Transformadores de Pulso

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Transformadores de Pulso

Tecnolog´ıa

Universidad Nacional de Mar del Plata Facultad de Ingenier´ıa

Tecnolog´ıa Universidad Nacional de Mar del Plata, Facultad de Ingenier´ıa

Aplicaciones Modelo del Trafo Inductancias Capacidades Respuesta Consideraciones

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Aplicaciones

Se usan en transmisi´on y transformaci´on de pulsos con anchuras desde fracciones de nanosegundos hasta 25µseg. Entre sus aplicaciones se encuentran:

1- Cambio de amplitud y nivel de impedancia de un pulso 2- Inversi´on de polaridad de un pulso

3- Producci´on de un pulso en un circuito con resistencia a la c.c. despreciable

4- Aislamiento de continua entre una fuente y una carga 5- Acoplamiento entre pasos de amplificadores de pulsos 6- Derivaci´on de un pulso

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Modelo del Transformador

Lp: inductancia del primario Ls: inductancia del secundario

K: coeficiente de acoplamiento entre primario y secundario K = pM

LpLs

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Transformador Ideal

Lp es infinita

K = 1

La salidavo es una r´eplica exacta de la entradavi

n es independiente de la carga vo vi = ip is = s Ls Lp = Ns Np =n

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Transformador Real I

Transformador ideal en cascada con bobinas que representan las imperfecciones de un transformador real

vo

vi = 1

α

is

α : corriente del secundario reflejado en el primario

α2·RL: resistencia de carga reflejada en el primario

6/42 Transformador Real II vi = Lp dip dt −M dis dt 0 = −Mdip dt +Ls dis dt +isRL vi = (σ1+L) dip dt −L (dis/α) dt 0 = −Ldip dt + (σ2+L) (dis/α) dt +α2RL(is/α)

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Transformador Real III

Lp=σ1+L M = _αL Ls = σ2_α+2L

L=αM σ1 =Lp−αM σ2 =α2Ls−αM

8/42 Transformador Real IV Si se eligeα= q Lp Ls y sabiendo queK = M √ LpLs , entonces M =Kp LpLs, quedando: σ1 =Lp−αM =Lp− q Lp Ls ·K p LpLs σ1 =Lp(1−K) σ2 =α2Ls−αM = L_Lp_s ·Ls− q Lp Ls ·K p LpLs σ2 =Lp(1−K) L=αM =qLp Ls ·K p LpLs L=K _·Lp

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Transformador Real V

Circuitos que resultan al variar la elecci´on deα

a)α=p Lp/Ls, b)α= (1/K) p Lp/Ls, c)α=K p Lp/Ls

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Transformador Real VI

En un transformador bien construidoK es muy cercano a uno, difiere en menos de 1 %, entonces:

(1−K2) = (1−K)(1 +K)≃2(1−K) La inductancia total en serie (inductancia de p´erdida) vale:

σ= 2Lp(1−K)

La inductancia en paralelo (inductancia magnetizante) es: L_≃Lp

La relaci´on de transformaci´on vale: 1 α ≃ 1 p Lp/Ls ≃n

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Circuito Equivalente Completo

Dado que se tienen dos arrollamientos sujetos a tensi´on y

separados por materiales diel´ectricos, indudablemente se tiene una capacidad distribuida en el transformador que se representa como un capacitor

R1 = Resistencia del primario + Resistencia interna del generador R2 = R_nL2 +

R₂/

n2, Resistencia de carga + Resistencia del secundario

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Inductancias del Transformador I

Inductancia magnetizante:es la inductancia presente en los terminales de entrada cuando el secundario est´a abierto, o sea la inductancia del devanador primario

Inductancia de p´erdida:es la inductancia presente en los terminales del primario cuando el secundario est´a en cortocircuito

Inductancia primaria Lp=

µA Np2

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Inductancias del Transformador II

Para hallarσ, el secundario debe estar en cortocircuito, por tanto la tensi´on de salida es nula

El flujo neto en el hierro es cero NpIp =NsIs y de sentido contrario

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Inductancias del Transformador III

Para simplificar se reemplazan las bobinas por l´aminas de corriente por las que circulan las corrientesNpIp yNsIs, (NpIp =NsIs)

Valor deH entre las l´aminas de corriente H= NpIp

λ

Densidad de energ´ıa almacenada en el campo magn´etico 1

2 µH 2

Energ´ıa total almacenada,

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Inductancias del Transformador IV

V el volumen entre las bobinas. Se usaµo porque el medio

interpuesto entre las bobina es el aire

Energ´ıa magn´etica con el secundario en cortocircuito W = 1₂ σI_p2

Igualando lasW queda:

σ= µoH 2_V I2 p = µoN 2 pV λ2

σ es debida al flujo de pérdidas y es independiente del circuito magnético del transformador, ya que esencialmente el flujo de pérdidas está casi por completo en el aire

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Inductancias del Transformador V

Raz´on entre la inductancia magnetizante y de p´erdida: Lp

σ =

µAλ2 µoV l

Este cociente es independiente del número de espiras y es proporcional a la permeabilidad del hierro. Uno de los motivos principales de emplear núcleos de gran permeabilidad es que esta razón sea alta

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Inductancias del Transformador VI

Se puede obtener el valor deσ poniendo el secundario en cortocircuito y colocando un condensadorC! en paralelo con el primario y medir la frecuencia de resonanciaf1.

Para eliminar el efecto del transformador y otras capacidades externas en paralelo conC1 se repite la medici´on con un segundo capacitorC2, obteniendof2. Luego:

σ= f

2 1 −f22 (2πf1f2)2(C2−C1)

Si las mediciones anteriores se repiten con el secundario abierto se obtiene la inductancia magnetizanteLp

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Capacidades en los Transformadores I

Se va a calcular la capacidad para un transformador sencillo de dos devanados

El transformador es inversor y est´an conectados los extremos opuestos de cada devanado

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Capacidades en los Transformadores II

Se va a calcular la capacidad para un transformador sencillo de dos devanados

La tensi´on entre devanados a la distanciax es: Vx = h n+ (1₋n)x λ i vi

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Capacidades en los Transformadores III

El campo el´ectricoEx es:

Ex =

Vx

d

La energ´ıa electrost´atica almacenada por metro c´ubico: 1 2εE 2 x = 1 2ε V_x2 d2

Si “S” es la longitud de la circunferencia media de los devanados, el elemento de volumen esS _·d_·dx y la energ´ıa total ser´a:

W = Z λ 0 1 2 εV_x2 d2 S d dx

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Capacidades en los Transformadores IV Resolviendo la integral: W = 1 6 εSλ d (n 2₊_n_{+ 1)}_v2 i

La energ´ıa almacenada en el condensadorC es: W = 1

2C v 2

i

Igualando las dos energ´ıasW se obtiene: C = (n2+n+ 1)Co 3 donde: Co =εS λ d

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Respuesta de un Transformador al Pulso

Para simplificar el problema de la respuesta de un transformador a un pulso, se va a dividir la soluci´on en tres partes:

Respuesta al flanco de subida del pulso Respuesta al techo

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Respuesta de un Transformador al Tiempo de Elevaci´on I

Para calcular la respuesta al tiempo de elevaci´on se utiliza el siguiente circuito:

Suponiendo una soluci´on del tipoest las ra´ıces “s” de la ecuaci´on caracter´ıstica (o los polos) son:

s = µ R₁ 2σ + 1 2R2C ¶ ± " µ R₁ 2σ + 1 2R2C ¶2 −R1+R2 σCR2 #1/2

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Respuesta de un Transformador al Tiempo de Elevaci´on II

Factor de amplificaci´on:

a= R2 R1+R2 Per´ıodo:

T = 2π(σC a)1/2 Constante de amortiguaci´on:

k = µ R1 σ + 1 R2C ¶ T 4π

Las ra´ıces resultan:

s =−2π k_±j 2π ¡

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Respuesta de un Transformador al Tiempo de Elevaci´on III

Sik=0, las ra´ıces son imaginarias puras ±j 2_Tπ y por lo tanto, la respuesta es una sinusoide no amortiguada de per´ıodoT

Para quek_→0, se debe hacerR1→0 y R2 → ∞, en cuyo caso T = 2π√σC

Sik=1, las dos ra´ıces son iguales, teniendo el caso de amortiguamiento cr´ıtico

Sik>1, no hay oscilaci´on a la salida, se tiene respuesta sobreamortiguada

Sik<1, la respuesta es una sinusoide amortiguada

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Respuesta de un Transformador al Tiempo de Elevaci´on IV

Si se hacex = t T e y = vo n a v, la respuesta es: Amortiguamiento cr´ıtico (k = 1) y = 1₋(1 + 2πx)e−2πx Sobreamortiguamiento (k >1) y si 4k2_≫1 y = 1−eπkx

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Respuesta de un Transformador al Tiempo de Elevaci´on V

Subamortiguamiento (k <1), se tiene una onda sinusoidal amortiguada, dondexm son las posiciones de los m´aximos y

m´ınimos, eym son sus valores.

xm =

m 2 (1₋k2₎1/2 ym = 1−(−1)me

−2πk x_m

Los m´aximos tienen lugar para valores impares de “m”, y los m´ınimos para los pares

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Respuesta de un Transformador al Tiempo de Elevaci´on VI

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Tiempo de Elevaci´on(tr)

Es el tiempo que tarda la se˜nal de salida de pasar de 0,1 hasta 0,9 de su valor final Sik = 0,6 el sobrepulso es del 9 % ytr = 0,27T Sik = 1 tr = 0,53T = 0,53 £ 2π(σC a)1/2¤ = 3,33(σC a)1/2 SiR2≫R1, entoncesa≃1 y T ≃2π(σC)1/2

En estas condicionesR2 es suficientemente grande como para que k= 0,6 y el tiempo de crecimiento cae un 50 % con respecto a k= 1

Los transformadores de pulso no se usan con relaciones de tensi´on grandes. Generalmente no pasan den= 2, dado que sin es grande aumenta la capacidadC con el factor n2 y por lo tanto aumentatr

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Respuesta de un Transformador al Techo del Pulso I

Dondea= R2

R1+R2 yR =R1//R2. La salida est´a dada por:

y= vo n a v =e

−R t/L

Para valores peque˜nos deR t/L, se tiene

y = 1−R t

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Respuesta de un Transformador al Techo del Pulso II

Comoy = 1₋R t

L , el techo del pulso ser´a descendente, con un

porcentajePde inclinaci´on P = R t

L ·100 %

Les constante si el n´ucleo no se satura, sino Lcae r´apidamente

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Respuesta de un Transformador al Techo del Pulso III

Np: n´umero de espiras del secundario

Ns : n´umero de espiras del secundario

φ: flujo magn´etico

n : relaci´on de transformaci´on

A: área de la sección recta del núcleo

Se supone que el techo es plano e igual a: n a v vo =Ns

dφ

dt =n NpA dB

dt La densidad del flujo final del pulso es:

B =

Z tp _v

o

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Respuesta de un Transformador al Techo del Pulso IV

B = a v tp NpA

El pulso de salida será una reproducción razonable del de entrada paratp pequeños

Cuando la duraci´on del pulso excede el valor detp que produce

B=Bm, la salida cae r´apidamente. Esto es debido a que cuando

se satura el hierro, la inductancia cae a un valor muy bajo Lo que determina la m´axima densidad de flujo es elproducto voltios x segundos

Si un transformador se satura con un pulso de 1µs y amplitud 10v, al duplicar la amplitud, la saturaci´on tiene lugar para la mitad del tiempo, es decir 0,5µs

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Respuesta Completa I

La onday(t) es la combinaci´on de la respuesta al tiempo de elevaci´on y la respuesta al techo

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Respuesta Completa II

La respuesta parat >tp se obtiene considerando que le pulso es la

suma de un escalón de tensión +V ent= 0 y un escalón de valor

−V ent =tp

Si la respuesta del transformador a un escal´onV at = 0 es y(t), la salida parat >tp ser´a y(t)−y(t−tp). Si ahora y(t) =e−Rt/L

y(t)−y(t−tp) =e −Rt L −e− R(t−tp) L = ³ 1−e−Rtp L ´ e−Rt L

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Respuesta Completa III

Para demostrar que el ´area bajo la curva de la respuesta total es cero se escribe avo como:

vo =Ns

dφ

dt El ´area total bajo la tensi´on de salida es:

Z ∞ 0 vodt =Ns Z ∞ 0 dφ dt dt =Nsφ ¸t=∞ t=0 = 0 dado queφ= 0 at = 0 y at =∞

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Consideraciones Generales I

Un transformador ideal deber´ıa tenerL=∞,σ= 0 y C = 0 La inductancia magnetizanteLdetermina la inclinación del pulso El porcentaje de inclinación del pulso está dado por:

P = R tp

L ·100 %

Para hacer m´ınima esta distorsi´on se precisa que L_≫R tp. Si

tp = 0,1µs yR= 200Ω, resultaR tp= 20µH, y siL= 1mH, a

efectos pr´acticos se comporta como una inductancia magnetizante infinita

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Consideraciones Generales II

El tiempo de elevaci´on y las oscilaciones observados en la respuesta del transformador son consecuencia de la inductancia de p´erdidaσ

y la capacidadC

Puesto que el n´umero de espiras de los devanados est´a fijado por la inductancia magnetizante requerida, todo lo que se puede hacer respecto aσ yC es disminuir una de ellas a costa de aumentar la otra

Si se mantienen pequeñas las distancias entre devanados y entre capas, la inductancia de pérdidaσ será pequeña, pero

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Consideraciones Generales III

Si se emplea un n´ucleo de permeabilidad infinita se puede aumentar Lp arbitrariamente, y al mismo tiempo reducir al m´ınimo aσ yC.

En este caso un primario de una sola espira dar´ıa una inductancia magnetizanteLp suficiente. Como el n´umero de espiras es m´ınimo

se reduce muchoσ sin introducir una capacidad apreciable. Para lograr esto se usan n´ucleos de Hipersil (µr m´ax ≃12,000),

Permalloy (µr m´ax ≃80,000) o ferritas

Al usar pulsos muy estrechos, debido al efecto pelicular y las corrientes de Foucault la permeabilidad efectiva obtenida es mucho menor (para el Hipersilµr ≃400)

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Consideraciones Generales IV

Si se usa “n´ucleo de ferrita” se logra una permeabilidad efectiva del orden de 1000, con la ventaja que su resistividad es de al menos 10 millones de veces superior a la del Hipersil o Permalloy, con lo cual se reduce mucho la corriente de Foucault

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Consideraciones Generales V

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