Cajón de Ciencias
Funciones
¿Qué es una función?
Una función es una "fórmula" matemática con dos letras que representan dos variables. Nosotros podremos darle un valor a una de las variables, y cuando operemos todo, nos saldrá un valor para la otra variable.
Veámoslo con un ejemplo:
y = 2x + 4
"y" y "x" son las dos variables.
"x" es la variable a la que nosotros daremos el valor que queramos. Se llama variable independiente precisamente porque podemos elegir cuánto vale.
"y" es la variable dependiente porque su valor dependerá de lo que hayamos dado a la "x".
Si nosotros decimos que la "x" vale 5, entonces para calcular la "y" tenemos que multiplicar la "x" por dos y luego sumarle 4 (recuerda las normas de prioridad entre operaciones: si no hay paréntesis, primero los productos y luego las sumas):
y = 2·5 + 4 y = 14
Las funciones pueden tener formas muy diferentes. Pueden ser tan pequeñas como
y = x
o tan largas como quieras:
y = (3 + x)2 - 4x + 5
Pero la forma de trabajar con ellas es siempre la misma: cambiamos la "x" por el número que queramos (natural, decimal, fracción o negativo), operamos y vemos cuál es el valor de "y".
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Gráfica de una función
Todas las funciones pueden representarse en los ejes de coordenadas, no importa cómo sean. Vamos a ver ahora cómo se representan las funciones más básicas, como la del primer ejemplo. Las funciones más compliadas requieren métodos y teoría que todavía no has visto.
Representar una función es de lo más fácil. Podemos hacerlo en dos pasos, que vamos a explicar usando la función "y = 2x + 4"
1. Hacer una tabla de valores
Tenemos que calcular, del mismo modo que vimos al principio, unos cuantos valores de "y", y los colocamos en una tabla:
X Y
0 4
1 6
-1 2
Como puedes elegir los valores de "x" que te apetezca, lo normal es utilizar números bajitos y fáciles. Pero si te gustan los desafíos, eres libre de dar a la "x" el valor de π, 17/8 o 45,6783.
¿Cuántos valores tienes que calcular? Como mínimo deberías hallar tres, porque si te equivocas en alguno, en el segundo paso (que veremos en un momento) detectarías el error. Obviamente no puedes calcular sólo uno, porque no sabrías cómo es la función. Eso sí, no hay máximo: si te sobra tiempo y te aburres, puedes hacer una tabla con sesenta valores para la "x". Pero yendo a lo práctico, tres o cuatro valores están bien.
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2. Colocar los puntos y dibujar la gráfica
Debes saber una cosa: cada pareja de valores de tu tabla es en realidad un punto, que podrás situar en los ejes de coordenadas. Así, según la tabla anterior tendremos tres puntos, el (0,4), el (1,6) y el (-1,2). Dibujamos los ejes de coordenadas y colocamos los puntos:
Si los hemos calculado bien, los tres puntos nos tienen que quedar perfectamente alineados. Lo único que quedaría por hacer es unirlos para obtener la gráfica de nuestra función:
¿Ves el por qué de sacar como mínimo tres puntos? Si sólo calculamos dos, siempre estarán alineados, aunque uno de ellos esté mal. Pero si sacas tres y no salen alineados, te das cuenta de que alguno de los tres está mal y puedes volver atrás, revisar y corregir el error.
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¿Todas las funciones tienen forma de recta? Claro que no, pero las funciones básicas como la del ejemplo sí. En general, cualquier función del tipo
y = algo multiplicando a equis más algo
tienen forma de recta, más o menos inclinada. Así que si el dibujo de tu función tiene forma de curva extraña, y es de este tipo, algo has calculado mal.
Por cierto, una función del tipo
y = algo por equis
también tiene forma de recta. Simplemente es que "el segundo algo" vale cero:
y = 6x → y = 6x + 0
Dos funciones básicas un poco raras
Vamos a ver ahora dos funciones que también tienen forma de recta, pero que, sobre todo al principio, despistan un poco.
- Funciones "y = a" (donde "a" es cualquier número)
Imagina que te encuentras esta función:
y = -2
Parece extraña porque "le faltan cosas". ¿Cómo se representa? En realidad, precisamente porque le faltan cosas es mucho más fácil que las anteriores. Piensa un poco: si a la equis (aunque no esté) le damos el valor 3, ¿cuánto vale la "y"? Lee lo que pone la función:
"y es igual a menos dos"
Por lo tanto, nosotros obedecemos y para x = 3, y = -2. Si ahora a la equis le damos el valor de 1, ¿cuánto vale la "y"? Menos dos. ¿Y si la equis valiese 4, 19 o 123? exacto: la "y" siempre vale -2.
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X Y
3 -2
1 -2
4 -2
Cuando las dibujes, verás que siempre son rectas totalmente horizontales. ¿A que no era tan difícil?
- Funciones "x= a" (donde "a" es cualquier número)
El caso contrario es cuando la "y" no aparece por ningún lado, y se nos dice que la equis vale siempre el mismo número. En este caso, lo que hacemos es darle valores (los que queramos) a la "y" (aunque no esté, como en el caso anterior pasaba con la equis). Por ejemplo, si tenemos la función "x = 5", nos saldría una tabla de valores como esta:
X Y
5 3
5 -6
5 0
