Examen de los temas 12 y 13

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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Temas 12 y 13

1. a) (0,75 puntos) Explica brevemente el concepto de correlación. Pon dos ejemplos: uno con correlación directa y otro con correlación inversa.

b) (0,75 puntos) Explica el significado del coeficiente de correlación lineal. ¿Entre qué valores se mueve?

2. El número de horas de estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen correspondiente, fue, para 7 personas, vienen dados en la siguiente tabla.

Horas (X) 5 8 10 12 15 17 18 Calificación (Y) 3 6 5 6 9 7 9

a) (1 punto) Dibuja la nube de puntos y traza, aproximadamente, la recta de regresión asociada. ¿Cómo dirías que es la correlación observada?

b) (2 puntos) Calcula, indicando todos los pasos intermedios, el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.

Algunas fórmulas: 2 2

x n

x

sx =

i − ; xy n

y x

sxy =

i i − ;

y x

xy

s s

s r

·

=

→ Si utilizas exclusivamente la calculadora debes especificar todos los parámetros que intervienen en las soluciones. En este caso, la puntuación será de 1,5 puntos como máximo.

c) (0,5 punto) ¿Para qué puede utilizarse la recta de regresión de Y sobre X? Pon un ejemplo. d) (0,5 puntos) ¿Piensas que las predicciones obtenidas a partir de la recta de regresión son fiables? Justifica la respuesta.

3. (1 punto) Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades: ( )P A =0, 4; ( ) 0, 5

P B = y (P AB)=0, 7.

a) ¿Son los sucesos A y B incompatibles? Razona la respuesta. b) ¿Son sucesos independientes? Razona la respuesta.

4. (2 puntos) Sobre una mesa hay dos bolsas iguales opacas. Una de ellas contiene 2 bolas verdes y 3 rojas; la otra, 4 bolas verdes y 1 roja.

a) Si se elije una bolsa al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja?

b) Si se elije una bolsa al azar y se extrae dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las bolas sean de distinto color?

5. (2 puntos) En una empresa trabajan 3 mujeres por cada 2 hombres. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 26% de los hombres necesitan gafas. Con esos datos construye una tabla de contingencia que distribuya a los trabajadores según su sexo y necesidad de gafas. A partir de los datos de esa tabla, si se elige un empleado al azar halla la probabilidad de los sucesos que se indican:

a) Que sea mujer. b) Que sea una mujer y necesite gafas. c) Que sea mujer si necesita gafas. d) Que sea mujer o necesite gafas.

(2)

Soluciones

1. a) (0,75 puntos) Explica brevemente el concepto de correlación. Pon dos ejemplos: uno con correlación directa y otro con correlación inversa.

b) (0,75 puntos) Explica el significado del coeficiente de correlación lineal. ¿Entre qué valores se mueve?

Solución

a) Cuando al estudiar distribuciones bidimensionales se observa que los cambios en una de las variables acarrean cambios en la otra se dice que las variables están correlacionadas. Estas variaciones pueden observarse al dibujar el diagrama de dispersión, la nube de puntos.

:

Si la nube de puntos adopta una forma alargada, la correlación puede calificarse de lineal. Cuando las variables crecen conjuntamente, la correlación es directa. Si, por el contrario, al aumentar una de ellas disminuye la otra, la correlación será inversa.

La correlación puede calificarse como fuerte cuando el grado de dependencia es alto; y como débil en caso contrario.

Ejemplos:

→ La correlación entre el número de zapato y la estatura de las personas es directa y fuerte. A mayor número de zapato suele corresponder una mayor estatura de la persona.

→ Las variables temperatura y número de enfermos de gripe están inversamente correlacionadas: a menor temperatura más enfermos de gripe. Quizá se trate, también, de una correlación fuerte.

b) El coeficiente de correlación lineal

Este coeficiente, denotado por r, se define así:

es el criterio que se utiliza para medir la fuerza de la correlación entre dos variables.

y x

xy

s s

s r

·

=

Esto es, la razón entre la covarianza de las variables X e Y y el producto de sus desviaciones típicas marginales.

El valor de r está entre –1 y +1: –1 ≤r≤ 1

→ Si r toma valores cercanos a –1, la correlación es fuerte (e inversa).

→ Si r toma valores cercanos a +1, la correlación es fuerte (y directa).

2. El número de horas de estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen correspondiente, fue, para 7 personas, vienen dados en la siguiente tabla.

Horas (X) 5 8 10 12 15 17 18 Calificación (Y) 3 6 5 6 9 7 9

a) (1 punto) Dibuja la nube de puntos y traza, aproximadamente, la recta de regresión asociada. ¿Cómo dirías que es la correlación observada?

b) (2 puntos) Calcula, indicando todos los pasos intermedios, el coeficiente de correlación y la recta de regresión de Y sobre X.

Algunas fórmulas: 2 2

x n

x

sx =

i − ; xy n

y x

sxy =

i i − ;

y x

xy

s s

s r

·

=

→ Si utilizas exclusivamente la calculadora debes especificar todos los parámetros que intervienen en las soluciones. En este caso, la puntuación será de 1,5 puntos como máximo.

c) (0,5 punto) ¿Para qué puede utilizarse la recta de regresión de Y sobre X? Pon un ejemplo. d) (0,5 puntos) ¿Piensas que las predicciones obtenidas a partir de la recta de regresión son fiables? Justifica la respuesta.

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a) En la siguiente figura se representan los puntos de la tabla anterior. La línea de trazos puede ser una recta de regresión aceptable.

Como la recta tiene pendiente positiva y la nube de puntos es estrecha, la correlación es directa y fuerte.

b) De acuerdo con las fórmulas de los parámetros hay que hacer sumas, sumas de cuadrados y sumas de productos; para ello resulta eficaz la siguiente tabla:

Con esto: 14 , 12 7 85 = =

x ; 6,43

7 45 = = y 46 , 4 14 , 12 7

1171 2 =

=

x

s ; 6,43 1,99

7

317 2 =

=

y

s ; 12,14·6,43 7,80 7 601 = − = xy s Por último, 88 , 0 99 , 1 · 46 , 4 80 , 7 = = r .

Al ser r próximo a +1, la correlación entre las horas de estudio y las notas de examen es directa y fuerte: a más horas de estudio, mejor nota de examen.

La recta de regresión es

) 14 , 12 ( 90 , 19 80 , 7 43 ,

6 = −

x

yy=0,39x+1,67

(Es la que se ha trazado anteriormente).

→En todos los casos se ha redondeado a las centésimas. Los resultados obtenidos con la calculadora son:

12,142857

x = ; y=6, 428571, sx=4, 453845; sy =1, 989770; sxy =7, 759198; r = 0,879689;

y = 0,393004x + 1,656379.

c) La recta de regresión se puede utilizar, en este caso, para predecir (deducir) la calificación de los estudiantes de ese grupo y asignatura. Así, por ejemplo, si un estudiante dedica 14 horas al estudio cabe esperar que obtendrá un 7: si x = 14, y=0, 39·14 1, 67+ =7,13.

i

x yi xi2 yi2 xiyi

5 3 25 9 15

8 6 64 36 48

10 5 100 25 50

12 6 144 36 72

15 9 225 81 135

17 7 289 49 119

18 9 324 81 162

85

=

xi

yi =45

xi2 =1171

=317

2

i

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d) Las predicciones obtenidas a partir de la recta de regresión son bastante fiables, pues el coeficiente de correlación es alto: r = 0,879689.

Si se calcula el coeficiente de determinación, r2 =0, 77, lo que indica que el 77% de la variación de la calificación viene explicada por las horas dedicadas al estudio. El 23% restante hay que atribuirlo a otros motivos (cansancio, nervios, suerte…).

Las predicciones son más fiables cuando las estimaciones se hacen para valores de x cercanos a la media x; pudiendo presentar resultados absurdos cuando se utilizan valores alejados de la media, así, para x = 30 se obtiene una nota de 13,37 puntos cuando la nota máxima es 10.

3. (1 punto) Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades: P A( )=0, 4;

( ) 0, 5

P B = y P A( ∪B)=0, 7.

a) ¿Son los sucesos A y B incompatibles? Razona la respuesta. b) ¿Son sucesos independientes? Razona la respuesta.

Solución

a) Dos sucesos A y B son incompatibles cuando :

( ) 0

P AB = .

Como

( ) ( ) ( ) ( )

P AB =P A +P BP ABP A( ∩B)=P A( )+P B( )−P A( ∪B)

En este caso:

( ) 0, 4 0, 5 0, 7 0, 2

P AB = + − = ≠ 0 ⇒ A y B no son incompatibles.

b)Dos sucesos A y B son independientes cuando P A( ∩B)=P A P B( )· ( ). Como

( ) 0, 2

P AB = y P A P B( )· ( )=0, 4·0, 5=0, 2 ⇒ los sucesos son independientes.

4. (2 puntos) Sobre una mesa hay dos bolsas iguales opacas. Una de ellas contiene 2 bolas verdes y 3 rojas; la otra, 4 bolas verdes y 1 roja.

a) Si se elije una bolsa al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja?

b) Si se elije una bolsa al azar y se extrae dos bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las bolas sean de distinto color?

Solución

Sea A la bolsa con 2 bolas verdes y 3 rojas; y B la bolsa con 4 bolas verdes y 1 roja. :

Ambas bolsas puede elegirse con probabilidad 1/2.

Sean V y R los sucesos bola verde y bola roja, respectivamente. El diagrama de árbol asociado al experimento es el siguiente.

a) Si se elige bolsa y se extrae una bola,

( ) ( )· ( / ) ( )· ( / )

P R =P A P R A +P B P R B

1 3 1 1 4 2 ( ) · ·

2 5 2 5 1 0 5

P R = + = =

b) Si se elige bolsa y se extraen dos bolas, los sucesos que se piden son V y R (o R y V), en cualquier orden. La probabilidad pedida es:

( y ) ( )· ( y ) ( )· ( y )

P V R =P A P V R +P B P V R

1 2 3 3 2 1 4 1 1 4 1 ( y ) · · · ·

2 5 4 5 4 2 5 4 5 4 2

P V R =  + +  + =

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5. (2 puntos) En una empresa trabajan 3 mujeres por cada 2 hombres. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 26% de los hombres necesitan gafas. Con esos datos construye una tabla de contingencia que distribuya a los trabajadores según su sexo y necesidad de gafas. A partir de los datos de esa tabla, si se elige un empleado al azar halla la probabilidad de los sucesos que se indican:

a) Que sea mujer. b) Que sea una mujer y necesite gafas. c) Que sea mujer si necesita gafas. d) Que sea mujer o necesite gafas. Solución

Para evitar fracciones y números decimales puede suponerse que en la empresa hay 500 trabajadores. De ellos, 300 serán mujeres; 200 serán hombres.

:

Necesitan gafas el 20% de las mujeres → 300 · 0,20 = 60; Necesitan gafas el 26% de los hombres → 200 · 0,26 = 52. Por tanto, puede construirse la siguiente tabla

Mujeres (M) Hombres (H) Total Necesitan gafas (G) 60 52 112 No necesitan gafas (NG) 240 148 388

Total 300 200 500

Se tienen las siguientes probabilidades:

a) Que sea mujer → ( ) 300 0, 6 500

P M = =

b) Que sea una mujer y necesite gafas → ( ) 60 0,12 500

P MG = = .

c) Que sea mujer si necesita gafas → ( / ) 60 0, 5357 112

P M G = ≈ .

d) Que sea mujer o necesite gafas →

300 112 60 352

( ) ( ) ( ) ( ) 0, 704

500 500 500 500

P MG =P M +P GP MG = + − = = .

Figure

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