Problemas Resueltos de Física 2. Alumno. Titular: Ing. Daniel Omar Valdivia Adjunto: Lic. Auliel María Inés

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Titular: Ing. Daniel Omar Valdivia

Adjunto: Lic. Auliel Mar´ıa In´

es

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1. Movimientos Peri´odicos 2

1.1.

Superposici´

on de Movimientos Peri´

odicos

. . . 2

2. Vibraciones libres de los sistemas f´ısicos 3

2.1. Vibraciones forzadas y amortiguadas . . . 3

3. Osciladores Acoplados y modos normales 4 4. Ondas longitudinales en una barra 5 5. Ondas de presi´on o sonoras 6 6. Ondas transversales en una cuerda 7 7. Desarrollo de los problemas 8 8. Conclusiones 18

A. Anexo 1 19

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informe cuenta de un desarrollo teórico correspondiente a los conceptos teóricos de la materia y análisis de los resultados obtenidos en cada problema. Además se incluye las conclusiones de cada uno de los temas de la gu´ıa de trabajos prácticos.

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Movimientos Peri´

odicos

Insertemos una referencia bibliográfica al libro [1]. Insertemos una referen-cia bibliográfica al libro [2]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [3]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [4]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [5]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [6]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [7]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [8]. Insertemos una referencia bibliográfica al libro [9]. In-sertemos una referencia bibliográfica al libro [10].

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Vibraciones libres de los

sistemas f´ısicos

2.1. Vibraciones forzadas y amortiguadas

(6)

Osciladores Acoplados y

modos normales

(7)

Ondas longitudinales en

una barra

(8)

(9)

Ondas transversales en una

cuerda

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Desarrollo de los problemas

Enunciado Problema 1

Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 1 Hz (ciclos por segundo). Parat= 0, la masa esta en la posici´on de equilibrio (x= 0).

1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en fun-ción del tiempo, en la formax=Acos(wt+α), dando lo valores numéricos deA,wyα.

2. Determinar los valores dex, dx

dt y dx2

dt2 para t= 8 3 seg.

Resultados obtenidos: 1)A= 5 cm,w= 2πrad_seg,α=±π/2. 2)x= 5₂√3 cm, dx dt = 5π cm seg y dx2 dt2 =−10π 2√₃ cm seg2 Enunciado Problema 2

Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50cm seg.

El periodo de una vuelta completa es 6 seg. Parat= 0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un ´Angulo de 30o_{con el eje}_x_.

1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en fun-ción del tiempo, en la formax=Acos(wt+α), dando lo valores numéricos deA,wyα.

2. Determinar los valores dex, dx

dt y dx2

dt2 para t=2 seg.

Resultados obtenidos: 1) A = 150_π cm, w = π/3rad_seg, α = π/6. 2)x = −75√3 π cm, dx dt =−25 cm seg y dx2 dt2 = 25_√π 3 cm seg2

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La ecuaci´on de una cierta onda es:

A(x, t) = 10sin(2π(2x−100t))

donde x se mide en metros y t se mide en seg. Hallar la amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagaci´on. Dibujar la onda mostrando estos par´ametros.

Resultados obtenidos:10m,0.5m, 100Hz, 50m seg.

Una part´ıcula esta sometida simultáneamente a tres movimientos armónicos simples de la misma frecuencia y en la direcciónx. Si las amplitudes son 0,25, 0,20 y 0,15 mm, respectivamente, y la diferencia de fase entre el primero y el segundo es de 45o_{, y entre el segundo y tercero es 30}o_{, hallar la amplitud de}

desplazamiento resultante y su fase respecto al primer componente (el de am-plitud 0,25 mm).

Resultados obtenidos:A= 0,51mm,f ase= 33,4o_.

Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descriptas por las ecuaciones:

y1=A cos(10πt) y2=A cos(12πt)

Hallar el periodo de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturba-ci´on resultante durante un periodo de pulsaci´on.

Resultados obtenidos: 2 seg.

Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientes vibraciones:

1. sin(2πt−212) +cos(2πt) 2. sin(12πt) +cos(13πt−π/4) 3. sin(3t)−cos(πt)

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Se cuelga de un muelle un objeto de 1 g de masa y se le deja oscilar. Parat= 0, el desplazamiento era de 43,785 cm y la aceleraci´on era de−1,7514_segcm2. ¿ Cual es la constante del muelle?

Resultados obtenidos: 0,04_segg2.

Una masamcuelga de un muelle uniforme de constantek.

1. ¿ Cual es el periodo de las oscilaciones del sistema?

2. ¿ Cual seria el periodo si la masamse colgase de modo que:

a) Estuviese sujeta a dos muelles id´enticos situados uno junto al otro? b) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles id´enticos

conec-tados uno a continuaci´on del otro?

Resultados obtenidos: 1)T0= 2πpm_k 2) a) √T0₂ b)

√ 2T0.

Una varilla uniforme de longitudL se sujeta por un clavo a un poste de modo que dos tercios de su longitud est´en por debajo del clavo. ¿ Cual es el periodo de las oscilaciones peque˜nas de la varilla?

Resp:T0= 2π q

2L

3g.

Un objeto de 0,5 Kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de acero de 2 m de longitud y 0,5 mm de di´ametro (modulo de Young = 2.1011 N

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es el valor posible dehque resiste el alambre sin romperse?

Resultados obtenidos: 0,25mm.

Una varilla met´alica de 0,5 m de larga tiene una secci´on recta rectangular de 2

mm2 de ´area.

1. Puesta vertical la varilla y teniendo colgada una masa de 60 Kg en su extremo inferior, se produce un alargamiento de 0,25 mm. ¿ Cual es el modulo de Young (_mN2) del material de la varilla?

2. Se sujeta firmemente la varilla por su parte inferior, como se muestra en la figure, y en su parte superior se aplica una fuerza F en la direccióny, como esta indicado (paralela a la arista de longitudb). El resultado es una flexión elástica dado pory = 4_{Y ab}L3F₃. Si se suprime la fuerza F y se sujeta a la parte superior de la varilla una masa m, mucho mayor que la masa de la varilla, ¿ Cual es el cociente de las frecuencias de vibración en las direccionesy yx(es decir, paralelas a las aristas de longitudbya?

Resultados obtenidos: 1)γ= 6×1011 N

m2. 2)b/a.

Una barra de aluminio de 200 mm de longitud y con una secci´on cuadrada de 10 mm de lado se somete a una fuerza de tracci´on de 12300 N y experimenta un alargamiento de 0,34 mm. Suponiendo que el comportamiento de la barra es

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Resultados obtenidos:γ= 7,23×1010N m2.

Estimar la velocidad de propagaci´on de las ondas el´asticas en una barra de acero.

Resultados obtenidos: 5,06×103_segm.

Calcular observando la figura el modulo de Young, siendo 400 mm la longitud inicial de la barra y su ´area 25 mm2_{. Calcular la longitud de la barra cuando la}

fuerza es 115 N y la fuerza para la cual se produce la rotura de la barra.

Estiramiento unitario Tensi´on Punto P 4.5.10-4 _90.106 _pa

Punto E 6.3.10-4 130.106 pa Punto R 48.9.10-4 _260.106 _pa

Resultados obtenidos:γ= 20×1010_Pa, _l_{= 400}_,_{0092 mm,}_F _{= 6}_,_5kN.

Comprobar quex=Aexp−αtcos(wt) es una posible soluci´on de la ecuaci´on:

dx2 dt2 +γ dx dt +w 2 0x= 0 Hallarαywen funci´on deγ yw0. Resultados obtenidos:γ= 2α,w2 0=w2+α2. Enunciado Problema 16

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2

sin amortiguamiento. ¿ Cual es el valor de la constanteb?

Resultados obtenidos: 3,46_segKg.

Si en el problema 16,bes igual a 4N.seg_m y se somete a una fuerza impulsora dada porF(t) =F0sin(wt), siendoF0= 2N yw= 30_seg1 , en el estado estacionario,

determinar la amplitud de la oscilaci´on forzada.

Resultados obtenidos: 1,28 cm.

Consideramos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscila-ciones forzadas con frecuencia angularw.

1. Determinar la energ´ıa cinética instantánea del sistema. 2. Determinar la energ´ıa potencial instantánea del sistema.

3. Determinar el cociente entre la energ´ıa cin´etica media y la energ´ıa poten-cial media. ¿ Cual es la energ´ıa total del sistema en estas condiciones? 4. ¿Para que valores dewson iguales las energ´ıas media potencial y cin´etica?

Resultados obtenidos: 1) 0,5mw2_A2₍_sen₍_wt₊_δ₎₎2_donde_A₌ F₀2 m2₍₍_w2 0−w2)2+(mbw)2) , tanδ= _m₍_wbw2 0−w2) . 2) 0,5kA2_(cos(_wt₊_δ₎₎2_. 3) w2 w2 0 . 4)w=w0. Enunciado Problema 19

Un oscilador amortiguado forzado de masamtiene un desplazamiento variable con tiempo dado por x= Asin(wt). La fuerza resistente es−bv. A partir de esta informaci´on calcular cuanto trabajo se realiza contra la fuerza resistente durante un ciclo de oscilaci´on.

Resultados obtenidos: bA2₂w2T.

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Resultados obtenidos:A= 1,28 cm,δ= 130o_.

Se acoplan dos osciladores id´enticos sin amortiguar A y B, de masamy constan-teskb yka, respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante

kc. Hallar las frecuencias normales w

0

yw00 y describir los modos normales de oscilaci´on sik2 c =ka.kb. Resultados obtenidos:w1= q ka+kb+kc m ,w2= q kc m. Enunciado Problema 22

Se conectan dos objetos A y B, cada uno de ellos a una masa m, mediante muelles, seg´un se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constanteKc y

los otros dos una constante igual aK0. Si se sujeta B, A vibra a una frecuencia

de 1,81_seg1 . La frecuenciaν1 del modo normal inferior es 1,14_seg1 . Encontrar las

ecuaciones de movimiento para A y B. Determinar las frecuenciasw1 y w2 de

los modos normales. Cuando B esta sujeto, calcular la frecuencia angular de A.

Resultados obtenidos:w1= q 2kc m +w 2 0,w2=w0,wa= q kc m +w 2 0. Enunciado Problema 23

Una cuerda uniforme de 2,5 m de longitud y 0,01 Kg de masa se somete a una tension de 10 N. ˆA¿ Cual es la frecuencia de su modo fundamental?

Resultados obtenidos: 10 Hz.

Una cuerda de longitudLy masa total M se estira mediante una tensionT. ¿ Cuales son las frecuencias de los tres modos normales inferiores de oscilaci´on de la cuerda cuando estas son transversales?

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Una cuerda estirada de masa m, longitud l y tension T se ve impulsada por dos fuentes una en cada extremo. Ambas fuentes tienen la misma frecuenciaν

y una amplitudApero est´an desfasadas 180o entre si. Determinar el valor mas peque˜no posible dewconsistente con las vibraciones estacionarias de una cuerda.

Resultados obtenidos:ν=π

q

T ml.

Se sujeta una varilla uniforme en el centro dejando ambos extremos libres. Cal-cular las frecuencias naturales de la varilla en la vibraci´on longitudinal. Calcular la longitud de onda y la cantidad de nodos en el modon.

Resultados obtenidos:_n₋2L₁_/₂.

Calcular la energ´ıa total de vibraci´on de una cuerda de longitud L fija en los extremos, que oscila en el modoncon una amplitudA. La tensi´on de la cuerda esT y la masa esM.

Resultados obtenidos:T A2n2π₄2_Lsen2(wt).

Una cuerda de 4 m de longitud se fija por sus extremos y se le hace vibrar. La rapidez de las ondas sobre la cuerda es de 20 m/s. Hallar la frecuencia del arm´onico fundamental.

Resultados obtenidos: 2,5 Hz.

La longitud de la cuerda de una guitarra es 60 cm y vibra a 245 Hz, en su modo fundamental.

(a) ˆA¿ Cual es la rapidez de las ondas transversales sobre la cuerda? (b) Si la densidad lineal es de 0.001 kg/m, ¿ Cual es la tensi´on?

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resonancia es 375 Hz. La siguiente frecuencia mas alta es 450 Hz. ¿ Cual es la frecuencia de resonancia fundamental?

Resultados obtenidos:75 Hz.

Comprobar que las siguientes expresiones son equivalentes:

1. y=A sin(2π(x_λ−vt)) 2. y=A sin(2π(kx−νt)) 3. y=A sin(2π((x_λ)−(_Tt))) 4. y=−A(sinw(t−x v)) 5. y=A Im(exp(2πj(kx−νt))) Enunciado Problema 32

La ecuaci´on de onda transversal que se mueve a los largo de una cuerda viene dada por:

y= 0,3sin(π(0,5x−50t))

en donde y yx est´an en cm y t en seg. Hallar la amplitud, la longitud de onda, el numero de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de la onda. Hallar la velocidad transversal m´axima de cualquier part´ıcula en la cuerda.

Resultados obtenidos: 0,3m, 4m,π/2_m1, 25 Hz, 0,04 seg, 100_segm,vmax=

15π_segm.

Una onda de frecuencia 20_seg1 tiene una velocidad de 80 _segm.

1. Determinar la distancia a la que est´an dos puntos cuyos desplazamientos est´an separados 30o_{en fase.}

2. En un punto dado, ¿ cual es la diferencia de fase entre dos desplazamientos que se producen en tiempos separados 0,01 seg?

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polea y colgando un peso que tiene 100 veces la masa de la misma. Determinar la longitud de la cuerda. Determinar la ecuaci´on del tercer modo normal.

Resultados obtenidos: 10m.y=Asen(3₁₀πx) cos(30πt).

Se superponen en un medio dos ondas de la siguiente forma:

y1= A sin(5x−10t)

y2= A sin(4x−9t)

Escribir la ecuaci´on para la perturbaci´on combinada.

Resultados obtenidos: 2Acos(π(π₂x−π

2t))sen(π(

π

2x−

π

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Conclusiones

En el presente trabajo hemos analizado mediante los diferentes problemas resueltos los conceptos de movimiento ondulatorio periódicos, con amortigua-miento y rozaamortigua-miento. También se estudiaron los sistemas acoplados y modos normales de varios resortes. También se estudio ondas longitudinales en una barra y ondas transversales en una cuerda.

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Anexo 1

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(23)

[1] Marcelo Alonso y Edward J. Finn. Campos y Ondas. F´ısica Vol 2, 1970. [2] Adkins. C. Termodin´amica del equilibrio. Revert´e, 1977.

[3] H.C Abbott, M.M y Vanness. Termodin´amica. 2a. edici´on. McGraw-Hill., 1991.

[4] Callen H.B. Thermodynamics. Wiley y Sons., 1985. [5] F. Reif. Physics course. Berkeley, 1983.

[6] C. Thellier, M. y Ripoll.Bases Thermodynamiques de la Biologie Cellulaire. Masson, 1992.

[7] M. Zemansky y R. Dittman. Calor y Termodinamica. McGraw-Hill, 1985. [8] E. Fermi. Termodin´amica. EUDEBA, 1985.

[9] Manuel Recuero Lopez. Ingenier´ıa Ac´ustica. Mc Graw Hill, 1995. [10] A. P. French. Vibraciones y Ondas. Vol 2. MIT, 1974.