Det(A)=a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 21 )

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(1)

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1 UNIDAD III. MATRICES Y DETERMINANTES

4.6. Definición de determinante de una matriz y sus propiedades

Determinante. A cada matriz cuadrada se le asocia un número denominado determinante, el cual tiene información sobre la matriz misma que es usada en muchas ramas de matemáticas y de las ciencias.

Cálculo de determinantes. El determinante de una matriz cuadrada de 2x2 se denota A y esta dado por la siguiente ecuación:

11 12 11 22 21 12 21 22 a a Det a a a a a a   = −    

Observe que el determinante en una matriz de 2x2 esta dado por la diferencia de la multiplicación de sus diagonales.

Ejemplo: Encuentre el determinante de: 2 4 3 1 A= −   Det(A)=(2)(1)- (-3)(4) = 2+12 = 14 Regla de Sarrus

Para matrices de 3x3 se ocupa un método corto denominado regla de Sarrus, la cual consiste en lo siguiente.

Para una matriz de 3x3: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a     =    

Para determinar el cofactor de dicha matriz se coloca nuevamente la matriz debajo de la siguiente manera:

11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a     =     11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a          

A continuación se trazan unas líneas diagonales de guía para el proceso de multiplicación de los elementos, de la siguiente manera:

11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a     =     11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a          

Los tres elementos que son tocados por cada flecha se multiplican, los mismos que se suman al resto.

Los elementos que son tocados por las flechas de izquierda a derecha se suman y los que están tocados por las flechas de derecha a izquierda se restan de la siguiente manera:

Det(A)=a11a22a33+ a21a32a13+ a31a12a23 – (a13a22a31+ a23a32a11+ a33a12a21)

Ejemplo: Encuentre el determinante de: 1 0 3 4 1 2 0 2 1 A     =    

(2)

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 2

(

) (

)

11 1 0 3 1 2 4 1 2 1 1 2 2 3 2 1 0 2 1 M x x   −     == = − − − =      

Desarrollo por cofactores.

A cada elemento aij de la matriz A puede asignársele un cofactor,

definido como: ( 1)i j

ij ij

C = − + M

Donde M es el determinante que queda después de borrar el renglón ij

“i” y la columna “j” de la matriz A. Mij se le denomina “menor de i j”

Por ejemplo, para la matriz: 1 0 3 4 1 2 0 2 1 A     =   

El determinante para el elemento a11 el elemento menor M11 y el

cofactor del mismo.

Menor de a11:

El cofactor de a11:

( )

( )

1 1 1 1

11 1 11 1 3 3

C = − + M = − + =

El determinante de cualquier matriz cuadrada es la suma de los productos de sus elementos de cualquier renglón o columna por sus cofactores:

Expansión a lo largo del renglón “i” 1 1 2 2 3 3 ...

i i i i i i in in

A =a C +a C +a C + +a C

Expansión a lo largo de la columna “j” 1j 1j 2j 2j 3j 3j ... nj nj

A =a C +a C +a C + +a C

Calcular el determinante de la matriz A indicada usando cofactores: 1 0 3 4 1 2 0 2 1 A     =   

Recordemos que los elementos de la matriz A pueden expresarse como: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a     =    

Vamos a calcularlo usando el primer renglón, la ecuación original desarrollando un renglón “i” es:

1 1 2 2 3 3 ...

i i i i i i in in

A =a C +a C +a C + +a C

Para el renglón 1, el valor de i = 1, por lo tanto la ecuación general para el renglón 1 queda:

11 11 12 12 13 13 ... 1n 1n

A =a C +a C +a C + +a C

Como solo es una matriz de 3x3 cada renglón tiene tres elementos, por lo tanto la ecuación queda:

11 11 12 12 13 13

A =a C +a C +a C

Ahora como ya tenemos los elementos “aij” de la matriz, solo nos hace

falta cada cofactor, de los cuales la ecuación es: ( 1)i j

ij ij

C = − + M

Los cofactores que se requieren son los siguientes: 1 1 11 ( 1) 11 C = − + M 1 2 12 ( 1) 12 C = − + M 1 3 13 ( 1) 13 C = − + M

(3)

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 3 Pero cada uno requiere de las matrices menores.

1 0 3 4 1 2 0 2 1 A     =   

[

]

1 1 2 11 ( 1) 11 ( 1) ( 1)(1) (2)( 2) 1 4 3 C = − + M = − − − − = − + =

[

]

1 2 3 12 ( 1) 12 ( 1) 4(1) 2(0) 4 C = − + M = − − = −

[

]

1 3 4 13 ( 1) 13 ( 1) 4( 2) ( 1)(0) 8 0 8 C = − + M = − − − − = − − = −

Dado que el determinante lo consideramos para el primer renglón obtuvimos la siguiente ecuación:

11 11 12 12 13 13

A =a C +a C +a C

Ahora sustituyendo los valores:

( )

( )

( )

( )( ) ( )( )

11 12 13 1 0 3 1 3 3 8 3 24 21 21 A C C C A A = + + = + − = − = − = −

NOTESE QUE EL ELEMENTO a12 FUE CERO, POR LO CUAL

NO ERA NECESARIO CALCULAR EL COFACTOR C12.

Lo anterior puede confirmarse con EXCEL usando la función MDETERM como se indica en la siguiente figura:

El resultado al darle ENTER claro que es -21.

Como puede notarse entre mayor sea la matriz, es mas complicado hacer el procedimiento manual, hay un consejo importante para tardarse menos, por ejemplo considere la siguiente matriz:

2 1 0 4 0 1 0 2 7 2 3 5 0 1 0 3 A       =     −  

Elegir el desarrollo de renglón o columna según la cantidad de ceros en el mismo, por ejemplo en la matriz anterior conviene desarrollar la tercera columna.

La ecuación para el determinante de la matriz al desarrollar la tercera columna queda:

Originalmente es: A =a C1j 1j+a C2j 2j+a C3j 3j+ +... a Cnj nj

Solo para una matriz 4x4 A =a C1j 1j+a C2j 2j+a C3j 3j+a C4j 4j

Para el renglón 3: A =a C13 13+a C23 23+a C33 33+a C43 43 Sustituyendo de a13 a a43:

( )

13

( )

23

( )

33

( )

34

0 0 3 0

A = C + C + C + C

Por lo tanto queda: A =

( )

3 C33 Solo requerimos el cofactor C33.

( 1)i j ij ij C = − + M 3 3 33 33 33 2 1 4 ( 1) 0 1 2 0 1 3 C = − + M =M = − −

Para calcular de nuevo el determinante revisamos que la primera columna tiene la mayor cantidad de ceros, por lo cual:

1j 1j 2j 2j 3j 3j ... nj nj A =a C +a C +a C + +a C 33 11 11 21 21 31 31 11 21 31 33 11 (2) (0) (0) 2 M a C a C a C C C C M C = + + = + + =

( )( ) ( )( )

2 11 ( 1) 11 1 3 2 1 3 2 1 C = − M = − − −= − =

(4)

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez Ahora sustituimos C11 en M33. 33 2 11 2(1) 2 M = C = = Recordemos que C33 = M33: 3 3 33 33 33 2 1 4 ( 1) 0 1 2 2 0 1 3 C = − + M =M = − = − Finalmente el determinante queda:

( )

3 33 A = C 3(2) 6 A = = 6 A =

Lo anterior puede confirmarlo con EXCEL.

Calculo de la inversa por medio de la adjunta.

Sea una matriz A cuadrada:

A= 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a             ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯

Si para cada elemento aij se calcula un cofactor Cij, puede gene

una matriz de cofactores C y se define la adjunta de la matriz A como la transpuesta de la matriz de cofactores tal como se muestra:

C = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn C C C C C C C C C             ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ Ct = Adj(A) = 11 21 1 12 22 2 1n 2n nn C C C C C C C C C             ⋮ ⋮ ⋮ , puede generarse

C y se define la adjunta de la matriz A como la transpuesta de la matriz de cofactores tal como se muestra:

11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn C C C C C C C C C             ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯

Para la matriz A indicada, determinar la adjunta de A, es decir, Adj(A)

2 0 3 1 4 2 1 3 5 A     = −   

Se calculan los cofactores de A:

Por lo tanto la matriz de cofactores de A es: 14 3 1 9 7 6 12 1 8 C −     = −   

Trasponiendo dicha matriz tenemos la adjunta de A: 14 9 12 ( ) 3 7 1 1 6 8 Adj A − −     =   

Finalmente tenemos que para calcular la inversa de una matriz podemos ocupar tanto la adjunta como el determinante de A siguiente manera:

( )

1 1 A adj A A=

Como puede observarse una matriz cuadrara solo puede ser invertible si su determinante es diferente de cero.

4 minar la adjunta de A, es decir, Adj(A)

Por lo tanto la matriz de cofactores de A es:

Trasponiendo dicha matriz tenemos la adjunta de A:

Finalmente tenemos que para calcular la inversa de una matriz como el determinante de A de la

(5)

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez Ejemplo: Usar las propiedades de determinantes para verificar si las

siguientes matrices son invertibles:

Solución: 5 0 0 2 A B C D = = = =

Por lo tanto solo B y C no son invertibles y no tienen inversa.

Para la matriz A indicada (es la misma vista anteriormente): 2 0 3 1 4 2 1 3 5 A     = −    Calcular el determinante: a) det(A) b) La adjunta de A adj(A) c) Calcular la inversa A-1. Solución:

A) El determinante de A es igual a 25 (la comprobación puede hacerla el estudiante en clase).

B) La adjunta de A ya la calculamos anteriormente y fue: 14 9 12 ( ) 3 7 1 1 6 8 Adj A − −     =    : Usar las propiedades de determinantes para verificar si las

Por lo tanto solo B y C no son invertibles y no tienen inversa.

A indicada (es la misma vista anteriormente):

(la comprobación puede

ya la calculamos anteriormente y fue:

C) Por lo tanto la inversa puede determinarse con la ecuación:

( )

1 1 A adj A A= 1

( )

14 9 12 1 1 3 7 1 3 7 1 25 25 25 25 1 6 8 A adj A A − − −     = = =     Quedando: 1 14 9 12 25 25 25 3 7 1 25 25 25 1 6 8 25 25 25 A− − −         =       

Resolución de sistemas de ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones puede representarse en forma matricial de la siguiente manera, sea el sistema:

2x+3y+z = 0 3x+y-z=12 5x+2y-3z=15

La representación matricial del mismo sería:

2 3 1 0 3 1 1 12 5 2 3 15 x y z          =                   

También se puede reducir de la forma: Ax b

Matricialmente puede despejarse así:

Para que esta solución sea posible la inversa de la matriz debe existir, en otras palabras el determinante de la matriz

5 Por lo tanto la inversa puede determinarse con la ecuación:

14 9 12 25 25 25 14 9 12 1 1 3 7 1 3 7 1 25 25 25 25 1 6 8 1 6 8 25 25 25 − −     − −         = =  =            

Un sistema de ecuaciones puede representarse en forma matricial de la

La representación matricial del mismo sería:

Ax=b

Matricialmente puede despejarse así: x=A b−1

Para que esta solución sea posible la inversa de la matriz debe existir, en otras palabras el determinante de la matriz no debe ser igual a cero.

(6)

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez Regla de cramer.

Esta regla se usa para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incógnitas que tienen una solución única (un sistema de ecuaciones puede tener infinitas soluciones, ninguna solución o una solución única).

Las incógnitas se encuentran con las siguientes ecuaciones: 1 1 A x A = 2 2 A x A = 3 3 A x A = … n n A x A = Donde “Ai” es la matriz que se obtiene sustituyendo la co

el vector “B” de constantes.

Ejemplo: Resolver el sistema siguiente con la regla de cramer:

La matriz de coeficientes y de términos constantes son:

El determinante de la matriz de coeficientes es igual a -3 y por lo tanto diferente de cero, por lo que el sistema tiene una sola solución (si fuera igual a cero el sistema o no tiene ninguna solución o tiene múltiples soluciones, cuando ocurre cada caso puede investigarlo el estudiante).

Esta regla se usa para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n

incógnitas que tienen una solución única (un sistema de ecuaciones puede tener infinitas soluciones, ninguna solución o una solución

Las incógnitas se encuentran con las siguientes ecuaciones:

” es la matriz que se obtiene sustituyendo la columna “i” por

: Resolver el sistema siguiente con la regla de cramer:

3 y por lo tanto cero, por lo que el sistema tiene una sola solución (si fuera igual a cero el sistema o no tiene ninguna solución o tiene múltiples soluciones, cuando ocurre cada caso puede investigarlo el estudiante).

Para encontrar A1 se sustituye la columna de co

columna 1.

Se obtienen los determinantes de cada matriz quedando: 1 2 3 3 6 9 A A A = − = = −

Por lo tanto la solución del sistema es: 1 1 A x A = x2 A2 A = x3 = 1 3 1 3 x =− = − 2 6 2 3 x = = − − x3= =

Actividad 4.4. Regla de Cramer. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer.

Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS

correspondientes: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm

Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: marcelrzm@hotmail.com;

marcelrz2002@yahoo.com.mx

6 se sustituye la columna de constantes B por la

Se obtienen los determinantes de cada matriz quedando:

3 A A = 9 3 3 − = = −

Resolver los siguientes sistemas de

Elabore una PRÁCTICA DE EJERCICIOS siguiendo las rubricas

http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes ; marcelrzm@yahoo.com.mx y

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