resistencia (eje X).

Obtenga las ecuaciones de las rectas y calcule la capacidad del condensador con su incertidumbre.

Figure

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