LAB FIX 410 L

Cátedra de Física para Química y Topografía

GUÍA DE LABORATORIO PARA

FIX-410L FÍSICA 1

Elaborada por:

M.Sc. Silvia Chacón Barrantes

M.Sc. José Roberto Moya Montero

Lic. Diego Chaverri Polini

Lic. Raúl Betancourt López

Colaboración de

William Alfaro Moya

UNIVERSIDAD NACIONAL

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE FÍSICA

FlSICAI(FIX410) LABORATORIO Introducción

Este laboratorio es parte del curso de Física I para las carreras de

Topografía v

de Química industrial. Constituye el complemento experimental que

todo curso

de física requiere.

Objetivos

Los objetivos de este laboratorio del curso de Física I son que los

alumnos, al

finalizar el mismo sean capaces de:

> Construir gráficas, interpretarlas correctamente y extraigan de las

mismas las relaciones cuantitativas entre las variables estudiadas.

> Hacer un correcto tratamiento de los errores o inoertidumbres en

cada experimento.

> Utilizar correctamente los distintos instrumentos de medición

utilizados en los laboratorios da física.

> Comprobar experimentalmente las distintas leyes de la física

estudiadas en el curso.

Cronograma

Sem

Experimento

1

Introducción

2

Graficación

3

Graficación en Excel

4

Mediciones

5

Movimiento rectilíneo uniforme

6

Movimiento rectilíneo uniformemente

acelerado

7

Aceleración en un plano inclinado

8

Proyectiles

10 Importancia de la fricción cinética

11 Coeficiente de fricción cinética

12 Movimiento circular : fuerza centrípeta en

función del período

13 Impulso -cantidad de movimiento

14 Conservación de la cantidad de movimiento

15 Conservación de la energía en un péndulo

simple

16 Oscilación en un plano inclinado

17 Examen

Evaluación

El laboratorio tiene un valor de 20% , los cuales son distribuidos como

sigue:

Quices 5 %

Cuaderno 5 %

Trabajo en el laboratorio 5 %

Examen 5 %

Observaciones

> La asistencia al laboratorio es obligatoria

^ El alumno que tenga mas de 2 ausencias perderá el curso de física

I, Después de15 minutos de comenzado el laboratorio, el profesor no

permitirá el ingreso de ningún estudiante

> Durante la reaIización.del experimento los alumnos no deben salir

del laboratorio sin autorización de! profesor

> Cada estudiante debe traer al laboratorio un cuaderno exclusivo

para e! mismo el cual debe ser de tamaño carta. Dicho cuaderno será

debidamente revisado y firmado por el profesor al finalizar cada

^ El profesor chequeará que cada alumno se presente en cada

laboratorio con el correspondiente pre-reporte en el cuaderno. De no

traerlo el profesor está autorizado para no dejarlo realizar la práctica

> En todas las prácticas el alumno debe traer lápiz, regla, calculadora

hoias de papel milimétrico, logarítmico y semilogarítmico: De no

encontrarlo en las librerías se pueden generar en la siguiente

dirección de Internet

http://incomDetech.com/beta/plainGraDhPaper/loq/

iii

Graficación

Objetivos

1. Determinar la dependencia funcional entre dos magnitudes relacionadas construyendo su gráfica en papel milimétrico.

2. Aplicar el método de los mínimos cuadrados para encontrar la curva de mejor ajuste en una relación lineal, potencial o exponencial.

3. Determinar los parámetros de una función lineal, potencial o exponencial utilizando la curva de mejor ajuste de la gráfica en papel milimétrico, logarítmico o semilogarítmico según corresponda.

Introducción

Cuando se estudia un fenómeno físico en el laboratorio, los valores de las magnitudes medidas (o variables) se representan utilizando tablas de valores, gráficas y ecuaciones matemáticas que las relacionan.

La variable que nosotros modificamos a nuestro interés durante el experimento le llamamos independiente y se acostumbra representarla en el eje de las abscisas (x), y la respuesta en nuestro experimento a estas modificaciones le llamamos variable dependiente que se representa en el eje de las ordenadas (y) cuando representamos una gráfica cartesiana. En los laboratorios de Física solemos realizar gráficas para encontrar el tipo de relación entre dos variables, para confirmar el tipo de relación entre dos variables o para obtener información a partir de dos variables medidas (medición indirecta).

Los principales tipos de relaciones que pueden darse entre la variable dependiente e independiente son de tipo lineal, potencial o exponencial.

Por otro lado, si conocemos la relación entre dos variables, por ejemplo, queremos obtener velocidad y medimos distancia y tiempo:

lo más simple sería dividir distancia entre tiempo, sin embargo, si repetimos varias veces las mediciones de distancia y tiempo, las graficamos y obtenemos una línea de mejor ajuste, vamos a obtener una mejor medida de la velocidad.

Relación lineal o de proporcionalidad

La ecuación general que relaciona las variables es b mx

y= + ,

la cual representa una línea recta donde m es la pendiente de la recta y el termino b es el punto de intersección con el eje vertical (valor de "y" cuando x = 0) y por esto se le llama intercepto.

Los cinco tipos de recta que puede generar la ecuación de una relación lineal, en el primer cuadrante del diagrama cartesiano trazado en un papel milimétrico, según los valores que adquiera la pendiente m y el intercepto b, están representados en la Figura 1.

Debido a las perturbaciones que se producen durante la realización de un experimento los puntos graficados aunque tienen una tendencia lineal, casi nunca se alinean exactamente en una recta sino que se dispersan en cierto grado y se nos hace un problema unirlos tratando de obtener una recta.

Para evitar los criterios personales al trazar la mejor recta posible debemos utilizar el método estadístico de regresión lineal o método de mínimos cuadrados que aparece programado en las calculadoras, y en algunos programas de cómputo como Excel. El método de mínimos cuadrados, establece que si cada punto experimental está separado de la recta una distancia

b mx y

di = i − i −

la mejor recta de ajuste es la que hace mínimo este conjunto de distancias o sea que

(

)

2 min

2

valor b

mx y

d_i = _i − _i − =

∑

∑

de donde se obtienen las expresiones para los valores de la pendiente m , el intercepto b y el término R, que es un estimador de la dispersión de los puntos respecto a la recta obtenida llamado

coeficiente de correlación. Estas

expresiones pueden escribirse de la

              −       ⋅ ⋅               −       ⋅       ⋅       − = − =       −       =       −       ⋅       ⋅       − =

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

= = = = = = = = = = = = = = 2 n 1 i i n 1 i 2 i 2 n 1 i i n 1 i 2 i n 1 i i n 1 i i n 1 i i i n 1 i i n 1 i i 2 n 1 i i n 1 i 2 i n 1 i i n 1 i i n 1 i i i y y n x x n y x y x n R x m y x m y b x x n y x y x n m .

Si R = +1 ó R = - 1 significa que todas los puntos están sobre la recta; el signo más o menos indica que la pendiente de la recta es positiva o es negativa respectivamente. Para considerar que existe una relación lineal entre los puntos, el valor de R debe estar comprendido entre estos valores óptimos, o sea -1 < r < 1, adicionalmente, entre más cercano a ±1 sea el valor de R, indicará que el ajuste realizado da una mejor relación de los datos medidos.

El método de mínimos cuadrados puede ajustar una recta a cualquier conjunto de datos sin importar cuál sea realmente su relación, por lo que el coeficiente de correlación es un buen indicador de si lo que estamos haciendo tiene realmente un significado físico.

Relación Potencial

La ecuación general que relaciona las variables en una función potencial es

m

x y=α⋅ , donde: α es la constante de proporcionalidad o coeficiente, que puede ser positivo, negativo, entero o fraccionario, y m es la potencia de la función, que puede ser un número positivo o negativo, entero o fraccionario. Si se gráfica una función potencial en un papel milimétrico se pueden obtener diferentes formas, dependiendo del valor de la potencia m como se ve en la Figura 2.

Observe que si m = 0, la ecuación resulta igual a la función constante: y = α. Si m = 1, resulta la

ecuación de la función directamente

proporcional y = αx.

Si m > 1, la función potencial es creciente con concavidad hacia arriba y la curva parte del origen. Si m está comprendida entre 0 y 1, la función es creciente con concavidad hacia abajo, la curva parte del origen. Si m < 0, la

Laboratorio de Física 1 para Química y Topografía ₇

función potencial es decreciente pero la curva no toca al eje vertical ni horizontal.

Para obtener los valores de los parámetros m y α aplicando el método de los cuadrados mínimos debemos primero linealizar la ecuación general aplicando logaritmo de base 10 para obtener la expresión:

(

)

( )

b mX Y log x log m y log x log m log y log x log log y log x log y log m m + = α + = + α = + α = α = , donde α = = = log b x log X y log Y .

Esta expresión indica que si graficamos la función potencial en un papel que tiene escalas logarítmicas en ambos ejes (papel doblemente logarítmico), obtenemos una línea recta cuya pendiente es la potencia m de la función potencial y que el antilogaritmo del intercepto b de la recta, es la constante de proporcionalidad α de la función o sea:

b

10

=

α .

Relación Exponencial

La expresión general que relaciona las variables en una función exponencial es:

mx

e

y=α ,

donde: α es una constante de proporcionalidad y mx es el exponente de la función exponencial en la que m es una constante que puede ser positiva (función exponencial creciente) o negativa (función exponencial decreciente), y x es la variable independiente. Si se gráfica una función exponencial en un papel milimétrico se pueden obtener diferentes formas dependiendo del valor de la constante m como se muestra en la Figura 3. Observe en la figura que, si m = 0 la ecuación resulta igual a la función constante y =α. Si m > 0 la función exponencial es creciente con concavidad hacia arriba y la curva no pasa por el origen pero si m < 0, la función exponencial es decreciente y la curva toca al eje vertical en x = 0, pero no toca al eje horizontal.

Esta expresión indica que si graficamos la función exponencial en un papel en el que el eje de las abscisas (eje x) esté en escala lineal y el eje de las ordenadas (eje y) esté en escala

logarítmica (papel semilogarítmico),

obtendremos una línea recta donde el valor de la pendiente es la constante m de la función exponencial y el antilogaritmo del intercepto de la recta es la constante de proporcionalidad α de la función o sea

b

e

= α

Algunas orientaciones útiles para construir una gráfica

Para construir una gráfica se dibuja el plano cartesiano trazando los dos ejes, horizontal y vertical y se escribe el símbolo de la variable dependiente en el eje vertical y el símbolo de la variable independiente en el eje horizontal; con sus respectivas unidades entre paréntesis. Se coloca el nombre de la gráfica en la parte superior centrado, y se selecciona una escala apropiada para cada uno de los ejes, procurando que el gráfico abarque por lo menos 75% del área de la hoja. Debajo del título del gráfico se escribe la escala utilizada en cada eje.

Escogencia de la escala para papel milimétrico.

Una forma de seleccionar una escala apropiada cuando se gráfica en papel milimétrico es dividir el valor máximo de la variable a graficar en cada eje por el número de centímetros disponibles que tiene la hoja milimetrada en el eje vertical u horizontal correspondiente y el resultado redondeado por exceso y expresarlo en notación científica o sea

α

10

0 max _{= ⋅}

= E

N V E

cm

donde α =±1,±2,±3,... y E0=1,2 o 5.

Escogencia de la escala para papel doblemente logarítmico.

Para realizar la gráfica en una hoja doblemente logarítmica, debe observar que los ejes están calibrados en ciclos logarítmicos de base 10 de modo que para escoger una escala apropiada se debe identificar los valores mínimos y máximos de la variable a representar en cada eje y determinar entre que números de base 10 están comprendidos los valores mínimos y máximos de la variable.

Divida el número mayor de base diez entre el número menor de base diez que determinó y exprese el resultado en notación científica. La potencia de este cociente es el número de ciclos logarítmicos que son necesarios para poder ubicar la variable.

Escogencia de la escala para papel semilogarítmico.

Una vez hecha la escala se marcan los valores en los ejes y se localizan las coordenadas de cada par ordenado que se tiene de datos. A cada par de datos debe corresponder un punto en la gráfica.

Identifique bien cual es la variable independiente y cual la variable dependiente. Si se le dice realice una gráfica de fuerza en función de la masa, por ejemplo, es porque la fuerza depende de la masa, es decir, la masa es la variable independiente y la fuerza la variable dependiente. Lo mismo si se le dice realice una gráfica de fuerza versus masa. Recuerde que la variable independiente se grafica en el eje x u horizontal y que la variable dependiente se grafica en el eje y o vertical.

Debe haber correspondencia entre la precisión que tiene la escala en la gráfica y la precisión de los datos que va a representar, de no ser así debe redondear los datos de acuerdo a la precisión de la escala, antes de ubicarlos en la gráfica.

Equipo

- papel milimétrico - papel logarítmico - papel semilogarítmico

- regla - lápiz

- calculadora científica

Procedimiento

1. En el estudio del movimiento de una avioneta se determinó que la distancia recorrida en línea recta al transcurrir el tiempo varía de la siguiente manera.

Distancia (km) 85 130 165 212 270 333 385 420 500 610

Tiempo (s) 0,2 0,4 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,0 2,4 3,0

Tabla 1

1.1 Construya una gráfica de distancia en función del tiempo en papel milimétrico.

1.2 Realice un ajuste empleando el Método de Mínimos Cuadrados. No olvide calcular el coeficiente de correlación.

2. En el laboratorio se ha determinado que el periodo de oscilación de un péndulo (tiempo que demora en dar un recorrido completo) varía en relación con la longitud del mismo, de la siguiente manera:

T (s) 1,41 2,00 2,19 2,45 2,61 2,83

L(m) 0,50 1,00 1,20 1,50 1,70 2,00

Tabla 2

2.1 Construya una gráfica en papel milimétrico de 'T -vs-L".

2.2 Construya una gráfica en papel doblemente logarítmico de 'T -vs- L".

2.3 Realice un ajuste empleando el Método de Mínimos Cuadrados. No olvide calcular el coeficiente de correlación.

3. En un laboratorio de biología se determina que el número de bacterias (NB) de una población aumenta con el tiempo de la siguiente manera:

NB 22,2 50 110 245 546 1215

Tabla 3

3.1. Construya una gráfica "NB -vs-t" en una hoja milimétrica. 3.2. Construya una gráfica "NB -vs-t" en una hoja semilogarítmica.

Graficación en Excel para Laboratorios de Física.

I. Creando la gráfica.

1. Introduzca los datos en forma de tabla, y selecciónelos.

2. En el menú Insertar seleccione Gráfico. O presione el botón Asistente para Gráficos .Verá lo siguiente:

En Tipo de gráfico seleccione XY(Dispersión), y en Subtipo de gráfico seleccione aquel que muestre los puntos sin unir. Presione Siguiente>

4. Digite el título de la gráfica y de los ejes. Si no quiere que aparezcan las líneas de división principales, desmárquelas.

Presione Siguiente>

5. Al final seleccione siempre En una hoja nueva, eso le facilitará imprimir la gráfica. Seleccione Finalizar>

Recuerde que puede devolverse a los pasos anteriores con el botón Asistente para Gráficos

II. Modificando el formato de la Gráfica.

1. Fondo

Seleccione el área gris dentro del área y presione el botón derecho del Mouse. Seleccione Formato del área de trazado. (Format Plot Area). Si no quiere gastar mucha tinta de la impresora seleccione Ninguna (None) en el Área. La opción Efectos de relleno (Fill efects) le ofrece diversas opciones en Tramas (Pattern) y Texturas.

2. Títulos.

Puede cambiar lo que está escrito en los títulos de la gráfica y de los ejes en cualquier momento marcándolos y esperando a que el cursor le permita escribir. Puede cambiarles el tamaño de fuente y el color. Inclusive en el título del gráfico puede separar los renglones como en todo texto.

3. Leyenda.

El cuadrito de leyenda también lo puede manipular haciéndolo más grande o más pequeño e inclusive introduciéndolo dentro del área de trazado, lo que le permite ampliar ésta hacia la derecha.

4. Marcadores.

Puede cambiar la forma y los colores de los marcadores, seleccionándolos con el ouse presionando el botón derecho y seleccionando Formato Serie de Datos

III. Agregando una línea de mejor ajuste.

En la opción Tipo se define el tipo de ajuste que se quiere realizar, ya sea Lineal, Potencial (Power) o Exponencial. En este curso no vamos a utilizar los ajustes logarítmicos, polinomiales ni de media móvil.

En la pestaña Opciones, puede dejar el nombre de la línea automático o darle el que usted guste, este nombre aparece en la Leyenda, si no le aparece pruebe hacerla más grande. En Extrapolar (Forecast) puede indicar que se extienda la línea hacia delante (Forward) o hacia atrás (Backward) cuantas unidades desee, estas unidades se miden en el eje por, por ejemplo si quisiéramos saber donde cruza la línea al eje y, entonces podemos Extrapolar hacia atrás 1,5 unidades para llegar al eje y (ya que el primer dato es 1,5).

Además seleccione las casillas que aparecen al final: Presentar la ecuación en el gráfico, esto le pondrá la ecuación de la recta de mejor ajuste. Puede cambiar el tamaño de las letras de este cuadro posicionándose sobre él y seleccionando el nuevo tamaño de letra en la barra de herramientas.

Puede cambiar el aspecto (color, grosor, estilo) de esta línea de tendencia, seleccionándola con el Mouse, presionando el botón derecho y seleccionando Formato Línea de Tendencia, en la pestaña Tramas.

IV. Escalas Logarítmicas.

T (s) 0 2 4 6 8 10 12 14

Ac (Bq) 2000 1389 964 669 465 323 224 156

Esto le convertirá la escala del eje y en logarítmica y la curva de mejor ajuste se convertirá en una línea recta.

Para que el eje por aparezca en escala logarítmica, repita los pasos anteriores para este eje.

Mediciones

Objetivos

1. Realizar mediciones directas utilizando instrumentos de medir con diferentes escalas y determinar la incertidumbre en cada caso.

2. Realizar mediciones indirectas de perímetro, área, volumen y densidad así como calcular la incertidumbre propagada.

3. Realizar el cálculo de incertidumbres para mediciones repetidas y valores obtenidos de ajustes realizados.

Introducción

El ser humano para realizar las actividades cotidianas ha tenido la necesidad de medir, o sea, saber cual es el valor de alguna magnitud física que caracteriza a un objeto o fenómeno específico, comparándolo con otro del mismo tipo que le sirve de base o patrón.

El valor verdadero de una magnitud física podría definirse como aquel que se mediría sin introducir ningún error en el método de medición, y sin restricciones en las cifras que pueden apreciarse en la escala del instrumento utilizado.

Pero esto en la práctica es imposible, la cantidad que resulta de cualquier medición tiene siempre algún grado de incertidumbre, debido a que se introducen errores de diferente tipo y por diferentes causas.

Por lo tanto el resultado de la medición de una magnitud siempre debe expresarse como x

x

x= ±∆ ,

donde ∆x representa la incertidumbre absoluta de la medición.

Se define como incertidumbre relativa a la razón entre la incertidumbre absoluta y la variable medida:

x x

∆

.

Tipos de error.

Si la diferencia entre el valor real de una magnitud y el valor que se mide se produce por igual cuando se repite la medición en idénticas condiciones, se denomina error sistemático. Pero si la diferencia fluctúa al repetir la medición se denomina error aleatorio.

La mayoría de las veces es posible detectar y eliminar los errores sistemáticos provocados por algún defecto en el instrumento de medición o por inadecuada posición del experimentador respecto a la escala cuando hace la lectura, pero los errores aleatorios producidos por cambios de iluminación, presión atmosférica, humedad, corrientes de aire o fluctuaciones de voltaje son impredecibles e incontrolables durante la realización del experimento.

Exactitud y precisión.

Se dice que el resultado de una medición es exacto si el error sistemático está minimizado. La exactitud expresa cuán cerca están las medidas respecto del valor “verdadero” de la magnitud que se mide.

Si en un conjunto de mediciones se llegara a minimizar el error sistemático y aleatorio, las lecturas se dispersarán alrededor del valor verdadero de la cantidad y se dice entonces que la medida es exacta y precisa. (Figura 4)

Figura 4. Ilustración de exactitud y precisión.

Medición directa.

Las mediciones directas son el resultado de la comparación directa de una cantidad desconocida, con el patrón de medición o cantidad estandarizada de la misma especie y que generalmente se realiza con la ayuda de instrumentos analógicos o digitales.

La incertidumbre asociada a un instrumento de medición se presenta como un límite por debajo del cual es imposible acercarse más al valor verdadero de la medición y desde luego puede ser predeterminado por el experimentador de acuerdo con la finalidad que persigue. Consideremos que se quiere medir la longitud de un segmento utilizando la regla graduada en centímetros de la figura

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Figura 5. Regla graduada en centímetros.

El resultado de la medición se expresa con un número limitado de cifras denominadas significativas que van a depender de la precisión del instrumento utilizado. Por ejemplo la longitud del segmento puede que sea 9,5cm; 9,6cm o tal vez 9,7cm. La primera cifra o sea el 9 es una cifra segura que ofrece la escala de la regla y se denomina exacta pero no así la última cifra, ya que las décimas de centímetros (milímetros) tienen que ser estimadas por eso se le denomina dudosa. Otro dígito que se escribiera después de la cifra estimada no tiene ningún significado en esta medición. A las cifras exactas junto con la dudosa se les llama cifras significativas.

vernier (pie de rey) o el palmer (micrómetro) que utilizaremos en nuestro laboratorio, se considera como incertidumbre asociada la menor división de la escala, de igual modo cuando el instrumento es digital, como por ejemplo un termómetro digital en el que se registra una lectura de temperatura de 23,2°C, la incertidumbre asociada es 0,1°C y el resultado se expresa como T = 23,2°C ± 0,1°C lo cual significa que el valor “verdadero” de la temperatura está con seguridad en el intervalo de 23,1°C a 23,3° C.

Medición indirecta.

Las mediciones indirectas son aquellas en las cuales el valor buscado de la magnitud se halla por el conocimiento de la dependencia entre el mismo y las magnitudes directamente medidas.

Por ejemplo el largo (1), ancho (a) y espesor por de un bloque rectangular se mide directamente con ayuda de una regla pero para medir el área y volumen del bloque se requiere de las relaciones matemáticas entre las magnitudes medidas directamente como A=1*a y V=1*a*e, por lo tanto son mediciones indirectas.

En la medición indirecta de una magnitud, se propaga el error asociado de las variables medidas directamente relacionadas con ella.

Propagación de errores.

Suma o resta

Suponga que se obtiene una cantidad w por medio de suma o resta de las cantidades x, y, las cuales son independientes entre sí:

y x

w= ± .

La incertidumbre propagada a la cantidad w es igual a la suma de las incertidumbres absolutas de las variables medidas directamente, involucradas con ésta o sea

y x

w=∆ +∆

∆ .

Es importante notar que el cálculo del valor ∆w tanto en la suma como en la resta de dos variables se sumó y no se restó, de esta manera se garantiza la maximización del error.

Multiplicación o división

Suponga que se obtiene una cantidad w por medio de multiplicación y/o división de las cantidades x, y, z las cuales son independientes entre sí. La incertidumbre relativa de una magnitud w obtenida como resultado de una operación de multiplicación o división es igual a la suma de las incertidumbres relativas de las variables medidas directamente involucradas con ella, de modo que el valor de ∆w se puede obtener de:

z z y y x x w w ∆ + ∆ + ∆ = ∆ .

Adicionalmente si tenemos una función de tres variables (x, y, z) que involucra multiplicación, división y potenciación, tal como

c b a z y x k w=

z z c y y b x x a w w ∆ + ∆ + ∆ = ∆ .

Repetición de mediciones.

Los errores aleatorios pueden minimizarse aumentando el número de mediciones. La estadística matemática y la teoría de las probabilidades establecen que si con un mismo sistema de medición se obtiene un conjunto de mediciones

{

x₁,x₂,...,x_N

}

, entonces el valor promedio de esas mediciones

∑

= = N i i x N x 1 1

tiende a ser el valor desprovisto de errores aleatorios. También definimos la desviación estándar como

(

)

[

]

∑

= − − = N 1 i 2 i x x 1 N 1 s ,

donde N es el número de repeticiones que se realizaron, y x es el promedio de dichas repeticiones.

La incertidumbre de la medición (definiendo la medición como el promedio de todas las mediciones repetidas) se calcula dividiendo la desviación estándar entre la raíz cuadrada del número de mediciones:

N s x=

∆

De lo que resulta obvio que entre más repeticiones se realicen de la medición, la desviación estándar y por lo tanto la incertidumbre de la medición, disminuyen.

Incertidumbre en una función.

Cuando calculamos una función de la cantidad medida, también podemos calcular la incertidumbre de dicha función. Si llamamos x a la cantidad medida y f(x) a la función, entonces la incertidumbre de f(x) se calcula de la siguiente manera:

( )

[

]

x

x f x

f ⋅∆

∂ ∂ = ∆

Por ejemplo, si medimos un ángulo θ y calculamos el seno de ese ángulo, entonces la incertidumbre de senθ será:

(

)

(

)

θ ∆ ⋅ θ = θ ∆ ⋅ θ ∂ θ ∂ = θ ∆ cos sen sen

Incertidumbre al emplear el Método de Mínimos Cuadrados.

Muchas veces en los laboratorios de Física, se utiliza este método para calcular las ecuaciones de las curvas de mejor ajuste que relacionan dos variables. Y de las ecuaciones de esas curvas de mejor ajuste obtenemos cantidades físicas, por lo que necesitamos saber su incertidumbre.

Primero digite sus datos en Excel, luego en el menú Herramientas (Tools) seleccione la opción de Análisis de Datos (Data Analysis). Es posible que esta opción no venga instalada por lo que tendría que instalarla usando la opción *** (Add-Ins) también del menú Herramientas, ahí debe seleccionar la opción *** (Análisis ToolPak) (es probable que necesite el disco de instalación). Una vez que le ha aparecido el cuadro de Análisis de Datos, seleccione Regresión (Regression).

En la ventana que le aparece indique cuales son sus variables dependientes e independientes, seleccione las opciones *** (Labels) (esta opción indica que los datos tienen una fila de encabezado que consiste en el nombre de la variable) y *** (Confidence Level) al 95%.

Luego de presionar Aceptar (OK) le aparecerán los resultados de la regresión o ajuste por medio de Mínimos Cuadrados en una nueva hoja, como se muestra en la siguiente figura (el sombreado es nuestro). De todos esos resultados, los que nos interesan son los que se encuentran sombreados: ** (Multiple R), ** (R Square), ** (Coeficients y Standard Error) del Intercepto (Intercept) y la pendiente, que aparecerá con el nombre de la variable independiente.

Equipo

- reglas graduadas - cilindros de cobre

- balanza

- vernier - probeta

- micrómetro

- cronómetro

- esferas de hierro - calculadora

Procedimiento

Al comenzar a hacer cada una de las siguientes actividades active el cronómetro para medir el tiempo que demora en desarrollarlas. Exprese el resultado con su correspondiente incertidumbre.

1. Anote la menor medida que es posible realizar con cada uno de los instrumento de medición que tiene en su puesto de trabajo. Determine la incertidumbre de cada uno. Anote los resultados en la Tabla 4.

Instrumento regla vernier micrómetro balanza probeta cronómetro

Menor medida

Incertidumbre

2. Mida el largo y el ancho de la mesa de trabajo utilizando la regla. Exprese cada resultado con su incertidumbre absoluta y relativa. Anote los resultados en la Tabla 5.

3. Calcule el perímetro y el área de la mesa. Exprese cada resultado con su incertidumbre absoluta y relativa. Anote los resultados en la Tabla 5.

Mesa de trabajo Largo Ancho Perímetro Área

Medición

Incertidumbre absoluta Incertidumbre

relativa

Tabla 5

4. Mida la masa de la esfera con la balanza y el diámetro con el micrómetro, anote esos valores con su respectiva incertidumbre absoluta y relativa. Calcule el volumen de la esfera y su densidad así como su correspondiente incertidumbre absoluta y relativa. Anote los resultados en la Tabla 6. El volumen de una esfera es

3 r 4 V

3 π = .

La densidad se calcula siempre por medio de

V m

= ρ .

Esfera Masa Diámetro Altura Volumen Densidad

Medición

Incertidumbre Absoluta

Incertidumbre Relativa

Tabla 6

teórico valor

erimental exp

valor teórico

valor error

% = −

5. Mida la masa del cuerpo irregular con la balanza, y su volumen utilizando la probeta. Anótelos en la Tabla 7 junto con su respectiva incertidumbre absoluta y relativa. Calcule su densidad y su correspondiente incertidumbre absoluta y relativa.

Cuerpo irregular masa volumen densidad

Medición

Incertidumbre absoluta

Incertidumbre realtiva

Tabla 7

6. En un laboratorio de Física, se repitió diez veces una medición de tiempo; dichos datos se muestran en la Tabla 8. Calcule el promedio de ese conjunto de repeticiones, su desviación estándar y su respectiva incertidumbre, anote sus resultados en la Tabla 9.

T1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10

0,3964 0,38 0,3895 0,3784 0,3837 0,3893 0,3948 0,3825 0,3847 0,3770

Tabla 8

tprom s ∆tprom

Tabla 9

7. Calcule la incertidumbre de la pendiente y el intercepto que obtuvo del ajuste que realizó para los datos de la Tabla 1, en la práctica de graficación. Exprese la pendiente y el intercepto con su respectiva incertidumbre.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Objetivo

Calcular la rapidez media de un carrito que se mueve con movimiento rectilíneo uniforme.

Introducción

Sobre un carril rectilíneo horizontal se mueve un carrito con movimiento uniforme, el carrito no experimenta aceleración y por lo tanto su velocidad no cambia con el tiempo, tiene la misma magnitud y la misma dirección durante todo su trayecto.

Se escoge el eje por a lo largo de la línea recta por donde se mueve el carrito. Si en el instante t=0 el carrito está en la posición por1 y en el instante t en la posición por2 el carrito habrá recorrido d=x₂ −x₁, en el intervalo de tiempo t.

La magnitud de la velocidad media, a la cual se le llama rapidez media, viene dada por la razón del desplazamiento entre el tiempo transcurrido:

t d vmed =

Equipo

- carril - un carrito

- una bandera

- dos fotocompuertas - cronómetro digital - martillo

Descripción del equipo

Debido a que el equipo empleado en este experimento se empleará en la mayoría de los experimentos de este curso, daremos una breve descripción de sus componentes.

Carril.

Es un riel horizontal, de 120cm de longitud, con una cinta métrica pegada a él. Sobre este riel se coloca un carrito, tanto éste como el carril están diseñados para tener una fricción despreciable entre ellos. El carril tiene unas ranuras en sus lados a las que se le pueden fijar fotocompuertas, gonómetros (medidores de ángulos), una base para inclinarlo, y un parachoques. También es posible fijar una polea a uno de los extremos del carril.

Carrito.

Como decíamos está diseñado para tener una mínima fricción con el riel. Tiene ranuras para colocarle la bandera y agujeros para colocarle un pequeño cilindro, según sea la necesidad del experimento. Adicionalmente se le puede amarrar un hilo o un resorte a uno de sus extremos Algunos carritos tienen un sistema disparador el cual se activa al golpear el gatillo con un martillo.

Fotocompuerta.

Las fotocompuertas tienen un haz infrarrojo que cuando se interrumpe envía una señal al cronómetro digital, por ello el carrito debe de tener algún dispositivo que corte dicho haz. Las fotocompuertas se deben conectar al cronómetro digital para que éste pueda registrar el tiempo correspondiente.

Bandera.

La bandera es una lámina de acrílico transparente con varias rayas negras pintadas, cada una de estas rayas tiene un ancho de medio centímetro y están separadas medio centímetro entre ellas.

Si el haz corta a la bandera en la parte superior (Figura 6), entonces entre que se corta el haz una vez y se vuelve a cortar, habrá una distancia de 1cm, esta opción usualmente se utiliza con el cronómetro digital en las funciones “ONE GATE” o “TWO GATES”, es la posición en la que usaremos la bandera la mayoría de las veces.

Si el haz corta a la bandera en la parte central, entonces entre que se corta el haz una vez y se vuelve a cortar, habrá una distancia de 5cm.

Si el haz corta a la bandera en la parte inferior, entonces medirá varias distancias de 1cm, esta opción se conoce como “FENCE” (cerca o valla en español) en el cronómetro digital. Para que el haz corte la bandera en la opción “FENCE” es necesario poner la bandera al revés de cómo se muestra en la Figura 6.

A la hora de colocar las fotocompuertas en todos los experimentos en donde se utilice la bandera, debe asegurarse de que el haz corte a la bandera a la altura que debe ser.

Figura 6. Bandera acrílica. Cronómetro digital.

Como su nombre lo dice, es un dispositivo digital para medir tiempo (Figura 7). Para lo cual tiene varias opciones; las que usaremos en este curso se detallan a continuación:

- TIME-ONE GATE: mide el tiempo que transcurre mientras se recorre una distancia usualmente pequeña (se activa cuando se corta el haz de una fotocompuerta y se desactiva cuando se vuelve a cortar el haz de la misma fotocompuerta),

- TIME-TWO GATES: mide el tiempo que transcurre mientras se recorre una distancia entre dos fotocompuertas (se activa cuando se corta el haz en la primera fotocompuerta y se desactiva cuando se corta el haz en la segunda fotocompuerta), - TIME-PENDULUM: mide el período de oscilación de un péndulo (se activa cuando

se corta el haz, y se desactiva cuando se corta el haz por tercera vez),

- TIME-STOPWATCH: mide el tiempo que transcurre mientras algo está cortando el haz (se activa cuando algo comienza a cortar el haz y se desactiva cuando ese algo termina de cortar el haz).

El cronómetro digital también puede medir indirectamente velocidad (speed) y aceleración (aceleration). Lo que hace en estos casos es calcular dichas cantidades midiendo directamente diferentes tiempos y usando la fórmula preprogramada de acuerdo a cada caso. Detallaremos las opciones usadas en este curso:

- SPEED-COLLISION: se comporta de igual manera que en la opción ONE GATE, con la diferencia de que lo hace para dos fotocompuertas a la vez y dos veces para cada una. Es decir, en esta opción da como resultado la velocidad de dos carritos, antes y después de un choque. Nuevamente, el haz debe cortar a la bandera en la parte superior.

- ACELERATION-ONE GATE: mide la aceleración del carrito en un punto de la trayectoria. Para esta opción es necesario que la bandera corte al haz en la parte central. Usa la fórmula:

t v v

a₌ 2 − 1

donde la velocidad 1 (v1) es la velocidad de la parte de la bandera que pasa primero, y la velocidad 2 (v2) es la velocidad de la parte de la bandera que pasa después, y t es la mitad del intervalo de tiempo que transcurre entre que pasa la primera y la tercera raya. La velocidad 1 la obtiene dividiendo 5cm entre el tiempo transcurrido entre que la primera raya corta el haz y la segunda lo vuelve a cortar. La velocidad 2 la obtiene dividiendo 5cm entre el tiempo transcurrido entre que la segunda raya corta el haz y la tercera lo vuelve a cortar. Este método es el más recomendable para cuando la aceleración que se quiere medir no es constante, porque la diferencia entre las velocidades es pequeña, aunque la distancia que se usa para medir cada una de las velocidades no es la ideal.

- ACELERATION-TWO GATES: mide la aceleración promedio de un carrito. Para

esta opción es necesario que la bandera corte al haz en su parte superior. Usa la misma fórmula que en el caso anterior, pero las velocidades en cada fotocompuerta (v1 y v2) las calcula usando el método empleado en SPEED-ONE GATE. Esta opción es más recomendable para los casos en que la aceleración es constante, porque ofrece mejores mediciones de las velocidades instantáneas.

Una vez que se ha seleccionado la opción que se empleará en el cronómetro digital, se debe presionar el botón START/STOP hasta que aparezca un asterisco en la parte izquierda de la pantalla. Si no aparece dicho asterisco el cronómetro no registrará ninguna medida sin importar cuantas veces se corte el o los haces de las fotocompuertas.

Procedimiento

Como queremos hacer un experimento sobre movimiento rectilíneo uniforme, el carrito no debe estar acelerado y por lo tanto el carril debe estar muy bien nivelado. Haga esto antes de empezar a medir: cuando el carril está nivelado el carrito se queda inmóvil sobre cualquier lugar de éste donde se le ponga.

El tiempo que tarda el carrito en moverse de una posición a otra se mide con el cronómetro digital y dos fotocompuertas, colocadas en lo que llamaremos las posiciones inicial y final del carrito. Para medir estas posiciones se utiliza la cinta métrica que está incorporada al carril.

Para este experimento no es importante a que altura corta el haz a la bandera, siempre que lo haga a la misma altura para las dos fotocompuertas. Ajuste la altura de las fotocompuertas para asegurarse de que sea así.

Conecte la primera fotocompuerta (es decir, la fotocompuerta por la cual pasa primero el carrito) al puerto 1 y la segunda al puerto 2 del cronómetro digital, éste se debe poner en la función TIME-TWO GATES.

Las fotocompuertas se colocan separadas unos 60 centímetros, la primera de ellas a aproximadamente 20 centímetros del extremo del carril desde el cual se inicia el movimiento del carrito. Recuerde que las posiciones de las fotocompuertas representan las posiciones inicial y final del carrito. Este se impulsa desde la barrera que se coloca en dicho extremo utilizando el resorte incorporado comprimido en su posición máxima. El resorte permite repetir el movimiento bajo las mismas condiciones una y otra vez.

Una vez medida la posición de cada fotocompuerta para determinar la distancia que recorrerá el carrito (d), se activa el disparador del carrito y se mide el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia (t). Esta medición se debe repetir cinco veces para obtener un tiempo promedio y su error experimental. Anote sus resultados en la Tabla 10.

Luego se coloca la segunda fotocompuerta 10cm más cerca de la primera y se vuelve a calcular el desplazamiento y a medir el tiempo respectivo. Se sigue acercando la fotocompuerta 2 a la 1 de 10 en 10cm, hasta que se encuentren separadas una distancia de 10cm. En todos los casos se repite la medición cinco veces para obtener el promedio y su incertidumbre.

d t1 t2 t3 t4 t5 tprom

Análisis de Resultados

1. ¿En qué consiste un movimiento rectilíneo uniforme?

2. Haga una gráfica donde coloque las distancias en el eje y, y los intervalos de tiempo promedio en el eje x.

3. Realice un ajuste para obtener el valor de la velocidad media a partir de la gráfica. Calcule también la incertidumbre de dicha velocidad.

4. Dentro de los límites de error experimental ¿se puede afirmar que el movimiento registrado es rectilíneo uniforme? Explique su respuesta.

5. ¿Por qué se utilizó el cronómetro digital en lugar de un cronómetro analógico convencional? ¿En qué hubiera cambiado el resultado experimental si se utiliza un cronómetro accionado manualmente?

6. ¿Puede medir un tiempo más corto que el medido por usted en el procedimiento anterior? Si no es posible explique por qué.

7. El carrito debería iniciar su movimiento siempre desde la misma posición y con la misma velocidad. ¿Cómo puede asegurar que eso está ocurriendo?

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

Objetivo

Determinar la magnitud de la velocidad instantánea de un carrito que se mueve con Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA) y comparar con su velocidad media.

Introducción

La magnitud de la velocidad media en un movimiento rectilíneo (rapidez media) viene dada por el cociente del desplazamiento entre el tiempo transcurrido.

t d t

x x

v 2 1

med =

− =

La velocidad instantánea, por otra parte, es la velocidad en un instante o en un punto específico de la trayectoria. Para obtener dicha velocidad en un determinado punto se debe escoger un intervalo de tiempo tan pequeño que tienda a cero. Entonces la velocidad instantánea se define como el límite de la velocidad media cuando t→0

t d lim v

0 t→ =

Cuando se realiza una medición experimental de velocidad instantánea, el intervalo de tiempo medido debe ser tan pequeño comparado con el desarrollo temporal del movimiento que se pueda considerar que se está cumpliendo que t→0

Equipo

- carril

- base para inclinar el carril - un carrito

- una bandera

- dos fotocompuertas - cronómetro digital - martillo

Procedimiento

Se pone el carril en posición inclinada con dos barreras en cada extremo: una tiene la función de servir de apoyo para impulsar el carrito y la otra funciona como parachoques para prevenir que eventualmente éste se salga del carril. El carril se pone inclinado aproximadamente unos 5° para que exista una aceleración y por lo tanto la velocidad instantánea no sea la misma durante todo el movimiento.

El carrito tiene un resorte para producir un impulso e imprimirle una velocidad inicial, además permite repetir el mismo impulso cuantas veces sea necesario. Anote la posición de carrito cuando el resorte está comprimido, en la posición desde la que se le dispara.

Parte I. Velocidad media.

El procedimiento es el mismo que el del laboratorio de “Movimiento Uniforme”, con la única diferencia de que el carril se encuentra inclinado.

Se mide con la mayor precisión posible la separación entre las fotocompuertas (D), y se anota en la Tabla 11. Anote también la posición de la segunda fotocompuerta (x2).

El carrito se coloca en el extremo inferior del carril con el resorte comprimido hasta el máximo. Se activa el cronómetro y luego se golpea el mecanismo disparador del resorte. Si el carrito no sobrepasa la posición de la segunda fotocompuerta es porque escogió una inclinación muy grande. En dicho caso, disminúyala e inicie de nuevo. La medición de tiempo se debe repetir cinco veces. Anote sus resultados en la Tabla 11.

Luego se acerca la segunda fotocompuerta a la primera unos 10cm y se repiten los pasos anteriores. Se sigue acercando la segunda fotocompuerta a la primera de 10 en 10cm, hasta que las fotocompuertas estén separadas una distancia de 10cm y en cada caso se repiten los pasos anteriores.

x2 D t1 t2 t3 t4 t5 tprom

Tabla 11

Calcule el promedio de las mediciones de tiempo y su respectiva incertidumbre. Calcule también la rapidez media del carrito (dividiendo distancia, D, entre tiempo promedio) y su respectiva incertidumbre. Anote sus resultados en la Tabla 12.

D ∆D tprom ∆tprom vmed ∆vmed

Tabla 12

Parte II. Velocidad instantánea.

En esta parte únicamente se utiliza la fotocompuerta colocada en la posición final del carrito, pero conectada al puerto 1. El cronómetro digital se pone en la función TIME-ONE GATE. Como queremos medir la velocidad instantánea del carrito, el intervalo de tiempo debe ser lo más pequeño posible y por lo tanto la separación entre las rayas negras de la bandera debe ser también lo más pequeña posible. Ajuste la altura en la que el haz corta a la bandera para que esto sea así. Entonces d corresponde a la distancia entre el inicio de una raya y el inicio de la siguiente, correspondientes a la altura en la que el haz corta a la bandera.

Dispare el carrito desde la misma posición de la que lo hizo en la parte I, y coloque la segunda fotocompuerta en las mismas posiciones finales (x2) que en la parte I.

x2 d t1 t2 t3 t4 t5 ∆tprom

Tabla 13

(Sugerencia: Puede realizar las dos partes de este experimento al mismo tiempo, y de esa manera se asegura que las posiciones de la segunda fotocompuerta son realmente las mismas. Lo que tiene que hacer es realizar la medición como se indica en la parte I, luego desconectar la fotocompuerta 1, conectar la fotocompuerta 2 en el puerto 1, cambiar la función del cronómetro digital y realizar la medición de la parte II. Luego, cambiar la distancia entre fotocompuertas (D), volver a conectar la fotocompuerta 1 en el puerto 1 y la fotocompuerta 2 en el 2, y realizar la medición como en la parte I.)

Calcule el promedio de las mediciones de tiempo y su respectiva incertidumbre. Calcule también la rapidez instantánea del carrito (dividiendo d entre el tiempo promedio) y su respectiva incertidumbre. Anote sus resultados en la Tabla 14.

d ∆d tprom ∆tprom v ∆v

Tabla 14

Análisis de Resultados

1. Realice una gráfica de distancia (D) contra tiempo promedio, empleando los datos de la Tabla 12. Realice un ajuste, obtenga los parámetros de éste e indique que tipo de relación tienen dichas cantidades (lineal, potencial o exponencial). Justifique la escogencia del tipo de relación. Si le es posible, indique el significado físico de los parámetros del ajuste.

2. Realice una gráfica de rapidez media contra tiempo promedio, empleando los datos de la Tabla 12. Realice un ajuste, obtenga los parámetros de éste e indique que tipo de relación tienen dichas cantidades (lineal, potencial o exponencial). Justifique la escogencia del tipo de relación. Si le es posible, indique el significado físico de los parámetros del ajuste.

3. Realice una gráfica de rapidez instantánea contra tiempo, empleando los datos de la Tabla 14. Realice un ajuste, obtenga los parámetros de éste e indique que tipo de relación tienen dichas cantidades (lineal, potencial o exponencial). Justifique la escogencia del tipo de relación. Si le es posible, indique el significado físico de los parámetros del ajuste.

5. ¿Existe algún punto de la trayectoria en el que el carrito tenga una velocidad instantánea de igual magnitud que la velocidad media? Si es así diga cual es.

6. ¿Dentro de los límites de error experimental se puede afirmar que el movimiento registrado es rectilíneo uniformemente acelerado?

Aceleración en un Plano Inclinado

Objetivo

Se estudia cómo depende la aceleración de un cuerpo que se mueve sobre un plano inclinado con respecto al ángulo de inclinación y a través de este estudio se calcula la aceleración de la gravedad.

Introducción

Un cuerpo que se mueve en un plano inclinado sin fricción experimenta una aceleración resultante cuesta abajo, la cual está relacionada con la aceleración de la gravedad. La aceleración de la gravedad se denota con la letra g y tiene una dirección verticalmente hacia abajo. La aceleración de la gravedad se puede descomponer en una componente paralela al plano inclinado, g⋅senθy otra componente perpendicular al plano, g⋅cosθdonde θ representa el ángulo de inclinación del plano con respecto a la horizontal. Si el cuerpo se mueve libremente sobre el plano inclinado sin fricción, la aceleración resultante que experimenta es

θ ⋅ =g sen

a .

Podemos ver que para cada inclinación se obtiene una aceleración resultante diferente. Si se gráfica la aceleración en función de sen se debe obtener que los datos se alinean en una θ recta cuya pendiente es igual a la aceleración de la gravedad.

Figura 8. Carril inclinado.

Equipo

- carril inclinado

- gonómetro (medidor de ángulos) - un carrito

- una bandera

- dos fotocompuertas - cronómetro digital

Procedimiento

Se coloca el carril inclinado con el extremo que tiene un parachoques en la parte inferior. La inclinación del carril no debe sobrepasar los 10° para evitar que el carrito se descarrile y se dañe.

fotocompuertas. Esta distancia NO variará a lo largo del experimento, recuerde que lo que varía en este caso es el ángulo de inclinación del carril.

Vamos a obtener la aceleración directamente del cronómetro digital. Para esto use la función ACELERATION-TWO GATES. No es importante la altura a la cual el haz corta la bandera, pero sí debe ser el mismo para las dos fotocompuertas.

Cuando todo el sistema esté preparado para iniciar las mediciones mida el ángulo de inclinación θ, luego ponga el carrito en la posición de la fotocompuerta 1, active el cronómetro digital y suelte el carrito a partir del reposo.

Repita cinco veces la medición de aceleración y anote sus datos en la Tabla 15. Calcule la aceleración promedio y su incertidumbre.

Después se cambia la altura del extremo superior del carril, para así cambiar el ángulo de inclinación y se repiten las anteriores mediciones. Repita las mediciones de aceleración para cinco ángulos diferentes, calcule la aceleración promedio para cada uno con su respectiva incertidumbre. Además para cada ángulo calcule el seno del ángulo y anótelo en la Tabla 16.

θ a1 a2 a3 a4 a5 aprom ∆aprom

Tabla 15

senθ aprom

Tabla 16

Análisis de Resultados

1. Realice una gráfica de aceleración promedio versus seno del ángulo. Realice un ajuste lineal y dé el valor de la pendiente y el intercepto.

2. Calcule la aceleración de la gravedad de los resultados obtenidos. Explique cómo la obtiene.

3. Calcule la incertidumbre de la aceleración de la gravedad. 4. Calcule el porcentaje de error de la aceleración de la gravedad.

5. ¿La incertidumbre de la aceleración promedio es la misma (o parecida) para cualquier inclinación?

6. Si la masa del carrito se aumenta ¿se ven afectados los resultados obtenidos? Explique.

Proyectiles

Objetivos

1. Comprobar que el tiempo de vuelo de un proyectil no varía al cambiar la magnitud de la velocidad inicial cuando se lanza horizontalmente desde una altura conocida.

2. Determinar cómo depende el alcance de un proyectil del ángulo de lanzamiento y obtener el ángulo para el cual el proyectil tiene su alcance máximo.

Introducción

La aceleración que actúa sobre un proyectil es la aceleración de la gravedad g que actúa verticalmente hacia abajo sobre el objeto, por lo que su movimiento en la dirección vertical es un movimiento uniformemente acelerado. El proyectil no experimenta ninguna aceleración en la dirección horizontal, por lo que su movimiento en dicha dirección es un movimiento uniforme.

Si se lanza una bola desde una cierta altura h, podemos relacionar ésta con el tiempo de viaje de la bola por medio de:

2 V

gt 2 1

h= ,

donde g es la aceleración de la gravedad y tV es el tiempo de vuelo de la bola. De esta última ecuación es posible calcular el tiempo de vuelo a partir de la medición de la altura que cae la bola y de la aceleración de la gravedad.

Por lo tanto vemos que el tiempo de vuelo depende de la altura que cae el proyectil y no de cuan rápido se lanza.

Por otro lado, si un proyectil se lanza con un cierto ángulo de inclinación entonces el alcance X del proyectil se obtiene multiplicando la componente horizontal de la velocidad inicial por el tiempo de vuelo. Para un ángulo de lanzamiento θ se tiene entonces que:

(

v0cos

)

tV

X= θ ⋅

Equipo

- cañón para proyectiles

- bola

- cilindro cargador - placa sensora - una fotocompuerta

- cronómetro digital - papel carbón - cinta adhesiva

- base para fijar el cañón a la mesa

Procedimiento

Parte I. Tiempo de Vuelo

Esta parte del experimento se puede realizar sobre la mesa. Se fija el lanzador (Figura 9) en un extremo de la mesa de tal forma que lance la bola hacia la pared y no hacia el pasillo (para evitar golpear a algún compañero o compañera de clase), y se ajusta el ángulo de lanzamiento a 0°.

Figura 9. Cañón para proyectiles.

Se coloca la bola en el cañón del lanzador y se empuja hasta la posición de corto alcance empleando el cilindro cargador, NO lo haga con la mano, ya que podría suceder un accidente.

Active el cronómetro hasta después de colocar la bola y dispare el lanzador. Sostenga el cañón a la hora de hacer el disparo. Anote el tiempo de vuelo y luego repita 2 veces más la misma medición. Anote sus resultados en la Tabla 17.

Cargue el lanzador hasta la posición de mediano alcance y repita la operación anterior. Finalmente, con el lanzador en la posición de largo alcance vuelva a medir el tiempo de vuelo. Asegure siempre que la bola pegue en la parte superior de la placa sensora. Siempre cargue el lanzador empujando la bola con el cilindro cargador.

disparador h t1 t2 t3 tprom

corto mediano

largo

Tabla 17

Desconecte la placa sensora del cronómetro digital, y ponga éste en la función TIME-STOPWATCH. Divida el diámetro de la bola entre el tiempo obtenido de esa forma, para puede obtener la rapidez inicial de la bola. Hágalo una vez para la posición de mediano alcance del disparador y el cañón en posición horizontal.

θ diámetro de la bola t v0

Tabla 18

Parte II. Alcance vs. Inclinación.

Fije el lanzador en el piso. Utilice tres ángulos de inclinación: 30°, 45° y 60°. Ayúdese de una plomada para ubicar en el piso la posición de salida del proyectil, de esa manera medirá el alcance de una mejor manera.

Para medir el alcance coloque papel carbón sobre la placa sensora (vuelva a conectar ésta al cronómetro digital) y mida la distancia de la boca del cañón a la marca dejada por la bola. Realice tres lanzamientos para cada ángulo, y para cada uno de ellos mida el alcance y el tiempo de vuelo. Anote los datos en la Tabla 19 y calcule el promedio de las mediciones. Realice todos los lanzamientos con el cañón en la posición de mediano alcance.

θ X1 X2 X3 Xprom t1 t2 t3 tprom

Tabla 19

Usando los valores promedio de tiempo de vuelo y alcance, llene la Tabla 20 tpromcosθ Xprom

Tabla 20

Análisis de Resultados

1. ¿Dentro de los límites de error experimental, varía el tiempo de vuelo al cambiar la magnitud de la rapidez de salida? Explique.

2. Cuando midió la rapidez inicial de la bola para los ángulos de lanzamiento de 0° y 30° ¿existe alguna diferencia? Explique porqué sí hay o porqué no hay.

3. Compare los tiempos de vuelo para las inclinaciones de la segunda parte con el tiempo de vuelo para el lanzamiento horizontal. Explique su resultado.

4. Grafique el alcance X en función de (tVcosθ), con los datos de la Tabla 20. Realice un ajuste y obtenga el valor de la rapidez inicial de la bola con su respectiva incertidumbre.

5. ¿Concuerda la gráfica con la predicción teórica?

Segunda Ley De Newton

Objetivo

Comprobar experimentalmente la segunda Ley de Newton.

Introducción

La segunda Ley de Newton dice que la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo tiene el mismo valor que el producto de su masa por la aceleración que experimenta.

En este experimento tenemos un sistema de dos cuerpos (Figura 11), formado por un carrito (m1) que se mueve sobre el carril, unido a una masa colgante (m2) por medio de una cuerda que pasa por una polea. La masa del sistema es la suma de las masas de los dos cuerpos mencionados, (m1+m2) y la fuerza neta se determina sumando vectorialmente todas la fuerzas externas que participan sobre ambos cuerpos.

Como el sistema en estudio está compuesto por dos cuerpos se realizó un diagrama de cuerpo libre para cada uno, Figura 11. La masa m1 tiene un movimiento horizontal y la masa m2 tiene un movimiento vertical.

Figura 11. Diagramas de cuerpo libre para el carrito (a) y la masa colgante (b).

Sobre el carrito, m1, hay cuatro fuerzas actuando; dos de ellas de igual magnitud y opuestas: la fuerza normal y el peso del carrito. Las otras dos son opuestas pero de diferente magnitud: la tensión de la cuerda hala al carrito del reposo, por lo que es mayor que la

(a)

T

m1g f

N

a T

m2g

(b) a

fricción. Si se puede hacer la aproximación de que la fuerza de fricción es despreciable comparada con la tensión entonces la fuerza neta sobre el carrito es la tensión de la cuerda. (Veremos en la próxima práctica si eso es válido).

Sobre la masa colgante m2 hay dos fuerzas que actúan: su propio peso y la tensión en la cuerda. Para que la masa m1 se mueva hacia abajo cuando se suelta el carrito, la tensión tiene que ser menor que el peso de la masa colgante.

Si hacemos la suma de fuerzas para cada cuerpo, despreciando la fricción entre el carrito y el carril a m g m T F a m T F 0 g m N F 2 2 2 y 1 1 x 1 1 y − = − = = = = − =

∑

∑

∑

,

como se considera que la masa de la polea es despreciable y que la cuerda no se puede estirar ni encoger, entonces las tensiones que actúan sobre ambos cuerpos son iguales. La polea y la cuerda son otros dos cuerpos presentes en el sistema pero que no se han mencionado hasta el momento. Ello se debe a que tanto la masa de la cuerda como la de la polea son muy pequeñas comparadas con m1 y m2, y por lo tanto se pueden despreciar; además se está utilizando una polea que tiene muy poca fricción sobre su eje de rotación. Esta situación hace que la tensión de la cuerda tenga el mismo valor a lo largo de toda la cuerda, siempre halando hacia un extremo. Eliminando la tensión en las últimas ecuaciones obtenemos

(

m m

)

a g

m₂ = ₁ + ₂ ⋅

Entonces, si consideramos los dos cuerpos como un sistema, la fuerza externa neta sobre éste resulta ser el peso de la masa colgante, y es fácil observar el cumplimiento de la segunda ley de Newton.

De esa ecuación obtendremos el valor teórico de la aceleración del sistema.

La aceleración experimental del sistema se calcula a partir de una de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. Esto es así en tanto que todas las fuerzas que participan son constantes y por lo tanto el movimiento tiene una aceleración constante. El carrito parte del reposo, la distancia recorrida se mide fácilmente y se debe de medir también el tiempo que tarda en recorrer dicha distancia, para poder calcular la aceleración:

2

at 2 1

d= .

Equipo

- carril

- polea

- un carrito

- una bandera

- dos fotocompuertas

- cronómetro digital

- hilo

- porta-masas

- masas de diferentes valores

Procedimiento

Se debe colocar una polea en un extremo del carril y pasar una cuerda donde se cuelga la masa m2 y en el otro extremo se ata el carrito. La longitud de la cuerda no debe ser muy larga para que cuando el carrito llegue al final de su recorrido la masa colgante no golpee el suelo. Adicionalmente, debe acomodar la polea para que la cuerda que va al carrito quede horizontal.

Ya en varias prácticas anteriores hemos colocado el carril, el carrito, las fotocompuertas y el cronómetro digital, para medir la distancia que recorre el carrito entre las dos fotocompuertas y el tiempo que le toma recorrer dicha distancia, por lo que usted debería poder armar el equipo sin dificultad. Recuerde que para calcular la aceleración estamos considerando que la velocidad inicial del carrito es cero, por lo que debe soltarlo justo antes de la fotocompuerta 1.

Anote la masa del carrito, m1.

Se utilizarán tres diferentes masas colgantes y para cada una de ellas se usarán 10 distancias diferentes; para cada distancia se repetirá la medición de tiempo tres veces. Anote sus resultados en Tabla 21, Tabla 22 y Tabla 23.

m2=

d t1 t2 t3 tprom

Tabla 21

m2=

d t1 t2 t3 tprom

m2=

d t1 t2 t3 tprom

Tabla 23

Análisis de Resultados

1. Realice gráficas de distancia versus tiempo para cada uno de los valores de m2. De dichas gráficas obtenga el valor experimental de la aceleración del sistema para cada caso, con su respectiva incertidumbre.

2. Obtenga los porcentajes de error de los tres valores de aceleración obtenidos. ¿Son similares?, ¿dependen del valor de m2? Explique porque cree que debe o no debe ser así.

3. ¿Se comprobó, dentro de los límites de error experimental, que la fuerza neta es igual al producto de la masa del sistema por su aceleración?

4. ¿Por qué en la relación (Fuerza neta = masa x aceleración) la masa que se usa no es la del carrito?

Importancia de la fricción cinética.

Objetivos

Cuantificar la presencia de la fricción cinética en el carril sin fricción.

Introducción

Durante varias prácticas hemos empleado un carro de masa m1 que se mueve sobre un carril horizontal cuya fricción cinética se supone despreciable. En esta práctica vamos a averiguar que tan despreciable es esa fricción.

Por lo tanto vamos a considerarla a la hora de establecer la sumatoria de fuerzas que actúan sobre el sistema compuesto por el carrito y la masa colgante m2. Basándonos en los diagramas de cuerpo libre de la Figura 11:

a m g m T F a m f T F 0 g m N F 2 2 2 y 1 1 x 1 1 y − = − = = − = = − =

∑

∑

∑

Si consideramos que el momento de inercia de la polea es despreciable y que la cuerda es indeformable, entonces las tensiones son iguales y si juntamos las dos últimas ecuaciones obtenemos:

f gm

Ma= 2 −

donde M=m1+m2 es la masa total del sistema.

Equipo

- carril

- polea

- un carrito

- una bandera

- una fotocompuerta

- cronómetro digital

- hilo

- porta-masas

- masas de diferentes valores

Procedimiento

Recuerde que para que no exista ninguna fuerza adicional en la dirección del movimiento del carrito, el carril debe encontrarse bien nivelado.

La disposición del equipo es la misma que para la práctica anterior (Segunda Ley de Newton). Recuerde que debe tener cuidado con la longitud de la cuerda para que la masa colgante (m2) no choque contra el piso cuando el carrito llegue al final de su recorrido. La única diferencia con la práctica anterior es que vamos a medir la aceleración directamente, en vez de medir tiempos y distancias.

m2 a1 a2 a3 a4 a5 aprom

Tabla 24

Calcule la fuerza neta que actúa sobre el sistema para cada caso y su respectiva incertidumbre y anótelas en la Tabla 25.

m2 F=Maprom

Tabla 25

Análisis de Resultados

1. Grafique la fuerza neta sobre el sistema (F) en función de la masa colgante (m2), con los datos de la Tabla 25. Realice un ajuste y explique el significado físico de las cantidades obtenidas en el ajuste.

2. Obtenga el valor de la aceleración de la gravedad a partir de las cantidades obtenidas en el ajuste. Obtenga su incertidumbre.

3. Calcule el porcentaje de error de la aceleración de la gravedad.

4. Obtenga el valor de la fricción cinética a partir de las cantidades obtenidas en el ajuste. De ser posible obtenga su incertidumbre y si no lo es explique porqué.