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CASOS ESPECIALES DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. Fernando di Sciascio (2017)

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(1)

C

ASOS

E

SPECIALES DEL

L

UGAR

G

EOMÉTRICO DE LAS

R

AÍCES

(2)

Casos Especiales del Lugar Geométrico de las Raíces

Recordemos que el problema general del Lugar de las Raíces puede ser

formulado partiendo de la siguiente ecuación de la variable compleja s

:

( )

( )

( )

0

c L L

P s

D s

KN s

(1)

Donde

D

L

(

s

) es un polinomio de orden “

n

” de

s

y N

L

(

s

) es un polinomio de

orden “

m”

de

s

.

1 1 0

( )

m m m

N s

s

b

s

b

(2)

1 1 0

( )

n n L n

D s

s

a

s

a

(3)

n

y

m

son enteros positivos y

K

es una constante real la cual puede variar de

-a



.

(3)

Otra forma de plantearlo

Consideremos el sistema de la figura

La función de transferencia del lazo es:

( )

( ) ( )

L s

G s H s

(4)

La función de transferencia del sistema a lazo cerrado es:

( )

( )

( )

( )

1

( ) ( )

C s

G s

T s

R s

G s H s

(5)

(4)

Por lo tanto, las raíces de la ecuación característica deben satisfacer

( )

1

( ) ( )

1

( )

0

F s

G s H s

L s

(6)

Donde se supone que L(s) contiene un solo parámetro variable K como un factor multiplicativo, de forma que la función racional de lazo se pueda expresar como:

( )

( )

( )

L L

KN s

L s

D s

(7)

Reemplazando en la ecuación característica (6) queda una expresión idéntica a la (1)

( )

1

( ) ( )

1

( )

0

( )

( )

( )

0

c L L

F s

G s H s

L s

(5)

C

ASOS EN QUE EN

L

(

S

)

NO ESTÁ EN FORMA MULTIPLICATIVA

El comando rlocus(sys) calcula y dibuja el lugar de las raíces del modelo SISO a lazo abierto sys. Esta función puede aplicarse a cualquiera de los siguientes lazos de realimentación negativa definiendo apropiadamente sys.

(6)

C

ASOS EN QUE EN

L(

S

)

NO ESTÁ EN FORMA MULTIPLICATIVA

Cuando un parámetro variable cualquiera de

L

(

s

) no está en forma

multiplicativa. Siempre es posible reordenar

L

(

s

) para obtener una

ecuación característica en la forma multiplicativa o estándar

( )

( )

( )

( )

1

( )

0

( )

( )

( )

0

eq L eq eq L eq eq L eq eq eq c L L

KN

s

L s

D

s

F s

L s

P

s

D

s

KN

s

Se deben agrupar todos los términos que incluyen

K

y dividir por la

sumatoria de los términos que no incluyen

K

.

(7)

Ejemplo 1

El parámetro variable es un polo

p

de

L

(

s

)

3 2 ( 2) 2 ( ) 1, ( ) ( ) ( 1)( ) ( 1) s s H s L s G s s s s p s p s ps 3 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( 1) ( 1) 2 L s s T s L s s p s p s

L

(

s

)

no está en la forma estándar

ya que no aparece en forma multiplicativa.

El polinomio característico es:

P s

c

( )

s

3

(

p

1)

s

2

(

p

1)

s

2

(8)

Realizamos el análisis de Routh_Hurwitz para determinar el rango de estabilidad % Polinomio característico s^3+(p+1)*s^2+(p+1)*s+1

syms p eps; Pc=[1 p+1 p+1 2]; [Routh_array,s]=routh(Pc,eps)

2 1 2 1 ( 2.414)( 0.414) 0 0.414 0.414 p p p p p p p

(9)

Ahora reordenamos el polinomio característico para llevarlo a la forma estándar agrupando los términos que incluyen p

3 2 3 2

( )

(

1)

(

1)

2

2

(

1)

c

P s

s

p

s

p

s

s

s

s

ps s

Luego operamos con T(s) dividiendo numerador y denominador por la suma de todos los términos del polinomio característicos que no incluyen a p.

3 2 ( ) 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 2 2 ( 1) 1 2 eq eq eq eq G s L s G s H s s s s s s s T s s s s p s p s s s s ps s p s s s 3 2 2 ( ) , 2 eq s G s s s s ( ) ( 1) ( ) ( ) 2 eq eq eq pL s s s H s p G s s 3 2 ( 1) ( ) ( ) ( ) 2 eq eq eq s s L s G s H s p s s s

(10)

Luego los modelos con ( 2) ( ) , ( ) 1 ( 1)( ) s G s H s s s s p y con 3 2 2 ( 1) ( ) , ( ) 2 2 eq eq s s s G s H s s s s s

son equivalentes desde el punto de vista entrada-salida (son indistinguibles midiendo R(s) y C(s)).

Observar para este ejemplo que Heq(s) no es realizable (tiene más ceros que

polos). No hay que buscarle a Geq(s) y Heq(s) ningún significado físico. Este

procedimiento es solo un truco matemático que me permite utilizar la teoría del lugar de las raíces y en consecuencia poder utilizar el comando rlocus.

(11)

Ahora que hemos llevado el modelo original a uno equivalente en la forma estándar podemos utilizar el comando rlocus.

%Caso en que en L(s) K no esta en forma multiplicativa. % Ejemplo 1 de la clase (Ogata)

clear, clc, close all

Leq=tf([1 1 0],[1 1 1 2]);

k1=0:.001:5; k2=5:.01:50; K=[k1 k2]; r=rlocus(Leq,K); hold on

plot(r,'.b')

%Ahora se grafican los polos y ceros junto con los ejes

plot(zero(Leq)+eps*1i,'ro','MarkerSize',8) plot(pole(Leq)+eps*1i,'r+','MarkerSize',12) xmin=-1.5; xmax=0.25; ymin=-1.5; ymax=1.5;

ejex=line([0 0],[ymin ymax],'LineWidth',1,'Color','k'); %Eje real

ejey=line([xmin xmax],[0 0],'LineWidth',1,'Color','k'); %Eje imaginario

title({'LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS POLOS A LAZO CERRADO'},...

'FontSize',16,'FontWeight','bold')

xlabel('Eje Real','FontSize',14); ylabel('Eje Imaginario','FontSize',14); axis([xmin xmax ymin ymax]);axis('square');grid; hold off

(12)
(13)

Otra alternativa es trabajar con una scrip propia (basada en modificar el polinomio característico con el parámetro K, encontrar sus raíces con el comando root y graficarlas) ya que no necesita que el parámetro esté en forma multiplicativa estándar Pc (s) = DL(s) + K NL(s) = 0.

% Ejemplo 1 clase

clear, clc, close all, hold on

%Para K=0 grafico los polos

p=roots([1 1 1 2]); plot(p+eps*1i,'rx','LineWidth',2,'MarkerSize',8),

%Para K=>oo grafico los ceros

p=roots([1 1e10 1e10 2]); plot(p+eps*1i,'ro','LineWidth',2,'MarkerSize',8),

for K=0:.005:20; Pc=[1 K+1 K+1 2]; p=roots(Pc); plot(p+eps*1i,'b.'); end

xmin=-1.5; xmax=0.25; ymin=-1.5; ymax=1.5; axis([xmin xmax ymin ymax]); axis('square')

ejex=line([0 0],[ymin ymax],'LineWidth',1,'Color','k'); %Eje real

ejex=line([xmin xmax],[0 0],'LineWidth',1,'Color','k'); %Eje imaginario

title({'LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS POLOS A LAZO CERRADO'},'FontSize',12,...

'FontWeight','bold')

(14)
(15)

Ejemplo 2

Función de transferencia directa: 2

20

( ) , ( ) 1

( 5 20 4)

G s H s

s s s K

Función de transferencia del lazo: 2

20 ( ) ( ) ( ) ( )

( 5 20 4)

L s G s H s G s

s s s K

Función de transferencia a lazo cerrado: 3 2

( ) 20 ( ) 1 ( ) 5 (4 20 ) 20 G s T s G s s s K s Polinomio característico: P sc( ) s3 5s2 (4 20 )K s 20

(16)

Observar que la variable K aparece en un coeficiente del denominador de L(s) no en la forma estándar como un factor multiplicativo. En este caso no puede utilizarse directamente el comando rlocus(L) ya que daría un resultado erróneo porque rlocus asume que L(s) es de la forma L(s)=KL’(s).

Como antes, reordenamos el polinomio característico para llevarlo a la forma estándar agrupando los términos que incluyen K

3 2 3 2

( )

5

(4

20 )

20

5

4

20

20

c

P s

s

s

K s

s

s

s

Ks

Luego operamos con T(s) dividiendo numerador y denominador por la suma de todos los términos del polinomio característicos que no incluyen a K.

3 2 ( ) 3 2 3 2 ( ) ( ) 20 5 4 20 ( ) ( ) 20 ( ) ( ) 5 4 20 20 20 1 ( ) ( ) 1 5 4 20 eq eq eq G s eq G c eq eq H s G s s s s G s N s T s P s s s s Ks KG s H s K s s s s

(17)

3 2 2

20

20

( )

,

( )

5

4

20

(

5)(

4)

eq eq

G s

H s

s

s

s

s

s

s

3 2 20 ( ) ( ) ( ) 5 4 20 eq eq eq s L s G s H s s s s

(18)

Ahora si se puede calcular con rlocus(Leq) (Leq=tf([20 0],[1 5 4 20])) clear, clc, close all

Leq=tf([20 0],[1 5 4 20]);

k1=0:.001:5; k2=5:.01:50; K=[k1 k2]; r=rlocus(Leq,K); hold on; plot(r,'.b')

% Se grafican los polos y ceros junto con los ejes

plot(zero(Leq)+eps*1i,'ro','LineWidth',2,'MarkerSize',8) plot(pole(Leq)+eps*1i,'r+','LineWidth',2,'MarkerSize',10) xmin=-5.5; xmax=.5; ymin=-6; ymax=6;

ejex=line([0 0],[ymin ymax],'LineWidth',1,'Color', 'k'); %Eje real

ejex=line([xmin xmax],[0 0],'LineWidth',1,'Color','k'); %Eje imaginario title({'LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS POLOS A LAZO CERRADO'},...

'FontSize',12,'FontWeight','bold')

xlabel('Eje Real','FontSize',14); ylabel('Eje Imaginario','FontSize',14); axis([xmin xmax ymin ymax]);axis('square');grid; hold off

(19)
(20)

Utilizando SCRIP Propia

clear, clc, close all

% Ejemplo 2 clase

% 20 20

% G(s)= ---, H(s)=1, T(s)= ---% s(s^2+5s+20K+4) s^3+5s^2+(4+20K)s+20 %Para K=0 grafico los polos

hold on

p=roots([1 5 4 20]); plot(p+eps*1i,'rx','LineWidth',2,'MarkerSize',8),

%Para K=>oo grafico los ceros

p=roots([1 5 1e6 20]); plot(p+eps*1i,'ro','LineWidth',2,'MarkerSize',8),

for K=0:.005:20;

Pc=[1 5 (4+20*K) 20]; p=roots(Pc); plot(p+eps*1i,'b.')

end

xmin=-6; xmax=.5; ymin=-6; ymax=6; axis([xmin xmax ymin ymax]); axis('square') ejex=line([0 0],[ymin ymax],'LineWidth',1,'Color','k'); %Eje real

ejex=line([xmin xmax],[0 0],'LineWidth',1,'Color','k'); %Eje imaginario

title({'LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS POLOS A LAZO CERRADO'},'FontSize',12,...

'FontWeight','bold')

(21)
(22)

S

ISTEMAS CON

R

ETARDO

En este caso la ganancia del lazo es:

( ) ( ) ( ) Ts L L KN s e L s D s

Se aproxima el retardo mediante la aproximación de Padé

Pade Pade

( )

( )

Ts

N

s

e

D

s

Pade Pade

( )

( )

( )

( )

( )

L L

KN s N

s

L s

D s D

s

Ahora se resuelve el lugar de las raíces de

Pade Pade Pade Pade

( )

( )

( )

1

( )

1

0

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

L L L L

KN s N

s

F s

L s

D s D

s

Pc s

D s D

s

KN s N

s

(23)

clear, clc, close all

k1=0:.01:50; k2=50:.1:1000;k3=1000:1:10000; k4=1e4:10:1e5 ;K=[k1 k2 k3 k4]; Gd1=zpk([20],[0 -1 -20],-1);r1=rlocus(Gd1,K);

Gd2=zpk([20],[0 -1 -20],1) ;r2=rlocus(Gd2,K); hold on; plot(r1,'.b');plot(r2,'.r');

xmin=-20; xmax=40; ymin=-30; ymax=30;

ejex=line([0 0],[ymin ymax],'LineWidth',1,'Color', 'k'); %Eje real

ejex=line([xmin xmax],[0 0],'LineWidth',1,'Color','k'); %Eje imaginario

title({'LUGAR GEOMÉTRICO DE LOS POLOS A LAZO CERRADO'},...

'FontSize',12,'FontWeight','bold')

xlabel('Eje Real','FontSize',14); ylabel('Eje Imaginario','FontSize',14); axis([xmin xmax ymin ymax]);axis('square');grid; hold off

(24)

0 0.

En realidad K es negativo Observar queel RL se ha dibujado para K

es el efecto del signo con K 0.1 ( ) ( 1) s Ke G s s s : Ejemplo

(25)

S

ISTEMAS DE

F

ASE

N

O

M

ÍNIMA

El ejemplo anterior de sistema con retardo es también un ejemplo de sistema

con fase no mínima.

Gd1=zpk([20],[0 -1 -20],-1); rlocus(Gd1,

'b'

)

Graficar para K > 0 con el signo menos es equivalente a graficar para K < 0.

Gd2=zpk([20],[0 -1 -20],1); rlocus(Gd2,

'r'

)

Graficara para K > 0.

0.1 1

(

20)

(

20)

( )

(

1)

(

1)(

20)

(

1)(

20)

s d

K

K s

K s

G s

s s

s s

s

s s

s

2

(

20)

( )

(

1)(

20)

d

K s

G

s

s s

s

(26)

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