Valoración de opciones sobre el círculo unitario. La transformada rápida de Fourier y el modelo binomial

(1)

Valoración de opciones sobre el

círculo unitario. La transformada

rápida de Fourier y el modelo

binomial

John Freddy moreno trujillo*

[email protected]

*_{Docente investigador de la Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales de la} Universidad Externado de Colombia. Matemático de la Universidad Nacional de Colombia, ma-gíster en matemática aplicada de la Univer sidad Nacional de Colombia, Phd(c) en Economía de la Universidad del Rosario.

Fecha de recepción: 3 de septiembre de 2012 Fecha de aceptación: 3 de julio de 2013 Forma de citar:

Moreno, J. (2013). Valoración de opciones sobre el círculo unitario. La transformada rápida de Fourier y el modelo binomial. oDEon, 7, 27-43.

(2)

(3)

O D E O N N º 7

29

pp. 27-44 • N.º 7 / 2012-2013

1. Introducción

La transformada rápida de Fourier se ha desarrollado en la literatura como una

importante herramienta para la valoración de activos contingentes en tiempo real,

mientras mantiene en consideración características del subyacente al activo

con-tingente como el exceso de curtosis, volatilidad estocástica y efectos de

apalanca-miento, como se evidencia en los trabajos de Heston (1993), Carr y Madan (1999),

Carr y Wu (2004), entre otros. Además, provee de resultados con alta abstracción

lo que hace que sean de fácil aplicación en el mundo real.

El objetivo central de este artículo es explicar cómo funciona la transformada

discreta de Fourier y su implementación rápida en el modelo binomial de valoración

de opciones, con el ﬁn no solo de motivar su implementación en los procesos de

valoración, sino de arrojar luces acerca de su implementación en tiempo continuo.

Este trabajo está basado en el artículo de Alěs Cerny´ titulado Introduction to Fast

Fourier Transform in Finance publicado en el Journal of Derivatives, así como

en los trabajos de Peter Carr (1999-2004).

2. La transformada discreta de Fourier

Para poder entender cómo el precio de opciones en el modelo binomial puede ser

calculado mediante el uso de la transformada discreta de Fourier, iniciamos con

una corta descripción de los números complejos y sus propiedades geométricas

asociadas al círculo unitario, para luego deﬁnir la transformada discreta de Fourier

(

tdf

) a partir de estas.

Posteriormente se mostrará cómo esta transformada está relacionada con el

modelo de va loración binomial, para lo cual se asume que el lector está

familiari-zado con el concepto de valoración riesgo neutral.

2.1. Introducción a los números complejos

En términos coloquiales podemos decir que la transformada de Fourier trata

acerca de puntos uniformemente distribuidos sobre un círculo, los cuales desde un

punto de vista matemático pueden ser descritos más fácilmente mediante el uso de

números complejos y sus propiedades geométricas.

(4)

30

pp. 27-44 • N.º 7 / 2012-2013

En general, los números complejos son de la forma α+iβ, donde α y β son

nú-meros reales e i es la unidad imaginaria i = √—1. Estos núnú-meros pueden ser

conve-nientemente representados en el plano complejo como se muestra en la Figura (1).

Como se puede intuir de esta representación, el álgebra de números complejos está

relacionada con las operaciones entre vectores de forma que: (α + iβ) + (γ + iθ) =

(α + γ) + i(β + θ) y si k es un escalar, entonces k(α + iβ) = (kα + ikβ).

Para dar mayor sentido a la multiplicación de complejos notemos primero que

los podemos utilizar para describir movimientos alrededor del círculo unitario en

el plano complejo, ya que un punto P sobre dicho círculo queda caracterizado por

su argumento

ϕ

(el angulo en posición normal que va desde el eje real hasta el

segmento que une al origen con el punto P), como lo muestra la Figura 2.

Tenemos entonces que la multiplicación de números complejos es equivalente a

adicionar argumentos (ángulos), ya que esta operación se deﬁne como:

z

1

z

2

= (α

1

+ iβ

1

)(α

2

+ iβ

2

) = (α

1

α

2

− β

1

β

2

) + i(β

1

α

2

+ α

1

β

2

) (1)

y si denotamos el argumento de z

1

por

ϕ

1

y el de z

2

por

ϕ

2

, entonces:

α

iβ α+iβ

Como se puede intuir de esta representación, el álgebra de números complejos está relacionada con las operaciones entre vectores de forma que: (α+iβ) + (γ+iθ) = (α+γ) +i(β+θ) y sikes un escalar, entoncesk(α+iβ) = (kα+ikβ).

Para dar mayor sentido a la multiplicación de complejos notemos primero que los podemos utilizar para describir movimientos alrededor del c´ırculo unitario en el plano complejo, ya que un punto P sobre dicho c´ırculo queda caracterizado por su argumentoϕ(el ángulo en posición normal que va desde el eje real hasta el segmento que une al origen con el punto

P), como lo muestra la Figura 2.

0 1 −1 i −i P =cos(ϕ) +isen(ϕ) ϕ

Tenemos entonces que la multiplicación de números complejos es equivalente a adicionar argumentos (ángulos), ya que esta operación se define como:

z1z2= (α1+iβ1)(α2+iβ2) = (α1α2−β1β2) +i(β1α2+α1β2) (1) y si denotamos el argumento dez1 porϕ1y el de z2porϕ2, entonces:

z1z2= (cos(ϕ1) +isen(ϕ1))(cos(ϕ2) +isen(ϕ2)) = (cos(ϕ1+ϕ2) +isen(ϕ1+ϕ2)) (2)

Lo anterior puede ser expresado de forma m´as elegante y compacta mediante el uso de la f´ormula de Euler:

3

α

iβ α+iβ

Como se puede intuir de esta representación, el álgebra de números complejos está relacionada con las operaciones entre vectores de forma que: (α+iβ) + (γ+iθ) = (α+γ) +i(β+θ) y sikes un escalar, entoncesk(α+iβ) = (kα+ikβ).

Para dar mayor sentido a la multiplicación de complejos notemos primero que los podemos utilizar para describir movimientos alrededor del c´ırculo unitario en el plano complejo, ya que un punto P sobre dicho c´ırculo queda caracterizado por su argumentoϕ(el ángulo en posición normal que va desde el eje real hasta el segmento que une al origen con el punto

P), como lo muestra la Figura 2.

0 1 −1 i −i P =cos(ϕ) +isen(ϕ) ϕ

Tenemos entonces que la multiplicación de números complejos es equivalente a adicionar argumentos (ángulos), ya que esta operación se define como:

z1z2= (α1+iβ1)(α2+iβ2) = (α1α2−β1β2) +i(β1α2+α1β2) (1) y si denotamos el argumento de z1 porϕ1y el dez2porϕ2, entonces:

z1z2= (cos(ϕ1) +isen(ϕ1))(cos(ϕ2) +isen(ϕ2)) = (cos(ϕ1+ϕ2) +isen(ϕ1+ϕ2)) (2)

Lo anterior puede ser expresado de forma m´as elegante y compacta mediante el uso de la f´ormula de Euler:

(5)

O D E O N N º 7

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z

1

z

2

= (cos(

ϕ

1

) + isen(

ϕ

1

))(cos(

ϕ

2

) + isen(

ϕ

2

)) = (cos(

ϕ

1

+

ϕ

2

) + isen(

ϕ

1

+

ϕ

2

)) (2)

Lo anterior puede ser expresado de forma más elegante y compacta mediante el

uso de la fórmula de Euler:

e

iϕ

= cos(

_ϕ

)+ isen(

_ϕ

)

(3)

de donde,

z

1

z

2

= e

iϕ1

e

iϕ2

= e

i(ϕ1 + ϕ2)

(4)

Con lo descrito hasta el momento resulta sencillo construir un conjunto de puntos,

igualmente espaciados sobre el círculo unitario. Supongamos, por ejemplo, que

deseamos ubicar n puntos igualmente espaciados sobre el círculo unitario, como

un n-ésimo del círculo unitario es descrito por podemos ubicar el primer punto

en

, lo que en general denotaremos por z

n

.

Como lo vimos antes, la multiplicación por z

n

causa una rotación en sentido

anti-horario por un n-ésimo de círculo completo, colocando el segundo punto en

(z

n

)

2

, el tercero en (z

n

)

3

y así, tenemos los n puntos igualmente espaciados. Es

im-portante notar que al estar moviéndonos sobre un círculo retornaremos al punto

inicial después de n rotaciones en sentido antihorario, es decir:

De lo anterior es posible concluir que:

eiϕ =cos(ϕ) +isen(ϕ) (3)

de donde, z1z2=eiϕ1eiϕ2 =ei(ϕ1+ϕ2) (4) 0 1 −1 i −i eiϕ1 eiϕ2 ei(ϕ1+ϕ2) ϕ1 ϕ2 ϕ1+ϕ2

Con lo descrito hasta el momento resulta sencillo construir un conjunto de puntos, igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario. Supongamos, por ejemplo, que deseamos ubicarnpuntos igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario, como un n-´esimo del c´ırculo unitario es descrito por 2_nπ podemos ubicar el primer punto enei2π

n, lo que en general denotaremos por zn.

Como lo vimos antes, la multiplicaci´on porzn causa una rotaci´on en sentido anti-horario por

un n-´esimo de c´ırculo completo, colocando el segundo punto en (zn)2, el tercero en (zn)3y as´ı,

tenemos losnpuntos igualmente espaciados. Es importante notar que al estar movi´endonos sobre un c´ırculo retornaremos al punto inicial despu´es denrotaciones en sentido antihorario, es decir:

(zn)0= (zn)n= (zn)2n= (zn)3n =· · ·

(zn)1= (zn)n+1 = (zn)2n+1 = (zn)3n+1 =· · ·

De forma an´aloga si la rotaci´on es en sentido horario:

(zn)0= (zn)−n = (zn)−2n = (zn)−3n =· · ·

(zn)1= (zn)−n+1= (zn)−2n+1 = (zn)−3n+1=· · ·

De lo anterior es posible concluir que:

4

eiϕ=cos(ϕ) +isen(ϕ) (3)

Con lo descrito hasta el momento resulta sencillo construir un conjunto de puntos, igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario. Supongamos, por ejemplo, que deseamos ubicarnpuntos igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario, como un n-´esimo del c´ırculo unitario es descrito por 2π

n podemos ubicar el primer punto enei

2π

Como lo vimos antes, la multiplicaci´on porzncausa una rotaci´on en sentido anti-horario por

(zn)0= (zn)n= (zn)2n= (zn)3n=· · ·

(zn)1= (zn)n+1= (zn)2n+1= (zn)3n+1=· · ·

(zn)0= (zn)−n= (zn)−2n= (zn)−3n=· · ·

(zn)1= (zn)−n+1= (zn)−2n+1= (zn)−3n+1=· · ·

4

Con lo descrito hasta el momento resulta sencillo construir un conjunto de puntos, igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario. Supongamos, por ejemplo, que deseamos ubicarnpuntos igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario, como un n-´esimo del c´ırculo unitario es descrito por 2_nπ podemos ubicar el primer punto enei2π

tenemos los npuntos igualmente espaciados. Es importante notar que al estar movi´endonos sobre un c´ırculo retornaremos al punto inicial despu´es denrotaciones en sentido antihorario, es decir:

(zn)0= (zn)n= (zn)2n= (zn)3n=· · ·

(zn)1= (zn)n+1= (zn)2n+1= (zn)3n+1=· · ·

(zn)0 = (zn)−n= (zn)−2n= (zn)−3n=· · ·

(zn)1 = (zn)−n+1= (zn)−2n+1= (zn)−3n+1=· · ·

4 e

iϕ

=

cos

(

ϕ

) +

isen

(

ϕ

)

(3)

de donde,

z

1

z

2

=

e

iϕ1

e

iϕ2

=

e

i(ϕ1+ϕ2)

(4)

0

1 −

1 i

−

i

e

iϕ1

e

iϕ2

e

i(ϕ1+ϕ2)

ϕ

1

ϕ

2

ϕ

1

+

ϕ

2

Con lo descrito hasta el momento resulta sencillo construir un conjunto de puntos, igualmente

espaciados sobre el c´ırculo unitario. Supongamos, por ejemplo, que deseamos ubicar

n

puntos

igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario, como un n-´esimo del c´ırculo unitario es

descrito por

2π

n

podemos ubicar el primer punto en

e

i2π

n

, lo que en general denotaremos por

z

n.

Como lo vimos antes, la multiplicaci´

on por

z

n

causa una rotaci´

on en sentido anti-horario por

un n-´esimo de c´ırculo completo, colocando el segundo punto en (

z

n)2

_{, el tercero en (}

_z

_n)3

_{y as´ı,}

tenemos los

n

puntos igualmente espaciados. Es importante notar que al estar movi´endonos

sobre un c´ırculo retornaremos al punto inicial despu´es de

n

rotaciones en sentido antihorario,

es decir:

(

z

n)0

= (

z

n)n

= (

z

n)2n

= (

z

n)3n

=

_{· · ·}

(

z

n

)

1

= (

z

n

)

n+1

= (

z

n

)

2n+1

= (

z

n

)

3n+1

=

· · ·

De forma an´

aloga si la rotaci´

on es en sentido horario:

(

z

n)0

= (

z

n)−n

= (

z

n)−2n

= (

z

n)−3n

=

· · ·

(

z

n)1

= (

z

n)−n+1

= (

z

n)−2n+1

= (

z

n)−3n+1

=

_{· · ·}

De lo anterior es posible concluir que:

(6)

32

pp. 27-44 • N.º 7 / 2012-2013

1. Si z

n

es una rotación por un n-ésimo del círculo completo, es decir:

1. Sizn es una rotaci´on por un n-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

zn=ei 2π

n (5)

entonces,

(zn)n+ (zn)1+· · ·+ (zn)n−1= 0 (6) para cualquiern. Esto porque los puntos (zn)i; i= 0,1, ..., n−1 están igualmente dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos el conjunto de puntos unn-ésimo del c´ırculo completo, y el único vector que permanece inalterado después de tal rotación es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo an-terior considere los puntosz4=ei

2π

4 , de forma que los valores (z₄)0,(z₄)1,(z₄)2,(z₄)3,

corresponden a los valores 1, i,₋1,₋ien el plano imaginario respectivamente. Claramente

(z4)0+ (z4)1+ (z4)2+ (z4)3= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valoresz6=ei

2π 6

recordando quesen(π/3) = √3

2 y quecos(π/3) = 1 2.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier enterok entre 1 yn₋1, de forma que:

(znk)0+ (znk)1+· · ·+ (znk)n−1= 0 (7) para cualquiern. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia de (6) en que cada puntozn ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´on (7) que si k = 0 entonces (z0

n)n = 1 para todo n, de donde por simetr´ıa rotacional:

(zkn)0+ (znk)1+· · ·+ (zkn)n−1=n parak= 0,±n,±2n,±3n,· · · (8) mientras que,

(zk

n)0+ (znk)1+· · ·+ (znk)n−1= 0 parak= 0,±n,±2n,±3n,· · · (9) Al considerar una sucesi´on de n n´umeros a := _{a0, a1,· · ·, an−1}, definimos a en orden reverso como:

rev(a) =_{a0, an−1,· · · , a1}

Esta definici´on corresponde a colocar los valores de a sobre un c´ırculo en sentido horario, mientras que los valores deaestar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 entonces,

para cualquier n. Esto porque los puntos (z

n

)

i

; i = 0, 1, ..., n − 1 están igualmente

dis tribuidos sobre el círculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar

si rotamos el conjunto de puntos un n-ésimo del círculo completo, y el único

vec-tor que permanece inalterado después de tal rotación es el vecvec-tor cero. Como un

ejemplo sencillo de lo anterior considere los puntos

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z4

=

e

i2π

4

, de forma que los valores (

z4

)

0

,

(

z4

)

1

,

(

z4

)

2

,

(

z4

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

−

1 ,

−

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z4

)

0

+ (

z4

)

1

+ (

z4

)

2

+ (

z4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z

6

=

e

i

2π

6

recordando que

sen

(

π/

3) =

√₂3

y que

cos

(

π/

3) =

1₂

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

−

1, de forma

que:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

0

n

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

±

n,

±

2 n,

±

3 n,

· · ·

(8)

mientras que,

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

_{

a

0

, a

1

,

· · ·

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

{

a0, a

n−1,

· · ·

, a1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 , de forma que los

valores

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z4

=

e

i24π

, de forma que los valores (

z4

)

0

,

(

z4

)

1

,

(

z4

)

2

,

(

z4

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

₋

1 ,

₋

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z4

)

0

+ (

z4

)

1

+ (

z4

)

2

+ (

z4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z6

=

e

i2π

6

recordando que

sen

(

π/

3) =

√₂3

y que

cos

(

π/

3) =

1₂

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

₋

1, de forma

que:

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

_n0

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(8)

mientras que,

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

±

n,

±

2 n,

±

3 n,

· · ·

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

{

a0, a1,

· · ·

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

_{

a

0

, a

n−1

,

· · ·

, a

1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 , corresponden a los valores 1, i, −1, −i en el plano

imaginario respectivamente.

Claramente

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z

4

=

e

i

2π

4

, de forma que los valores (

z

₄

)

0

,

(

z

₄

)

1

,

(

z

₄

)

2

,

(

z

₄

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

−

1 ,

−

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z

4

)

0

+ (

z

4

)

1

+ (

z

4

)

2

+ (

z

4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z6

=

e

i26π

recordando que

sen

(

π/

3) =

√₂3

y que

cos

(

π/

3) =

1₂

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

−

1, de forma

que:

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

0

n

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(8)

mientras que,

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

±

n,

±

2 n,

±

3 n,

· · ·

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

{

a0, a1,

· · ·

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

{

a0, a

n−1,

· · ·

, a1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 para este caso. Se propone al lector que lo veriﬁque de nuevo para los valores

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z4

=

e

i2π

4

, de forma que los valores (

z4

)

0

,

(

z4

)

1

,

(

z4

)

2

,

(

z4

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

₋

1 ,

₋

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z4

)

0

+ (

z4

)

1

+ (

z4

)

2

+ (

z4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z

6

=

e

i

2π

6

recordando que

sen

(

π/

3) =

√₂3

y que

cos

(

π/

3) =

1₂

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

₋

1, de forma

que:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

k_n

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

0

n

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

±

n,

±

2 n,

±

3 n,

· · ·

(8)

mientras que,

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

_{

a0, a1,

_{· · ·}

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

_{

a

0

, a

n−1

,

· · ·

, a

1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 recordando que

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z

4

=

e

i

2π

4

, de forma que los valores (

z

₄

)

0

,

(

z

₄

)

1

,

(

z

₄

)

2

,

(

z

₄

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

−

1 ,

−

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z

4

)

0

+ (

z

4

)

1

+ (

z

4

)

2

+ (

z

4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z6

=

e

i26π

recordando que

sen

(

π/

3) =

√3

2

y que

cos

(

π/

3) =

12

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

−

1, de forma

que:

(

z

k_n

)

0

+ (

z

k_n

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

0

n

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(8)

mientras que,

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

_{

a

0

, a

1

,

· · ·

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

{

a0, a

n−1,

· · ·

, a1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 y que

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z

4

=

e

i

2π

4

, de forma que los valores (

z

₄

)

0

,

(

z

₄

)

1

,

(

z

₄

)

2

,

(

z

₄

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

−

1 ,

−

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z

4

)

0

+ (

z

4

)

1

+ (

z

4

)

2

+ (

z

4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z6

=

e

i26π

recordando que

sen

(

π/

3) =

√3

2

y que

cos

(

π/

3) =

12

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

−

1, de forma

que:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

0

n

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(8)

mientras que,

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

_{

a

0

, a

1

,

· · ·

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

{

a0, a

n−1,

· · ·

, a1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 .

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero k entre 1 y n − 1,

de forma que:

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z

4

=

e

i

2π

4

, de forma que los valores (

z

₄

)

0

,

(

z

₄

)

1

,

(

z

₄

)

2

,

(

z

₄

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

−

1 ,

−

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z

4

)

0

+ (

z

4

)

1

+ (

z

4

)

2

+ (

z

4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z6

=

e

i26π

recordando que

sen

(

π/

3) =

√₂3

y que

cos

(

π/

3) =

1₂

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

−

1, de forma

que:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

0

n

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(8)

mientras que,

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

{

a0, a1,

· · ·

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

{

a0, a

n−1,

· · ·

, a1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z

4

=

e

i

2π

4

, de forma que los valores (

z

₄

)

0

,

(

z

₄

)

1

,

(

z

₄

)

2

,

(

z

₄

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

−

1 ,

−

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z

4

)

0

+ (

z

4

)

1

+ (

z

4

)

2

+ (

z

4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z6

=

e

i26π

recordando que

sen

(

π/

3) =

√₂3

y que

cos

(

π/

3) =

1₂

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

−

1, de forma

que:

(

z

k_n

)

0

+ (

z

k_n

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

0

n

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(8)

mientras que,

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

{

a0, a1,

· · ·

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

{

a0, a

n−1,

· · ·

, a1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

5 para cualquier n. Este resultado se tiene de nuevo por simetría rotacional y se

di-ferencia de (6) en que cada punto z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuación (7) que si k = 0 entonces

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z4

=

e

i2π

4

, de forma que los valores (

z4

)

0

,

(

z4

)

1

,

(

z4

)

2

,

(

z4

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

₋

1 ,

₋

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z4

)

0

+ (

z4

)

1

+ (

z4

)

2

+ (

z4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z

6

=

e

i

2π

6

recordando que

sen

(

π/

3) =

√₂3

y que

cos

(

π/

3) =

1₂

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

₋

1, de forma

que:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

k_n

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

0

n

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

k_n

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

±

n,

±

2 n,

±

3 n,

· · ·

(8)

mientras que,

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

_±

n,

_±

2 n,

_±

3 n,

_{· · ·}

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

_{

a0, a1,

_{· · ·}

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

_{

a

0

, a

n−1

,

· · ·

, a

1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

para

todo n, de donde por simetría rotacional:

1. Si

z

n

es una rotaci´

on por un

n

-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

z

n

=

e

i

2π

n

(5)

entonces,

(

z

n

)

n

+ (

z

n

)

1

+

· · ·

+ (

z

n

)

n−1

= 0

(6)

para cualquier

n

. Esto porque los puntos (

z

n

)

i

;

i

= 0

,

1 , ..., n

−

1 est´

an igualmente

dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos

el conjunto de puntos un

n

-´esimo del c´ırculo completo, y el ´

unico vector que permanece

inalterado despu´es de tal rotaci´

on es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo

an-terior considere los puntos

z4

=

e

i24π

, de forma que los valores (

z4

)

0

,

(

z4

)

1

,

(

z4

)

2

,

(

z4

)

3

,

corresponden a los valores 1

, i,

₋

1 ,

₋

i

en el plano imaginario respectivamente.

Claramente

(

z4

)

0

+ (

z4

)

1

+ (

z4

)

2

+ (

z4

)

3

= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valores

z

6

=

e

i

2π

6

recordando que

sen

(

π/

3) =

√₂3

y que

cos

(

π/

3) =

1₂

.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier entero

k

entre 1 y

n

₋

1, de forma

que:

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

_{· · ·}

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

(7)

para cualquier

n

. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia

de (6) en que cada punto

z

n

ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´

on (7) que si

k

= 0 entonces (

z

_n0

)

n

= 1 para todo

n

, de

donde por simetr´ıa rotacional:

(

z

k_n

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

=

n

para

k

= 0

,

±

n,

±

2 n,

±

3 n,

· · ·

(8)

mientras que,

(

z

_nk

)

0

+ (

z

_nk

)

1

+

· · ·

+ (

z

_nk

)

n−1

= 0

para

k

= 0

,

±

n,

±

2 n,

±

3 n,

· · ·

(9)

Al considerar una sucesi´

on de

n

n´

umeros

a

:=

_{

a0, a1,

_{· · ·}

, a

n−1

}

, definimos

a

en orden

reverso como:

rev

(

a

) =

_{

a

0

, a

n−1

,

· · ·

, a

1

}

Esta definici´

on corresponde a colocar los valores de

a

sobre un c´ırculo en sentido horario,

mientras que los valores de

a

estar´ıan colocados en sentidos antihorario.

de donde, z1z2=eiϕ1eiϕ2=ei(ϕ1+ϕ2) (4) 0 1 −1 i −i eiϕ1 eiϕ2 ei(ϕ1+ϕ2) ϕ1 ϕ2 ϕ1+ϕ2

Con lo descrito hasta el momento resulta sencillo construir un conjunto de puntos, igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario. Supongamos, por ejemplo, que deseamos ubicarnpuntos igualmente espaciados sobre el c´ırculo unitario, como un n-´esimo del c´ırculo unitario es descrito por 2π

n podemos ubicar el primer punto enei

2π

(zn)0= (zn)n= (zn)2n= (zn)3n=· · ·

(zn)1= (zn)n+1= (zn)2n+1= (zn)3n+1=· · ·

(zn)0= (zn)−n= (zn)−2n= (zn)−3n=· · ·

(zn)1= (zn)−n+1= (zn)−2n+1= (zn)−3n+1=· · ·

4

1. Sizn es una rotaci´on por unn-´esimo del c´ırculo completo, es decir:

zn=ei 2π

n (5)

entonces,

(zn)n+ (zn)1+· · ·+ (zn)n−1= 0 (6) para cualquiern. Esto porque los puntos (zn)i; i= 0,1, ..., n−1 están igualmente dis-tribuidos sobre el c´ırculo unitario y el resultado de sumarlos no debe cambiar si rotamos el conjunto de puntos unn-ésimo del c´ırculo completo, y el único vector que permanece inalterado después de tal rotación es el vector cero. Como un ejemplo sencillo de lo an-terior considere los puntos z4=ei

2π

4 , de forma que los valores (z₄)0,(z₄)1,(z₄)2,(z₄)3,

corresponden a los valores 1, i,−1,−ien el plano imaginario respectivamente. Claramente

(z4)0+ (z4)1+ (z4)2+ (z4)3= 0

para este caso. Se propone al lector que lo verifique de nuevo para los valoresz6=ei

2π 6

recordando que sen(π/3) = √₂3 y quecos(π/3) = 1₂.

2. Lo anterior puede ser generalizado para cualquier enterok entre 1 yn₋1, de forma que:

(znk)0+ (znk)1+· · ·+ (znk)n−1= 0 (7) para cualquiern. Este resultado se tiene de nuevo por simetr´ıa rotacional y se diferencia de (6) en que cada punto zn ocurre varias veces.

3. Observemos sobre la ecuaci´on (7) que si k = 0 entonces (z0

n)n = 1 para todo n, de donde por simetr´ıa rotacional:

(znk)0+ (znk)1+· · ·+ (znk)n−1=n parak= 0,±n,±2n,±3n,· · · (8) mientras que,

(znk)0+ (znk)1+· · ·+ (znk)n−1= 0 parak= 0,±n,±2n,±3n,· · · (9) Al considerar una sucesi´on de n n´umeros a := {a0, a1,· · ·, an−1}, definimos a en orden reverso como:

rev(a) ={a0, an−1,· · · , a1}

Esta definici´on corresponde a colocar los valores de a sobre un c´ırculo en sentido horario, mientras que los valores deaestar´ıan colocados en sentidos antihorario.