Una función arroja un valor (y sólo uno) por cada valor que se le introduce. En otras palabras, para cada valor de x, hay un solo valor de y.

Texto completo

(1)

¿Qué es una función? 

Una función es una relación entre dos variables: la variable independiente x, y la variable dependiente 

y

.  Sin  embargo, no toda relación es una  función. 

Una función arroja un valor (y sólo uno) por cada valor que se le introduce. En otras palabras, para cada valor de 

x, hay un solo valor de 

y

La ecuación yx210x5 es una función que tiene las variables x e 

y

. La x es la variable de entrada e

y

 es  la variable de salida. Si le asignamos a x el valor de 2. Tendremos lo siguiente: 

 

2

 

2 10 2 5 4 20 5 29 y         Y como observamos, la respuesta es 29. Y esa es la única respuesta posible. No obtendrás otra respuesta si vuelves  a introducir un 2. 

Notación de Funciones 

Las variables x e 

y

 son muy comunes y resultan prácticas al momento de graficar funciones. Pero, a fin de poder  manejar  funciones  fácilmente  existe  la notación  de  funciones.  Hablemos,  por  ejemplo,  de  las  siguientes  ecuaciones:  2 2 1 yx  x  

2

9

y

x

  3 2 x x ye    A fin de evitar confusiones, es necesario “bautizar” cada una de las funciones. 

 

2

2

1

f x

x

 

x

 

 

2

9

g x

x

 

 

x

2

3x

h x

e

  Lo anterior se lee como “efe de equis es igual a dos equis cuadrada más equis más uno”. Y así sucesivamente.  Ahora podremos ser más específicos cuando hablemos acerca de 

f

g

 o 

h

Evaluación una Función 

Identificar la variable de entrada (independiente) resulta muy fácil. Si se te pide evaluar la función para un valor  en  específico,  lo  único  que  tienes  que  hacer  es  reemplazar  dicho  valor  en  donde  sea  que  veas  la  variable  de  entrada.  La  variable  de  entrada  es  aquella  que  se  encuentra  entre  paréntesis  justo  al  lado  del  nombre  de  la  función. 

Digamos, por ejemplo, que se te pide evaluar la función 

g x

 

2

x

9

 cuando 

x

80

.  Entonces tendrás que  escribir 

g

 

80

. Para ello habrás de reemplazar con un 80 cada una de las x que veas. Después deberás realizar  las operaciones para obtener la respuesta de salida tal como se muestra a continuación: 

(2)

 

80

2 80

 

9

160 9

169 13

g

 

 

 

Entonces 

g

 

80

13

, “ge de ochenta es igual a trece”. La salida de la función 

g

 es igual a 13 si la entrada es 80. 

 

Actividad 1 

Evalúa las siguientes funciones.  Ejemplo: 

 

3

3

2

2

5

10

f x

x

x

x

 , cuando x3  

   

3

 

2

 

     

3 3 3 2 3 5 3 10 3 27 2 9 5 3 10 81 18 15 10 88 f                a)

f x

 

5

x

10

 , cuando x3    b)

 

10

2

x

g x

x

 , cuando x0    c)

h x

 

x

3

5

x

2

 

x

1

 , cuando x2    d)

p x

 

2

x

3

x

2

7

x

5

 , cuando x 3    e)

 

2 2 10 39 9 x x q x x      , cuando x2    f)

 

1

3

2

2

6

2

r x

x

x

 

x

 , cuando x4    g)

f x

 

7

x

2

31

x

13

 , cuando x3     h)

 

3 2 2 2 20 3 17 18 x x x g x x      , cuando x 1   

Dominio de una Función 

El dominio de una función está compuesto por todos los valores de entrada posibles de dicha función. Dicho de  otra manera, se trata de todos los números que puede tener la variable de entrada de modo que no nos lleve a 

(3)

una situación no deseada o imposible. Dichas situaciones se pueden presentar cuando manejamos fracciones,  radicales, logaritmos, etc.  Existen funciones que no tienen restricción alguna, pero cuando manejamos fracciones no es posible tener un  cero como denominador (la parte inferior de la fracción). Las funciones logarítmicas sólo pueden manejar números  positivos y, cuando se manejan radicales existen restricciones respecto a qué raíces se pueden calcular.  Para determinar el dominio de una función necesitas expresar cuáles son los valores que puede tener la variable  de entrada y cuáles son los valores que debes excluir.  Existen distintas maneras de expresar el dominio de una función: 

Verbal: El dominio de la función 

f x

 

x

2 son todos los números reales. No hay restricción. 

Desigualdades: El dominio de la función 

g x

 

x

 es 

x

0

Intervalos: El dominio de la función 

h x

 

ln

x

3

 es 

3,

.  Se muestran a continuación algunas funciones y sus respectivos dominios: 

 

3

f x

 

x

  El  dominio  de  esta  función  son  todos  los  números  reales.  No  es  necesario  excluir  ningún  número  ya  que  no  hay  fracción  en  donde  pueda haber un cero como denominador, ni radicales con valores no  deseados. Puedes escribir el dominio con el símbolo 

, o por medio  del intervalo 

 

,

.  

 

9

g x

x

  El  dominio  de  esta  función  consta  del  número  9  y  cualquier  número  mayor  que  9.  Es  decir, 

x

9

.  También  puedes  usar  la  notación  por  medio de intervalos, 

9,

. No es posible tomar un valor menor a 9,  porque se trataría de la raíz cuadrada de un número negativo, la cual  no es un número real. 

 

2



1 1 25 5 5 h x x x x       

El  dominio  de  esta  función  consiste  en  todos  los  números  reales  excepto  5  y  ‐5.  Con  desigualdades  lo  escribes  como 

x

 

5

,  o 

5

x

5

  

, o  

x

5

. Para expresarlo con intervalos lo escribes como 

   

, 5

 

5,5

 

5,

. La razón por la que no puedes usar ‐5 ni  5  es  porque  el  denominador  se  haría  0.    Y  una  fracción  con  denominador cero da por resultado un número que no existe. 

 

Rango de una Función 

El rango de una función consta de todos los valores de salida posibles de una función. A veces, con sólo ver la  ecuación es posible determinar el rango. Pero, muchas otras veces, es necesario graficar la función para verlo con  claridad. 

No existe un camino fácil para determinar el rango de una función. El rango puede consistir de todos los números  reales  o  bien,  puede  ser  restringido  debido  a  la  misma  naturaleza  de  la  función.  Por  otro  lado,  al  conocer  las  características de ciertas funciones y echando un vistazo a sus gráficas, las cosas se facilitan un poco. 

(4)

Veremos  a  continuación  algunos  ejemplos  de  funciones  y  sus  rangos.  Al  igual  que  los  dominios,  los  rangos  se  pueden expresar verbalmente, con desigualdades o por medio de intervalos.   

 

3

f x

 

x

       

El  rango  de  esta  función  son  todos  los  números  reales.  Y  se  escribe 

f

.  Si  deseas  escribirlo  usando  intervalos,  la  respuesta  sería 

 

,

.  La  salida  de  la  función  puede  ir  desde  números  negativos  muy grandes hasta números positivos muy grandes. Todo depende del  valor que le asignemos a x

 

2

1

g x

x

       

El  rango  de  esta  función  va  desde  1  hasta  el  infinito  (1  o  cualquier  número mayor que 1). Para escribirlo, puedes hacerlo como 

g

1

. Si  lo haces con intervalos se escribiría 

1,

. A la salida de esta función  no es posible tener un número menor a 1 debido a que, sin importar el  valor  de  entrada,  éste  se  elevará  al  cuadrado.  Cualquier  número  elevado  al  cuadrado  da  por  resultado  un  número  positivo  (incluso  si  elevas  cero  al  cuadrado,  obtendrás  un  cero).  A  ese  valor  todavía  le  sumas un 1 al final, por tanto no puedes obtener algo menor a 1 en la  salida. 

 

h x

x

        Para esta función, el rango consta de todos los números positivos y 0.  Se puede escribir 

h

0

, con intervalos escribirías 

0,

. El número  dentro del radical no puede ser negativo, puesto que el resultado no  existe dentro de los números reales. Y, por tanto, a la salida siempre  tendremos un número positivo, o cero. 

(5)

 

1

1

p x

x

        Cuando se tratan de funciones como ésta, no es tan fácil determinar el  rango. Por lo tanto, se sugiere que grafiquemos la función para darnos  una mejor idea de cómo se comporta la función.   

En  la  gráfica  podemos  apreciar  que  la  curva  nunca  toca  el  eje  de  las  equis.  Para  los  números  del  dominio  mayores  a  1,  la  gráfica  tiene  valores positivos muy grandes para 

y

,  asimismo,  tiene valores muy  cercanos al cero. Para los números del dominio menores a 1, la curva  se  encuentra  debajo  del  eje  de  las  equis  y  siempre  tiene  valores  negativos, algunos muy cercanos al 0. Pero, nunca llegan a tocar el eje  de las equis.    Por lo tanto, el rango comprende todos los números reales excepto el  cero. Lo anterior lo puedes escribir como 

p

0

. Si deseas escribirlo  con notación por intervalos, la respuesta es 



,0

 

0,

.    Si observas bien, verás que la curva tampoco tiene un valor para cuando 

1

x

.  Eso  se  debe  a  que  1  está  fuera  del  dominio  de  la  función.  ¿Recuerdas  que  se  explicó  anteriormente  que  no  era  posible  dividir  algo entre 0? 

 

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :