Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 8: Medidas de Posición para Datos Agrupados por Valor Simple

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Curso de Estadística

Unidad de Medidas Descriptivas

Lección 8:

Medidas de Posición para Datos

Agrupados por Valor Simple

Creado por: Dra. Noemí L. Ruiz Limardo,

EdD

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Objetivos

1. Calcular las medidas de posición (cuartiles y percentiles) para

datos agrupados por valor simple.

2. Realizar análisis estadístico relacionado con medidas de

posición para agrupados por valor simple.

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Introducción

Las medidas de posición permiten conocer otras características de una muestra, además de la tendencia central y la variación del grupo. Son medidas que establecen la posición o localización exacta de un valor específico de un conjunto de datos. Se utilizan para comparar la posición que ocupa un valor específico en relación a los demás valores del grupo. Estas medidas son una serie de valores que dividen en partes iguales la muestra ordenada. Algunas de las medidas de posición son: cuartiles y percentiles. En la lección anterior se estudiaron estas medidas de posición para datos crudos. En esta lección se estudiará cómo se calculan estas medidas para datos agrupados por valor simple.

A. CUARTILES

Según se estudió en la lección anterior, los cuartiles son 3 valores que dividen la muestra ordenada en 4 partes iguales. Estos valores son: Q1 (primer cuartil),

Q2 (segundo cuartil), y Q3 (tercer cuartil). El primer cuartil (Q1) es el punto tal que

25% de los datos se hallan por debajo de él, y 75% de los datos se hallan por encima de él. El segundo cuartil (Q2) es el punto tal que 50% de los datos se

hallan por debajo de él, y 50% de los datos se hallan por encima de él. El segundo cuartil equivale a la mediana. El tercer cuartil (Q3) es el punto tal que

75% de los datos se hallan por debajo de él, y 25% de los datos se hallan por encima de él.

Para calcular los cuartiles cuando los datos están agrupados por valor simple es necesario utilizar el concepto de Frecuencia Acumulada. Este concepto se estudió previamente en la Lección – 11. A continuación se demostrará con un ejemplo, cómo se calculan los cuartiles cuando los datos están agrupados por valor simple.

Dato Menor

Dato Mayor

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Ejemplo - 1

La maestra de un grupo de estudiantes atletas que se iba a graduar de la escuela superior, recopiló la información que aparece en la Tabla 1 sobre la estatura de los estudiantes. Para solicitar el largo de la toga se requería indicar la estatura en pulgadas. Determine los tres cuartiles de esta muestra.

Tabla 1: Estatura en Pulgadas ESTATURA FRECUENCIAS 58 1 61 4 65 4 68 2 69 1 70 2 72 3 75 3 76 4 77 3 78 3 TOTAL 30

El primer paso para calcular los cuartiles de datos agrupados por valor simple es determinar las frecuencias acumuladas. La tabla a continuación muestra las frecuencias acumuladas de este grupo.

Tabla 2: Estatura en Pulgadas

ESTATURA FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS 58 1 1 61 4 5 65 4 9 68 2 11 69 1 12 70 2 14 72 3 17 75 3 20 76 4 24 77 3 27 78 3 30 TOTAL 30

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El segundo paso para calcular los cuartiles es determinar la posición donde están localizados los cuartiles. Para determinar la posición de los cuartiles se multiplica el total de datos de la muestra (n) por el decimal que corresponde al por ciento indicado por el cuartil. El resultado obtenido se redondea al entero más cercano.

Posición de Q1 = (0.25) n

Posición de Q2 = (0.50) n

Posición de Q3 = (0.75) n

En este ejemplo n = 30. La posición de cada cuartil es: Posición de Q1 = (0.25) (30) = 7.5 Se redondea a 8.

Posición de Q2 = (0.50) (30) = 15

Posición de Q3 = (0.75) (30) = 22.5 Se redondea a 23.

Esto significa que la posición de Q1 está localizada en el dato acumulado

número 8. La posición de Q2 está localizada en el dato acumulado número 15.

La posición de Q3 está localizada en el dato acumulado número 23.

El último paso es localizar estos datos en la columna de frecuencias acumuladas:

Tabla 2: Estatura en Pulgadas

ESTATURA FRECUENCIAS FRECUENCIAS

ACUMULADAS 58 1 1 61 4 5 65 4 9 68 2 11 69 1 12 70 2 14 72 3 17 75 3 20 76 4 24 77 3 27 78 3 30 TOTAL 30

Como Q1 corresponde al dato número 8 y éste se acumula en la tercera

clasificación, esa clasificación corresponde a una estatura de 65 pulgadas. Así que Q1 es 65.

El dato número 8 se acumula aquí.

El dato número 15 se acumula aquí. El dato número 23 se acumula aquí.

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Como Q2 corresponde al dato número 15 y éste se acumula en la séptima

clasificación, esa clasificación corresponde a una estatura de 72 pulgadas. Así que Q2 es 72.

Como Q3 corresponde al dato número 23 y éste se acumula en la novena

clasificación, esa clasificación corresponde a una estatura de 76 pulgadas. Así que Q3 es 76.

Esto significa que bajo 65 pulgadas se concentran 25% de los datos, bajo 72 pulgadas se concentran 50% de los datos y bajo 76 pulgadas se concentran 75% de los datos.

Ejemplo – 2

Considere los siguientes datos correspondientes a la distribución de horas-crédito, por estudiante, tomadas este semestre en cierta universidad. Determine las horas-crédito que corresponden a los tres cuartiles.

Tabla 3: Distribución de Horas-Crédito por estudiante HORAS-CRÉDITO FRECUENCIAS 3 75 6 150 8 30 9 50 12 70 14 300 15 400 16 1050 17 750 18 515 19 120 20 60 TOTAL 3570

Debido a que los datos están agrupados por valor simple, el primer paso para calcular los cuartiles es determinar las frecuencias acumuladas. La tabla a continuación muestra las frecuencias acumuladas de este grupo.

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Tabla 4: Distribución de Horas-Crédito por estudiante HORAS-CRÉDITO FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS 3 75 75 6 150 225 8 30 255 9 50 305 12 70 375 14 300 675 15 400 1075 16 1,050 2,125 17 750 2,875 18 515 3,390 19 120 3,510 20 60 3,570 TOTAL 3,570

El segundo paso para calcular los cuartiles es determinar la posición donde están localizados los cuartiles. Para determinar la posición de los cuartiles se multiplica el total de datos de la muestra (n) por el decimal que corresponde al por ciento indicado por el cuartil. El resultado obtenido se redondea al entero más cercano.

En este ejemplo n = 3,570. La posición de cada cuartil es:

Posición de Q1 = (0.25) (3,570) = 892.5 Se redondea a 893.

Posición de Q2 = (0.50) (3,570) = 1,785

Posición de Q3 = (0.75) (3,570) = 2,677.5 Se redondea a 2,678.

Esto significa que la posición de Q1 está localizada en el dato acumulado

número 893. La posición de Q2 está localizada en el dato acumulado número

1,785. La posición de Q3 está localizada en el dato acumulado número 2,678.

El último paso es localizar estos datos en la columna de frecuencias acumuladas:

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Tabla 4: Distribución de Horas-Crédito por estudiante HORAS-CRÉDITO FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS 3 75 75 6 150 225 8 30 255 9 50 305 12 70 375 14 300 675 15 400 1,075 16 1,050 2,125 17 750 2,875 18 515 3,390 19 120 3,510 20 60 3,570 TOTAL 3,570

Como Q1 corresponde al dato número 893, éste corresponde a 15

horas-crédito. Así que Q1 es 15.

Como Q2 corresponde al dato número 7,855, éste corresponde a16

horas-crédito. Así que Q2 es 16.

Como Q3 corresponde al dato número 2,678, éste corresponde a17

horas-crédito. Así que Q3 es 17.

Esto significa que bajo 15 horas-crédito se concentran 25% de los datos, bajo 16 horas-crédito se concentran 50% de los datos y bajo 17 horas-crédito se

concentran 75% de los datos.

B. PERCENTILES

Los percentiles son 99 valores que dividen la muestra ordenada en 100 partes iguales. Estos valores son: P1 (Percentil 1), P2 (Percentil 2), ... , P99 (Percentil

99).

El dato número 1785 se acumula aquí. El dato número 893 se acumula aquí.

El dato número 2678 se acumula aquí.

Dato Menor

Dato Mayor

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El primer percentil (P1) es el punto tal que 1% de los datos se hallan por debajo

de él. El percentil 25 (P25) es el punto tal que 25% de los datos se hallan por

debajo de él. El percentil 50 (P50) es el punto tal que 50% de los datos se hallan

por debajo de él. Recuerde que P25 = Q1 y P50 = Q2 = Mediana. ¿A qué percentil

equivale el tercer cuartil? Observe que P75 = Q3.

Cuando los datos están agrupados por valor simple, para hallar un percentil dado, de manera similar a los cuartiles, se debe hallar primero las posiciones en donde ubican los percentiles. Para hallar estas posiciones se multiplica el tamaño de muestra n por el por ciento (en su forma decimal) que representa cada percentil. Luego, se redondea el resultado obtenido al entero más cercano. Finalmente, se utilizan las frecuencias acumuladas para localizar los datos en la muestra que correspondan a cada una de las posiciones encontradas.

Ejemplo - 3

Utilice los datos del Ejemplo – 1 para calcular los siguientes percentiles: P75,

P30, y P82.

La Tabla 1 muestra los datos de este ejemplo.

Tabla 1: Estatura en Pulgadas ESTATURA FRECUENCIAS 58 1 61 4 65 4 68 2 69 1 70 2 72 3 75 3 76 4 77 3 78 3 TOTAL 30

El primer paso para calcular los percentiles es determinar las frecuencias acumuladas. La tabla a continuación muestra las frecuencias acumuladas de este grupo.

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Tabla 2: Estatura en Pulgadas

ESTATURA FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS 58 1 1 61 4 5 65 4 9 68 2 11 69 1 12 70 2 14 72 3 17 75 3 20 76 4 24 77 3 27 78 3 30 TOTAL 30

El segundo paso para calcular los percentiles es determinar la posición donde están localizados los percentiles. Para determinar la posición de los percentiles se multiplica el total de datos de la muestra (n) por el decimal que corresponde al por ciento indicado por el percentil. El resultado obtenido se redondea al entero más cercano.

En este ejemplo n = 30. La posición de los percentiles indicados es: Posición de P75 = (0.75) (30) = 22.5 Se redondea a 23.

Posición de P30 = (0.30) (30) = 9

Posición de P82 = (0.82) (30) = 24.6 Se redondea a 25.

Esto significa que la posición de P75 está localizada en el dato acumulado

número 23. La posición de P30 está localizada en el dato acumulado número 9.

La posición de P82 está localizada en el dato acumulado número 25.

El último paso es localizar estos datos en la columna de frecuencias acumuladas:

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Tabla 2: Estatura en Pulgadas

ESTATURA FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS 58 1 1 61 4 5 65 4 9 68 2 11 69 1 12 70 2 14 72 3 17 75 3 20 76 4 24 77 3 27 78 3 30 TOTAL 30

Como P75 corresponde al dato número 23, éste corresponde a una

estatura de 76 pulgadas. Así que P75 es 76.

Como P30 corresponde al dato número 9, éste corresponde una estatura

de 65 pulgadas. Así que P30 es 65.

Como P82 corresponde al dato número 2678, éste corresponde una

estatura de 77 pulgadas. Así que P82 es 77.

Esto significa que bajo una estatura de 76 pulgadas se concentran 75% de los datos, bajo una estatura de 65 pulgadas se concentran 30% de los datos y bajo una estatura de 77 pulgadas se concentran 82% de los datos.

El dato número 23 se acumula aquí. El dato número 9 se acumula aquí.

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EJERCICIOS

EJERCICIO - 1

En un experimento de la clase de ciencias los estudiantes debían recolectar hojas de amapola y registrar las medidas. Los resultados se ilustran en la tabla a continuación.

Tabla 5: Longitud en pulgadas de una muestra de Hojas de Amapola LONGITUD EN PULGADAS FRECUENCIAS 1.8 15 2.3 21 2.5 24 3.1 15 TOTAL 75

Utiliza estos datos para:

a. Hallar los tres cuartiles (Q1, Q2 y Q3)

b. Hallar los percentiles: P25, P50 y P75. Verifique si sus resultados

coinciden con los valores de Q1, Q2 y Q3, respectivamente.

c. Contestar: ¿Cuál es la longitud de las hojas que corresponde al 75% de la muestra ordenada?

EJERCICIO – 2

Un profesor administró una prueba de rendimiento de 40 ejercicios a 125

estudiantes, siendo la puntuación el número de respuestas correctas. La tabla a continuación ilustra los resultados.

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Tabla 6: Puntuaciones en Prueba de Rendimiento PUNTUACIONES FRECUENCIAS 24 2 25 0 26 1 27 3 28 10 29 18 30 24 31 23 32 17 33 8 34 9 35 5 36 3 37 1 38 1 TOTAL 125

Utiliza estos datos para hallar: a. Q1 y Q3

b. P38

c. La puntuación que corresponde al percentil 90.

EJERCICIO – 3

Un estudiante utilizó el programa Excel para hallar el percentil 85 con los datos del ejercicio anterior (EJERCICIO – 2). Al entrar la fórmula de percentil cometió un error. La pantalla de la computadora mostró los resultados que se ilustran a continuación. ¿Cuál fue el error que cometió en la fórmula?

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RESPUESTAS A EJERCICIOS

EJERCICIO – 1

a. Los tres cuartiles son: Q1 = 2.3

Q2 = 2.5

Q3 = 2.5

Tabla 5: Longitud en pulgadas de una muestra de Hojas de Amapola LONGITUD EN PULGADAS FRECUENCIAS FRECUENCIAS ACUMULADAS 1.8 15 15 2.3 21 36 2.5 24 60 3.1 15 75 TOTAL 75

En este ejemplo n = 75. La posición de cada cuartil es:

Posición de Q1 = (0.25) (75) = 18.75 Se redondea a 19.

Posición de Q2 = (0.50) (75) = 37.5 Se redondea a 38.

Posición de Q3 = (0.75) (75) = 56.25 Se redondea a 56.

Esto significa que la posición de Q1 está localizada en el dato acumulado

número 19 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la segunda clase. La posición de Q2 está localizada en el dato acumulado número

38 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la tercera clase. La posición de Q3 está localizada en el dato acumulado número 56 que en

la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la tercera clase. b. Los percentiles solicitados son:

P25 = 2.3 P50 = 2.5 P75 = 2.5 Se observa que Q1= P25 = 2.3. Se observa que Q2 = P50 = 2.5. Se observa que Q3 = P75 = 2.5.

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EJERCICIO – 2 a. Q1 = 29

Q3 = 32

b. P38 = 30

c. La puntuación que corresponde al percentil 90 es 34.

Tabla 7: Puntuaciones en Prueba de Rendimiento

PUNTUACIONES FRECUENCIAS FRECUENCIAS

ACUMULADAS 24 2 2 25 0 2 26 1 3 27 3 6 28 10 16 29 18 34 30 24 58 31 23 81 32 17 98 33 8 106 34 9 115 35 5 120 36 3 123 37 1 124 38 1 125 TOTAL 125

En este ejemplo n = 125. La posición de cada uno es:

Posición de Q1 = (0.25) (125) = 31.25 Se redondea a 31.

Posición de Q3 = (0.75) (125) = 93.75 Se redondea a 94.

Posición de P38 = (0.38) (125) = 47.5 Se redondea a 48.

Posición de P90 = (0.90) (125) = 112.5 Se redondea a 113.

Esto significa que la posición de Q1 está localizada en el dato acumulado

número 31 que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la sexta clase. La posición de Q3 está localizada en el dato acumulado número 94

que en la columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la novena clase. La posición de P38 está localizada en el dato acumulado número 48 que en la

columna de frecuencias acumuladas se encuentra en la séptima clase. La posición de P90 está localizada en el dato acumulado número 113 que en la

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puntuaciones que corresponden a estas posiciones son 29, 32, 30 y 34, respectiuvamente. Por tanto:

Q1 = 29

Q3 = 32

P38 = 30

P90 = 34

EJERCICIO – 3

El error que cometió en la fórmula de percentil fue que consideró solo las puntuaciones sin considerar las frecuencias con que se repetían esas puntuaciones.

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