Validación de datos experimentales mediante hotbox de la respuesta transitoria de estructuras de muros
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(2) IM-2004-II-02 Declaro que soy el único autor de la presente tesis Autorizo a la Universidad de los Andes para que este tesis sea prestada a otras instituciones o personas para propósitos de investigación solamente.. Firma. T ambién autorizo a la Universidad de los Andes para que este documento sea fotocopiado en su totalidad o en parte por otras instituciones o personas con fines de investigación solamente.. Firma. ii.
(3) IM-2004-II-02. Página del lector La Universidad de los Andes requiere la firma de todas las personas que utilicen o fotocopien esta tesis. Favor firmar debajo dando nombre y dirección.. iii.
(4) IM-2004-II-02. Carta de Presentación. Bogotá, enero 14 de 2005. Doctor ALVARO PINILLA Director Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes. Estimado doctor Pinilla. Por medio de la presente me permito poner en consideración el proyecto de grado titulado : “ Validación de Datos Experimentales Mediante Hotbox de la Respuesta T ransitoria de Estructuras de Muros” como requisito parcial de grado del programa de Pregrado en ingeniería Mecánica. Agradezco su amable atención y me suscribo de Ud.. Atentamente,. FERNANDO ACOST A U.. iv.
(5) IM-2004-II-02. Resumen Este trabajo describe un método experimental dinámico para determinar los coeficientes de la función de transferencia típicos de un muro utilizando un dispositivo llamado caja caliente. La obtención de estos coeficientes permite predecir de una manera adecuada el comportamiento transiente del muro ante variaciones de temperatura. Se ha dispuesto de dos muros diferentes para su evaluación experimental mediante un método conocido como rampa rápida, adicionalmente se realizaron análisis transientes de tipo analítico y computacional, de tal manera que se lograra corroborar los datos obtenidos mediante el método experimental.. v.
(6) IM-2004-II-02. Tabla de Contenido Página del lector..........................................................................................................................iii Carta de Presentación...................................................................................................................iv Resumen ......................................................................................................................................v T abla de Contenido......................................................................................................................vi Lista de Figuras..........................................................................................................................vii Lista de Tablas ..........................................................................................................................viii Capítulo 1 INT RODUCCIÓN .......................................................................................................1 Capítulo 2 MARCO TEÓRICO.....................................................................................................2 2.1 Ley de Fourier.....................................................................................................................2 2.2 Conducción T érmica............................................................................................................2 Capítulo 3 MONTAJE EXPERIMENT AL .....................................................................................4 3.1 CELDA CALORIMÉT RICA...............................................................................................4 3.2 PROT OTIPOS EVALUADOS.............................................................................................5 3.2.1 CÁLCULO DE LA RESIST ENCIA T ÉRMICA EQUIVALENT E PARA EL MURO 1....6 3.2.2 CÁLCULO DE LA RESIST ENCIA T ÉRMICA EQUIVALENT E PARA EL MURO 2....7 3.2.3 PROPIEDADES EQUIVALENT ES DE LOS PROT OTIPOS..........................................7 Capítulo 4 TERMOCUPLAS ........................................................................................................9 4.1 UBICACIÓN DE LAS T ERMOCUPLAS...........................................................................10 4.2 CALIBRACIÓN DE LAS T ERMOCUPLAS......................................................................11 Capítulo 5 MET OLODOGÍA EXPERIMENT AL .........................................................................13 Capítulo 6 MET ODOLOGÍA ANALÍTICA .................................................................................22 Capítulo 7 MET ODOLOGÍA COMPUT ACIONAL......................................................................25 Capítulo 8 EVALUACIÓN Y RESULT ADOS.............................................................................26 8.1 FUNCIONES DE T EMPERAT URA EVALUADAS...........................................................26 8.2 RESULT ADOS OBTENIDOS...........................................................................................27 8.2.1 RESULT ADOS EN MURO 1......................................................................................27 8.2.2 RESULT ADOS EN MURO 2......................................................................................29 Capítulo 9 CONCLUSIONES .....................................................................................................31 BIBLIOGRAFÍA........................................................................................................................32. vi.
(7) IM-2004-II-02. Lista de Figuras T itulo. Página. Figura 2.1. Conducción de calor a través de una barra. 3. Figura 3.1. Celda Calorimétrica. 4. Figura 3.2. Caja Caliente. 4. Figura 3.3. Muros Evaluados. 5. Figura 3.4. Esquemático de las resistencias térmicas que intervienen para el muro 1. 6. Fígura 3.5. Esquemático de las resistencias térmicas que intervienen para el muro 2. 7. Figura 4.1. Esquemático de una termocupla. 9. Figura 4.2. Ubicación de las termocuplas, todas las medidas en metros. 11. Figura 4.3. Calibración de las Termocuplas utilizadas para la caja fría. 12. Figura 4.4. Calibración de las Termocuplas utilizadas para la caja caliente. 12. Figura 5.1. Rampa para el muro 1. 13. Figura 5.2. Temperaturas en la caja caliente para el muro 1. 14. Figura 5.3. Calor transferido durante la excitación de rampa rápida para el muro 1. 15. Figura 5.4. Valores de. ϑ , para el muro 1.. 17. Figura 5.5. Valores de. ϑr , para el muro 1.. 18. Figura 5.6. Factores de Respuesta (yis ) y Coeficientes de la Función de. 20. Transferencia (Y is ) para el muro 1 Figura 6.1. Distribución transiente de temperatura para un sólido semi-infinito para. 22. una superficie a temperatura constante. Figura 7.1. Esquemático de el paso de una función de temperatura a travésdel muro. 25. Figura 8.1. Funciones de temperatura evaluadas. 26. Figura 8.2. Flujo de calor en el muro 1 debido a función 1. 27. Figura 8.3. Flujo de calor en el muro 1 debido a función 2. 27. Figura 8.4. Flujo de calor en el muro 1 debido a función 3. 28. Figura 8.5. Flujo de calor en el muro 1 debido a función 4. 28. Figura 8.6. Flujo de calor en el muro 2 debido a función 1. 29. Figura 8.7. Flujo de calor en el muro 2 debido a función 2. 29. Figura 8.8. Flujo de calor en el muro 2 debido a función 3. 30. Figura 8.9. Flujo de calor en el muro 2 debido a función 4. 30. vii.
(8) IM-2004-II-02. Lista de Tablas Inserte la lista de tabla en este sitio.. T itulo. Página. Tabla 3.1. Propiedades de los materiales. 6. Tabla 3.2. Propiedades equivalentes en los muros. 8. Tabla 4.1. Tipos estandarizados de Termocuplas. 10. Tabla 5.1. Valores de V, δ para cada muro. 15. T abla 5.2. Valores de polos y residuos en ambos muros. 19. T abla 5.3. Coeficientes de la función de transferencia. 21. viii.
(9) IM-2004-II-02. Capítulo 1 INTRODUCCIÓN. Para mantener un ambiente agradable dentro de una edificación, se utilizan sistemas de calefacción y aire acondicionado. Actualmente en Colombia estos sistemas no tienen mucha aplicación debido a su ubicación geográfica, la carencia de estaciones climáticas no permite la presencia de periodos de temperaturas extremas, sin embargo, en las ciudades de baja altitud (menor a 500 msnm), el aire acondicionado es ampliamente utilizado, principalmente si se trata de ciudades turísiticas. Durante el diseño de este tipo de edificaciones, es importante tener en cuenta su respuesta térmica, principalmente para la selección de los materiales de construcción con los cuales se contará para los muros y ventanas. Un diseño óptimo busca minimizar tanto costos de construcción como de mantenimiento y operación de las edificaciones. El siguiente documento presenta un método de tipo experimental propuesto por D. M. Burch (1990), el cual requiere de un dispositivo de medición (caja caliente) que es relativamente simple de construir, con el cual se pueden obtener los coeficientes de la función de transferencia necesarios para predecir el comportamiento dinámico de los muros en una edificación. Luego del análisis experimental, se propone una metodología analítica para la predicción de este tipo de comportamientos, basada en la teoría de un muro semi-infinito y un análisis computacional mediante el empleo del programa WinTherm, el cual se basa en métodos de elementos finitos. Finalmente se presentan los resultados obtenidos para cuatro funciones diferentes de temperatura y se realizan diferentes análisis sobre los mismos. 1.
(10) IM-2004-II-02. Capítulo 2 MARCO TEÓRICO. 2.1 Ley de Fourier Joseph Fourier publicó su libro Théorie Analytique de la Chaleur en 1822. En este, el formuló una exposición muy completa de la teoría de conducción de calor. Comenzó su tratado la ley empírica que lleva su nombre: el flujo de calor q, que se presenta durante un proceso de conducción térmica es proporcional a la magnitud del gradiente de temperatura y opuesto a éste en signo. Si a la constante de proporcionalidad se le llama K, luego: q = −K. dT dx. A la constante K se le llama conductividad térmica, y debe tener unidades de W/m·K, o J/m·s·K o Btu/h·ft·ºF 2.2 Conducción Térmica Sea q la densidad de flujo de energía (energía por unidad de área y por unidad de tiempo), que se establece en la barra debido a la diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma. La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre el flujo de energía q y el gradiente de temperatura. q=K. ∂T ∂x. Siendo K una constante característica del material denominada conductividad térmica.. 2.
(11) IM-2004-II-02. Figura 2.1 Conducción de calor a través de una barra. Consideremos un elemento de la barra de longitud dx y sección S. La energía que entra en el elemento de volumen en la unidad de tiempo es qS, y la que sale es q’S. La energía del elemento cambia, en la unidad de tiempo, en una cantidad igual a la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente. qS − q´S = −. ∂q Sdx ∂x. Esta energía, se emplea en cambiar la temperatura del elemento. La cantidad de energía absorbida o cedida (en la unidad de tiempo) por el elemento es igual al producto de la masa de dicho elemento por el calor específico y por la variación de temperatura.. (ρSdx )c. ∂T ∂t. Igualando ambas expresiones, y teniendo en cuenta la ley de Fourier, se obtiene la ecuación diferencial que describe la conducción térmica a2. ∂T ∂ 2 T ρc = 2 con a 2 = K ∂t ∂x 3.
(12) IM-2004-II-02. Capítulo 3 MONTAJE EXPERIMENTAL Se presentará a continuación una breve descripción de la celda calorimétrica que se utilizó durante la toma de datos experimentales. Una mejor descripción de la celda utilizada para este experimento se puede consultar en Lenis, D. (2004) y en Santos, G. (2004). Adicionalmente, se presenta los muros que se evaluaron para el proyecto. 3.1 CELDA CALORIMÉTRICA En la figura 3.1 se puede apreciar la celda utilizada, con sus respectivas divisiones, caja caliente y caja fría.. Dimensiones: Caja Caliente: 1m x 1m x 0.6 m Caja Fría: 1m x 0.5m x 0.6m Muro: 1m x 0.6m x 0.12m Espesor Icopor: 12mm Espesor Madera: 12mm Figura 3.1 Celda Calorimétrica. Figura 3.2 Caja Caliente. La figura 3.2 Corresponde a la caja caliente, donde se puede apreciar el calentador y el ventilador que permiten mantener la temperatura homogénea dentro de la caja caliente. Los muros se instalan en el medio de las dos cajas de tal forma que se puedan manipular los ambientes a cada lado y recolectar los datos de interés.. 4.
(13) IM-2004-II-02. 3.2 PROTOTIPOS EVALUADOS En la figura 3.3, se puede ver una breve descripción geométrica de cada uno de los muros evaluados, para diferenciar con mayor facilidad el muro tratado, se han nombrado como muro 1 y 2, a cada uno de los prototipos. El muro 1, ha sido construido con un bloques comúnmente conocidos como No. 5 de tipo entero, el muro 2, ha sido construido con bloques conocidos como bloquelón muro. Muro 1. Muro 2. Figura 3.3. Muros Evaluados. 5.
(14) IM-2004-II-02. Debido a su diferencia de tipo geométrico, su respuesta térmica es igualmente diferente, como pudo comprobarse a través de este proyecto. Es necesario calcular una resistencia térmica equivalente que permita realizar un modelamiento adecuado de los muros, así como una densidad y calor específico. La tabla 3.1, presenta las propiedades para cada uno de los materiales que conforman los muros, todos estos datos fueron tomados de Incropera, Frank P. (4th Edition). TABLA 3.1 PROPIEDADES DE LOS M ATERIALES Material. Propiedad Cp (J/KgK). K (W/mK). ρ (Kg/m3). Ladrillo. 960. 0.72. 2000. Mortero. 780. 0.72. 1860. 1007. 0.0255. 1.21. Aire. 3.2.1 CÁLCULO DE LA RESISTENCIA TÉRMICA EQUIVALENTE PARA EL MURO 1. Figura 3.4 Esquemático de las resistencias térmicas que intervienen para el muro 1.. 6.
(15) IM-2004-II-02. Al calcular la resistencia térmica equivalente, para un solo ladrillo en el muro 1, tenemos: Req = 5.520 m 2K/W, por lo tanto la conductividad térmica asociada, será de Keq = 0.302 W/mK. 3.2.2 CÁLCULO DE LA RESISTENCIA TÉRMICA EQUIVALENTE PARA EL MURO 2. Figura 3.5 Esquemático de las resistencias térmicas que intervienen para el muro 2.. Al calcular la resistencia térmica equivalente, para un solo ladrillo en el muro 2, tenemos: Req = 1.778 m 2K/W, por lo tanto la conductividad térmica asociada, será de Keq = 0.312 W/mK. 3.2.3 PROPIEDADES EQUIVALENTES DE LOS PROTOTIPOS. Finalmente, para modelar los muros se utilizan las propiedades presentadas en la tabla 3.2. 7.
(16) IM-2004-II-02 TABLA 3.2 PROPIEDADES EQUIVALENTES EN LOS M UROS. Propiedad Muro. Cp. K. ρ. α · 107. (J/KgK). (W/mK). (Kg/m3). (m2/s). 1. 936.7. 0.302. 896.3. 3.60. 2. 934.2. 0.312. 810.7. 4.12. La difusividad térmica es calculada como α =. K , una vez han sido determinadas ρC p. las propiedades se puede comenzar con los análisis.. 8.
(17) IM-2004-II-02. Capítulo 4 TERMOCUPLAS En el año 1821, el físico alemán Thomas Johann Seebeck notó que al juntar dos conductores de metales distintos, de manera que se forme un circuito eléctrico cerrado, fluía una corriente eléctrica que dependía de la diferencia de temperatura entre las juntas. Las termocuplas también conocidas como termopares, consisten de dos alambres de metales distintos. Dichos alambres están soldados en un extremo, yterminan en una ficha especial en el otro (Clavija).. Figura 4.1. Esquemático de una termocupla tomado de http://www.viditec.com.ar/prensa/prensa_art_18.htm. La lista de los materiales empleados como alambres, puede extenderse indefinidamente. Sin embargo, se han estandarizado unas pocas combinaciones como se puede ver en la tabla 4.1. La condición indispensable es que los materiales de los conductores deben ser distintos y homogéneos, o sea sin concentraciones de impurezas. La termocupla produce en el extremo de la clavija, una fem 1 que depende de la diferencia de temperaturas entre la soldadura y la clavija misma.. 1. Una batería o cualquier dispositivo que proporciona energía eléctrica se denomina una fuente de energía electromotriz, que suele ser conocida como una fem.. 9.
(18) IM-2004-II-02 TABLA 4.1 TIPOS ESTANDARIZADOS DE TERM OCÚPLAS tomado de http://www.viditec.com.ar/prensa/prensa_art_18.htm. Para la realización de las pruebas se utilizaron termocuplas tipo T, las cuales se conocen como la termocupla de cobre constantán. Resulta satisfactoria para uso continuo en vacío y en atmósferas oxidantes, reductoras e inertes. Su desventaja reside en él hecho de que su límite máximo de temperatura es de tan sólo 400º C para un diámetro de 3,25 mm. 4.1 UBICACIÓN DE LAS TERMOCUPLAS Para una mejor y más fácil diferenciación de los datos que se toman, se numeraron las termocuplas desde la 1 hasta la 8, siendo las cuatro primeras empleadas para tomar datos en la caja fría y las restantes en la caja caliente. La figura 4.2 Muestra un esquema de la ubicación de las diferentes termocuplas sobre la superficie de las paredes en cada uno de los muros.. 10.
(19) IM-2004-II-02. Figura 4.2 Ubicación de las termocuplas, todas las medidas en metros. 4.2 CALIBRACIÓN DE LAS TERMOCUPLAS Debido a que las termocuplas utilizadas estaban presentando algunas diferencias considerables al medir una misma temperatura, fue necesario realizar una calibración. Para esto se utilizó una termocupla del laboratorio la cual se espera entregue unos datos más precisos y sirva como patrón para calibrar. El procedimiento que se llevó a cabo, consistió en calentar agua hasta una temperatura aproximada de 70 ºC y luego dejarla enfriar, tomando datos en todas las termocuplas, (incluida la termocupla patrón) cada 10 segundos, después se dejo enfriar, permitiendo la obtención de las siguientes curvas de calibración.. 11.
(20) IM-2004-II-02 Calibración Termo cup la 1. Calibración Termo cup la 2. y =1.0573x - 5.8431. y =1.207x - 10. 165. 2. 2. R =0. 9887. 80. R =0. 9547. 80. 60. 60. 40. 40. 20. 20. 0. 0. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 0. 10. 20. Va l o r R e gi st r ad o ( ºC). 30. 40. 50. 60. 70. Va l o r R e gi st r ad o ( ºC). Calibración Termo cup la 3. Calibración Termo cup la 4 y =1.0843x - 7. 617. y =1. 0393x - 6. 1772. 2. R =0. 993. 80. R 2 =0.9956. 80. 60. 60. 40. 40. 20. 20. 0. 0. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 0. 10. 20. Va l o r R e gi st r ad o ( ºC). 30. 40. 50. 60. 70. 80. Va l o r R e gi st r ad o ( ºC). Figura 4.3 Calibración de las Termocuplas utilizadas para la caja fría. Calib ración T ermocupla 6. Calibración Termo cup la 5. y = 1.0 704 x - 7.6 39 2 R 2 = 0 .9 9 41. y =1. 047x - 6. 0091 2. R =0. 9918. 80. 80. 60. 60. 40. 40. 20. 20. 0. 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 0. 80. 20. 40. 60. 80. V al or R eg is t r a do ( ºC ). Va l o r R e gi st r ad o ( ºC). Calib ración T ermocupla 8. Calibración Termo cup la 7. y =1.1129x - 8.1409. y =1.0797x - 7.8109 2. R =0.993. 80. R 2 =0.9868. 80. 60. 60. 40. 40. 20. 20 0. 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. Va l o r R e gi st r ad o ( ºC). 60. 70. 80. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. Va l o r R eg i st r a d o ( ºC). Figura 4.4 Calibración de las Termocuplas utilizadas para la caja caliente. 12.
(21) IM-2004-II-02. Capítulo 5 METODOLOGÍA EXPERIMENTAL El método utilizado para hallar la respuesta transiente de los muros es conocido como el método de la rampa rápida (Fast Ramp Method), el cual se describe con mayor profundidad en Burch D. M. (1990). Este método consiste en determinar experimentalmente los coeficientes de la función de transferencia de calor, se presenta a continuación el procedimiento únicamente para el muro 1, dado que es el mismo para ambos muros, diferenciando en cada paso los valores obtenidos para cada uno de los muros. Inicialmente, se debe encender el sistema de calefacción en la caja caliente hasta que este estabilice, para el caso, el sistema requiere aproximadamente de 8 horas para estabilizar. Una vez estabilizado el sistema, se procede a encender el sistema de refrigeración, el cual crea la rampa descrita en la figura 5.1.. Figura 5.1 Rampa para el muro 1. 13.
(22) IM-2004-II-02. Este decremento repentino de la temperatura, sucede únicamente dentro de la caja fría, debido a que el controlador de temperatura dentro de la caja caliente, mantiene la temperatura constante en la superficie del muro dentro de la caja caliente, como se puede observar en el siguiente gráfico.. Figura 5.2 Temperaturas en la caja caliente para el muro 1. La línea en verde corresponde a la temperatura medida al interior del muro, lo cual permite ver como, mientras la temperatura de la caja fría se mantiene baja, la temperatura la interior va variando permitiendo así, que el sistema alcance su estabilidad con el tiempo. Del la figura 5.1, Se pueden obtener dos valores fundamentales para el procedimiento, δ que corresponde al tiempo en horas que transcurre para que se presente la rampa, y V que corresponde al decremento de temperatura alcanzado por la rampa.. Estos valores para cada uno de los muros se presentan a. continuación en la tabla 5.1.. 14.
(23) IM-2004-II-02 TABLA 5.1 VALORES DE V, δ PARA CADA M URO. Muro. V (ºC). δ (h). 1. 13.33. 2. 2. 7.62. 1.75. De la teoría de transferencia de calor, el calor transferido a través del espécimen está dado por la relación:. ∞ ⎡ ⎛ 1 − e βn2 δ ϑ = Qsp − Qi = AUV ⎢1 + ∑ γ n ⎜ ⎜ ⎣⎢ n =1 ⎝ δ. ⎞ − β 2t ⎤ ⎟e n ⎥ ⎟ ⎠ ⎦⎥. El primer término, AUV, es la solución en estado estable. El segundo término es la solución transiente ϑ la cual se puede observar en la figura 5.3 para cada instante de tiempo. Los coeficientes β n2 son los polos de la función de transferencia del muro, y los γ n son los residuos correspondientes a una excitación pura producida por la rampa. La figura 5.3 Corresponde a los valores de calor transferido a través del tiempo los cuales se calculan a partir de la temperatura medida al interior del muro, representada en color verde en la figura 5.2.. 15.
(24) IM-2004-II-02 Figura 5.3. Calor transferido durante la excitación de rampa rápida para el muro 1.. Los valores de Qf y Qi se calculan a partir de los datos de temperaturas en las paredes del muro al interior de la caja caliente y fría, al comienzo y final de la rampa. La solución transiente puede ser expandida de la siguiente manera: ⎡ ⎛ 1 − e β12 δ ϑi = AUV ⎢γ 1 ⎜ ⎜ ⎣⎢ ⎝ δ. β 22δ ⎞ − β 2t ⎛ ⎟e 1 + γ 2 ⎜ 1 − e ⎟ ⎜ δ ⎠ ⎝. β 32 δ ⎞ ⎤ ⎞ −β 2 t ⎛ 2 ⎟ e 2 + γ 3 ⎜ 1 − e ⎟ e −β 3 t + ...⎥ ⎟ ⎜ δ ⎟ ⎥⎦ ⎠ ⎝ ⎠. El segundo, el tercer y órdenes superiores contribuyen a la solución transiente solo durante el periodo inicial de la respuesta transiente. Después de este periodo inicial la solución es: ⎛ 1 − e β12δ ϑ ≈ ϑ1 = AUV γ 1 ⎜⎜ ⎝ δ. ⎞ β 2t ⎟e 1 ⎟ ⎠. para un t grande.. Si se toma el logaritmo natural a la anterior ecuación:. ⎡ ⎛ 1 − e β12δ ln(ϑ ) = ln ⎢ AUVγ 1 ⎜ ⎜ δ ⎝ ⎣⎢. ⎞⎤ ⎟ ⎥ − β12 t ⎟⎥ ⎠⎦. Con los valores de ϑ calculados para medidas de cada 15 minutos se obtiene el siguiente gráfico.. 16.
(25) IM-2004-II-02. Figura 5.4 Valores de. ϑ , para el muro 1.. Como se mencionó anteriormente, para un tiempo grande, sólo intervienen β12 , γ 1 , por lo tanto al realizar una regresión lineal simple con los datos para tiempos superiores a 3 horas, se obtienen los valores de los primeros polos y residuos de la ecuación, mediante la pendiente de la recta y su intercepto para t = 0 h. Los polos y residuos de segundo orden también pueden ser calculados, al relacionar las siguientes 2 ecuaciones:. ∞ ⎡ ⎛ 1 − e βn2 δ ϑ = Qsp − Qi = AUV ⎢1 + ∑ γ n ⎜ ⎢⎣ n =1 ⎜⎝ δ. ⎞ − β 2t ⎤ ⎟e n ⎥ ⎟ ⎥⎦ ⎠. ⎡ ⎛ 1− e β22 δ ⎞ 2 ⎛ 1 − e β32 δ −β 2 t ⎜ ⎟ + γ 3 ⎜⎜ ϑr = AUV ⎢ γ 2 ⎜ ⎟e δ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ δ. ⎤ ⎞ −β 2t ⎟e 3 + ...⎥ ⎟ ⎥⎦ ⎠. 17.
(26) IM-2004-II-02. Con β12 , γ 1 conocidos se calcula la solución transiente residual ϑr , para tiempos los tiempos iniciales, con lo cual se obtiene una gráfica similar presentada a continuación. Figura 5.5 Valores de. ϑr , para el muro 1.. De la misma manera se obtienen los valores de β 22 , γ 2 quedando finalmente las siguientes constantes definidas:. 18.
(27) IM-2004-II-02 TABLA 5.2 VALORES DE POLOS Y RESIDUOS EN AM BOS M UROS Muro 1. Muro 2. U. 2.517 W / m 2 º C. U. 3.905 W / m 2 º C. β12. 0.6108 h−1. β12. 0.4037 h−1. β 22. 1.0664 h−1. β 22. 1.1207 h−1. γ1. 2.9910 h. γ1. 2.9920 h. γ2. -0.7508 h. γ2. -0.2274 h. 1.0369. ∑γ. ∑γ. n. β n2. n. β n2. 0.9530. En ambos casos es importante comprobar que. ∑γ. n. β n2 ≅ 1 , lo cual nos da un. estimado del error que se induce en este tipo de procedimientos. Una vez se tienen los polos y residuos, se prosigue a obtener los factores de respuesta yis, de la siguiente manera N 2 ⎤ ⎡ γ γ n e −β n ∆ ⎥ ∆ − + ∑ 0 ⎢ n =1 ⎣ ⎦ N U⎡ ⎤ − 2∆ − 2∆ y1 = ⎢ γ 0 + ∑ γ n e βn e βn − 2 ⎥ ∆⎣ ⎦ n =1 N 2 2U yi = γ n e −iβn ∆ cosh β n2 ∆ − 1 ∑ ∆ n =1. y0 =. U ∆. (. [(. ). (. ) )]. Para i ≥2. Todos los factores de la ecuación son conocidos, incluyendo ∆, que corresponde al intervalo de tiempo que para ambos casos corresponde a una hora. Con los factores de respuesta hallados, finalmente se calculan los coeficientes de la función de transferencia, utilizando las siguientes fórmulas:. 19.
(28) IM-2004-II-02. Y0 = y0 Yi = y i − λ yi −1 donde λ = e − β1 ∆ 2. El siguiente gráfico presenta los valores de los coeficientes de la función de transferencia y los de los factores de respuesta para el muro 1.. Figura 5.6 Factores de Respuesta (yis ) y Coeficientes de la Función de Transferencia (Y is ) para el muro 1. Como se puede ver en la figura 5.6. Los coeficientes que intervienen con mayor fuerza en la transferencia de calor son los ocho primeros, los cuales se listan a continuación en la tabla 5.3 para cada uno de los muros.. 20.
(29) IM-2004-II-02 TABLA 5.3 COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y is Muro 1. Y is Muro 2. (W/m2K). (W/m2K). Y0. 0.298677. 0.622704. Y1. 0.608868. 0.469725. Y2. 0.159304. 0.137872. Y3. 0.054839. 0.044953. Y4. 0.018878. 0.014657. Y5. 0.006498. 0.004779. Y6. 0.002237. 0.001558. Y7. 0.000770. 0.000508. Y8. 0.000265. 0.000165. Ahora que ya se tienen los coeficientes de la función de transferencia, se puede hallar la tasa de transferencia de calor, para cada muro, para cualquier función de temperaturas mediante la siguiente fórmula:. Qsp ,t Q = U (1 − λ )TI t − Y0 TOt − Y1TO t −∆ − Y2 TOt −2 ∆ − ... + λ sp ,t− ∆ A A donde TO corresponde a la temperatura en el exterior y TI es la temperatura al interior.. 21.
(30) IM-2004-II-02. Capítulo 6 METODOLOGÍA ANALÍTICA Para corroborar los resultados obtenidos mediante los coeficientes de la función de transferencias calculados experimentalmente, se propone una metodología analítica basada en la teoría de la transferencia de calor transiente para un sólido semiinfinito en el caso de una superficie a temperatura constante. La figura 6.1 Representa un esquema de la distribución de temperaturas en dicho sólido a través del tiempo para diferentes valores de profundidad. T (x,0) = T i T (0,t) = T s. Figura 6.1 Distribución transiente de temperatura para un sólido semi-infinito para una superficie a temperatura constante.. 22.
(31) IM-2004-II-02. Incropera, Frank P. (4th Edition), propone que para el caso se tiene: T ( x, t ) − Ts ⎛ x ⎞ = erf ⎜ ⎟ Ti − Ts ⎝ 2 αt ⎠ donde Ts es la temperatura en la superficie y Ti es la temperatura inicial del sólido, erf η , corresponde a la función gaussiana de error la cual es una función matemática estándar y se encuentra tabulada en diversos libros, Incropera, Frank P. (4th Edition), Apéndice B. Para el caso a evaluar, las temperaturas Ts varían con el tiempo según la función de temperatura, y T(x,t) corresponde a la temperatura en el tiempo t = 1 h, para una profundidad igual al espesor del muro en consideración quedando la ecuación finalmente de la siguiente manera: Tt − Tsi Tt −∆. ⎛ L ⎞ = erf ⎜ ⎟ − Tsi ⎝ 2 αt ⎠. Donde Tt es la temperatura en el tiempo t para un ancho L dado, Ts i, es la temperatura en la superficie para un tiempo t-∆, y Tt- ∆, es la temperatura para un ancho L en un tiempo t-∆, α corresponde a la transmisividad equivalente del muro y t el tiempo en segundos que dura cada cambio de temperatura, es decir, 3600 segundos. Al encontrar una nueva temperatura para cada tiempo t, en intervalos de 1 h, para funciones de 24 horas, se obtiene una nueva función de temperaturas la cual ha tenido en cuenta el calor almacenado o liberado por el muro. De esta forma, si se fija la temperatura en un lado del muro y se varía la del otro lado con esta nueva función, se puede hallar la transferencia de calor para cualquier tiempo t, mediante la ley de Fourier: 23.
(32) IM-2004-II-02. q"(t ) =. K (TOt − TI ) L. Donde TOt, corresponde a la temperatura en el exterior para un tiempo t, definida por la función hallada mediante el procedimiento anterior y TI corresponde a la temperatura al interior la cual se fija como constante, K es la conductividad térmica equivalente y L, el ancho del muro.. 24.
(33) IM-2004-II-02. Capítulo 7 METODOLOGÍA COMPUTACIONAL Para el análisis computacional, se utilizó un programa de elementos finitos llamados WinTherm versión 7.1, los datos que se buscan obtener del programa son los mismos que se buscan mediante el procedimiento analítico, y pueden ser mejor entendidos mediante el siguiente gráfico:. Figura 7.1 Esquemático del paso de una función de temperatura a través del muro.. Como se mencionó durante la explicación de la metodología analítica, el muro absorbe calor ante incrementos de temperatura y lo libera cuando se presentan decrementos, de tal forma que los picos de la función de entrada son rebajados ysu forma se altera como se puede ver en la figura 7.1. Al igual que para la metodología analítica, el calor se calcula mediante la ecuación de Fourier, donde TOt corresponde a la temperatura en un tiempo t en la función deformada (derecha en la figura 7.1).. q"(t ) =. K (TOt − TI ) L 25.
(34) IM-2004-II-02. Capítulo 8 EVALUACIÓN Y RESULTADOS Se evaluaron las metodologías para cuatros diferentes funciones de temperatura, las cuales se presentarán a continuación. 8.1 FUNCIONES DE TEMPERATURA EVALUADAS La figura 8.1 presenta las cuatro funciones de temperatura evaluadas las cuales se nombraron por números del 1 al 4.. Figura 8.1 Funciones de temperatura evaluadas. La función 1, corresponde a un día típico para la ciudad de Bogotá, el resto de funciones buscan evaluar y comparar las diferentes metodologías utilizadas. 26.
(35) IM-2004-II-02. 8.2 RESULTADOS OBTENIDOS 8.2.1 RESULTADOS EN MURO 1. Figura 8.2 Flujo de calor en el muro 1 debido a función 1. Figura 8.3 Flujo de calor en el muro 1 debido a función 2. 27.
(36) IM-2004-II-02. Figura 8.4 Flujo de calor en el muro 1 debido a función 3. Figura 8.5 Flujo de calor en el muro 1 debido a función 4. 28.
(37) IM-2004-II-02 8.2.2 RESULTADOS EN MURO 2. Figura 8.6 Flujo de calor en el muro 2 debido a función 1. Figura 8.7 Flujo de calor en el muro 2 debido a función 2. 29.
(38) IM-2004-II-02. Figura 8.7 Flujo de calor en el muro 2 debido a función 3. Figura 8.7 Flujo de calor en el muro 2 debido a función 4. 30.
(39) IM-2004-II-02. Capítulo 9 CONCLUSIONES •. Como era de esperarse, el calor fluye con mayor facilidad en el muro 2, el tipo de ladrillo que conforma este muro, ofrece menor resistencia al flujo debido a sus dimensiones de profundidad.. •. Tanto el modelo analítico como el computacional siguen la curva de flujo de calor. calculada. con. los. coeficientes. de. transferencia. calculados. experimentalmente, sin embargo, en general se presenta una mayor concordancia entre los modelos experimental y computacional. •. Hay mayor concordancia con entre los diferentes modelos para el muro 1.. •. Las variables que influyen directamente en este tipo de comportamientos son: Cp, ρ, K.. •. El muro 1 permite perdidas de calor, aproximadamente un 50% menos que el muro 2.. •. Aún cuando se han calculado experimentalmente los coeficientes de transferencia no fue posible comparar sus resultados contra datos experimentales debido a que no es posible inducir funciones de temperaturas como las utilizadas con los sistemas de control del dispositivo, y sería necesario instalar transductores de flujo de calor.. 31.
(40) IM-2004-II-02. BIBLIOGRAFÍA Burch, D. M., Zarr, R. R., Licitra, B. A., (1990). A Dynamic T est Method for Determing T ransfer Function Coefficients for a Wall Specimen Using a Calibrated Hot Box. Incropera, F. P., De Witt, D. P., Fundamentals of Heat and Mass T ransfer. Prentice Hall, Fourth Edición. Strand, R. K., Pedersen, C. O., Analytical Verification of Heat Source T ransfer Functions. Rose, J., Svendsen, S., Validating Numerical Calculation against Guarded Hot Box Measurements Hassid, S., Levinsky, E. Heat T ransfer in Block Walls. Chen, B., Gu, Y., Zhang, H., Guan Z., Nonlinear T ransient Heat Conduction Analysis with Precise T ime Integration Method. Burch, D. M., Zarr, R. R., Licitra, B. A.. A Comparison of T wo T est Methods for Determining T ransfer Function Coefficients for a Wall Using a Calibrated Hot Box. Energy Plus Documentation Manual, Version 1.2.1 (2004). 32.
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