Derivada_Fun_Trigon.pdf

4.1.

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Derivada de y=Sen x

( )

La derivada de y=Sen(x) se puede obtener como:

0

( ) ( )

h

dy Sen x h Sen x Lim

dx → h

+ − =

Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente estudiados:

• 0 ( ) 1 h Sen h Lim h

→ = • 0

( ) 1 0 h Cos h Lim h → − =

• Sen(x+h)=Sen(x)Cos(h)+Cos(x)Sen(h)

Por lo tanto desarrollando el límite se tiene:

− + = → _h x Sen h x Sen Lim dx dy h ) ( ) ( 0

Definición de derivada

− + = _→ h x Sen h Sen x Cos h Cos x Sen Lim dx dy h ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0

Aplicando suma de arcos

+ − = → _h h Sen x Cos h Cos x Sen Lim dx dy h ) ( ) ( ) 1 ) ( )( ( 0

Factorizando el numerador

+ − = → → _h h Sen x Cos Lim h h Cos x Sen Lim dx dy h h ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 0

Suma de Limites

+ − = → → _h h Sen Lim x Cos h h Cos Lim x Sen dx dy h h ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 0 0

Sacando las constantes fuera del límite ) ( 1 ) ( 0 )

(x Cos x Cos x

Sen dx

dy _{= × + × =}

Por los límites conocidos

De donde: d Sen x( ) Cos x( )

Si u es una función diferenciable de x, es posible aplicar la regla de la cadena así:

dx du du dy dx dy ₌

en donde y=Senu para obtener como resultado:

(

)

d du

Sen u Cos u

dx = dx

Ejemplos:

1. d

(

Sen x2

)

Cos x2 d

( )

2x 2Cos x2

dx = dx =

2. d

(

x Sen x2

( )

)

x2 d

(

Sen x

( )

)

Sen x

( )

d

( )

x2 x Cos x2

( ) ( ) ( )

2x Sen x

dx = dx + dx = +

3.

( )

( )

(

)

( ) ( )

_{( )}

_{( )}

2 2

d d

x Sen x Sen x x

Sen x xCos x Sen x

d _{dx dx}

dx x x x

− ₋

= =

4.

( )

2 2 Sen x d

dx x =

( )

(

)

( )

( )

( )

2 2 2 2

2 2

d d

x Sen x Sen x x

dx dx

x

−

=

( )

( )

(

)

( )

( )

2 2

4

2 2

x Sen x Cos x x Sen x x

−

= =

( )

( )

( )

2 2

4

2x Sen x Cos x 2xSen x x

−

= =

2 x

=

(

( )

( )

( )

)

(

( )

( )

( )

)

2 2

3 4

2

xSen x Cos x Sen x xSen x Cos x Sen x x

x

− −

=

Derivada de y=Cos u

( )

− =

−

=sen u Senu Cos u u

Cos

2 2

π π

Luego:

dx du u Sen dx

du u Sen

u dx

d u u

sen dx

d u Cos dx

d

− = − =

= − −

= − =

2 2

cos 2

π π

π

De donde se puede concluir:

(

)

dx du u Sen u

Cos dx

d ₌₋

Ejemplos:

1. d

(

Cos x3

)

Sen x3 d

( )

3x 3Sen x3

dx = − dx = −

2. d

(

2x4 3Cos x

( )

)

d

( )

2x4 d

(

3Cos x

( )

)

8x3 3Sen x

( )

dx + =dx +dx = −

3. d

(

x Cos x2

( )

)

x2 d

(

Cos x

( )

)

Cos x

( )

d

( )

x2 x Sen x2

( )

2xCos x

( )

dx = dx + dx = − +

4.

( )

( )

1

Sen x d

dx −Cos x

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

2

1 1

1

d d

Cos x Sen x Sen x Cos x

dx dx

Cos x

− − −

= =

−

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

( )

(

)

2

1

1

Cos x Cos x Sen x Sen x Cos x

− −

= =

−

( )

( )

( )

( )

(

)

(

(

( )

( )

)

)

2 2

2 2

1

1 1

Cos x Cos x Cos x Sen x

Cos x Cos x

−

− −

= = =

− −

( )

−1 1 Cos x

(

−

( )

)

=

( )

(

1 Cos x−

)

(

( )

)

(

( )

)

1 1 1−Cos x = Cos x −

(

)

=

x Cos

x Sen dx

d x Tan dx

d

Definición función tangente

(

)

(

)

(

)

x Cos

x Cos dx

d x Sen x Sen dx

d x Cos x

Tan dx

d

2

−

= Derivada de un cociente

(

)

x Cos

x Sen x Sen x Cos x Cos x

Tan dx

d

2

−

= Resolviendo la derivada

(

)

Sec x

x Cos x

Cos x Sen x Cos x

Tan dx

d 2

2 2

2 2

1 ₌

= −

= Agrupando términos

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a la función y=tanu se puede concluir:

dx du u Sec u Tan dx

d = 2

Ejemplos :

1. d Tan

( )

5x Sec2

( )

5x d 5x 5Sec2

( )

5x

dx = dx =

2. d

(

x Tan x2

( )

)

x2 d

(

Tan x

( )

)

Tan x

( )

d

( )

x2

dx = dx + dx =

( )

( )( )

(

( )

( )

)

2 2 2

2 2

x Sec x +Tan x x =x xSec x + Tan x

3. d

(

x Tan x

( )

)

d

( )

x d

(

Tan x

( )

)

1 Sec2

( )

x dx − + =dx − +dx = − +

4. d

(

x Tan2

( )

1

)

x2 d

(

Tan

( )

1

)

Tan

( )

1 d

( )

x2

x x x

dx = dx + dx =

( ) ( )

( )

( )

2 2 _{1 1 1}

2

d

x Sec Tan x

x _dx x + x =

2 x

( )

2

1

x

( )

( )

( )

2 _{1 1}

2

Sec x Tan

x + x =

5. d

(

Tan

(

x 1

)

)

Sec2

(

x 1

) (

d x 1

)

dx π + = π + dx π + =

(

) ( )

(

(

)

)

2 2

1 1

Sec πx+ π =π Sec πx+

Derivada de y=Cot u

( )

=

x Sen

x Cos dx

d x Cot dx

d

Definición de Cotangente

(

)

(

)

x Sen

x Sen dx

d x Cos x Cos dx

d x Sen x Cot dx

d

2

−

= Derivada de un cociente

x Sen

x Cos x Cos x Sen x Sen x

Cot dx

d

2

− −

= Resolviendo la derivada

(

)

Csc x

x Sen x

Sen

x Cos x Sen x

Cot dx

d 2

2 2

2 2

1 ₌₋ −

= −

−

= Factorizando y Simplifando

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a la función y=Cotu se puede concluir:

dx du u Csc u

Cot dx

d ₌₋ 2

Ejemplos :

1. d

(

Cot2

( )

x

)

2

(

Cot x

( )

)

d

(

Cot x

( )

)

2

(

Cot x

( )

)

(

Csc2

( )

x

)

dx = dx = − =

( )

2

( )

2Cot x Csc x

−

2. d

(

Cot2

( )

5x

)

2

(

Cot

( )

5x

)

d

(

Cot

( )

5x

)

2

(

Cot

( )

5x

)

(

Csc2

( )

5x

)

d 5x

dx = dx = − dx =

( )

(

)

(

2

( )

)

( )

( )

2

( )

2 Cot 5x −Csc 5x 5 = −10 Cot 5x Csc 5x

3.

( )

( )

2

( )

2

3 1

1 3

d Ctg x

dx d

dx Ctg x =

( )

(

( )

)

( )

(

)

0

2

2 2

1 3

3

d

Ctg x dx

Ctg x

−

( )

(

)

( )

( )

(

( )

( )

)

( )

(

( )

( )

)

2 2 2 _{2 2 2 2}

2 2 2 2 2 2

3 3 _{3 6 6 3}

3 3 3

d

Csc x x _{Csc x x x Csc x}

dx

Ctg x Ctg x Ctg x

− −

= =

4. d

(

x Ctg x

( )

)

d

( )

x d

(

Ctg x

( )

)

1

(

Csc2

( )

x

)

1 Csc2

( )

x dx − + =dx − +dx = − + − = − −

5. d

(

x Ctg2

( )

1

)

x2 d

(

Ctg

( )

1

)

Ctg

( )

1 d

( )

x2

x x x

dx = dx + dx =

( )

(

)

( )

( )

( )

2 2 ₁ d _{1 1} d 2

x Csc Ctg x

x _dx x + x _dx = 2

x

(

Csc2

( )

1

)

1 ₂

x − _x +Ctg

( )

1x

( )

2x =

( )

( )

( )

2 _{1 1}

2

Csc x Ctg

x + x

Derivada de y=Sec u

( )

( )

(

)

1

_{( )}

d d

Sec x

dx =dx Cos x Definición de Secante

( )

(

)

( ) ( ) ( )

2

_{( )}

(

( )

)

1 1

d d

Cos x Cos x

d _{dx dx}

Sec x

dx Cos x

−

= Derivada de un cociente

( )

(

)

(

2

_{( )}

( )

)

1 Sen x d

Sec x

dx Cos x

− −

= Resolviendo la derivada

( )

(

)

2

( )

_{( )}

( )

_{( )}

_{( )}

( )

( )

1

Sen x Sen x

d

Sec x Tan x Sec x

dx Cos x Cos x Cos x

−

= = = Simplificando y factorizado

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a la función y=Secu se puede concluir:

( )

( )

( )

d du

Sec u Tan u Sec u

1. d

(

Sec2

( )

x

)

2

(

Sec x

( )

)

d

(

Sec x

( )

)

2

(

Sec x

( )

)

(

Sec x Tan x

( )

( )

)

dx = dx = =

( )

( )

2

2Sec x Tan x

2. d

(

Sec2

( )

5x

)

2

(

Sec

( )

5x

)

d

(

Sec

( )

5x

)

dx = dx =

( )

(

)

(

( )

( )

)

2 Sec 5x Sec 5x Tan 5x d 5x dx =

( )

(

)

(

( )

( )

)

( )

2 Sec 5x Sec 5x Tan 5x 5 =

( )

(

2

)

(

( )

)

10 Sec 5x Tan 5x

3.

( )

( )

2

( )

2

1 1

d Sec x

dx d

dx Sec x =

( )

(

( )

)

( )

(

)

0

2

2 2

1 d Sec x dx

Sec x

−

=

( ) ( )

(

)

( )

( )

(

)

2 2 2

2 2

d Sec x Tan x x

dx Sec x

−

=

( ) ( )

(

)

( )

( )

(

)

2 2

2 2

2

Sec x Tan x x Sec x

−

=

( )

( )

2

2x Sec x

−

(

( )

)

( )

(

)

2

2 2

Tan x Sec x

=

( )

( )

( )

2 2

2x Tan x

Sec x

−

=

4. d

(

x2 Sec x

( )

)

d

( )

x2 d

(

Sec x

( )

)

2x

(

Sec x Tan x

( )

( )

)

dx + =dx +dx = +

5. d

(

x Sec2

( )

3x

)

x2 d

(

Sec

( )

3x

)

Sec

( )

3x d

( )

x2

( )

( )

(

)

( )

( )( )

2

3 3 d 3 3 2

x Sec x Tan x x Sec x x

dx + =

( )

( )

(

)

( ) ( ) ( )

2

3 3 3 2 3

x Sec x Tan x + x Sec x =

( )

( )

(

)

( ) ( )

2

3x Sec 3x Tan 3x + 2x Sec 3x

Derivada de y=Csc u

( )

( )

1

_{( )}

d d

Csc x

dx =dx Sen x Definición de la Cosecante

( )

( ) ( )

2

_{( )}

(

( )

)

1 1

d d

Sen x Sen x

d _{dx dx}

Csc x

dx Sen x

−

= Derivada de un Cociente

( )

(

2

_{( )}

( )

)

1 Cos x

d

Csc x

dx Sen x

−

= Resolviendo la derivada.

( )

2

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

1

Cos x Cos x d

Csc x

dx Sen x Sen x Sen x

− −

= = =

( )

( )

( )

d

Csc x Cot x Csc x

dx = − Simplificando y factorizando

De manera que si u es una función diferenciable de x, aplicando la regla de la cadena a la función y=Csc u

( )

se puede concluir:

( )

( )

( )

d du

Csc u Cot u Csc u

dx = − dx

Ejemplos :

1. d

(

Csc2

( )

x

)

2

(

Csc x

( )

)

d

(

Csc x

( )

)

2

(

Csc x

( )

)

(

Csc x Ctg x

( )

( )

)

dx = dx = − =

( )

(

)

(

( )

( )

)

(

2

( )

)

(

( )

)

2 Csc x −Csc x Ctg x = −2 Csc x Ctg x

2. d

(

Csc2

( )

x3

)

2

(

Csc x

( )

3

)

d

(

Csc x

( )

3

)

( )

(

3

)

(

( ) ( )

3 3

)

( )

3

2 Csc x Csc x Ctg x d x dx

− =

( )

(

3

)

(

( ) ( )

3 3

)

( )

2

2 Csc x Csc x Ctg x 3x

− =

( )

(

)

(

( )

)

_{( )}

( )

_{( )}

3

2 2 3 3 2

2 3 3

1

6x Csc x Ctg x 6x Cos x Sen x Sen x

− = −

( )

( )

3 2

3 3

6x Cos x Sen x

−

3.

( )

( )

( )

1 1

d Csc x

dx d

dx Csc x =

( )

(

( )

)

( )

(

)

0

2

1 d Csc x dx

Csc x

−

=

( )

(

( )

( )

)

( )

(

)

( )

( )

2

1

1 Csc x Ctg x Csc x Csc x

− −

=

(

( )

)

( )

(

)

2

Ctg x Csc x

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

Ctg x Cos x Csc x Sen x

− ₌− Sen x

( )

( )

1 = −Cos x

4. d

(

x Csc x

( )

)

d

( )

x d

(

Csc x

( )

)

x

(

Csc x Ctg x

( )

( )

)

dx + =dx +dx = +

5. d

(

x Csc2

( )

3x

)

x2 d

(

Csc

( )

3x

)

Csc

( )

3x d

( )

x2

dx = dx + dx =

( )

( )

(

)

( )

( )( )

2

3 3 d 3 3 2

x Csc x Ctg x x Csc x x dx

− + =

( )

( )

(

)

( )

( )( )

2

3 3 3 3 2

x Csc x Ctg x Csc x x

− + =

( )

2

(

( )

( )

)

( )

( )

3x Csc 3x Ctg 3x 2x Csc 3x

− + =

Ejercicios Propuestos :

Encontrar la derivada de las siguientes expresiones:

1. y= −x 3Sen x

( )

2. y=Cos x

( )

−2Tan x

( )

5. y Tan x

( )

x

= 6.

( )

( )

1

sen x y

Cos x

= +

7.

( )

x

( )

y

Sen x Cos x

=

+ 8.

( )

_{( )}

1

Tan x y

Sec x

− =

9. y Sen x₂

( )

x

= 10.

( )

2 Sen x y

x

=

11. y=x Cos x

(

( )

)

(

Sen x

( )

)

12. y=Sen3

( )

2x

13. y=Sen2

( )

x +Cos2

( )

x 14.

( )

2

1

x y

xSen x

+ =

15. y=sen4

(

x2+3x

)

16. y=xSen2

( )

2x

17. y=Sen Cos t3

(

( )

)

18. y=Sen Cos

(

2

( )

x

)