Tema 1. Requisitos previos para el estudio del análisis multivariable 1.1. Introducción
1.2. Variables, medidas y escalas 1.3. Análisis exploratorio de los datos 1.4. La distribución Normal
1.5 Inferencia estadística: población y muestra, distribuciones muestrales, estimación puntual, intervalos de confianza, Test de Hipótesis
1.6 Estadística bivariable o bidimensional 1.7 Clasificaciones de las variables
1.8 Tipos de datos en el Análisis Multivariable. 1.9 Matrices
1.10 Otros conceptos básicos del Análisis Multivariable 1.11 Las técnicas multivariantes y su clasificación 1.12 Etapas de un análisis multivariante
1.1 Introducción
Las técnicas multivariantes ofrecen al investigador una herramienta analítica muy potente, pero es imprescindible asegurarse antes de usar cualquier técnica de que se cumplen los requisitos tanto teóricos como estadísticos relativos a la técnica multivariante elegida.
Además también es importante examinar cuidadosamente los datos disponibles, antes de aplicar cualquier tipo de análisis multivariante.
El conocimiento en profundidad de cada una de las variables de interés (análisis univariante), así como de las relaciones existentes entre cada par de variables (análisis bivariante) es un paso previo necesario antes de la aplicación de cualquier análisis multivariante. Por ello es imprescindible recordar las nociones básicas de la estadística.
Antes de ver una clasificación de las técnicas multivariantes, teniendo en cuenta que dicha clasificación se basa en las escala de medida de las variables que intervienen en el análisis repasaremos rápidamente las diferentes escalas de medida, que se supone son conocidas de cursos anteriores.
1.2. VARIABLES, MEDIDAS Y ESCALAS.
Las variables son características no uniformes de las unidades de información. Unidades son las entidades de las que se obtienen las observaciones.
Antes de que se pueda tratar a una variable estadísticamente, debe ser observada, es decir clasificada, medida o cuantificada.
Medición es el proceso por el que se asignan números a las observaciones de una variable. Medida : observación cuantificada o categorizada.
Una misma variable puede ser medida de diversas maneras. El investigador ha de procurar que sus medidas sean válidas y fiables.
Una medida es fiable si al repetir la medición en circunstancias similares se obtiene el mismo resultado.
Para representar a las variables se suelen emplear las últimas letras del alfabeto: X, Y, Z ... El símbolo X representa una variable medible, pero si escribimos X i estamos representando el
valor que toma la variable X en una observación concreta (la observación i ).
Las variables se pueden clasificar en: dependientes e independientes Variable dependiente: es la variable que se quiere explicar
Variable independiente: es la variable que explica la variable dependiente
ESCALAS DE MEDIDA de las variables
La escala nominal consiste en agrupar las observaciones de la variable en varias categorías cualitativas: (hombre-mujer, agrupar por nacionalidad, etc.) Las categorías pueden ser nombres o números, pero los números no indican orden ni diferencias en magnitud.
La escala ordinal, consiste en agrupar las observaciones de la variable en categorías que se pueden ordenar. (Clase social, nivel de estudios, etc.)
La escala de intervalo, existe una unidad de medida, pero el cero se fija en función del instrumento de medida, no significa ausencia de la característica estudiada. Por ejemplo la temperatura (o C, o F, etc.)
La escalas de razón cociente o proporción, son escalas de intervalo pero con un cero absoluto. Peso, edad, distancia, etc.
También se suelen clasificar las variables en:
Cualitativas o categóricas: indican a qué grupo o categoría pertenece un individuo (grupo sanguíneo, estado civil, etc.)
Cuantitativas : la variable toma valores numéricos con los que tiene sentido hacer operaciones aritméticas.
En cuanto a la Estadística univariable, hay que recordar las diferentes representaciones gráficas de las variables (gráficos de sectores, histogramas, de árbol, de cajas), medidas de tendencia central (media, moda, mediana), medidas de dispersión (rango o recorrido, varianza, desviación típica).
1.3. Análisis exploratorio de los datos
Se suele empezar examinado cada variable de forma independiente y luego se pasa a estudiar las relaciones entre variables.
Las tablas de frecuencias son útiles cuando el número de datos es
elevado (N).
X
in
iN
if
iF
iX i es el valor de la variable, o si los datos están agrupados el punto medio del intervalo (marca
de clase).
n i frecuencia de X i en N (número total de observaciones disponibles)
Ni frecuencia acumulada N i= n i
j < i
f i frecuencia relativa ... f i = n i /N
F i frecuencia relativa acumulada
La distribución de una variable describe los valores que toma una variable y la frecuencia de los mismos.
La forma, el centro y la dispersión sirven para conocer la distribución de las variables.
Para conocer la forma de las distribuciones se usan las: Representaciones gráficas Con la representación gráfica se puede ver si la distribución es simétrica o asimétrica y descubrir las observaciones extremas (atípicas).
Para variables cualitativas, se emplean los diagramas de barras y los diagramas de sectores
.
Ejemplo: tipos de familias en Suecia, según datos Eurostat 1991.Tipos de familia Tipos de familia Recuento en
miles
Porcentaje Grados
Parejas sin hijos 1.168 53,50 193
Parejas con hijos 830 38,02 137
H solos con hijos 27 1,24 4
M solas con hijos 158 7,24 25
Histogramas.
Las variables cuantitativas a veces toman muchos valores diferentes, por lo que se suelen agrupar los valores próximos. Los Histogramas son representaciones gráficas por áreas. Sobre el eje de abcisas se marcan los extremos de los intervalos de clase y se levantan rectángulos de base los intervalos y de altura tal que el área del rectángulo sea igual o proporcional a la frecuencia correspondiente.
Marca de clase es el punto medio de cada intervalo
Polígono de frecuencias: se obtiene uniendo los puntos medios de los lados superiores de los rectángulos levantados en el histograma de frecuencias.
Gráfico de tallos y hojas.
Se separa cada observación en un tallo que contenga todos los dígitos menos el de las unidades y en una hoja el dígito de las unidades.
a) se sitúan los tallos en vertical y en orden creciente de arriba abajo. Se traza una vertical a la derecha de los tallos
b) Repasa todos los datos y sitúa cada hoja a la derecha de su tallo
c) Sitúa otra vez las hojas colocándolas esta vez en orden creciente desde cada tallo. Ejemplo:
El número de operaciones realizadas por los cirujanos de un hospital durante el último año han sido: 27, 50, 33, 25, 86, 25, 85, 20, 31, 37, 44, 36, 59, 34 y 28.
2 7 5 5 0 8 2 0 5 5 7 8
3 3 1 7 6 4 3 1 3 4 6 7
4 4 4 4 5 0 9 5 0 9 6 6
7 7
8 6 5 8 5 6
Medidas de tendencia CENTRAL: MEDIA, MODA Y MEDIANA. La Media de la variable x que toma los valores : x1, x2, x3, ..., xn, es:
(x1+ x2,+x3, +..., xn) / N= (1/N)
∑ x
iSi hay N observaciones y cada valor x i se presenta con
frecuencia de ni la media es
1/N ∑
x
in
iEl inconveniente de la media es que le afectan los valores extremos.
La MODA es el valor (o el intervalo) más frecuente en la distribución.
La MEDIANA es el valor que queda en el centro de los datos tras ordenarlos de menor a mayor. Cuartiles, deciles y percentiles
El primer cuartil se define como el valor que deja por debajo la cuarta parte de la distribución. El segundo cuartil coincide con la mediana
El tercer cuartil es el valor que tiene por encima el 25% de la distribución
El primer decil es el valor de la variable tal que el 10% de las observaciones son menores que él. (Hay 9 deciles)
GRAFICOS DE CAJA
a b c d e a y e = valores mínimo y máximo de la distribución; b= primer cuartil de la distribución c= mediana de la distribución ; d= tercer cuartil de la distribución
Calculo de la MEDIANA y la MODA cuando los datos están agrupados en intervalos: N/2 - Ni-1
Me = Li + --- ai ni
h i+1
Mo = Li + --- ai h i-1 + h i+1 Me = mediana Mo = moda
Li = extremo inferior del intervalo que contiene a la mediana (moda) N = número de casos
Ni-1=Frecuencia absoluta acumulada anterior al intervalo que contiene a la mediana ni = Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana
ai = amplitud del intervalo que contiene a la mediana (moda) hi = ni / ai (altura del intervalo modal)
hi-1 altura del intervalo anterior al modal hi+1 altura del intervalo posterior al modal Medidas de dispersión:
Rango: diferencia entre el valor mayor y el menor de la distribución
Varianza: media de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto de la media
ni (xi - )2
ni (xi )2--- o --- -- 2
N N
El denominador es (N-1) cuando trabajamos con muestras, en ese caso sólo sirve la primera fórmula
Desviación típica: raíz cuadrada de la varianza
Coeficiente de variación: sirve para comparar dispersiones de diversas variables. Es el cociente entre la desviación típica y la media
Medidas de asimetría.: La asimetría de la distribución se puede ver en el histograma, para cuantificarla se usan :
Primer coeficiente de asimetría de Pearson: Se divide la diferencia entre la media y la moda entre la desviación típica.
Segundo coeficiente de asimetría de Pearson: se divide el triple de la diferencia entre la media y la mediana entre la desviación típica.
Tercer Coeficiente de asimetría : g1 = (1/N) ni (xi - x)3 /(D.típica) 3
Si g 1 > 0 asimetría a la derecha ; si g 1 = 0 distribución simétrica; si g 1 < 0 asimetría a
la izquierda
Apuntamiento o curtosis C= (1/N)
n i ( xi - x )4 / (D.típica) 4C > 3 distribución más apuntada que la curva normal (leptocúrica) C = 3 distribución igual de apuntada que la curva normal (mesocúrtica) C < 3 distribución menos apuntada que la curva normal (platicúrtica)
Ejercicios
1.1) Los números siguientes representan los minutos que una persona tuvo que
esperar hasta que llegara el autobús cuando iba a su trabajo: 10, 2, 17, 6, 8, 3,
10, 2, 9, 5, 9, 13, 1 y 10. Calcular la media, la moda, la mediana y el primer y
tercer cuartil. Representar el diagrama de cajas e interpretarle. Calcular también el
recorrido, la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.
1.2) Calcular la media, moda, mediana, Q1 y Q3, varianza, desviación típica,
coeficiente de variación y los coeficientes de asimetría y curtosis de la distribución
del tiempo que 80 estudiantes dedicaron a actividades de tiempo libre durante una
semana. Realizar también el histograma , el diagrama de cajas y el diagrama de
sectores
Horas
frecuencia
10-14
8
15-19
28
20-24
27
25-29
12
30-34
4
35-39
1
1.4 La distribución NORMAL
Las variables continuas cuyos valores dependen de un gran número de factores independientes y cuyas influencias se compensan entre sí haciendo que prevalezca el tipo medio, suelen seguir la distribución Normal. La distribución Normal es idónea para explicar :
comportamientos sociales (aceptación de normas, gusto por la costumbres, etc.)
actitudes económicas(consumo, impacto de un producto etc.)
aptitudes psicológicas(cociente intelectual, etc.)
medidas antropométricas (estatura, peso, etc.)
medidas morfológicas (tamaño de los frutos de un árbol, etc.)
La distribución Normal Estándar N(0,1).
Cuando una distribución normal tiene su media igual a 0 y su desviación típica igual a 1, se la conoce como distribución Normal Estándar. La variable que sigue esta distribución se llama tipificada y se la representa con Z.
La áreas bajo la curva normal tipificada se calculan usando las tablas de la curva normal.
Las tablas dan el área bajo la curva desde -∞ a K. El valor del área se encuentra en el cruce de la columna que contiene las unidades y décimas de K con la fila de las centésimas.
Propiedades de la distribución Normal Su campo de existencia es la recta real R. Es simétrica respecto de su media μ .
Tiene un máximo que coincide con su media, moda y mediana En μ+σ y μ-σ tiene los puntos de inflexión.
El área bajo la curva es 1 y entre los puntos: μ+ σ y μ- σ es 0,6826
μ+2σ y μ-2σ es 0,9544 μ+3σ y μ-3σ es 0,9972
Tipificación
Si la variable estudiada X, sigue una distribución N (μ,σ), para trabajar con las tablas de la Curva normal tipificada, es necesario tipificar la variable X, para ello definimos la variable Z
X - μ Z = σ
Uso de las tablas N(0,1)
P(X≤1,75) = 0,9599, cruce fila de 1,7 y columna de 0,05 P(1≤X≤1,85)= P(X≤1,85)-P(X≤1)=0,9678-0,8413=0,1265
Si la variable no está tipificada, por ejemplo N(5,3), se la tipifica antes de buscar en las tablas. P(X≤8)= P((X - 5) / 3≤ (8 - 5 ) / 3)=P(Z ≤ 1) = 0,8413
1.5 INFERENCIA ESTADÍSTICA
Población: conjunto de todos los individuos objeto de estudio. (Pueden no ser personas)
Muestra: parte de la población en la que se miden las características estudiadas
Muestreo: proceso seguido para extraer una muestra
Razones para trabajar con muestras: imposibilidad física o económica de acceder a la población, destrucción del objeto estudiado.
TIPOS DE MUESTREO
Muestreo ALEATORIO SIMPLE: cada individuo de la población tiene la misma posibilidad de formar parte de la muestra y además la selección de un individuo no influye en las siguientes selecciones.
Tablas de Números aleatorios: son tablas confeccionadas con números elegidos aleatoriamente que aparecen en muchos libros de estadística. Ahora muchos programas de ordenador traen rutinas que generan números aleatorios.
Muestreo sistemático:
Se ordenan en una lista todos los individuos de la población. N= tamaño población. n= tamaño muestra
N/n=k= coeficiente de elevación.
Se elige al azar el número a menor que k
Los elementos elegidos serán: a+k, a+2k, a+3k.... a+nk
Muestreo aleatorio estratificado:
Se divide la población en grupos llamados estratos. Los mejores resultados se dan cuando los elementos de dentro de cada estrato son lo mas similares posibles, después se toma una muestra aleatoria simple dentro de cada estrato
Afijación proporcional: el número de elementos elegidos en cada estrato es proporcional al tamaño del estrato
Afijación fija: el número de elementos elegidos en cada estrato es el mismo Cuando no están identificados todos los individuos:
Muestreo por CONGLOMERADOS
Se pretende que cada conglomerado represente a la población (heterogeneidad dentro del conglomerado). Se toma una muestra aleatoria simple de los conglomerados y los elementos de los conglomerados elegidos formarían la muestra. Los conglomerados pueden ser las áreas geográficas en las que se divide la población analizada (países, comunidades autónomas, municipios, distritos, etc.) también pueden ser organizaciones o instituciones (colegios, hospitales, etc.)
Muestreo polietápico por Conglomerados. Cuando a partir de una muestra de conglomerados se extrae una nueva muestra dentro de cada conglomerado.
Muestreos no aleatorios:
Opinático (por criterios subjetivos en función de la investigación)
Por cuotas, cuando se facilita al encuestador el perfil de las personas a entrevistar: x% hombres, y % mujeres.
Por itinerarios: cuando se facilita al encuestador el itinerario a seguir para encontrar a las personas a entrevistar.
INFERENCIA ESTADÍSTICA
Las medidas de centralización, dispersión etc., de las poblaciones se llaman PARÁMETROS y se suelen representar con letras griegas.
A partir del conocimiento de los ESTADISTICOS se intenta llegar a conocer el valor de los
PARÁMETROS. A los valores obtenidos en este proceso se les llama ESTIMADORES PUNTUALES.
El estimador puntual de la media (
x i ) / n_
El estimador puntual de la varianza (
( x i - x) 2 ) / (n-1)El estimador puntual de la proporción es la proporción muestral.
Teorema central del límite: si se extraen muestras (infinitas) de una población aproximadamente normal, y cuando las muestras son suficientemente grandes aunque la población no se distribuya normalmente, la distribución de cualquiera de los estadísticos de las muestras extraídas (media, mediana, proporción, coeficiente de correlación etc) siguen una distribución normal.
La ley de los grandes números dice que "cuando un experimento aleatorio se realiza un número grande de veces la frecuencia relativa de un suceso se aproxima a la probabilidad del mismo".
LAS DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Los estimadores puntuales dependen de la muestra elegida, por lo que es arriesgado trabajar con ellos.
En una población de N elementos, el número de muestras de tamaño n es
N n o N según que la muestra se elija con reemplazamiento o sin reemplazamiento
n
Si estudiamos la media:
Con los elementos de cada muestra obtenemos un valor para la media. El conjunto de todas esas medias muestrales recibe el nombre de distribución muestral de la media.
Propiedades:
1. La media de las medias muestrales coincide con la media de la Población.
2. La desviación típica de las medias muestrales es la desviación típica de la población dividida entre n
La distribución de las medias muestrales de tamaño n (no demasiado pequeño)se ajusta a N( μ, σ /n )
Distribución para las proporciones
En el estudio de la proporción de una población que posee un cierto atributo (tener trabajo, ser mujer, etc.), si p es la proporción en una muestra de tener ese atributo (probabilidad de éxito) 1-p = q será la 1-pro1-porción de no tenerlo (1-probabilidad de fracaso)
La proporción en la población se estima a partir de la proporción en las muestras.
Las proporciones muestrales de muestras de tamaño n, se ajustan a una distribución N ( p , p q / n )
Los estimadores puntuales sólo dan una idea aproximada del verdadero valor del parámetro a estimar, pero nunca se sabe cómo de buena es la aproximación obtenida. Recordar que cada muestra da lugar a un estimador puntual.
Recordemos que la distribución de las medias muestrales sigue una N ( μ, σ /n ) Sabemos que el mejor estimador de μ (media de la población) es la media de la muestra , que como ya dijimos sigue una distribución N( μ , σ/n )
Y al tipificarla (x - μ )/ (σ /n) = z = N ( 0,1)
Llamaremos 1 – α al nivel de confianza con el que deseamos trabajar.
Representaremos por zα/2 el valor de la abscisa de la distribución N(O,1) que deja a su
izquierda un área igual a α /2
Se cumple que _
P( – zα/2 (X - μ) /(σ /n) + zα/2 ) = 1 – α
Multiplicando por (σ /n) llegaremos a _
P( – zα/2(σ /n) (X - μ) + zα/2 (σ /n) = 1 – α
Sumando ( μ ) se obtiene
_ P( μ – zα/2 (σ /n) X μ + zα/2 (σ /n) ) = 1 – α
Pero lo desconocido es μ (media de la población) y lo que obtengo de la muestra es
, vamos a transformar el intervalo de probabilidad (centrado en X) en un intervalo de confianza (centrado enμ);Restando μ queda:P( – zα/2 σ/n
- μ + zα/2 σ/n) = 1 – αRestando
quedaP(– - zα/2 σ/n - μ - + zα/2 σ/n) = 1 – α
Multiplicando por (-1), cambiará el sentido de la desigualdad P( + zα/2 σ/n ≥ μ ≥ - zα/2 σ/n) = 1 – α
O sea:
P( - zα/2 σ/n μ + zα/2 σ/n) = 1 – α
Así tengo a la media de la población dentro de un intervalo construido a partir de la media obtenida de la muestra. Es el intervalo de confianza para la media poblacional
A s/n se le llama error típico o error estándar de la media Error admitido (E) y tamaño de la muestra (n)
El radio del intervalo de confianza es zα/2 σ/n y esta cantidad es el máximo error admitido
E=zα/2 σ/n
De aquí se puede obtener el tamaño de la muestra para errores prefijados n = zα/2 σ/E ⇒ n = ( zα/2 σ/E )2
De forma similar se pueden definir intervalos de confianza para otros parámetros estadísticos. El intervalo de confianza para la proporción es
( p - zα/2 pq/n , p zα/2 +pq/n ); el error es E = zα/2 pq/n
E2 = ( z
α/2 )2 pq/n ⇒ n = ( zα/2 )2 (pq/E2 )
Problemas de intervalos de confianza:
1) Se elige una muestra de 36 estudiantes y la media de sus pesos resulta ser 61´25 y su desviación típica s=10´41. Calcular el intervalo de confianza para la media de la población al 95%. Solución : (57´85 , 64´65)
Test de Hipótesis
Ya hemos visto que la media muestral suele ser diferente de la media poblacional, frecuentemente esas diferencias son pequeñas y se deben al azar, pero puede que esas diferencias ocurran por otros motivos. Los test de hipótesis son los instrumentos estadísticos que permiten decidir si esas diferencias se deben al azar o son de tal magnitud que precisan una explicación. Los test de hipótesis son una continuación de los intervalos de confianza. Test de hipótesis sobre la media poblacional
Supongamos que por estudios previos se tiene la idea de que la media poblacional es μ. Sobre esa población se elige una muestra y se obtiene una media
. Comparandoμ y
surge la pregunta. ¿Esta muestra procede de una población con mediaμ? La respuesta será NO cuandoμ no pertenezca al intervalo de confianza de
, para un nivel de significación prefijado y la respuesta será SI en caso contrario (cuandoμ SI pertenezca al intervalo de confianza de
)Respuesta No, o sea hay cambios significativos si
μ ∉ (X - zα/2 σ/n , X + zα/2 σ/n) o sea si el error ∣μ - x∣ > zα/2 σ/n
Llamaremos hipótesis estadística a una afirmación respecto a alguna característica de la población. Contrastar una hipótesis es comparar las predicciones que se deducen de ella con la realidad que observamos. Si hay coincidencia, dentro del margen de error admisible aceptaremos la hipótesis y en caso contrario la rechazamos.
Ejemplos de Hipótesis estadísticas:
1. El tabaco favorece la aparición del cáncer de pulmón.
Esta hipótesis establece que si se considera la población de fumadores y la de no fumadores, la incidencia del cáncer de pulmón será mayor en la primera que en la segunda. No indica que todos los fumadores desarrollen C. de P, ni que un no fumador nunca vaya a tener C. de P. Simplemente compara las proporciones de C. de P en las dos poblaciones y establece que una proporción supera a la otra.
2. Disminuir los impuestos disminuye el fraude fiscal.
Esta Hipótesis establece cómo cambia un parámetro en dos poblaciones definidas por dos instantes de tiempo diferentes. La primera población son los contribuyentes actuales y la segunda los contribuyentes futuros en la situación hipotética con una bajada de impuestos. La variable a estudiar es la cantidad defraudada antes y después del cambio fiscal.
3. Las mujeres son mas sensibles que los hombres.
Consideramos la población de hombres y mujeres. Definimos la variable sensibilidad y establecemos un procedimiento para medirla (test, etc) la media de esta variable se espera que sea mas alta en la población de mujeres.
En los ejemplos se aprecia que para realizar un test de hipótesis hacen falta como pasos previos:
1. Especificar la población o poblaciones de interés 2. Definir la variable objeto de estudio y cómo medirla
3. Relacionar la hipótesis con los parámetros de la o las poblaciones
Las hipótesis estadísticas mas habituales se pueden clasificar en dos grupos, según que: a) Especifiquen un valor concreto o un intervalo para un parámetro de la variable estudiada. b) Establezcan la igualdad de algún parámetro en las distribuciones de una variable en dos o
Hipótesis Nula (H0) e Hipótesis Alternativa (H1)
Llamamos hipótesis nula a la Hipótesis que se quiere contrastar y que puede ser rechazada como consecuencia de los resultados proporcionados por los datos de la muestra. Si rechazamos la hipótesis nula (H0) estamos implícitamente aceptando la hipótesis alternativa
(H1)
Cuando se decide aceptar o rechazar una hipótesis nula se pueden cometer dos tipos de errores: rechazarla siendo cierta (error de tipo I) aceptarla siendo falsa (error tipo II).
Se llama nivel de significación (α) de un contraste de hipótesis a la probabilidad de cometer un error del tipo I. El nivel de significación lo fija el investigador antes de realizar el contraste. En ciencias sociales α suele ser 0,05 o 0,01
Para realizar un contraste de Hipótesis se suele definir una medida de discrepancia entre los datos muestrales y la hipótesis nula. Esta discrepancia dependerá de la diferencia entre el valor del parámetro especificado por H0 y el valor del estimador calculado en la muestra y para que
esta diferencia no dependa de las unidades de medida se le suele dividir por su valor promedio, que es el error típico de la estimación del parámetro.
Fases en la realización de un contraste de hipótesis.
1.
Definir la hipótesis nula (H0) a contrastar y la hipótesis alternativa (H1)2.
Definir una medida de la discrepancia entre los datos muestrales y la Hipótesis nula3.
Calcular qué discrepancias son esperables si (H0) es cierta (error relativo de la estimación)4.
Fijar el mínimo p-valor admisible para no rechazar (H0) , a este valor se le llama nivel designificación. Al fijar esta cantidad queda definida una región de rechazo o región critica, que es el conjunto de valores de la discrepancia para los que se rechaza (H0) . El nivel de
significación es la probabilidad de rechazar la Hipótesis nula, siendo cierta. Normalmente se fija en 0,05 o 0,01
5.
Tomar la muestra y juzgar la discrepancia observada mediante el p-valor. Si este es menor que el nivel de significación se debe rechazar (H0) . En caso contrario se acepta H0Problemas de Test de hipótesis
1) Una empresa está interesada en conocer el tiempo medio que sus trabajadores permanecen en ella, antes de irse a otra empresa. Pare ello toma una muestra de 64 trabajadores y en ella el tiempo medio es 5 años y la desviación típica 4 años. Considerando un nivel de significación de 0,05. ¿Sirven estos datos para afirmar que el tiempo medio de empleo en esa empresa está por debajo de 6 años?. Se supone que la distribución es normal.
Paso 1. H0 : μ > 6 H1 : μ < 6
Paso 2. La prueba es de una sola dirección (unilateral), para un nivel de significación de =,05 le corresponderá un valor crítico Z α = -1,645, que separa las regiones de aceptación y rechazo.
_ _
Z = (x - μ ) / σ , siendo x = 5, μ = 6 y σ x =(4 / √64)=0,5
Z= (5-6)/0,5 = -2
Paso 5. Como La abcisa -1,645 define la zona de rechazo y -2 está en esa zona de rechazo habrá que rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa: "el tiempo medio de permanencia en la empresa es inferior a los 6 años.
Esta decisión también se puede tomar en términos de probabilidad. Puesto que la probabilidad de encontrar un z inferior a -2 o inferior es:
P(z < -2) = 0,0228 y como 0,0228 < 0,05, esto es la probabilidad calculada es menor que el nivel de significación, habrá que rechazar la hipótesis nula.
2) EL tiempo medio empleado en realizar un ejercicio propuesto por una profesora de la facultad a una muestra de 100 estudiantes es de 1570 segundos, con una desviación típica de 120 segundos. Si μ fuera la media de todos los ejercicios propuestos por esa profesora. Contrasta de hipótesis de que μ = 1600 contra la hipótesis alternativa μ ≠ 1600 con un nivel de significación de 0,05
Paso 1. H0 : μ = 1600, H1 : μ ≠ 1600
Paso 2. La prueba es bilateral al nivel de significación 0,05 le corresponde un valor crítico de 1 ´96, que separa las zonas de rechazo y aceptación
Pasos 3 y 4. La distribución de las medias muestrales es N(μ , σ / √n) En este caso N( 1600, 120/10) = N(1600, 12)
_
La variable tipificada z = ( x - 1600)/12 sigue una N(0,1) EL intervalo de confianza será
(1600 - 1´96 * 12 , 1600 + 1´96 * 12 ) = ( 1576´48 , 1623`52)
Paso 5. Para tomar la decisión veamos si la media de la muestra pertenece al intervalo de confianza y como 1570 cae fuera del intervalo de confianza debemos rechazar la hipótesis nula y aceptar la Hipótesis alternativa de que la media es diferente a 1600.
1.6 Estadística bidimensional o bivariable
La ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL estudia las relaciones entre dos variables.
A veces cada observación está formada por los datos de mas de una variable. Además de estudiar cada variable por separado podemos estudiar las relaciones entre ellas. Nos centraremos en el caso mas sencillo: el estudio de parejas de variables.
TABLAS DE DOBLE ENTRADA
Tabla de distribución conjunta de frecuencias absolutas
Y
X d1 d2 d3 .... dm-1 dm
c1 n11 n12 n13 n1 m-1 n1 m
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
ck-1 nk-1 1 n k-1 2 nk-1 3 ... nk-1 m-1 nk-1 m
ck nk 1 nk 2 nk 3 ... nk m-1 nkm
N
Supongamos que tenemos N observaciones correspondientes a dos variables cualitativas SITPROF (situación profesional) y EDC (nivel educativo). Cada variable clasifica a los N elementos de la población en varias clases o categorías. Si la situación profesional clasifica en k clases y el nivel educativo lo hace en m clases, al estudiarlas conjuntamente quedarán definidas k x m categorías. El valor n i j representa el número de datos que pertenecen a la clase
i-esíma de la primera variable y a la categoría j-esima de la segunda variable. A n i j se le
denomina frecuencia absoluta conjunta de la clase i j. La distribución de las frecuencias absolutas conjuntas se representan con una tabla de doble entrada. La primera fila contiene las clases de la segunda variable, a las que denominamos d 1 , d 2 ... d m-1 , d m
En la primera columna aparecen las clases de la primera variable a las que denominamos: c1, c 2 ... c k-1 , c k En cada celda de la tabla aparece la frecuencia conjunta n i j donde i indica la
categoría de la primera variable y j la de la segunda
El cociente ni j / N es la frecuencia relativa conjunta y se representa por f i j
Y
X d1 d2 d3 .... Dm-1 dm
c1 f11 f12 f13 f1 m-1 f1 m
c2 f21 f22 f23 f2 m-1 f2 m
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
ck-1 fk-1 1 fk-1 2 fk-1 3 ... fk-1 m-1 fk-1 m
ck fk 1 fk 2 fk 3 ... fk m-1 fk m
N
Distribuciones marginales
Además de la distribución conjunta, cada una de las dos variables cualitativas tiene su propia distribución. Se calculan a partir de la tabla de la distribución conjunta sumando por filas y columnas y colocando estos valores en las casillas libres de la última fila o columna de la tabla Las distribuciones de cada una de las dos variables que se ponen en los márgenes de la tabla, reciben el nombre de distribuciones marginales.
La distribución marginal de la primera variable se representa por f i. , el punto indica que hemos sumado los valores de la segunda variable manteniendo fijo el valor i de la primera
Con f .j se representa la marginal de la segunda variable y ahora el punto indica que hemos sumado los valores de primera variable manteniendo fijo el valor j de la primera.
j=1 i=1
Ejemplo de distribución de frecuencias absolutas
EDC
Sitprof 1 2 3 4 5 6
1 2 2 17 1 0 1 23
2 2 9 31 1 1 4 48
3 1 0 0 0 0 0 1
4 0 1 1 1 0 0 3
5 12 49 3 1 5 75
EDC= educación (1=analfabetos, 2 sin=estudios, 3= con estudios primarios; 4 con bachillerto, 5 Estudios Univ. Grado medio, 6= estudios Univ grado superior)
sitprof= situación profesional (1=patrono o profesional con empleados, 2=empresario o profesional sin empleados, 3=persona a sueldo con carácter fijo, 4= empleado eventual a sueldo)
Ejemplo de distribución de frecuencias relativas fi j = ni j / N
EDC
Sitprof 1 2 3 4 5 6
1 0,027 0,027 0,227 0,013 0 0,013 0,307
2 0,013 0,12 0,413 0,013 0,013 0,053 0,64
3 0,013 0 0 0 0 0 0,013
4 0 0,013 0,013 0,013 0 0 0,040
0,067 0,160 0,653 0,040 0,013 0,067 1
Distribuciones condicionadas
Si estamos interesados en conocer la distribución de una variable (sitprof, situación profesional) dentro de las personas de un determinado nivel educativo, por ejemplo "sin estudios"
Cuando EDC=2. Estamos buscando la situación profesional dentro del grupo de los que no tienen estudios, a esa distribución se la llama distribución condicionada de la variable sitprof por el valor "sin estudios" de la variable EDC
Frecuencias de la situación profesional condicionadas por sin estudios (2) en EDC
Sitprof Sin estudios (2) f i /2
1 2 2/12= 0,167
2 9 9/12=0,75
3 0 0/12=0
4 1 1/12=0,08
∑ 12 1
EDC 1(patrono) f 1 /j
1 2 2/23=0,087
2 2 2/23=0,087
3 17 17/23=0,739
4 1 1/23= 0,043
5 0 0/23=0
6 1 1/23=0,043
∑ 23 1
La distribución conjunta es la que contiene toda la información sobre las dos variables, pero las distribuciones condicionadas resultan útiles para estudiar la relación entre las dos variables. Un caso interesante es cuando las distribuciones de una variable condicionadas por los diferentes valores de la otra son iguales y además coinciden con la distribución marginal. Este hecho indica que las variables no están relacionadas, son independientes.
Supongamos queremos ver si hay relación entre los resultados de un test de inteligencia y el rendimiento en un trabajo después de haber realizado un curso de capacitación.
La tabla siguiente da las frecuencias observadas de las variables CI (coeficiente de inteligencia) y RT (rendimiento en el trabajo)
RT
Mal Regular Bien Total
CI Bajo 67
(46,4) (63,6)64 (46)25 156
Medio 42 76 56 174
Alto 10 23 37 70
Total 119 163 118 400
Si se supone que las variables no están relacionadas se pueden calcular las frecuencias esperadas. Con la siguiente regla: La frecuencia esperada de una celda cualquiera se calcula multiplicando el total de su fila por el total de su columna y dividiendo el resultado entre el total de toda la tabla. Así salen los números entre paréntesis
Contraste de la independencia de dos variables mediante el test 2 de Pearson (chi-cuadrado)
El estadístico 2 se calcula con la fórmula
n (Obs i - Esp i ) 2
2 = ∑
i =1 Esp i
Con este valor calculado de 2 y teniendo en cuenta los grados de libertad de la tabla que si
es de dimensión f x c serán : ( f-1) x (c -1)
Iríamos a la tabla de la 2 y si el valor que da la tabla donde se cruzan el nivel de significación
y los grados de libertad es menor que el valor calculado de 2 entonces se rechaza la hipótesis
nula que afirma que las variables son independientes.
Cuando trabajamos con el SPSS y antes de realizar el test fijaremos el nivel de significación que estimamos necesario para que los resultados sean aceptables, por ejemplo :O,05 ó 0,01. Si el nivel prefijado es 0,05 y la significación que obtiene el SPSS es menor que 0,05 habrá que rechazar la Hipótesis nula (la que afirma que las variables son independientes)
Significación < 0,05 rechazamos H0 y concluimos que las variables son dependientes entre sí
Significación > 0,05 aceptamos H0 y concluimos que las variables son independientes entre sí.
Con 2 podemos conocer si dos variables están asociadas estadísticamente o no. Pero si el
resultado es afirmativo, no se conoce la fuerza de la asociación.
Para saber si la asociación es fuerte o débil se emplean otros estadísticos que veremos en la hoja de explicación sobre SPSS.
Problemas de 2
1. Un sociólogo noruego quiere saber si la composición étnica de una ciudad ha cambiado en los últimos diez años. Los datos de la población de hace 10 años afirman que el 53% eran noruegos, el 32% suecos, el 8% irlandeses, el 5% alemanes y el 2% italianos (no incluimos nacionalidades con porcentaje menor al 2). Para comprobar si ha habido cambios con una significación de 0,05 el sociólogo obtiene una muestra aleatoria de 750 habitantes de la ciudad, y encuentra 399 noruegos, 193 suecos, 63 irlandeses, 82 alemanes y 13 italianos. ¿Cuál es la hipótesis nula? ¿cuál es la conclusión?
2. Estamos interesados en conocer si hay relación entre el nivel educativo de los padres y el número de hijos que tienen. Se realiza una encuesta y se obtienen los siguientes resultados:
Nivel educativo / número de hijos
Dos o menos hijos Mas de dos hijos
Educación universitaria 53 22
Sólo bachillerato 37 38
3. Se pregunta a los estudiantes de tres carreras si para una tarde del sábado prefieren a) ir al cine, b) salir con amigos c) leer un libro. Los resultados se dan en la siguiente tabla. Queremos saber si hay diferencias los gustos de los estudiantes de las tres carreras con un nivel de significación de 0´05. Carreras / actividad Ir al cine Salir con amigos Leer un libro
A 26 55 19
B 24 118 58
C 20 112 68
4. Para evitar arbitrariedades se ha decidido que cada examen de una asignatura sea corregido por 4 profesores diferentes y ninguno de ellos hace anotaciones en los exámenes. Los resultados obtenidos son:
Profesores / notas Aprobados Suspensos
A 68 57
B 90 60
C 70 30
D 120 30
5. Queremos saber si las notas obtenidas por alumnos y alumnas son significativamente diferentes al nivel 5%. Los datos son:
Notas / Sexo Alumnos alumnas
Aprobado 30 40
Suspenso 10 20
6. En una facultad se ha preguntado a los estudiantes de los distintos cursos las horas que dedican al estudio cada día cuando no es época de exámenes y los resultados se muestran en la siguiente tabla:
Tiempo/curso 1º 2º 3º 4º 5º
Menos de 1 hora 18 20 32 77 96
Entre 1 hora y 3 horas 22 35 90 83 50
Más de 3 horas 60 70 80 60 14
Nubes de puntos
Un DIAGRAMA DE DISPERSIÓN sirve para mostrar las relaciones entre dos variables cuantitativas medidas para los mismos individuos. Cada individuo viene representado mediante un punto del plano, cuyas coordenadas son los valores que toma el individuo para cada una de las variables. En el eje X se suele representar la v. Independiente y en el eje Y la dependiente. El aspecto general del DIAGRAMA DE DISPERSIÓN debe revelar la dirección, la forma y la fuerza de la relación.
ASOCIACIÓN POSITIVA Y ASOCIACIÓN NEGATIVA
Dos variables están asociadas positivamente (relación directa) cuando valores superiores (inferiores) al promedio de una de ellas tienden a acompañar a valores superiores (inferiores) de la otra.
Dos variables están asociadas negativamente (relación inversa) cuando valores superiores (inferiores) al promedio de una de ellas tienden a acompañar a valores inferiores (superiores) de la otra.
Relación lineal
La COVARIANZA es un parámetro estadístico conjunto de las dos variables estudiadas, se representa por s xy
_
∑(x i – ) (y i – y) ∑ x i y i _ _____
s
x y = --- = --- - y n n
el denominador será n-1 cuando se trabaja con muestras en estadística inferencial , en ese caso sólo es válida la primera fórmula
sxy > 0 relación directa
sxy < 0 relación inversa
Valores grandes de sxy advierten que la relación entre las variables puede ser fuerte.
La covarianza depende de las unidades de medida, para evitar este problema se usa el
coeficiente de correlación lineal
r = s
xy/ (s
xs
y)
r > 0 correlación directa; r < 0 correlación inversa
r varía entre –1 y +1; |r| =1 correlación perfecta
SI r es cercano a –1 la correlación es fuerte e inversa Si r es cercano a +1 la correlación es fuerte y directa Si r es cercano a 0 la correlación es débil.
Cuando r es cercano a +1 o a –1 la correlación lineal es fuerte. Los cambios en la variable Y se explican en gran medida por los cambios de la variable X. Se pueden estimar valores de Y a partir de la X. Una medida de la fiabilidad de esta estimación es el coeficiente de determinación r2 . El valor de r2 indica la proporción de la variación de la variable Y que puede
ser explicada por la variación de la variable X.
Si se multiplica r2 por 100 se obtiene el porcentaje de cambio de la variable Y explicado por la
variable X.
Regresión lineal
La recta de regresión mínimo cuadrática es la que mejor se ajusta a la nube de puntos. La recta de regresión de Y sobre X es:
_ Sxy
y – y = --- (x - ) S2x
La recta de regresión de X sobre Y es:
Sxy _
x – = --- (y - y) S2y
La fiabilidad de las estimaciones hechas a partir de la recta de regresión dependen fundamentalmente de:
a) el valor del coeficiente de correlación r. Una correlación alta asegura estimaciones fiables.
b) el número de datos considerados. La fiabilidad aumenta al aumentar el nº de datos. Una recta obtenida con pocos datos genera grandes riesgos, aunque r sea alto.
c) la proximidad del valor xo para el que quiere hacerse la estimación a la media.
RESIDUOS: Un residuo es la diferencia entre un valor observado de la variable dependiente Y, y el valor predicho por la recta de regresión.
Residuo= y obsevada – y predicha.
Asociación no implica causalidad
Que exista una fuerte asociación entre dos variables no es suficiente para sacar conclusiones sobre las relaciones causa-efecto
Ejemplo: existe fuerte correlación entre el número de bomberos que actúan en un incendio y la importancia del daño ocasionado por el mismo.
EJERCICIOS.
El número de horas de estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen correspondiente fue para siete personas, la siguiente:
Horas 5 8 10 12 15 17 18
a) Dibuja la nube de puntos y traza, aproximadamente, la recta de regresión asociada. b) Indica como parece ser la correlación.
Solución:La correlación parece ser directa y fuerte
Calcula el coeficiente de correlación y las rectas de regresión asociadas a los datos del problema anterior. Representa las dos rectas de regresión sobre la nube de puntos.
Solución: Coeficiente de correlación= r= 0´88
Rectas de regresión: y = 0´39 x + 1´7 ; x = 1´97 y - 0´52
La tabla siguiente muestra para los años que se indican, la natalidad por cada 1000 habitantes de una ciudad española.
Años 1986 1987 1988 1989 1990 1991
Natalidad 21 21 20 18 16 15
Calcula: a) el coeficiente de correlación e interpreta su valor b) La natalidad esperada para los años 2000 y 2005.
c) Comenta los resultados obtenidos Solución
a) Coficiente de correlación = -0`97
b)natalidad esperada para el 2000 = 3`09 natalidad esperada para el 2005 = -3´61
1.7 Clasificaciones de las variables.
Ya hemos estudiado las escalas de medida de las variables, ahora veamos algunas clasificaciones de las variables según diversos criterios:
a) las variables y su papel en la investigación o en las hipótesis.
Variables independientes (vv.ii) - Variables dependientes (vv.dd)
Las variables independientes son las características en las que difieren los objetos de estudio (sexo, edad, etc.) (en estudios de encuesta y en estudios observacionales) mientras que en estudios experimentales son las diferentes condiciones a las que exponemos a los objetos de estudio.
También se les llama variables explicativas o predictoras.
Las variables dependientes son aquellas cuyo comportamiento es explicado o pronosticado por una o mas variables independientes. También se las llama variables criterio o respuesta. En las investigaciones no experimentales no siempre está claro si una variable es dependiente o independiente, siendo el contexto de la investigación la que hace decidir aunque a veces una variable puede desempeñar diferentes roles en distintas situaciones.
En algunas aplicaciones del análisis multivariable, todas las variables tienen el mismo estatus y se habla de relaciones de interdependencia entre variables. En estos casos no hay variables dependientes e independientes.
b) Clasificación de las variables por los valores que pueden tomar. La clasificación de las escalas de medida no siempre deja las cosas claras, por eso frecuentemente en el análisis de datos se divide a las variables en dos grandes grupos:
Variables no métricas o cualitativas (escalas nominal y ordinal)
Variables métricas o cuantitativas ( escalas de intervalo o de razón)
O también:
1. Variable continua es una variable cuantitativa que por su naturaleza puede adoptar cualquier valor numérico (dentro de un intervalo). Para todo par de valores siempre se puede encontrar un valor intermedio, la precisión la da el instrumento de medida. (peso, estatura..) 2. Variable discreta : variable cualitativa o cuantitativa que sólo puede adoptar un número finito de valores distintos. En las cuantitativas entre dos valores continuos no hay uno intermedio. (número de hijos)
3. Variable dicotómica o binaria : Es aquella que sólo puede tomar dos valores. Por ejemplo Sexo, tener o no una enfermedad. Si a sus valores se les pone 0 y 1 se le llama binaria
4. Variable ficticia (dummy). Las variables cualitativas (nominales y ordinales) a veces se convierten en numéricas usando variables ficticias. En ellas el 1 indica presencia de una categoría y el 0 ausencia de la misma. Para convertir una variable cualitativa en dummy hacen falta tantas variables como niveles de la variable cualitativa menos uno. Para sexo sería suficiente con una (varón=0, mujer=1) Para Estudios (Eso, Bachillerato y FP) harían falta dos: V1: eso=1, Bach y FP=0, V2: Bach=1, eso y Fp =0, FP queda definida por ser 0 en las otras dos.
Puntuaciones directas o brutas, son las obtenidas directamente y se suelen representar con letras mayúsculas (X,Y, ...) y tienen Medias (, , ...) y desviaciones típicas (s x , s y ...)
Puntuaciones centradas en la media o diferenciales, se suelen representar con letras minúsculas y son un cambio de origen al restar la media de las puntuaciones originales (x = X -; T = T-..) estas variables tienen media cero y su desviación típica coincide con la de las puntuaciones originales. Es un cambio de origen pero no de escala
Puntuaciones típicas o estandarizadas, normalmente representadas por la letra z con el subíndice correspondiente a la variable ( z x , z y ...). Se obtiene restando a los valores originales
la media y dividiendo por la desviación típica ( z x = ( X - ) / s x
Las puntuaciones típicas están libres de escala y siempre tiene media 0 y desviación típica 1.
La combinación lineal de variables
La mayor parte de las técnicas multivariables combinan las variables de alguna forma "útil". Normalmente esta combinación es una combinación lineal, a veces llamada variante, aunque también hay combinaciones no lineales, no las estudiaremos este curso. Una combinación lineal es una suma ponderada de las variables, para un conjunto p de variables observadas tendremos
V = w1 X1 + w2 X2 + ... w p X k
V es la nueva variante o combinación lineal, y X j y w j representan las variables originales y
sus pesos, respectivamente (j = 1,2, p). Esa misma ecuación se puede representar como el producto de dos vectores v = w' x
En cuanto al número de variables que interesa incluir en un análisis multivariante como regla general se debe observar la parsimonia científica, es decir obtener la mejor solución con el menor número posible de variables.
1.8 Tipos de datos en el Análisis Multivariable. A) Matrices de datos
Los datos son un conjunto de valores que representan las puntuaciones de n unidades de análisis sobre p variables. En las variables cuantitativas, los valores son puntuaciones numéricas, en las cualitativas, códigos numéricos que representan niveles diferentes de la variable categórica (soltero, casado, viudo, etc.)
Estos valores de colocan en una matriz X i j , i=1...n , j=1... p
X 11 X 12 .. X 1 j ... X 1 p
X= X 21 X 22 .. X 2 j ... X 2 p
... X i1 X i2 .. X i j ... X i p
... ...
Estos datos son los que se introducen en el ordenador y serán procesados por el programa SPSS u otro similar
1.9 Matrices
(se verán otros tipos de datos después de estudiar las matrices)
Se suele definir una matriz como un conjunto de números ordenados en filas y columnas. 1 2 3 -4 3 2 1,2
0 -1 5 0.3 2 1 3 5 -4 0
La dimensión de una matriz es n x m, donde n es el número de filas de la matriz y m el número de columnas. Las matrices anteriores tienen como dimensiones 2x4 y 3x3, respectivamente.
Cuando n = m (el número de filas coincide con el de columnas), se dice que la matriz es cuadrada. La segunda matriz del ejemplo es cuadrada.
Las matrices de dimensión 1 x n se llaman vectores fila. Ejemplo:
(1 2 -5 4) es una matriz de dimensión 1x4 o un vector fila Las matrices de dimensión m x 1 se llaman vectores columna. Ejemplo 3
2 es una matriz de dimensión 3 x1 o un vector columna 7
Transponer una matriz es una operación que consiste en obtener una nueva matriz en la que hemos cambiado filas por columnas en la matriz dada.
Ejemplo de una matriz y su transpuesta: 2 3 2 1 -2
1 7 3 7 4 -2 4
Si la dimensión de una matriz es m x n la de su transpuesta será n x m. La transpuesta de la transpuesta de una matriz es la matriz de partida.
En las ciencias sociales las matrices se usan en muy diversas situaciones. Ya hemos mencionado que uno de los usos más frecuentes de las matrices para representar las puntuaciones obtenidas por n sujetos en m variables, a esta matriz se la suele llamar matriz de los datos.
V a r i a b l e s 1 2 3 ... m
En la notación literal de S 1 x11 x12 x13 x1m las matrices el primer
u 2 x21 x22 x23 x2m subíndice indica la fila
j 3 x31 x32 x33 x3m y el segundo la columna
e . t . o .
Matrices especiales: Además de las matrices cuadradas, fila y columna que ya hemos mencionado son importantes las Matrices simétricas, aquellas que son iguales a su transpuesta (no cambian al cambiar filas por columnas)
1 3 2 3 0 6 2 6 3
Matrices diagonales, aquellas cuyos únicos elementos distintos de cero son los de la diagonal principal (la que va de arriba izquierda a abajo derecha) o los de la diagonal secundaria (la que va de arriba derecha a abajo izquierda). Si todos los elementos de la diagonal principal son unos, en lugar de matriz diagonal se la llama matriz unidad.
Matriz triangular es una matriz que tiene nulos todos los elementos que están situados encima (o debajo) de la diagonal principal.
Suma de matrices.
Sumar dos matrices es obtener una nueva matriz en la que cada elemento es la suma de los elementos correspondientes de las matrices que estamos sumando. Para que dos matrices se puedan sumar es preciso que ambas tengan la misma dimensión.
(aij) + (bij) = (aij + bij) =(cij)
2 1 3 0 5 1 0 -3 + 1 4 = 1 1 -8 2 4 -2 -4 0
Producto de matrices.
Multiplicar dos matrices es obtener una tercera en la que cada elemento se obtiene según la formula que exponemos a continuación.
(aij) * (bij) = (cij)
ci j = ai1 x b1j + ai2 x b2j + a i3 x b3 j +...+ a i m x b m j
Para que dos matrices sean multiplicables es necesario que el número de columnas de la primera coincida con el número de filas de la segunda. Ejemplo:
8 1 3 5 2 9 1 65 32 82 29 2 -6 4 1 7 4 3 = 36 -26 2 8 8 3 2 6
Las dimensiones de las matrices anteriores son 2x3 3x4 2x4
El elemento c11 cuyo valor es 65 se obtiene como resultado de multiplicar los elementos
correspondientes de la primera fila con los de la primera columna: 8x5 + 1x1 + 3x8 =65 De la misma forma se calculan todos los otros elementos de la matriz producto.
Matriz de Varianzas y Covarianzas.
número situado en la fila i columna j es la covarianza de la variable i con la j. Evidentemente esta matriz siempre es simétrica, ya que la covarianza de la variable i con la j es la misma que la covarianza de la variable j con la i.
Recordemos las definiciones de varianza y covarianza.
La varianza de la variable x i,
n
(x i - )2
i =1
s i = ---
n -1
La covarianza entre las variables x 1 y x 2
n
(x i1 - 1) (x i2 - 2)
i =1
s12 = s21 = ---
n -1
Ejemplo de cálculo de matriz de varianzas y covarianzas. Supongamos que la variable x1 ha tomado los valores 1, 3 y 2
mientras que la variable x2 ha tomado los valores 1, 4 y 7.
La media de la variable x1 es (1+3+2)/3 =2 y la de la variable x2 es 4. Formemos la matriz D de las
desviaciones respecto de la media 1 1 2 4 -1 -3
3 4 - 2 4 = 1 0 = x d
2 7 2 4 0 3
La transpuesta de x d será -1 1 0
-3 0 3 = x dT
El producto x dT x d (dividiendo todos sus términos por n -1) dará la matriz buscada de
varianzas-covarianzas
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UNA MATRIZ
Dada la matriz cuadrada A, de dimensión n x n, el número es un autovalor y el vector X, de dimensión nx1 es unautovectorde ella si se verifica la siguiente ecuación:
A X = X esto es A n x n X nx1 = X nx1
A X = X => A X - X = 0 => ( A - I) X = 0
Para calcular los autovalores se resuelve la ecuación A - I = 0 donde la incógnita es
f( ) = A - I recibe el nombre de función característica de la matriz A.
Cada autovalor tiene asociado un autovector. Para calcular los autovectores se sustituye el valor del autovalor en ( A - I) X = 0 y se resuelve respecto de X.
Ejemplo: calcular los autovalores y autovectores de la matriz 3 1
A = 2 2
A - I = 0
3 1 1 0 3 - 1
- = 0 => = 0 2 2 0 1 2 2-
(3 - )(2 - ) - 2 = 6 - 3 - 2 + 2 - 2 = 0
2 - 5 + 4 = 0, Los autovalores son 1 y 4
Para encontrar el autovector asociado con el autovalor 1 sustituyo por 1 en: ( A - I) X = 0
3 1 1 0 x1 2 1 x1 0
- = = 2 2 0 1 x2 2 1 x2 0
2x1 + x2 = 0
2x1 + x2 = 0 Sistema compatible indeterminado
2x1 = - x2 para x2 = k , x1 = (-1/2)k, el autovector será ( -1/2 k, k ), en columna.
Hacer la comprobación de que se cumple la ecuación A X= 1 X
Hallar el autovector para el autovalor 4. Da el autovector (k , k )
Propiedades de los autovalores y de los Autovectores
1. La suma de los autovalores es igual a la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz (traza de la matriz)
2. El producto de los autovalores de una matriz coincide con el valor del determinante de la matriz 3. Para cualquier matriz no singular, el número de autovalores (contando las duplicaciones) coincide con el rango de la matriz.
2 1 da autovalores 5 y 1,
3 4 para el 1 el autovector es (k, -k)'
para el 5 el autovector es (k, 3k)' o (1/3 k , k)'
Formatos de datos mas empleados en los análisis multivariantes (además de la matriz de datos)
a) Matriz de suma de cuadrados y productos cruzados. La denotaremos por S. Es previa a la matriz de varianzas - covarianzas, que a su vez precede a la matriz de correlaciones. Los elementos de la diagonal principal de la matriz de cuadrados y productos cruzados, son la suma de las desviaciones de la media elevadas al cuadrado, o sea
n _ _
Suma de cuadrados ( X j ) = Σ (X i j - X j ) 2 donde X j es la media de las i= 1
puntuaciones en la variable j - esima.
Los elementos externos a la diagonal principal son los productos cruzados de las variables centradas o diferenciadas, esto es:
n _ _
Suma de productos cruzados ( X j , X k ) = Σ (X i j - X j ) (X i k - X k ) donde j,k = 1,2...p, j k i= 1
Hay que observar que la matriz será cuadrada y simétrica y además su dimensión coincide con el número de variables.
b) Matriz de varianzas-covarianzas, la denotaremos con C, es también una matriz cuadrada y simétrica, que tiene como elementos en la diagonal principal las varianzas de cada una de las variables y como elementos externos a la diagonal, las covarianzas entre las variables. Recordemos que las varianzas se definen como las sumas de cuadrados promediadas n _
Sx2 = 1/ (n-1) = Σ (X i j - X j ) 2 i=1
y las covarianzas como las sumas de productos cruzados también promediados Cov ( X j , X k ) = s i j = 1/(n-1) Σ (X i j - X j ) (X i k - X k ) donde j,k = 1,2...p, j k,
Las covarianzas y las varianzas retienen la información de la escala de las variables. Si se conoce la matriz S, se puede calcular la matriz C, porque
C= 1/(n-1) S
Recordando que si la V es una combinación lineal V = w1 X1 + w2 X2 + ... w p X p
Se puede expresar como V= w ´ X
Podemos escribir la varianza de la combinación lineal V, con la expresión
Var (V) = w´ C w, donde C es la matriz de varianzas-covarianzas de las variables ( X1, X2 ... X p )
C) Matriz de correlaciones R
que una covarianza entre puntuaciones típicas, que como ya se sabe tienen varianza unidad (los unos de la diagonal principal) y además la media es cero.
D) Matrices de proximidad (similaridad o disimilaridad)
Algunas técnicas multivariante parten de datos o de medidas de asociación que reflejan el grado de similaridad o disimilaridad entre los sujetos y/o las variables. Normalmente la similaridad se puede entender como la proximidad entre dos puntos en un espacio de n dimensiones (que no se puede representar físicamente, si n es mayor que 3). De igual forma, a medida que los sujetos son mas diferentes (disimilares) los puntos que los representan estarán más alejados. Las matrices de proximidad (similaridad o disimilaridad) pueden estar formadas por diferentes índices, según el nivel métrico de las variables y el procedimiento de recogida de datos. Una de las medidas de similaridad más usada es la correlación producto - momento de Pearson u otros índices que reflejan el grado de asociación.
Un tipo especial de medida de disimilaridad, del que se parte y/o al que se llega en algunas técnicas multivariantes es la distancia, que da lugar a las denominadas matrices de distancia entre objetos o unidades (de orden n*n) con elementos d i j que representa la distancia entre un
objeto i representado en la fila de la matriz y un objeto j indicado en la columna. Presentaremos algunas de las distancias mas utilizadas en AM.
La distancia euclidea p
d i j = Σ ( X i a - X j a ) 2
a=1
La distancia de Manhatan
r
d i j ( r ) = Σ ╽X i a - X j a ╽ r La distancia de Mahalanobis
(X i - X j )´ C -1 (X i - X j )
donde X i y X j representan los vectores de las puntuaciones de los objetos i y j en las p
variables y C -1 es la matriz inversa dela matriz de varianzas - covarianzas de p dimensiones
1.10 Otros conceptos básicos del AM
LOS RESIDUOS
Frecuentemente un objetivo del análisis multivariante es intentar reproducir la variación del conjunto de variables observadas o de la variable dependiente a partir de la (s) combinación (es) lineal (es) obtenidas.
La diferencia entre los valores reproducidos y los valores observados se llama residuo y su conjunto es una medida de la mayor o menor eficacia del modelo. Cuanto menores sean los residuos mejor ajuste proporcionará el modelo.
de los residuos al cuadrado (residuos al cuadrado). Cuando los valores reales son cercanos a los valores pronosticados, la predicción es buena y los errores al cuadrado son pequeños. Veremos que en algunas técnicas multivariantes la distribución de los residuos tiene un papel importante para evaluar si se cumplen algunos de los requisitos requeridos para usar la técnica.
EXPLORACION INICIAL DE LOS DATOS
Es razonable que antes de aplicar una compleja técnica multivariante, el investigador conozca la distribución de cada variable independientemente.
El estudio inicial de los datos puede tener varios objetivos: detección de observaciones aisladas (outliers), tratamiento de los casos perdidos (missing data) así como la comprobación de los supestos que han de cumplir los datos para poder aplicar la técnica multivariable en cuestión.
a) Detección de casos aislados y observaciones influyentes
Los casos aislados son observaciones con valores extremos en una variable o en una combinación de variables y se le reconoce porque son muy diferentes de las restantes observaciones. No todos los casos aislados son necesariamente problemáticos en el análisis estadístico, pero a veces pueden ser observaciones influyentes que distorsionan los resultados. El investigador tiene que detectar la presencia de estos casos cuidadosamente. Puede haber cuatro razones para la presencia de casos aislados:
1. Introducción incorrecta de los datos en el archivo por errores de grabación o codificación. Estos casos se detectan mediante un análisis de frecuencias porque se encuentran fuera del rango de los valores admisibles para las variables. A veces se pueden corregir y en caso contrario se les debe eliminar o tratarlos como casos perdidos.
2. Cuando el caso no pertenece a la población objeto de estudio de la que se ha obtenido la muestra. En esta situación hay que eliminar el caso.
3. El caso pertenece a la población, pero tiene un valor extraordinario en relación a los restantes casos. Es posible que exista una explicación para ello y el investigador ha de decidir si retiene el dato o lo excluye del análisis.
4. Cuando los valores caen dentro del rango esperado para cada variable pero resultan únicos en su combinación con otras variables, en este caso el investigador tratará de encontrar una explicación. A estos casos se les llama casos aislados multivariantes.
El problema es que pueden dar lugar a resultados no generalizables por estar muy influidos con la presencia de estos datos.
Los casos aislados de tipo univariante se caracterizan por tener puntuaciones típicas muy extremas: fuera del rango (-3 , +3). Pero en muestras grandes no es raro que se presenten unos cuantos casos con estas puntuaciones.
Con el SPSS se pueden tipificar las variables y estudiar si las puntuaciones típicas caen fuera del rango (-3 , +3). Para ello se elige:
Analizar -> Estadísticos descriptivos -> descriptivos
Por cada variable señalada tendremos una nueva variable en nuestro fichero de datos con el mismo nombre pero con una z delante: la variable p401 tipificada se llama zp401 y como la etiqueta de la p401 es simpatía norteafricana, el SPSS pone la etiqueta a la variable tipificada como: puntúa simpatía norteafricana.
Para ver los valores de la variable tipificada mas alejados de 3 desviaciones típicas se puede ir al fichero de datos y explorar visualmente la columna de sus datos o usar Analizar -> frecuencias con estas variables.
La opción Explorar del SPSS proporciona gráficos especialmente útiles como los de caja con el que veremos las distribución intercuartílica o el de tallo y hoja.
Para detectar los casos aislados multivariantes se suele emplear la Distancia de Mahalanobis
Que es una medida de cuánto difieren los valores de un caso en las variables independientes respecto al promedio para todos los casos. Una distancia de Mahalanobis grande identificará a un caso que tenga valores extremos en una o más de las variables independientes.
DATOS PERDIDOS
Uno de los problemas mas frecuentes del análisis multivariante es la presencia de datos ausentes. En el caso de la investigación mediante cuestionario son consecuencia de la no respuesta de los encuestados a ciertas preguntas de la encuesta. Su gravedad depende del numero de casos perdidos y de la razón de su existencia. Se puede dejar una pregunta sin respuesta por despiste o porque el/la encuestado/a tiene razones para no contestar. El contar con el resto de las respuestas de una encuesta incompleta puede afectar a la posible generalización de los resultados. Habría que hacerse algunas preguntas. Como: ¿difieren estos sujetos de los que contestan a todas las preguntas? ¿Tienen estas diferencias impacto sobre los resultados de la investigación?.
La mayoría de los autores consideran que hay dos razones para la presencia de datos ausentes:
- los procesos sistemáticos externos a los sujetos, como son problemas de recogida de datos o errores de transcripción o grabación.
- La acción del sujeto que responde de dejar de hacerlo a ciertas preguntas.
Los del primer tipo se suelen poder corregir, pero los segundos presentan mayor dificultad y se deberían estudiar cuidadosamente.
Si los datos ausentes siguen una distribución aleatoria en la matriz de datos, normalmente no son un grave problema, pero si el patrón no es aleatorio pueden afectar notablemente a los resultados. Los procedimientos para estudiar la aleatoriedad de la distribución de los datos ausentes se suelen clasificar en tres tipos:
