Una función arroja un valor (y sólo uno) por cada valor que se le introduce. En otras palabras, para cada valor de x, hay un solo valor de y.

(1)

¿Qué es una función?

Una función es una relación entre dos variables: la variable independiente x, y la variable dependiente

y

. Sin embargo, no toda relación es una función.

Una función arroja un valor (y sólo uno) por cada valor que se le introduce. En otras palabras, para cada valor de

x, hay un solo valor de

y

.

La ecuación yx210x5 es una función que tiene las variables x e

y

. La x es la variable de entrada e

y

es la variable de salida. Si le asignamos a x el valor de 2. Tendremos lo siguiente:

 

2

 

2 10 2 5 4 20 5 29 y       Y como observamos, la respuesta es 29. Y esa es la única respuesta posible. No obtendrás otra respuesta si vuelves a introducir un 2.

Notación de Funciones

Las variables x e

y

son muy comunes y resultan prácticas al momento de graficar funciones. Pero, a fin de poder manejar funciones fácilmente existe la notación de funciones. Hablemos, por ejemplo, de las siguientes ecuaciones: 2 2 1 y x  x

2

9 y



x



3 2 x x ye  A fin de evitar confusiones, es necesario “bautizar” cada una de las funciones.

 

₂

2

₁

f x



x

 

x

 

2

9 g x



x



 

x

₂

3x

h x



e



Lo anterior se lee como “efe de equis es igual a dos equis cuadrada más equis más uno”. Y así sucesivamente. Ahora podremos ser más específicos cuando hablemos acerca de

f

,

g

o

h

.

Evaluación una Función

Identificar la variable de entrada (independiente) resulta muy fácil. Si se te pide evaluar la función para un valor en específico, lo único que tienes que hacer es reemplazar dicho valor en donde sea que veas la variable de entrada. La variable de entrada es aquella que se encuentra entre paréntesis justo al lado del nombre de la función.

Digamos, por ejemplo, que se te pide evaluar la función

g x

 



2 x



9

cuando

x



80

. Entonces tendrás que escribir

g

 

80

. Para ello habrás de reemplazar con un 80 cada una de las x que veas. Después deberás realizar las operaciones para obtener la respuesta de salida tal como se muestra a continuación:

(2)

 

80 2 80

 

9 160 9

169 13

g



 



Entonces

g

 

80 

13

, “ge de ochenta es igual a trece”. La salida de la función

g

es igual a 13 si la entrada es 80.

Actividad 1

Evalúa las siguientes funciones. Ejemplo:

 

₃

3

₂

2

₅

₁₀

f x



x



x



x



, cuando x3

   

3

 

2

 

     

3 3 3 2 3 5 3 10 3 27 2 9 5 3 10 81 18 15 10 88 f              a)

f x

 



5 x



10

, cuando x3 b)

 

10

2 x

g x

x







, cuando x0 c)

h x

 



x

3



5 x

2

 

x

1

, cuando x2 d)

p x

 



2 x

3



x

2



7 x



5

, cuando x 3 e)

 

2 2 10 39 9 x x q x x     , cuando x2 f)

 

1

3

2

6

2 r x



x



x

 

x

, cuando x4 g)

f x

 



7 x

2



31 x



13

, cuando x3 h)

 

3 2 2 2 20 3 17 18 x x x g x x      , cuando x 1

Dominio de una Función

El dominio de una función está compuesto por todos los valores de entrada posibles de dicha función. Dicho de otra manera, se trata de todos los números que puede tener la variable de entrada de modo que no nos lleve a

(3)

una situación no deseada o imposible. Dichas situaciones se pueden presentar cuando manejamos fracciones, radicales, logaritmos, etc. Existen funciones que no tienen restricción alguna, pero cuando manejamos fracciones no es posible tener un cero como denominador (la parte inferior de la fracción). Las funciones logarítmicas sólo pueden manejar números positivos y, cuando se manejan radicales existen restricciones respecto a qué raíces se pueden calcular. Para determinar el dominio de una función necesitas expresar cuáles son los valores que puede tener la variable de entrada y cuáles son los valores que debes excluir. Existen distintas maneras de expresar el dominio de una función:

 Verbal: El dominio de la función

f x

 



x

2 son todos los números reales. No hay restricción.

 Desigualdades: El dominio de la función

g x

 



x

es

x



0

.

 Intervalos: El dominio de la función

h x

 



ln



x



3



es



3,





. Se muestran a continuación algunas funciones y sus respectivos dominios:

 

3 f x

 

x

El dominio de esta función son todos los números reales. No es necesario excluir ningún número ya que no hay fracción en donde pueda haber un cero como denominador, ni radicales con valores no deseados. Puedes escribir el dominio con el símbolo



, o por medio del intervalo



 

,



.

 

9 g x



x



El dominio de esta función consta del número 9 y cualquier número mayor que 9. Es decir,

x



9

. También puedes usar la notación por medio de intervalos,



9,





. No es posible tomar un valor menor a 9, porque se trataría de la raíz cuadrada de un número negativo, la cual no es un número real.

 

2

_

_

_

1 1 25 5 5 h x x x x     

El dominio de esta función consiste en todos los números reales excepto 5 y ‐5. Con desigualdades lo escribes como

x

 

5

, o

5 x

5   

, o

x



5

. Para expresarlo con intervalos lo escribes como



   

, 5

 

5,5

 



5,





. La razón por la que no puedes usar ‐5 ni 5 es porque el denominador se haría 0. Y una fracción con denominador cero da por resultado un número que no existe.

Rango de una Función

El rango de una función consta de todos los valores de salida posibles de una función. A veces, con sólo ver la ecuación es posible determinar el rango. Pero, muchas otras veces, es necesario graficar la función para verlo con claridad.

No existe un camino fácil para determinar el rango de una función. El rango puede consistir de todos los números reales o bien, puede ser restringido debido a la misma naturaleza de la función. Por otro lado, al conocer las características de ciertas funciones y echando un vistazo a sus gráficas, las cosas se facilitan un poco.

(4)

Veremos a continuación algunos ejemplos de funciones y sus rangos. Al igual que los dominios, los rangos se pueden expresar verbalmente, con desigualdades o por medio de intervalos.

 

3 f x

 

x

El rango de esta función son todos los números reales. Y se escribe

f





. Si deseas escribirlo usando intervalos, la respuesta sería



 

,



. La salida de la función puede ir desde números negativos muy grandes hasta números positivos muy grandes. Todo depende del valor que le asignemos a x.

 

2

₁

g x



x



El rango de esta función va desde 1 hasta el infinito (1 o cualquier número mayor que 1). Para escribirlo, puedes hacerlo como

g



1

. Si lo haces con intervalos se escribiría



1,





. A la salida de esta función no es posible tener un número menor a 1 debido a que, sin importar el valor de entrada, éste se elevará al cuadrado. Cualquier número elevado al cuadrado da por resultado un número positivo (incluso si elevas cero al cuadrado, obtendrás un cero). A ese valor todavía le sumas un 1 al final, por tanto no puedes obtener algo menor a 1 en la salida.

 

h x



x

Para esta función, el rango consta de todos los números positivos y 0. Se puede escribir

h



0

, con intervalos escribirías



0,





. El número dentro del radical no puede ser negativo, puesto que el resultado no existe dentro de los números reales. Y, por tanto, a la salida siempre tendremos un número positivo, o cero.

(5)

 

1

1 p x

x





Cuando se tratan de funciones como ésta, no es tan fácil determinar el rango. Por lo tanto, se sugiere que grafiquemos la función para darnos una mejor idea de cómo se comporta la función.

En la gráfica podemos apreciar que la curva nunca toca el eje de las equis. Para los números del dominio mayores a 1, la gráfica tiene valores positivos muy grandes para

y

, asimismo, tiene valores muy cercanos al cero. Para los números del dominio menores a 1, la curva se encuentra debajo del eje de las equis y siempre tiene valores negativos, algunos muy cercanos al 0. Pero, nunca llegan a tocar el eje de las equis. Por lo tanto, el rango comprende todos los números reales excepto el cero. Lo anterior lo puedes escribir como

p



0

. Si deseas escribirlo con notación por intervalos, la respuesta es





,0

 



0,





. Si observas bien, verás que la curva tampoco tiene un valor para cuando

1 x



. Eso se debe a que 1 está fuera del dominio de la función. ¿Recuerdas que se explicó anteriormente que no era posible dividir algo entre 0?