55 Curs 2015-16
MAT CFGS-13
Sigue la GEOMETRÍA (Nunca han puesto nada de esto, pero está en el programa)
Definición de vectores Definición de ve cto r:
Un vector fij o es u n segmento orienta do qu e va del pun to A (origen) al p unto B ( extremo).
Módulo del vector : Es la lo ngitud del segme nto AB , se rep resenta por
Dirección y sentid o del ve ctor:
Dirección de un ve ctor: Es la dire cción de la recta q ue con tiene al ve ctor o de
cualquier recta p aralela a ella.
Sentido del ve cto r: El que va del origen A al extremo B. Vectores opues tos:
Dos pu ntos A y B determinan dos vectores fijos y , con sentid o dis tinto, que se llaman vecto res o puestos .
Vector n ulo: Un vector fijo es nulo cuan do el origen y su ex tremo coinciden.
Vector posic ión. Coordenadas de un Vecto r
1 Vector de posición de un punto en el plano de coordenadas
El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.
2 Coordenadas o componentes de un vector en el plano
Si las coordenadas de A y B son: Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
56 Un vector tiene de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoce el extremo B(12, −3).
Módulo de un vecto r. Distanc ia ent re dos p untos
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero. 1 Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Ejemplo:
2 Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos
Ejemplo:
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.
Ejemplo:
Vector unitario
Los vectores unitarios tienen de módulo la unidad.
Normalizar un vector: Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado.
57 Ejemplo:
Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector unitario de su misma dirección y sentido.
Suma y re sta de vecto res Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremode uno coincida con el origen del otro vector.
Regla del paralelogramo
Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectoresobteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Resta de vectores
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto de .
Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.
Ejemplo:
58 El producto de un número k por un vector es otro vector:
1 De igual dirección que el vector .
2 Del mismo sentido que el vector si k es positivo. 3 De sentido contrario del vector si k es negativo. 4 De módulo
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
Ejemplo:
Ecuación ve ctoria l de la recta
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del plano, alineados con un punto P y con una dirección dada . Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el
vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:
Ejemplo:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación vectorial.
Ecuaciones paramét ri cas de la re cta A partir de la ecuación vectorial:
Realizando las operaciones indicadas se obtiene:
59
Ejemplo:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir sus ecuaciones paramétricas.
Ecuación punto -pendiente Pendiente
La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
1 Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo:
2 Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.
Ecuación punto-pendiente
Partiendo de la ecuación continua la recta
60 Y despejando:
Como
Se obtiene:
Ejemplos:
1 Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.
2 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).
3 Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2, -3) y tiene una inclinación de 45°.
Ecuación continua de la re cta
Si de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro k.
Y si igualamos, queda:
Ejemplo:
Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director = (2,5). Escribir su ecuación continua.
Ecua ción general de la re cta
Partiendo de la ecuación continua la recta
61 Trasponiendo términos:
Haciendo Se obtiene
Esta expresión recibe el nombre de ecuación general o implicita de la recta. De esta forma se acostumbra a dar la respuesta cuando se pide la ecuación de una recta.
Las componentes del vector director son:
La pendiente de la recta es:
Ejemplos:
1 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como vector director igual (-2, 1).
2 Hallar la ecuación de la que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
Ecuación e xplí cita de la re cta Si en la ecuación general de la recta despejamos y, se obtienen:
El coeficiente de la x es la pendiente, m.
El término independiente, b, se llama ordenada en el origen de una recta siendo (O, b) el punto de corte con el eje OY.
Ejemplo:
Hallar la ecuación en forma explícita de la recta que pasa por A (1,5) y tiene como pendiente m=-2.
62 Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un vector director de la recta es:
cuyas componentes son:
Sustituyendo estos valores en la forma continua:
Ejemplo:
