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β (t) = (1) 2 + ( t 1 t 2 dt = + 1 dt = 1 t 2 + t 1 f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{}

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Academic year: 2021

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(1)

Vamos a calcular las siguientes integrales de trayectoria a) Sea α(t) = (cos(t),sin(t)) con t ∈[0,π2] y f(x, y) =x+y Sol.

Tenemos que

f(α(t)) = cos(t) + sin(t) por otro lado

α0(t) = (−sin(t),cos(t)⇒ kα0(t)k=p (−cos(t))2+ (sin(t))2 = 1 Z c f = Z c f(α(t))kα0(t)kdt= Z π2 0

cos(t) + sin(t)dt= sin(t)−cos(t) π 2 0 = 2 b) Sea β(t) = (t,√1−t2) con t[0,1] y f(x, y) =x+y Sol. Tenemos que f(β(t)) = t+√1−t2

por otro lado β0(t) = 1,√−t

1−t2 ⇒ kβ0(t)k=q(1)2+ (−t 1−t2) 2 = 1 1−t2 ∴ Z c f = Z c f(β(t))kβ0(t)kdt= Z 1 0 t+√1−t2 1 √ 1−t2 dt = Z 1 0 t √ 1−t2 + 1 dt= −√1−t2+t 10 = 2

∴ El valor de la integral no depende de la parametrizaci´on Proposici´on 1. Sean 2 curvas de clase c1 α : [a, b]

Rn, β : [c, d] → Rn y sea el campo

f :u⊆Rn

R, si las curvas son equivalentes entonces

Z α f = Z β f

Demostraci´on. Tenemos que α ∼ β → α(t) = β(ϕ(t)) para ϕ biyectiva y creciente, entonces derivando α0(t) = β0(ϕ(t))·ϕ0(t) kα0(t)k = 0(ϕ(t))·ϕ0(t)k = 0(ϕ(t))k ·ϕ0(t) tenemos entonces que Z α f = Z b a f(α(t))·kα0(t)kdt= Z b a f(β(ϕ(t)))·kβ0(ϕ(t))k·ϕ0(t)dt = |{z} z=ϕ(t) Z d c f(z)·kβ0(z)kdz = Z β f

(2)

Ejemplo.- Hallar la masa de un alambre formado por la intersecci´on de la esferax2+y2+z2 = 1 y el plano x+y+z = 0. Si la densidad en (x, y, z) est´a dada´por ρ(x, y, z) = x2 gramos por unidad de longitud de alambre.

Sol.

Tenemos que

Si x+y+z = 0 entonces z =−x−y sustituimos en x2+y2+z2 = 1 obteniendo x2+y2+ (−x−y)2 = 1 simplif icando 2x2+ 2y2+ 2xy= 1

Esta ecuaci´on sobre el plano x+y +z = 0 representa un circulo de radio 1, que se puede parametrizar por c(t) = cos(t)· −→u + sin(t)· −→v donde −→u ,−→v ∈ P lano x+y +z = 0 y en ese plano son vectores ortonormales, por ejemplo si tomamos los vectores −→u = √1

2(−1,0,1) y 1

6(1,−2,1), tanto −

u como−→v esta en el planox+y+z = 0 son ortogonales y de norma 1. Por lo tanto en nuestro caso podemos utilizarlos para dar una parametrizaci´on del circulo unitario en el plano x+y+z = 0 teniendo asi:

c(t) = cos(t)· −→u + sin(t)· −→v = cos(t)·(√1

2(−1,0,1)) + sin(t)·( 1 √ 6(1,−2,1)) = sin(t) √ 6 − cos(t) √ 2 , −2 sin(t) √ 6 , cos(t) √ 2 + sin(t) √ 6 de donde c0(t) = cos(t) √ 6 + sin(t) √ 2 , −2 cos(t) √ 6 , −sin(t) √ 2 + cos(t) √ 6

(3)

Por tanto kc0(t)k= s cos(t) √ 6 + sin(t) √ 2 2 + −2 cos(t) √ 6 2 + sin(t) √ 2 + cos(t) √ 6 2 = s cos2(t) 6 + 2 sin(t) √ 6 cos(t) √ 2 + sin2(t) 2 + 4 6cos 2(t) + sin 2(t) 2 −2 sin(t) √ 6 cos(t) √ 2 + cos2(t) 6 = q sin2(t) + cos2(t) = 1 Por otro lado

F(c(t)) =F sin(t) √ 6 − cos(t) √ 2 , −2 sin(t) √ 6 , cos(t) √ 2 + sin(t) √ 6 = sin(t) √ 6 − cos(t) √ 2 2 = sin2(t) 6 −2 sin(t) √ 6 cos(t) √ 2 + cos2(t) 2 ∴ la masa es Z 2π 0 sin2(t) 6 −2 sin(t) √ 6 cos(t) √ 2 + cos2(t) 2 dt = |{z} ∗ 2 3π (*)Separando las integrales tenemos que

Z 2π 0 sin2(t) 6 dt = 1 6 Z 2π 0 sin2(t)dt = 1 2t− sin(2t) 4 20π = π 6 Z 2π 0 −2sin(t)√ 6 cos(t) √ 2 dt =− 2 √ 12 sin2(t) 2 20π = 0 Z 2π 0 cos2(t) 2 dt= 1 2t+ sin(2t) 4 20π = π 2

Integral de linea (Campos vectoriales)

Si F es un campo de fuerza en el espacio y supongamos que una part´ıcula que se muave a lo largo de la imagen de una trayectoria C mientras actua sobre ella una fuerza F. Si C es un desplazamiento en linea recta dado por el vector d y F es una fuerza constante, entonces el trabajo realizado por F al mover la part´ıcula a lo largo de la trayectoria es F ·d

(4)

c(t+ ∆t)−c(t) es el desplazamiento c(t+ ∆t)−c(t)

∆t =c

0

(t)

teorema del valor medio

∴c(t+ ∆t)−c(t) =c0(t)∆t

∴ el trabajo relaizado para ir de c(t) a c(t+ ∆t)

F ·d= magnitud de la fuerza por desplazamiento , entonces F(c(t))·∆sF(c(t))·c0(t)∆t

Al subdividir [a, b] en n partes iguales a =t0 < t1 < . . . < tn =b con ∆t =ti −ti−1 entonces el trabajo realizado esP

F(c(ti))·∆s=

P

F(c(ti))·c0(t)∆t y cuando n→ ∞ tenemos que el

trabajo ser´a el l´ımite de la suma anterior.

∴ El trabajo es Z b

a

F(c(t))·c0(t)dt

Integral de linea (Campos vectoriales)

Si F es un campo de fuerza en el espacio y supongamos que una part´ıcula que se muave a lo largo de la imagen de una trayectoria C mientras actua sobre ella una fuerza F. Si C es un desplazamiento en linea recta dado por el vector d y F es una fuerza constante, entonces el trabajo realizado por F al mover la part´ıcula a lo largo de la trayectoria es F ·d

(5)

F ·d= magnitud de la fuerza por desplazamiento , entonces c(t+ ∆t)−c(t) es el desplazamiento c(t+ ∆t)−c(t) ∆t =c 0 (t)

teorema del valor medio

∴c(t+ ∆t)−c(t) =c0(t)∆t

∴ el trabajo relaizado para ir de c(t) a c(t+ ∆t)

F(c(t))·∆sF(c(t))·c0(t)∆t

Al subdividir [a, b] en n partes iguales a =t0 < t1 < . . . < tn =b con ∆t =ti −ti−1 entonces el trabajo realizado esP

F(c(ti))·∆s=PF(c(ti))·c0(t)∆t y cuando n→ ∞ tenemos que el

trabajo ser´a el l´ımite de la suma anterior.

∴ El trabajo es Z b

a

F(c(t))·c0(t)dt

Ejemplo: Calcular el trabajo realizado por la fuerza F(x, y) = xyˆi+senyˆj y cuando el punto de aplicaci´on de esta recorre el arco de par´abola y=x2 cuando recorre el segmento de la recta y=x entre los puntos de corte entre ambas curvas.

Sol. Los puntos de corte son (0,0) y (1,1). Una parametrizaci´on de la par´abola y=x2 es c(t) = (t, t2), t[0,1] ∴F(c(t)) = F(t, t2) = (t3, sent2)c0(t) =)(1,2t) ∴ Z 1 0 (t3, sent2)·(1,2t)dt= Z 1 0 t3+ 2tsent2dt = t 4 4 −cost 2 1 0 = = 1 4 −cos(1)−(0−1) = 1 4 −cos(1) + 1 = 5 4 −cos(1) Para el segundo trabajo

(6)

Una parametrizaci´on es c(t) = (t, t), t[0,1]F(c(t)) = (t2, sent) yc0(t) = (1,1) ∴ Z 1 0 (t2, sent)·(1,1)dt = Z 1 0 t2+sentdt= t 3 3 −cost 1 0 = 1 3−cos(1)−[0−1] = 4 3 −cos(1).

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