TRIGONOMETRÍA Sistemas de Medición de Ángulos Equivalencia entre los tres Sistemas

TRIGONOMETRÍA

Sistemas de Medición de Ángulos  Equivalencia entre los tres Sistemas

360º = 2Rad = 400G Longitud de la Circunferencia Funciones Trigonométricas sen  ₌ ordenada ₌ y radio vector   y cos  ₌ abscisa ₌ x radio vector  x tg  ₌ ordenada ₌ y abscisa x cotg  ₌ abscisa ₌ x ordenada y

sec  ₌ radio vector ₌ 

abscisa x

cosec ₌ radio vector ₌ 

ordenada y

Resolución de Triángulos Rectángulos

B C =



₌

₌



Área del Circulo = . r2

Área de Anillo o Corona Circular = . R2 - . r2

r R

Área del Sector Circular = arco x radio

Resolución de Triángulos Oblicuángulos

 Teorema del Seno B

 a c a sen  b sen  c sen  = =  _ C A b

 Teorema del Coseno a2 = b2 + c2 – 2 b c cos  b2 = a2 + c2 – 2 a c cos  c2 = a2 + b2 – 2 a b cos 

Calculo de Área

Área de un Triangulo en función de sus tres lados – Formula de Herón

-donde p = a + b + c.

2

a, b, c son lados del triángulo

Area = p ( p – a ) ( p – b ) ( p – c )

GEOMETRÍA ANALÍTICA. SISTEMAS DE COORDENADAS

 Distancia entre dos puntos.

La distancia entre los puntos A(x1) y B(x2) Distancia horizontal

|AB| = es la longitud del segmento AB (Las barras | | se lee: valor absoluto)

La distancia vertical entre los puntos C(y1) y D(y2)

|CD| = |(y2 – y1)| = |(y1 – y2)| |AB| = |(x2 – x1)| = |(x1 – x2)| Área del triang = b x h .

2

Teorema Fundamental

Area = b . c . sen  2

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO  Distancia entre dos puntos. P1 (x1;y1) y P2 (x2;y2)

 Punto Medio de un Segmento.

 Relaciones entre las coordenadas Rectangulares y Polares.

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO

Sistema de coordenadas Notación del punto

 Distancia entre dos puntos A(x1;y1;z1) y B(x2;:y2;z2)

 Punto Medio de un Segmento

z1 + z2 zm = ---2 y1 + y2 ym = ---2 x1 + x2 xm = --- 2 |AB| = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2 +(z2 – z1)2 Cartesianas rectangulares P ( x; y; z ) Polares P( ; ; ; ) Cilíndricas P(( ; ; z) . Esféricas P( ; ; ). x = cos  y = sen  =x2+ y2 = arc tg y x y 1 + y 2 ym = ---2 x 1 + x 2 xm = ---2 |P1P2| = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2

 Relaciones entre las coordenadas Rectangulares y Polares.

 Relaciones que ligan las coordenadas Cilíndricas con las Rectangulares

 Relaciones que ligan las coordenadas Esféricas con las Rectangulares

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN DOS DIMENSIONES

LA RECTA

Ecuación General

Forma explícita : Forma implícita:

y = a x + b Variable Dependiente Ordenada al orígen Coef. angular Variable Independiente Ax + By + C = 0 x = cos cos  y = cos sen  z = sen  = x2 + y2 + z2 = arc sen z  = arc tg y x x = cos  y = sen  z = z = x2 + y2 = arc tg y x z = z x = cos  y = cos  z = cos  = x2 + y2 + z2) = arc cos x  = arc cos y  = arc cos z 

Forma Segmentarla o Reducida:

Ecuación de la recta que pasa por un punto y de pendiente a Punto - Pendiente

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Cartesiana

Condición de paralelismo entre rectas

Dadas las rectas: y1 = a1x + b1

y2 = a2x + b2

Condición de perpendicularidad entre rectas

Dadas las rectas: y1 = a1x + b1

y2 = a2x + b2

Intersección entre dos rectas

Para hallar el punto de intersección de dos rectas en el plano, 1.

2. 3.

Igualar ambas rectas (y1= y2)

despejar el valor de la abscisa (x ) para el cual ambas rectas tienen idéntica ordenada (y). Para hallar el valor de y reemplazar en cualquiera de las dos expresiones matemáticas originales la variable x por el valor encontrado.

Ángulo entre dos rectas:

Fórmula trigonométrica: tangente de la diferencia de dos ángulos. a1 - a2 tg = ---1 + (a1 . a2 ) y1 y2 <=> a1 = - 1 a2 y1 // y2 <=> a1 = a2 y2 – y1 y – y1 = ( x – x1) x2 – x1 y – y1 = a ( x – x1 ) x y + = 1 a b

CONICAS

Circunferencia

Ecuación ordinaria. Centro (h; k) y radio r

(x – h)2 _{+ (y – k)}2 = r2

Si el Centro esta en el origen del S. de coord.

h = k = 0 la ecuación será x 0 x2 + y2 = r2 Ecuación canónica F = h2 + k2 – r2 r = √ h2 +k2 – F D = -2h E = -2k k = - E 2 Ecuación General h = - D 2 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 en donde

Determinación de los focos

Elipse

Elipse con centro en el origen del S. de coord. Cartesianas (0;0)

y 2 2 x + y a = 1 F x2 + y2 = 1 a2 b2 _{F´ 0;0 F x} 0;0 x F´ Perímetro = 2√1/2(a2 +b2) Aproximadamente Área de la elipse = a.b.

La long del lado recto para el foco F y F´ es 2b2

a b a F’ C(h;k) c F a Excentricidad de la elipse e c < a e c < 1 a 2c C(h;k ) D F’ F D´

Eje Mayor =2a

c = √a2 – b2 k ;0 y c r h

Segunda forma Ordinaria Elipse con centro en el punto ( h;k)

y eje focal paralelo al eje X

Elipse con centro en el punto ( h;k) y eje focal paralelo al eje Y

( x – h )2 _{+ ( y – k )}2 _{= 1} ( x – h )2 a2 + ( y – k )2 _{= 1} b2 b2 a2 y x 0;0 Directriz _y

Parábola

Foco x

0:0

(p;0) Vértice (h;k)

Ecuación Canónica (Vértice en el origen del Sistema de Coordenadas Cartesianas)

y2 = 4 p x y _y 0;0 Foco x p>0 Foco 0;0 x x2 = 4 p y y p>0 _p<0 y _{0;0 x} Foco Foco x 0;0 0;0 x

Ecuación Ordinaria

Vértice en el punto ( h; k) Eje focal paralelo al eje X

y p>0 _p<0 Foco Foco x 0;0 _x 0;0

Vértice en el punto ( h;k) Eje focal paralelo al eje Y

y y p>0 _p<0 0;0 _x Foco Foco

Parábola

Función cuadrática, o trinomio de 2do Grado y = a x2 + b x + c

xv = - b = x1 + x2 Propiedades de las Raíces

2 a 2 x1 . x2 = c a - b a Coordenadas del Vértice yv = - b2 – 4 a c b2 4a = c -para a = 1 4a (x1 + x2) =

Relación entre Geometría Analítica y Análisis Segmento de Parabola

a 4 p p = 1 4 a b Area = 2/3 a. b Ecuación Completa 0 = a x2 + b x + c Las raíces x1, x2 se calculan x1 _{- b b}2 _{– 4 a c} x2 = _{2 a} Ecuación Incompleta 0 = a x2 Eje de simetría de la parábola en el eje de las y y vértice en el origen Ecuación Incompleta 0 = a x2 + c Eje de simetría de la parábola en el eje de las y y vértice

desplazado del origen

Ecuación Incompleta

0 = a x2 + b x

parábola a eje vertical y desplazado a la izquierda o derecha del eje de ordenadas. (x – h)2 _{= 4 p (y – k)} (y – k)2 _{= 4 p (x – h)}

Hipérbola

.

.

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA ABCISAS

CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE y

x

ECUACIÓN CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA ORDENADAS

CON EJE REAL COINCIDENTE CON EL DE

y x y2/a2 – x2/b2 = 1 x2/a2 – y2/b2 = 1 PF’- PF = 2a 2 2 2 Ecuación de la Asínt.: y = -bx/a Ecuación de la Asínt.: y = bx/a

2

POLIGONOS

POLÍGONOS REGULARES

Ángulo Interior = 2R (n - 2) n Angulo Central  4R n ( 4 rectos) (número de lados) Superficie del Polígono Regular

Superficie



Perimetro x Apotema

2

PROPIEDADES

S = 4 R

S = 2 R . n

S = 2 R ( n - 2)

(n- 3) . n

2

A =

AREAS Y VOLÚMENES